jm2.18 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem jm2.18 42287

Description: Theorem 2.18 of [JonesMatijasevic] p. 696. Direct relationship of the exponential function to X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.18	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))

Proof of Theorem jm2.18 Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12595	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		eluzelz 12833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zmulcl 12612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6		nn0z 12584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	5, 7	zmulcld 12673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℤ)
9		zsqcl 14096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
11	8, 10	zsubcld 12672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
12		peano2zm 12606	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
14		dvds0 16219	. . . . . 6 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
16		rmx0 42224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 X_rm 0) = 1)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐴 X_rm 0) = 1)
18		rmy0 42228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 Y_rm 0) = 0)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐴 Y_rm 0) = 0)
20	19	oveq2d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0)) = ((𝐴 − 𝐾) · 0))
21	3, 7	zsubcld 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℂ)
23	22	mul01d 11414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 − 𝐾) · 0) = 0)
24	20, 23	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0)) = 0)
25	17, 24	oveq12d 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 X_rm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0))) = (1 − 0))
26		1m0e1 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 0) = 1
27	25, 26	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 X_rm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0))) = 1)
28		nn0cn 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℂ)
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℂ)
30	29	exp0d 14107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐾↑0) = 1)
31	27, 30	oveq12d 7422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((𝐴 X_rm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0))) − (𝐾↑0)) = (1 − 1))
32		1m1e0 12285	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
33	31, 32	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((𝐴 X_rm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0))) − (𝐾↑0)) = 0)
34	15, 33	breqtrrd 5169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0))) − (𝐾↑0)))
35		rmx1 42225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 X_rm 1) = 𝐴)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐴 X_rm 1) = 𝐴)
37		rmy1 42229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 Y_rm 1) = 1)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐴 Y_rm 1) = 1)
39	38	oveq2d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1)) = ((𝐴 − 𝐾) · 1))
40	22	mulridd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 − 𝐾) · 1) = (𝐴 − 𝐾))
41	39, 40	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1)) = (𝐴 − 𝐾))
42	36, 41	oveq12d 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 X_rm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1))) = (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)))
43	3	zcnd 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	43, 29	nncand 11577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
45	42, 44	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 X_rm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1))) = 𝐾)
46	29	exp1d 14108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐾↑1) = 𝐾)
47	45, 46	oveq12d 7422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((𝐴 X_rm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1))) − (𝐾↑1)) = (𝐾 − 𝐾))
48	29	subidd 11560	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐾 − 𝐾) = 0)
49	47, 48	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((𝐴 X_rm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1))) − (𝐾↑1)) = 0)
50	15, 49	breqtrrd 5169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1))) − (𝐾↑1)))
51		pm3.43 473	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))))
52	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
53	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
54		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
55		nnz 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℤ)
57		frmx 42212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
58	57	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑏) ∈ ℕ₀)
59	54, 56, 58	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 X_rm 𝑏) ∈ ℕ₀)
60	59	nn0zd 12585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 X_rm 𝑏) ∈ ℤ)
61	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
62		frmy 42213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
63	62	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑏) ∈ ℤ)
64	54, 56, 63	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm 𝑏) ∈ ℤ)
65	61, 64	zmulcld 12673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)) ∈ ℤ)
66	60, 65	zsubcld 12672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) ∈ ℤ)
67	53, 66	zmulcld 12673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) ∈ ℤ)
68		peano2zm 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
69	56, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
70	57	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ₀)
71	54, 69, 70	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ₀)
72	71	nn0zd 12585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
73	62	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
74	54, 69, 73	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
75	61, 74	zmulcld 12673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
76	72, 75	zsubcld 12672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ)
77	67, 76	zsubcld 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ)
78	52, 77	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
80	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
81		nnnn0 12480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ₀)
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ₀)
83		zexpcl 14044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ₀) → (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ)
84	80, 82, 83	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ)
85	53, 84	zmulcld 12673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ)
86		nnm1nn0 12514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℕ₀)
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℕ₀)
88		zexpcl 14044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
89	80, 87, 88	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
90	85, 89	zsubcld 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
91		0z 12570	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
92		zaddcl 12603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
93	91, 10, 92	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
95	89, 94	zmulcld 12673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ)
96	90, 95	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
98	52, 67, 85	3jca 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ))
100	76, 89	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
102	13, 5, 5	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
103	102	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
104	66, 84	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ))
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ))
106		congid 42270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
107	13, 5, 106	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
108	107	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
109		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))
110		congmul 42266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
111	103, 105, 108, 109, 110	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
112	111	adantrl 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
113		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
114		congsub 42269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
115	99, 101, 112, 113, 114	syl112anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
116	13, 10	zaddcld 12671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
118		congid 42270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
119	52, 89, 118	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
120		0zd 12571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 0 ∈ ℤ)
121		iddvds 16217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
122	13, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
123	13	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℂ)
124	123	subid1d 11561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) = ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
125	122, 124	breqtrrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0))
126		congid 42270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
127	13, 10, 126	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
128		congadd 42265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
129	13, 13, 120, 10, 10, 125, 127, 128	syl322anc 1395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
130	129	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
131		congmul 42266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ ∧ (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
132	52, 89, 89, 117, 94, 119, 130, 131	syl322anc 1395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
133	11	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
134	29	sqcld 14111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
135		1cnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
136	133, 134, 135	addsubd 11593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)))
137	8	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
138	137, 134	npcand 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) = ((2 · 𝐴) · 𝐾))
139	138	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
140	136, 139	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
141	140	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
142	141	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)))
143	28	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
144	143, 87	expcld 14113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
145	137	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
146		1cnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
147	144, 145, 146	subdid 11671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)))
148	5	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
149	148	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150	144, 149, 143	mul12d 11424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
151		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ)
152		expm1t 14058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
153	143, 151, 152	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
154	153	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
155	150, 154	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)))
156	144	mulridd 11232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
157	155, 156	oveq12d 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
158	142, 147, 157	3eqtrrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))))
159	158	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
160	132, 159	breqtrrd 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
161	160	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
162		congtr 42264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ) ∧ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
163	79, 97, 115, 161, 162	syl112anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
164		rmxluc 42235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 X_rm 𝑏)) − (𝐴 X_rm (𝑏 − 1))))
165	54, 56, 164	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 X_rm 𝑏)) − (𝐴 X_rm (𝑏 − 1))))
166		rmyluc 42236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))
167	54, 56, 166	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))
168	167	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1))) = ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))))
169	2	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
170	169	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
171	170, 143	subcld 11572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℂ)
172		2cn 12288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
173	63	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑏) ∈ ℂ)
174	54, 56, 173	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm 𝑏) ∈ ℂ)
175	174, 170	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ)
176		mulcl 11193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
177	172, 175, 176	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
178	73	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
179	54, 69, 178	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
180	171, 177, 179	subdid 11671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) = (((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))))
181		2cnd 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
182	181, 174, 170	mul12d 11424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴)) = ((𝐴 Y_rm 𝑏) · (2 · 𝐴)))
183	174, 149	mulcomd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))
184	182, 183	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))
185	184	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Y_rm 𝑏))))
186	171, 149, 174	mul12d 11424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))))
187	185, 186	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))))
188	187	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Y_rm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))))
189	168, 180, 188	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))))
190	165, 189	oveq12d 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 X_rm 𝑏)) − (𝐴 X_rm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))))
191	58	nn0cnd 12535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑏) ∈ ℂ)
192	54, 56, 191	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 X_rm 𝑏) ∈ ℂ)
193	149, 192	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 X_rm 𝑏)) ∈ ℂ)
194	70	nn0cnd 12535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
195	54, 69, 194	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
196	171, 174	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)) ∈ ℂ)
197	149, 196	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) ∈ ℂ)
198	171, 179	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))) ∈ ℂ)
199	193, 195, 197, 198	sub4d 11621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 X_rm 𝑏)) − (𝐴 X_rm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 X_rm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))))
200	149, 192, 196	subdid 11671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 X_rm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))))
201	200	eqcomd 2732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 X_rm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))))
202	201	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 X_rm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))))
203	190, 199, 202	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))))
204	143, 82	expp1d 14114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑𝑏) · 𝐾))
205		nncn 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
206	205	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
207		ax-1cn 11167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
208		npcan 11470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
209	206, 207, 208	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
210	209	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = (𝐾↑𝑏))
211	143, 87	expp1d 14114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
212	210, 211	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
213	212	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑𝑏) · 𝐾) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾))
214	144, 143, 143	mulassd 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)))
215	134	addlidd 11416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (0 + (𝐾↑2)) = (𝐾↑2))
216	29	sqvald 14110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
217	215, 216	eqtr2d 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
218	217	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
219	218	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
220	214, 219	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
221	204, 213, 220	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
222	203, 221	oveq12d 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
223	222	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))) − ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
224	163, 223	breqtrrd 5169	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
225	224	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
226	225	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
227	226	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
228	51, 227	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
229		oveq2 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 X_rm 𝑎) = (𝐴 X_rm 0))
230		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Y_rm 𝑎) = (𝐴 Y_rm 0))
231	230	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0)))
232	229, 231	oveq12d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) = ((𝐴 X_rm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0))))
233		oveq2 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑0))
234	232, 233	oveq12d 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 X_rm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0))) − (𝐾↑0)))
235	234	breq2d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0))) − (𝐾↑0))))
236	235	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 0))) − (𝐾↑0)))))
237		oveq2 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 X_rm 𝑎) = (𝐴 X_rm 1))
238		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Y_rm 𝑎) = (𝐴 Y_rm 1))
239	238	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1)))
240	237, 239	oveq12d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) = ((𝐴 X_rm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1))))
241		oveq2 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑1))
242	240, 241	oveq12d 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 X_rm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1))) − (𝐾↑1)))
243	242	breq2d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1))) − (𝐾↑1))))
244	243	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 1))) − (𝐾↑1)))))
245		oveq2 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 X_rm 𝑎) = (𝐴 X_rm (𝑏 − 1)))
246		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Y_rm 𝑎) = (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))
247	246	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1))))
248	245, 247	oveq12d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) = ((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))))
249		oveq2 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
250	248, 249	oveq12d 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
251	250	breq2d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
252	251	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))))
253		oveq2 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 X_rm 𝑎) = (𝐴 X_rm 𝑏))
254		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Y_rm 𝑎) = (𝐴 Y_rm 𝑏))
255	254	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏)))
256	253, 255	oveq12d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) = ((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))))
257		oveq2 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑𝑏))
258	256, 257	oveq12d 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))
259	258	breq2d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))))
260	259	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))))
261		oveq2 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 X_rm 𝑎) = (𝐴 X_rm (𝑏 + 1)))
262		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Y_rm 𝑎) = (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))
263	262	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1))))
264	261, 263	oveq12d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) = ((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))))
265		oveq2 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑(𝑏 + 1)))
266	264, 265	oveq12d 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
267	266	breq2d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
268	267	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
269		oveq2 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 X_rm 𝑎) = (𝐴 X_rm 𝑁))
270		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Y_rm 𝑎) = (𝐴 Y_rm 𝑁))
271	270	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
272	269, 271	oveq12d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
273		oveq2 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑𝑁))
274	272, 273	oveq12d 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 X_rm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))
275	274	breq2d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁))))
276	275	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))))
277	34, 50, 228, 236, 244, 252, 260, 268, 276	2nn0ind 42244	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁))))
278	277	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))
279	278	3impa 1107	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 class class class wbr 5141 ‘cfv 6536 (class class class)co 7404 ℂcc 11107 0cc0 11109 1c1 11110 + caddc 11112 · cmul 11114 − cmin 11445 ℕcn 12213 2c2 12268 ℕ₀cn0 12473 ℤcz 12559 ℤ_≥cuz 12823 ↑cexp 14029 ∥ cdvds 16201 X_rm crmx 42198 Y_rm crmy 42199

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 ax-addf 11188

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-of 7666 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8144 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-2o 8465 df-oadd 8468 df-omul 8469 df-er 8702 df-map 8821 df-pm 8822 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-fi 9405 df-sup 9436 df-inf 9437 df-oi 9504 df-card 9933 df-acn 9936 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-4 12278 df-5 12279 df-6 12280 df-7 12281 df-8 12282 df-9 12283 df-n0 12474 df-xnn0 12546 df-z 12560 df-dec 12679 df-uz 12824 df-q 12934 df-rp 12978 df-xneg 13095 df-xadd 13096 df-xmul 13097 df-ioo 13331 df-ioc 13332 df-ico 13333 df-icc 13334 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-fl 13760 df-mod 13838 df-seq 13970 df-exp 14030 df-fac 14236 df-bc 14265 df-hash 14293 df-shft 15017 df-cj 15049 df-re 15050 df-im 15051 df-sqrt 15185 df-abs 15186 df-limsup 15418 df-clim 15435 df-rlim 15436 df-sum 15636 df-ef 16014 df-sin 16016 df-cos 16017 df-pi 16019 df-dvds 16202 df-gcd 16440 df-numer 16677 df-denom 16678 df-struct 17086 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17151 df-ress 17180 df-plusg 17216 df-mulr 17217 df-starv 17218 df-sca 17219 df-vsca 17220 df-ip 17221 df-tset 17222 df-ple 17223 df-ds 17225 df-unif 17226 df-hom 17227 df-cco 17228 df-rest 17374 df-topn 17375 df-0g 17393 df-gsum 17394 df-topgen 17395 df-pt 17396 df-prds 17399 df-xrs 17454 df-qtop 17459 df-imas 17460 df-xps 17462 df-mre 17536 df-mrc 17537 df-acs 17539 df-mgm 18570 df-sgrp 18649 df-mnd 18665 df-submnd 18711 df-mulg 18993 df-cntz 19230 df-cmn 19699 df-psmet 21227 df-xmet 21228 df-met 21229 df-bl 21230 df-mopn 21231 df-fbas 21232 df-fg 21233 df-cnfld 21236 df-top 22746 df-topon 22763 df-topsp 22785 df-bases 22799 df-cld 22873 df-ntr 22874 df-cls 22875 df-nei 22952 df-lp 22990 df-perf 22991 df-cn 23081 df-cnp 23082 df-haus 23169 df-tx 23416 df-hmeo 23609 df-fil 23700 df-fm 23792 df-flim 23793 df-flf 23794 df-xms 24176 df-ms 24177 df-tms 24178 df-cncf 24748 df-limc 25745 df-dv 25746 df-log 26440 df-squarenn 42139 df-pell1qr 42140 df-pell14qr 42141 df-pell1234qr 42142 df-pellfund 42143 df-rmx 42200 df-rmy 42201

This theorem is referenced by: jm3.1 42319

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