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Theorem jm2.18 39083
Description: Theorem 2.18 of [JonesMatijasevic] p. 696. Direct relationship of the exponential function to X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))

Proof of Theorem jm2.18
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11864 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
2 eluzelz 12103 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
32adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 zmulcl 11881 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
51, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6 nn0z 11855 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
76adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
85, 7zmulcld 11943 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℤ)
9 zsqcl 13344 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
118, 10zsubcld 11942 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
12 peano2zm 11875 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
14 dvds0 15458 . . . . . 6 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
16 rmx0 39020 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
18 rmy0 39024 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
2019oveq2d 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = ((𝐴𝐾) · 0))
213, 7zsubcld 11942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
2221zcnd 11938 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
2322mul01d 10688 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · 0) = 0)
2420, 23eqtrd 2830 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = 0)
2517, 24oveq12d 7037 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 − 0))
26 1m0e1 11608 . . . . . . . 8 (1 − 0) = 1
2725, 26syl6eq 2846 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = 1)
28 nn0cn 11757 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2928adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
3029exp0d 13354 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑0) = 1)
3127, 30oveq12d 7037 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = (1 − 1))
32 1m1e0 11559 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
3331, 32syl6eq 2846 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = 0)
3415, 33breqtrrd 4992 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
35 rmx1 39021 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
37 rmy1 39025 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
3938oveq2d 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = ((𝐴𝐾) · 1))
4022mulid1d 10507 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · 1) = (𝐴𝐾))
4139, 40eqtrd 2830 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = (𝐴𝐾))
4236, 41oveq12d 7037 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 − (𝐴𝐾)))
433zcnd 11938 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4443, 29nncand 10852 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴𝐾)) = 𝐾)
4542, 44eqtrd 2830 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = 𝐾)
4629exp1d 13355 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑1) = 𝐾)
4745, 46oveq12d 7037 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = (𝐾𝐾))
4829subidd 10835 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾𝐾) = 0)
4947, 48eqtrd 2830 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = 0)
5015, 49breqtrrd 4992 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
51 pm3.43 474 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))))
5213adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
535adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
54 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
55 nnz 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℤ)
57 frmx 39008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
5857fovcl 7138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
5954, 56, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
6059nn0zd 11935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℤ)
6121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
62 frmy 39009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
6362fovcl 7138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
6454, 56, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
6561, 64zmulcld 11943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℤ)
6660, 65zsubcld 11942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ)
6753, 66zmulcld 11943 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ)
68 peano2zm 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
6956, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
7057fovcl 7138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
7154, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
7271nn0zd 11935 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
7362fovcl 7138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
7454, 69, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
7561, 74zmulcld 11943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
7672, 75zsubcld 11942 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ)
7767, 76zsubcld 11942 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ)
7852, 77jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
7978adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
807adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
81 nnnn0 11754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ0)
83 zexpcl 13294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑏) ∈ ℤ)
8480, 82, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) ∈ ℤ)
8553, 84zmulcld 11943 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ)
86 nnm1nn0 11788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
8786adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
88 zexpcl 13294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
8980, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
9085, 89zsubcld 11942 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
91 0z 11842 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
92 zaddcl 11872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
9391, 10, 92sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
9589, 94zmulcld 11943 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ)
9690, 95jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
9796adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
9852, 67, 853jca 1121 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ))
9998adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ))
10076, 89jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
101100adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
10213, 5, 53jca 1121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
103102ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
10466, 84jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑏) ∈ ℤ))
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑏) ∈ ℤ))
106 congid 39066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
10713, 5, 106syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
108107ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
109 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))
110 congmul 39062 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑏) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))))
111103, 105, 108, 109, 110syl112anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))))
112111adantrl 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))))
113 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
114 congsub 39065 . . . . . . . . . . 11 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
11599, 101, 112, 113, 114syl112anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
11613, 10zaddcld 11941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
117116adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
118 congid 39066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
11952, 89, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
120 0zd 11843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
121 iddvds 15456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
12213, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
12313zcnd 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℂ)
124123subid1d 10836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) = ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
125122, 124breqtrrd 4992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0))
126 congid 39066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
12713, 10, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
128 congadd 39061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
12913, 13, 120, 10, 10, 125, 127, 128syl322anc 1391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
130129adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
131 congmul 39062 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ ∧ (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
13252, 89, 89, 117, 94, 119, 130, 131syl322anc 1391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
13311zcnd 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
13429sqcld 13358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
135 1cnd 10485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
136133, 134, 135addsubd 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)))
1378zcnd 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
138137, 134npcand 10851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) = ((2 · 𝐴) · 𝐾))
139138oveq1d 7034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
140136, 139eqtr3d 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
141140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
142141oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)))
14328ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
144143, 87expcld 13360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
145137adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
146 1cnd 10485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
147144, 145, 146subdid 10946 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)))
1485zcnd 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
149148adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150144, 149, 143mul12d 10698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
151 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ)
152 expm1t 13307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
153143, 151, 152syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
154153oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
155150, 154eqtr4d 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)))
156144mulid1d 10507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
157155, 156oveq12d 7037 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
158142, 147, 1573eqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))))
159158oveq1d 7034 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
160132, 159breqtrrd 4992 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
161160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
162 congtr 39060 . . . . . . . . . 10 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ) ∧ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
16379, 97, 115, 161, 162syl112anc 1367 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
164 rmxluc 39031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
16554, 56, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
166 rmyluc 39032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
16754, 56, 166syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
168167oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = ((𝐴𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
1692zcnd 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
170169ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
171170, 143subcld 10847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
172 2cn 11562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
17363zcnd 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
17454, 56, 173syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
175174, 170mulcld 10510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ)
176 mulcl 10470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
177172, 175, 176sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
17873zcnd 11938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
17954, 69, 178syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
180171, 177, 179subdid 10946 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
181 2cnd 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
182181, 174, 170mul12d 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)))
183174, 149mulcomd 10511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
184182, 183eqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
185184oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((𝐴𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
186171, 149, 174mul12d 10698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
187185, 186eqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
188187oveq1d 7034 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
189168, 180, 1883eqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
190165, 189oveq12d 7037 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
19158nn0cnd 11807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
19254, 56, 191syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
193149, 192mulcld 10510 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) ∈ ℂ)
19470nn0cnd 11807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
19554, 69, 194syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
196171, 174mulcld 10510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℂ)
197149, 196mulcld 10510 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℂ)
198171, 179mulcld 10510 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℂ)
199193, 195, 197, 198sub4d 10896 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
200149, 192, 196subdid 10946 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
201200eqcomd 2800 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
202201oveq1d 7034 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
203190, 199, 2023eqtrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
204143, 82expp1d 13361 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾𝑏) · 𝐾))
205 nncn 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
206205adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
207 ax-1cn 10444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
208 npcan 10745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
209206, 207, 208sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
210209oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = (𝐾𝑏))
211143, 87expp1d 13361 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
212210, 211eqtr3d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
213212oveq1d 7034 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑏) · 𝐾) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾))
214144, 143, 143mulassd 10513 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)))
215134addid2d 10690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) = (𝐾↑2))
21629sqvald 13357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
217215, 216eqtr2d 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
218217adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
219218oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
220214, 219eqtrd 2830 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
221204, 213, 2203eqtrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
222203, 221oveq12d 7037 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
223222adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
224163, 223breqtrrd 4992 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
225224ex 413 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
226225expcom 414 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
227226a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
22851, 227syl5 34 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
229 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 0))
230 oveq2 7027 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
231230oveq2d 7035 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0)))
232229, 231oveq12d 7037 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))))
233 oveq2 7027 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝐾𝑎) = (𝐾↑0))
234232, 233oveq12d 7037 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
235234breq2d 4976 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0))))
236235imbi2d 342 . . . 4 (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))))
237 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑎 = 1 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 1))
238 oveq2 7027 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
239238oveq2d 7035 . . . . . . . 8 (𝑎 = 1 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1)))
240237, 239oveq12d 7037 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))))
241 oveq2 7027 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝐾𝑎) = (𝐾↑1))
242240, 241oveq12d 7037 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
243242breq2d 4976 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1))))
244243imbi2d 342 . . . 4 (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))))
245 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)))
246 oveq2 7027 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
247246oveq2d 7035 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
248245, 247oveq12d 7037 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
249 oveq2 7027 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐾𝑎) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
250248, 249oveq12d 7037 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
251250breq2d 4976 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
252251imbi2d 342 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))))
253 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
254 oveq2 7027 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
255254oveq2d 7035 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
256253, 255oveq12d 7037 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
257 oveq2 7027 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐾𝑎) = (𝐾𝑏))
258256, 257oveq12d 7037 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))
259258breq2d 4976 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))))
260259imbi2d 342 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))))
261 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
262 oveq2 7027 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
263262oveq2d 7035 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
264261, 263oveq12d 7037 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
265 oveq2 7027 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐾𝑎) = (𝐾↑(𝑏 + 1)))
266264, 265oveq12d 7037 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
267266breq2d 4976 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
268267imbi2d 342 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
269 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
270 oveq2 7027 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
271270oveq2d 7035 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
272269, 271oveq12d 7037 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
273 oveq2 7027 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → (𝐾𝑎) = (𝐾𝑁))
274272, 273oveq12d 7037 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
275274breq2d 4976 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁))))
276275imbi2d 342 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))))
27734, 50, 228, 236, 244, 252, 260, 268, 2762nn0ind 39040 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁))))
278277impcom 408 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
2792783impa 1103 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2080   class class class wbr 4964  cfv 6228  (class class class)co 7019  cc 10384  0cc0 10386  1c1 10387   + caddc 10389   · cmul 10391  cmin 10719  cn 11488  2c2 11542  0cn0 11747  cz 11831  cuz 12093  cexp 13279  cdvds 15440   Xrm crmx 38995   Yrm crmy 38996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464  ax-addf 10465  ax-mulf 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-oadd 7960  df-omul 7961  df-er 8142  df-map 8261  df-pm 8262  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-fi 8724  df-sup 8755  df-inf 8756  df-oi 8823  df-card 9217  df-acn 9220  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-xnn0 11818  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-numer 15904  df-denom 15905  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821  df-squarenn 38936  df-pell1qr 38937  df-pell14qr 38938  df-pell1234qr 38939  df-pellfund 38940  df-rmx 38997  df-rmy 38998
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