MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppccomfpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppccomfpropd 17673
Description: If two categories have the same hom-sets and composition, so do their opposites. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchomfpropd.1 (๐œ‘ โ†’ (Homf โ€˜๐ถ) = (Homf โ€˜๐ท))
oppccomfpropd.1 (๐œ‘ โ†’ (compfโ€˜๐ถ) = (compfโ€˜๐ท))
Assertion
Ref Expression
oppccomfpropd (๐œ‘ โ†’ (compfโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ)) = (compfโ€˜(oppCatโ€˜๐ท)))

Proof of Theorem oppccomfpropd
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜๐ถ)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (Hom โ€˜๐ถ) = (Hom โ€˜๐ถ)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (compโ€˜๐ถ) = (compโ€˜๐ถ)
4 eqid 2733 . . . . . 6 (compโ€˜๐ท) = (compโ€˜๐ท)
5 oppchomfpropd.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (Homf โ€˜๐ถ) = (Homf โ€˜๐ท))
65ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ (Homf โ€˜๐ถ) = (Homf โ€˜๐ท))
7 oppccomfpropd.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (compfโ€˜๐ถ) = (compfโ€˜๐ท))
87ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ (compfโ€˜๐ถ) = (compfโ€˜๐ท))
9 simplr3 1218 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
10 simplr2 1217 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
11 simplr1 1216 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
12 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))
13 eqid 2733 . . . . . . . 8 (oppCatโ€˜๐ถ) = (oppCatโ€˜๐ถ)
142, 13oppchom 17660 . . . . . . 7 (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง) = (๐‘ง(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)
1512, 14eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐‘ง(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ))
16 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ))
172, 13oppchom 17660 . . . . . . 7 (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)
1816, 17eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ))
191, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 15, 18comfeqval 17652 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ง, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘”) = (๐‘“(โŸจ๐‘ง, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐ท)๐‘ฅ)๐‘”))
201, 3, 13, 11, 10, 9oppcco 17662 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง)๐‘“) = (๐‘“(โŸจ๐‘ง, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘”))
21 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ท) = (Baseโ€˜๐ท)
22 eqid 2733 . . . . . 6 (oppCatโ€˜๐ท) = (oppCatโ€˜๐ท)
235homfeqbas 17640 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜๐ท))
2423ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜๐ท))
2511, 24eleqtrd 2836 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ท))
2610, 24eleqtrd 2836 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ท))
279, 24eleqtrd 2836 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ท))
2821, 4, 22, 25, 26, 27oppcco 17662 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜(oppCatโ€˜๐ท))๐‘ง)๐‘“) = (๐‘“(โŸจ๐‘ง, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐ท)๐‘ฅ)๐‘”))
2919, 20, 283eqtr4d 2783 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง))) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜(oppCatโ€˜๐ท))๐‘ง)๐‘“))
3029ralrimivva 3201 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜(oppCatโ€˜๐ท))๐‘ง)๐‘“))
3130ralrimivvva 3204 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜(oppCatโ€˜๐ท))๐‘ง)๐‘“))
32 eqid 2733 . . 3 (compโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ)) = (compโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))
33 eqid 2733 . . 3 (compโ€˜(oppCatโ€˜๐ท)) = (compโ€˜(oppCatโ€˜๐ท))
34 eqid 2733 . . 3 (Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ)) = (Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))
3513, 1oppcbas 17663 . . . 4 (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))
3635a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ)))
3722, 21oppcbas 17663 . . . 4 (Baseโ€˜๐ท) = (Baseโ€˜(oppCatโ€˜๐ท))
3823, 37eqtrdi 2789 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜(oppCatโ€˜๐ท)))
395oppchomfpropd 17672 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Homf โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ)) = (Homf โ€˜(oppCatโ€˜๐ท)))
4032, 33, 34, 36, 38, 39comfeq 17650 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((compfโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ)) = (compfโ€˜(oppCatโ€˜๐ท)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ))๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜(oppCatโ€˜๐ท))๐‘ง)๐‘“)))
4131, 40mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (compfโ€˜(oppCatโ€˜๐ถ)) = (compfโ€˜(oppCatโ€˜๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โŸจcop 4635  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Homf chomf 17610  compfccomf 17611  oppCatcoppc 17655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-hom 17221  df-cco 17222  df-homf 17614  df-comf 17615  df-oppc 17656
This theorem is referenced by:  yonpropd  18221
  Copyright terms: Public domain W3C validator