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Theorem jm2.18 40513
Description: Theorem 2.18 of [JonesMatijasevic] p. 696. Direct relationship of the exponential function to X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))

Proof of Theorem jm2.18
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12209 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
2 eluzelz 12448 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
32adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 zmulcl 12226 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
51, 3, 4sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6 nn0z 12200 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
76adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
85, 7zmulcld 12288 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℤ)
9 zsqcl 13700 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
118, 10zsubcld 12287 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
12 peano2zm 12220 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
14 dvds0 15833 . . . . . 6 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
16 rmx0 40450 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
1716adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
18 rmy0 40454 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
1918adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
2019oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = ((𝐴𝐾) · 0))
213, 7zsubcld 12287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
2221zcnd 12283 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
2322mul01d 11031 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · 0) = 0)
2420, 23eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = 0)
2517, 24oveq12d 7231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 − 0))
26 1m0e1 11951 . . . . . . . 8 (1 − 0) = 1
2725, 26eqtrdi 2794 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = 1)
28 nn0cn 12100 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2928adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
3029exp0d 13710 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑0) = 1)
3127, 30oveq12d 7231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = (1 − 1))
32 1m1e0 11902 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
3331, 32eqtrdi 2794 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = 0)
3415, 33breqtrrd 5081 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
35 rmx1 40451 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
3635adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
37 rmy1 40455 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
3837adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
3938oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = ((𝐴𝐾) · 1))
4022mulid1d 10850 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · 1) = (𝐴𝐾))
4139, 40eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = (𝐴𝐾))
4236, 41oveq12d 7231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 − (𝐴𝐾)))
433zcnd 12283 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4443, 29nncand 11194 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴𝐾)) = 𝐾)
4542, 44eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = 𝐾)
4629exp1d 13711 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑1) = 𝐾)
4745, 46oveq12d 7231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = (𝐾𝐾))
4829subidd 11177 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾𝐾) = 0)
4947, 48eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = 0)
5015, 49breqtrrd 5081 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
51 pm3.43 477 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))))
5213adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
535adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
54 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
55 nnz 12199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
5655adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℤ)
57 frmx 40438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
5857fovcl 7338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
5954, 56, 58syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
6059nn0zd 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℤ)
6121adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
62 frmy 40439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
6362fovcl 7338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
6454, 56, 63syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
6561, 64zmulcld 12288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℤ)
6660, 65zsubcld 12287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ)
6753, 66zmulcld 12288 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ)
68 peano2zm 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
6956, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
7057fovcl 7338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
7154, 69, 70syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
7271nn0zd 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
7362fovcl 7338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
7454, 69, 73syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
7561, 74zmulcld 12288 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
7672, 75zsubcld 12287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ)
7767, 76zsubcld 12287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ)
7852, 77jca 515 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
7978adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
807adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
81 nnnn0 12097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
8281adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ0)
83 zexpcl 13650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑏) ∈ ℤ)
8480, 82, 83syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) ∈ ℤ)
8553, 84zmulcld 12288 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ)
86 nnm1nn0 12131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
8786adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
88 zexpcl 13650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
8980, 87, 88syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
9085, 89zsubcld 12287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
91 0z 12187 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
92 zaddcl 12217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
9391, 10, 92sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
9493adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
9589, 94zmulcld 12288 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ)
9690, 95jca 515 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
9796adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
9852, 67, 853jca 1130 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ))
9998adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ))
10076, 89jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
101100adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
10213, 5, 53jca 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
103102ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
10466, 84jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑏) ∈ ℤ))
105104adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑏) ∈ ℤ))
106 congid 40496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
10713, 5, 106syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
108107ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
109 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))
110 congmul 40492 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑏) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))))
111103, 105, 108, 109, 110syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))))
112111adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))))
113 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
114 congsub 40495 . . . . . . . . . . 11 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
11599, 101, 112, 113, 114syl112anc 1376 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
11613, 10zaddcld 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
117116adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
118 congid 40496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
11952, 89, 118syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
120 0zd 12188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
121 iddvds 15831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
12213, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
12313zcnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℂ)
124123subid1d 11178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) = ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
125122, 124breqtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0))
126 congid 40496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
12713, 10, 126syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
128 congadd 40491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
12913, 13, 120, 10, 10, 125, 127, 128syl322anc 1400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
130129adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
131 congmul 40492 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ ∧ (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
13252, 89, 89, 117, 94, 119, 130, 131syl322anc 1400 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
13311zcnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
13429sqcld 13714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
135 1cnd 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
136133, 134, 135addsubd 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)))
1378zcnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
138137, 134npcand 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) = ((2 · 𝐴) · 𝐾))
139138oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
140136, 139eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
141140adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
142141oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)))
14328ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
144143, 87expcld 13716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
145137adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
146 1cnd 10828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
147144, 145, 146subdid 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)))
1485zcnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
149148adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150144, 149, 143mul12d 11041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
151 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ)
152 expm1t 13663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
153143, 151, 152syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
154153oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
155150, 154eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)))
156144mulid1d 10850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
157155, 156oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
158142, 147, 1573eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))))
159158oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
160132, 159breqtrrd 5081 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
161160adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
162 congtr 40490 . . . . . . . . . 10 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ) ∧ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
16379, 97, 115, 161, 162syl112anc 1376 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
164 rmxluc 40461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
16554, 56, 164syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
166 rmyluc 40462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
16754, 56, 166syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
168167oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = ((𝐴𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
1692zcnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
170169ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
171170, 143subcld 11189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
172 2cn 11905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
17363zcnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
17454, 56, 173syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
175174, 170mulcld 10853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ)
176 mulcl 10813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
177172, 175, 176sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
17873zcnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
17954, 69, 178syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
180171, 177, 179subdid 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
181 2cnd 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
182181, 174, 170mul12d 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)))
183174, 149mulcomd 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
184182, 183eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
185184oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((𝐴𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
186171, 149, 174mul12d 11041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
187185, 186eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
188187oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
189168, 180, 1883eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
190165, 189oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
19158nn0cnd 12152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
19254, 56, 191syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
193149, 192mulcld 10853 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) ∈ ℂ)
19470nn0cnd 12152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
19554, 69, 194syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
196171, 174mulcld 10853 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℂ)
197149, 196mulcld 10853 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℂ)
198171, 179mulcld 10853 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℂ)
199193, 195, 197, 198sub4d 11238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
200149, 192, 196subdid 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
201200eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
202201oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
203190, 199, 2023eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
204143, 82expp1d 13717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾𝑏) · 𝐾))
205 nncn 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
206205adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
207 ax-1cn 10787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
208 npcan 11087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
209206, 207, 208sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
210209oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = (𝐾𝑏))
211143, 87expp1d 13717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
212210, 211eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
213212oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑏) · 𝐾) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾))
214144, 143, 143mulassd 10856 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)))
215134addid2d 11033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) = (𝐾↑2))
21629sqvald 13713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
217215, 216eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
218217adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
219218oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
220214, 219eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
221204, 213, 2203eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
222203, 221oveq12d 7231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
223222adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
224163, 223breqtrrd 5081 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
225224ex 416 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
226225expcom 417 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
227226a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
22851, 227syl5 34 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
229 oveq2 7221 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 0))
230 oveq2 7221 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
231230oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0)))
232229, 231oveq12d 7231 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))))
233 oveq2 7221 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝐾𝑎) = (𝐾↑0))
234232, 233oveq12d 7231 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
235234breq2d 5065 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0))))
236235imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))))
237 oveq2 7221 . . . . . . . 8 (𝑎 = 1 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 1))
238 oveq2 7221 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
239238oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑎 = 1 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1)))
240237, 239oveq12d 7231 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))))
241 oveq2 7221 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝐾𝑎) = (𝐾↑1))
242240, 241oveq12d 7231 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
243242breq2d 5065 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1))))
244243imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))))
245 oveq2 7221 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)))
246 oveq2 7221 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
247246oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
248245, 247oveq12d 7231 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
249 oveq2 7221 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐾𝑎) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
250248, 249oveq12d 7231 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
251250breq2d 5065 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
252251imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))))
253 oveq2 7221 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
254 oveq2 7221 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
255254oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
256253, 255oveq12d 7231 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
257 oveq2 7221 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐾𝑎) = (𝐾𝑏))
258256, 257oveq12d 7231 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))
259258breq2d 5065 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))))
260259imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))))
261 oveq2 7221 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
262 oveq2 7221 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
263262oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
264261, 263oveq12d 7231 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
265 oveq2 7221 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐾𝑎) = (𝐾↑(𝑏 + 1)))
266264, 265oveq12d 7231 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
267266breq2d 5065 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
268267imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
269 oveq2 7221 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
270 oveq2 7221 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
271270oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
272269, 271oveq12d 7231 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
273 oveq2 7221 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → (𝐾𝑎) = (𝐾𝑁))
274272, 273oveq12d 7231 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
275274breq2d 5065 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁))))
276275imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))))
27734, 50, 228, 236, 244, 252, 260, 268, 2762nn0ind 40470 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁))))
278277impcom 411 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
2792783impa 1112 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cmin 11062  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  cexp 13635  cdvds 15815   Xrm crmx 40425   Yrm crmy 40426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-numer 16291  df-denom 16292  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-squarenn 40366  df-pell1qr 40367  df-pell14qr 40368  df-pell1234qr 40369  df-pellfund 40370  df-rmx 40427  df-rmy 40428
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