Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.18 42440
Description: Theorem 2.18 of [JonesMatijasevic] p. 696. Direct relationship of the exponential function to X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁)))

Proof of Theorem jm2.18
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12632 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
2 eluzelz 12870 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
32adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4 zmulcl 12649 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€)
51, 3, 4sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€)
6 nn0z 12621 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
76adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
85, 7zmulcld 12710 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) ∈ β„€)
9 zsqcl 14133 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„€ β†’ (𝐾↑2) ∈ β„€)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑2) ∈ β„€)
118, 10zsubcld 12709 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) ∈ β„€)
12 peano2zm 12643 . . . . . . 7 ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) ∈ β„€ β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
14 dvds0 16256 . . . . . 6 (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ 0)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ 0)
16 rmx0 42377 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm 0) = 1)
1716adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 0) = 1)
18 rmy0 42381 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
1918adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
2019oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· 0))
213, 7zsubcld 12709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
2221zcnd 12705 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ β„‚)
2322mul01d 11451 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· 0) = 0)
2420, 23eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0)) = 0)
2517, 24oveq12d 7444 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) = (1 βˆ’ 0))
26 1m0e1 12371 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 0) = 1
2725, 26eqtrdi 2784 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) = 1)
28 nn0cn 12520 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
2928adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
3029exp0d 14144 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑0) = 1)
3127, 30oveq12d 7444 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0)) = (1 βˆ’ 1))
32 1m1e0 12322 . . . . . 6 (1 βˆ’ 1) = 0
3331, 32eqtrdi 2784 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0)) = 0)
3415, 33breqtrrd 5180 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0)))
35 rmx1 42378 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
3635adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
37 rmy1 42382 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
3938oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· 1))
4022mulridd 11269 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· 1) = (𝐴 βˆ’ 𝐾))
4139, 40eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1)) = (𝐴 βˆ’ 𝐾))
4236, 41oveq12d 7444 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐾)))
433zcnd 12705 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4443, 29nncand 11614 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐾)) = 𝐾)
4542, 44eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) = 𝐾)
4629exp1d 14145 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑1) = 𝐾)
4745, 46oveq12d 7444 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1)) = (𝐾 βˆ’ 𝐾))
4829subidd 11597 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐾) = 0)
4947, 48eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1)) = 0)
5015, 49breqtrrd 5180 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1)))
51 pm3.43 472 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))))
5213adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
535adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€)
54 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
55 nnz 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„€)
5655adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
57 frmx 42365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
5857fovcl 7555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
5954, 56, 58syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
6059nn0zd 12622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„€)
6121adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
62 frmy 42366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
6362fovcl 7555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
6454, 56, 63syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
6561, 64zmulcld 12710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ β„€)
6660, 65zsubcld 12709 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ β„€)
6753, 66zmulcld 12710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ β„€)
68 peano2zm 12643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ β„€ β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
6956, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
7057fovcl 7555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
7154, 69, 70syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
7271nn0zd 12622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
7362fovcl 7555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
7454, 69, 73syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
7561, 74zmulcld 12710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
7672, 75zsubcld 12709 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
7767, 76zsubcld 12709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) ∈ β„€)
7852, 77jca 510 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) ∈ β„€))
7978adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) ∈ β„€))
807adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
81 nnnn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
8281adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
83 zexpcl 14081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑𝑏) ∈ β„€)
8480, 82, 83syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑𝑏) ∈ β„€)
8553, 84zmulcld 12710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) ∈ β„€)
86 nnm1nn0 12551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
8786adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
88 zexpcl 14081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
8980, 87, 88syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
9085, 89zsubcld 12709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
91 0z 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„€
92 zaddcl 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ β„€ ∧ (𝐾↑2) ∈ β„€) β†’ (0 + (𝐾↑2)) ∈ β„€)
9391, 10, 92sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (0 + (𝐾↑2)) ∈ β„€)
9493adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (0 + (𝐾↑2)) ∈ β„€)
9589, 94zmulcld 12710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))) ∈ β„€)
9690, 95jca 510 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„€ ∧ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))) ∈ β„€))
9796adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„€ ∧ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))) ∈ β„€))
9852, 67, 853jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) ∈ β„€))
9998adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) ∈ β„€))
10076, 89jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€))
101100adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€))
10213, 5, 53jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€))
103102ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€))
10466, 84jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ β„€))
105104adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ β„€))
106 congid 42423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ (2 Β· 𝐴)))
10713, 5, 106syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ (2 Β· 𝐴)))
108107ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ (2 Β· 𝐴)))
109 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))
110 congmul 42419 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ β„€) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏))))
111103, 105, 108, 109, 110syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏))))
112111adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏))))
113 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))
114 congsub 42422 . . . . . . . . . . 11 (((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))))
11599, 101, 112, 113, 114syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))))
11613, 10zaddcld 12708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) ∈ β„€)
117116adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) ∈ β„€)
118 congid 42423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))
11952, 89, 118syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))
120 0zd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„€)
121 iddvds 16254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1))
12213, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1))
12313zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
124123subid1d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ’ 0) = ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1))
125122, 124breqtrrd 5180 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ’ 0))
126 congid 42423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑2) ∈ β„€) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑2) βˆ’ (𝐾↑2)))
12713, 10, 126syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑2) βˆ’ (𝐾↑2)))
128 congadd 42418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) ∧ ((𝐾↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑2) ∈ β„€) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ’ 0) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑2) βˆ’ (𝐾↑2)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) βˆ’ (0 + (𝐾↑2))))
12913, 13, 120, 10, 10, 125, 127, 128syl322anc 1395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) βˆ’ (0 + (𝐾↑2))))
130129adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) βˆ’ (0 + (𝐾↑2))))
131 congmul 42419 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€) ∧ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) ∈ β„€ ∧ (0 + (𝐾↑2)) ∈ β„€) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) βˆ’ (0 + (𝐾↑2))))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
13252, 89, 89, 117, 94, 119, 130, 131syl322anc 1395 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
13311zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) ∈ β„‚)
13429sqcld 14148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑2) ∈ β„‚)
135 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
136133, 134, 135addsubd 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) βˆ’ 1) = (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)))
1378zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) ∈ β„‚)
138137, 134npcand 11613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) = ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾))
139138oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) βˆ’ 1) = (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ 1))
140136, 139eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) = (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ 1))
141140adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) = (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ 1))
142141oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2))) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ 1)))
14328ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
144143, 87expcld 14150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
145137adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) ∈ β„‚)
146 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
147144, 145, 146subdid 11708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ 1)) = (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾)) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 1)))
1485zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
149148adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
150144, 149, 143mul12d 11461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾)) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾)))
151 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„•)
152 expm1t 14095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾))
153143, 151, 152syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾))
154153oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾)))
155150, 154eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾)) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)))
156144mulridd 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 1) = (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))
157155, 156oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾)) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))
158142, 147, 1573eqtrrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2))))
159158oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))) = (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
160132, 159breqtrrd 5180 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
161160adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
162 congtr 42417 . . . . . . . . . 10 (((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) ∈ β„€) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„€ ∧ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))) ∈ β„€) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
16379, 97, 115, 161, 162syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
164 rmxluc 42388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1))))
16554, 56, 164syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1))))
166 rmyluc 42389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
16754, 56, 166syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
168167oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
1692zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
170169ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
171170, 143subcld 11609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ β„‚)
172 2cn 12325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ β„‚
17363zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„‚)
17454, 56, 173syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„‚)
175174, 170mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„‚)
176 mulcl 11230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
177172, 175, 176sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
17873zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
17954, 69, 178syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
180171, 177, 179subdid 11708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) = (((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
181 2cnd 12328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
182181, 174, 170mul12d 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· (2 Β· 𝐴)))
183174, 149mulcomd 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· (2 Β· 𝐴)) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))
184182, 183eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))
185184oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴))) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
186171, 149, 174mul12d 11461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
187185, 186eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴))) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
188187oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) = (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
189168, 180, 1883eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
190165, 189oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
19158nn0cnd 12572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„‚)
19254, 56, 191syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„‚)
193149, 192mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) ∈ β„‚)
19470nn0cnd 12572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
19554, 69, 194syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
196171, 174mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ β„‚)
197149, 196mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ β„‚)
198171, 179mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
199193, 195, 197, 198sub4d 11658 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) = ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
200149, 192, 196subdid 11708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))))
201200eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))))
202201oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) = (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
203190, 199, 2023eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
204143, 82expp1d 14151 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑𝑏) Β· 𝐾))
205 nncn 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
206205adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
207 ax-1cn 11204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
208 npcan 11507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑏 βˆ’ 1) + 1) = 𝑏)
209206, 207, 208sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝑏 βˆ’ 1) + 1) = 𝑏)
210209oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑((𝑏 βˆ’ 1) + 1)) = (𝐾↑𝑏))
211143, 87expp1d 14151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑((𝑏 βˆ’ 1) + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾))
212210, 211eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾))
213212oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑𝑏) Β· 𝐾) = (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾) Β· 𝐾))
214144, 143, 143mulassd 11275 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾) Β· 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (𝐾 Β· 𝐾)))
215134addlidd 11453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (0 + (𝐾↑2)) = (𝐾↑2))
21629sqvald 14147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑2) = (𝐾 Β· 𝐾))
217215, 216eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 Β· 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
218217adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾 Β· 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
219218oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (𝐾 Β· 𝐾)) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))))
220214, 219eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾) Β· 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))))
221204, 213, 2203eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))))
222203, 221oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
223222adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
224163, 223breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))
225224ex 411 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
226225expcom 412 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
227226a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
22851, 227syl5 34 . . . 4 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
229 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 0))
230 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 0))
231230oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0)))
232229, 231oveq12d 7444 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))))
233 oveq2 7434 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑0))
234232, 233oveq12d 7444 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0)))
235234breq2d 5164 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0))))
236235imbi2d 339 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0)))))
237 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 1))
238 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 1))
239238oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1)))
240237, 239oveq12d 7444 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))))
241 oveq2 7434 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑1))
242240, 241oveq12d 7444 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1)))
243242breq2d 5164 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1))))
244243imbi2d 339 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1)))))
245 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)))
246 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
247246oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
248245, 247oveq12d 7444 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
249 oveq2 7434 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))
250248, 249oveq12d 7444 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))
251250breq2d 5164 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))))
252251imbi2d 339 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))))
253 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑏))
254 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑏))
255254oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))
256253, 255oveq12d 7444 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
257 oveq2 7434 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑𝑏))
258256, 257oveq12d 7444 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))
259258breq2d 5164 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))))
260259imbi2d 339 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))))
261 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
262 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
263262oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
264261, 263oveq12d 7444 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
265 oveq2 7434 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑(𝑏 + 1)))
266264, 265oveq12d 7444 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))
267266breq2d 5164 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
268267imbi2d 339 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
269 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑁))
270 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑁))
271270oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
272269, 271oveq12d 7444 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
273 oveq2 7434 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑𝑁))
274272, 273oveq12d 7444 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁)))
275274breq2d 5164 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁))))
276275imbi2d 339 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁)))))
27734, 50, 228, 236, 244, 252, 260, 268, 2762nn0ind 42397 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁))))
278277impcom 406 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁)))
2792783impa 1107 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   βˆ’ cmin 11482  β„•cn 12250  2c2 12305  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860  β†‘cexp 14066   βˆ₯ cdvds 16238   Xrm crmx 42351   Yrm crmy 42352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-numer 16714  df-denom 16715  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-squarenn 42292  df-pell1qr 42293  df-pell14qr 42294  df-pell1234qr 42295  df-pellfund 42296  df-rmx 42353  df-rmy 42354
This theorem is referenced by:  jm3.1  42472
  Copyright terms: Public domain W3C validator