Theorem jm2.18 40810

Description: Theorem 2.18 of [JonesMatijasevic] p. 696. Direct relationship of the exponential function to X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.18	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))

Proof of Theorem jm2.18

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12352	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zmulcl 12369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6		nn0z 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	5, 7	zmulcld 12432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℤ)
9		zsqcl 13848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
11	8, 10	zsubcld 12431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
12		peano2zm 12363	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
14		dvds0 15981	. . . . . 6 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
16		rmx0 40747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
18		rmy0 40751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
20	19	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = ((𝐴 − 𝐾) · 0))
21	3, 7	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℂ)
23	22	mul01d 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · 0) = 0)
24	20, 23	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = 0)
25	17, 24	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 − 0))
26		1m0e1 12094	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 0) = 1
27	25, 26	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = 1)
28		nn0cn 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
30	29	exp0d 13858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑0) = 1)
31	27, 30	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = (1 − 1))
32		1m1e0 12045	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
33	31, 32	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = 0)
34	15, 33	breqtrrd 5102	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
35		rmx1 40748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
37		rmy1 40752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
39	38	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = ((𝐴 − 𝐾) · 1))
40	22	mulid1d 10992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · 1) = (𝐴 − 𝐾))
41	39, 40	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = (𝐴 − 𝐾))
42	36, 41	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)))
43	3	zcnd 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	43, 29	nncand 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
45	42, 44	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = 𝐾)
46	29	exp1d 13859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑1) = 𝐾)
47	45, 46	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = (𝐾 − 𝐾))
48	29	subidd 11320	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 𝐾) = 0)
49	47, 48	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = 0)
50	15, 49	breqtrrd 5102	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
51		pm3.43 474	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))))
52	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
53	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
54		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
55		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℤ)
57		frmx 40735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
58	57	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
59	54, 56, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
60	59	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℤ)
61	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
62		frmy 40736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
63	62	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
64	54, 56, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
65	61, 64	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℤ)
66	60, 65	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ)
67	53, 66	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ)
68		peano2zm 12363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
69	56, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
70	57	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
71	54, 69, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
72	71	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
73	62	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
74	54, 69, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
75	61, 74	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
76	72, 75	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ)
77	67, 76	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ)
78	52, 77	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
80	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
81		nnnn0 12240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ0)
83		zexpcl 13797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ)
84	80, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ)
85	53, 84	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ)
86		nnm1nn0 12274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
88		zexpcl 13797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
89	80, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
90	85, 89	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
91		0z 12330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
92		zaddcl 12360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
93	91, 10, 92	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
95	89, 94	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ)
96	90, 95	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
98	52, 67, 85	3jca 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ))
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ))
100	76, 89	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
102	13, 5, 5	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
103	102	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
104	66, 84	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ))
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ))
106		congid 40793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
107	13, 5, 106	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
108	107	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
109		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))
110		congmul 40789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
111	103, 105, 108, 109, 110	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
112	111	adantrl 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
113		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
114		congsub 40792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
115	99, 101, 112, 113, 114	syl112anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
116	13, 10	zaddcld 12430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
118		congid 40793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
119	52, 89, 118	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
120		0zd 12331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
121		iddvds 15979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
122	13, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
123	13	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℂ)
124	123	subid1d 11321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) = ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
125	122, 124	breqtrrd 5102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0))
126		congid 40793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
127	13, 10, 126	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
128		congadd 40788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
129	13, 13, 120, 10, 10, 125, 127, 128	syl322anc 1397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
131		congmul 40789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ ∧ (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
132	52, 89, 89, 117, 94, 119, 130, 131	syl322anc 1397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
133	11	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
134	29	sqcld 13862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
135		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
136	133, 134, 135	addsubd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)))
137	8	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
138	137, 134	npcand 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) = ((2 · 𝐴) · 𝐾))
139	138	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
140	136, 139	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
142	141	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)))
143	28	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
144	143, 87	expcld 13864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
145	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
146		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
147	144, 145, 146	subdid 11431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)))
148	5	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150	144, 149, 143	mul12d 11184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
151		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ)
152		expm1t 13811	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
153	143, 151, 152	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
154	153	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
155	150, 154	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)))
156	144	mulid1d 10992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
157	155, 156	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
158	142, 147, 157	3eqtrrd 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))))
159	158	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
160	132, 159	breqtrrd 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
161	160	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
162		congtr 40787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ) ∧ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
163	79, 97, 115, 161, 162	syl112anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
164		rmxluc 40758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
165	54, 56, 164	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
166		rmyluc 40759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
167	54, 56, 166	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
168	167	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
169	2	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
170	169	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
171	170, 143	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℂ)
172		2cn 12048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
173	63	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
174	54, 56, 173	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
175	174, 170	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ)
176		mulcl 10955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
177	172, 175, 176	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
178	73	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
179	54, 69, 178	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
180	171, 177, 179	subdid 11431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
181		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
182	181, 174, 170	mul12d 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)))
183	174, 149	mulcomd 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
184	182, 183	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
185	184	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
186	171, 149, 174	mul12d 11184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
187	185, 186	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
188	187	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
189	168, 180, 188	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
190	165, 189	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
191	58	nn0cnd 12295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
192	54, 56, 191	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
193	149, 192	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) ∈ ℂ)
194	70	nn0cnd 12295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
195	54, 69, 194	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
196	171, 174	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℂ)
197	149, 196	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℂ)
198	171, 179	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℂ)
199	193, 195, 197, 198	sub4d 11381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
200	149, 192, 196	subdid 11431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
201	200	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
202	201	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
203	190, 199, 202	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
204	143, 82	expp1d 13865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑𝑏) · 𝐾))
205		nncn 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
206	205	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
207		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
208		npcan 11230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
209	206, 207, 208	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
210	209	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = (𝐾↑𝑏))
211	143, 87	expp1d 13865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
212	210, 211	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
213	212	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑𝑏) · 𝐾) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾))
214	144, 143, 143	mulassd 10998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)))
215	134	addid2d 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) = (𝐾↑2))
216	29	sqvald 13861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
217	215, 216	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
218	217	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
219	218	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
220	214, 219	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
221	204, 213, 220	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
222	203, 221	oveq12d 7293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
223	222	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
224	163, 223	breqtrrd 5102	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
225	224	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
226	225	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
227	226	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
228	51, 227	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
229		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 0))
230		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
231	230	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0)))
232	229, 231	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))))
233		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑0))
234	232, 233	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
235	234	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0))))
236	235	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))))
237		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 1))
238		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
239	238	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1)))
240	237, 239	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))))
241		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑1))
242	240, 241	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
243	242	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1))))
244	243	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))))
245		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)))
246		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
247	246	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
248	245, 247	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
249		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
250	248, 249	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
251	250	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
252	251	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))))
253		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
254		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
255	254	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
256	253, 255	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
257		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑𝑏))
258	256, 257	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))
259	258	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))))
260	259	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))))
261		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
262		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
263	262	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
264	261, 263	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
265		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑(𝑏 + 1)))
266	264, 265	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
267	266	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
268	267	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
269		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
270		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
271	270	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
272	269, 271	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
273		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑𝑁))
274	272, 273	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))
275	274	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁))))
276	275	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))))
277	34, 50, 228, 236, 244, 252, 260, 268, 276	2nn0ind 40767	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁))))
278	277	impcom 408	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))
279	278	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ↑cexp 13782   ∥ cdvds 15963   X_rm crmx 40722   Y_rm crmy 40723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-numer 16439  df-denom 16440  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-squarenn 40663  df-pell1qr 40664  df-pell14qr 40665  df-pell1234qr 40666  df-pellfund 40667  df-rmx 40724  df-rmy 40725

This theorem is referenced by:  jm3.1  40842