Theorem congid 40779

Description: Every integer is congruent to itself mod every base. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congid	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐵))

Proof of Theorem congid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvds0 15969	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ 0)
3		zcn 12312	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	subidd 11308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
6	2, 5	breqtrrd 5102	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7268  ℂcc 10857  0cc0 10859   − cmin 11193  ℤcz 12307   ∥ cdvds 15951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-po 5499  df-so 5500  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-ltxr 11002  df-sub 11195  df-neg 11196  df-z 12308  df-dvds 15952

This theorem is referenced by:  mzpcong  40780  acongid  40783  acongeq  40791  jm2.18  40796  jm2.25  40807  jm2.15nn0  40811  jm2.16nn0  40812  jm2.27c  40815