Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.18 41355
Description: Theorem 2.18 of [JonesMatijasevic] p. 696. Direct relationship of the exponential function to X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁)))

Proof of Theorem jm2.18
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12540 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
2 eluzelz 12778 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
32adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4 zmulcl 12557 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€)
51, 3, 4sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€)
6 nn0z 12529 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
76adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
85, 7zmulcld 12618 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) ∈ β„€)
9 zsqcl 14040 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„€ β†’ (𝐾↑2) ∈ β„€)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑2) ∈ β„€)
118, 10zsubcld 12617 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) ∈ β„€)
12 peano2zm 12551 . . . . . . 7 ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) ∈ β„€ β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
14 dvds0 16159 . . . . . 6 (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ 0)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ 0)
16 rmx0 41292 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm 0) = 1)
1716adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 0) = 1)
18 rmy0 41296 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
1918adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
2019oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· 0))
213, 7zsubcld 12617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
2221zcnd 12613 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ β„‚)
2322mul01d 11359 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· 0) = 0)
2420, 23eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0)) = 0)
2517, 24oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) = (1 βˆ’ 0))
26 1m0e1 12279 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 0) = 1
2725, 26eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) = 1)
28 nn0cn 12428 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
2928adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
3029exp0d 14051 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑0) = 1)
3127, 30oveq12d 7376 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0)) = (1 βˆ’ 1))
32 1m1e0 12230 . . . . . 6 (1 βˆ’ 1) = 0
3331, 32eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0)) = 0)
3415, 33breqtrrd 5134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0)))
35 rmx1 41293 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
37 rmy1 41297 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
3938oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· 1))
4022mulid1d 11177 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· 1) = (𝐴 βˆ’ 𝐾))
4139, 40eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1)) = (𝐴 βˆ’ 𝐾))
4236, 41oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐾)))
433zcnd 12613 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4443, 29nncand 11522 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐾)) = 𝐾)
4542, 44eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) = 𝐾)
4629exp1d 14052 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑1) = 𝐾)
4745, 46oveq12d 7376 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1)) = (𝐾 βˆ’ 𝐾))
4829subidd 11505 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐾) = 0)
4947, 48eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1)) = 0)
5015, 49breqtrrd 5134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1)))
51 pm3.43 475 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))))
5213adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
535adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€)
54 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
55 nnz 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„€)
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
57 frmx 41280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
5857fovcl 7485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
5954, 56, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
6059nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„€)
6121adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
62 frmy 41281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
6362fovcl 7485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
6454, 56, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
6561, 64zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ β„€)
6660, 65zsubcld 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ β„€)
6753, 66zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ β„€)
68 peano2zm 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ β„€ β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
6956, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
7057fovcl 7485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
7154, 69, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
7271nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
7362fovcl 7485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
7454, 69, 73syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
7561, 74zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
7672, 75zsubcld 12617 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
7767, 76zsubcld 12617 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) ∈ β„€)
7852, 77jca 513 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) ∈ β„€))
7978adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) ∈ β„€))
807adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
81 nnnn0 12425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
8281adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
83 zexpcl 13988 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑𝑏) ∈ β„€)
8480, 82, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑𝑏) ∈ β„€)
8553, 84zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) ∈ β„€)
86 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
8786adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
88 zexpcl 13988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
8980, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
9085, 89zsubcld 12617 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
91 0z 12515 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„€
92 zaddcl 12548 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ β„€ ∧ (𝐾↑2) ∈ β„€) β†’ (0 + (𝐾↑2)) ∈ β„€)
9391, 10, 92sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (0 + (𝐾↑2)) ∈ β„€)
9493adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (0 + (𝐾↑2)) ∈ β„€)
9589, 94zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))) ∈ β„€)
9690, 95jca 513 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„€ ∧ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))) ∈ β„€))
9796adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„€ ∧ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))) ∈ β„€))
9852, 67, 853jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) ∈ β„€))
9998adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) ∈ β„€))
10076, 89jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€))
101100adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€))
10213, 5, 53jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€))
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€))
10466, 84jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ β„€))
105104adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ β„€))
106 congid 41338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ (2 Β· 𝐴)))
10713, 5, 106syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ (2 Β· 𝐴)))
108107ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ (2 Β· 𝐴)))
109 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))
110 congmul 41334 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝐴) ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ β„€) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏))))
111103, 105, 108, 109, 110syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏))))
112111adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏))))
113 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))
114 congsub 41337 . . . . . . . . . . 11 (((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))))
11599, 101, 112, 113, 114syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))))
11613, 10zaddcld 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) ∈ β„€)
117116adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) ∈ β„€)
118 congid 41338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))
11952, 89, 118syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))
120 0zd 12516 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„€)
121 iddvds 16157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1))
12213, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1))
12313zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
124123subid1d 11506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ’ 0) = ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1))
125122, 124breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ’ 0))
126 congid 41338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑2) ∈ β„€) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑2) βˆ’ (𝐾↑2)))
12713, 10, 126syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑2) βˆ’ (𝐾↑2)))
128 congadd 41333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) ∧ ((𝐾↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑2) ∈ β„€) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ’ 0) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑2) βˆ’ (𝐾↑2)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) βˆ’ (0 + (𝐾↑2))))
12913, 13, 120, 10, 10, 125, 127, 128syl322anc 1399 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) βˆ’ (0 + (𝐾↑2))))
130129adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) βˆ’ (0 + (𝐾↑2))))
131 congmul 41334 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€) ∧ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) ∈ β„€ ∧ (0 + (𝐾↑2)) ∈ β„€) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) βˆ’ (0 + (𝐾↑2))))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
13252, 89, 89, 117, 94, 119, 130, 131syl322anc 1399 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
13311zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) ∈ β„‚)
13429sqcld 14055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑2) ∈ β„‚)
135 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
136133, 134, 135addsubd 11538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) βˆ’ 1) = (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)))
1378zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) ∈ β„‚)
138137, 134npcand 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) = ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾))
139138oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) βˆ’ 1) = (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ 1))
140136, 139eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) = (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ 1))
141140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2)) = (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ 1))
142141oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2))) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ 1)))
14328ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
144143, 87expcld 14057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
145137adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) ∈ β„‚)
146 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
147144, 145, 146subdid 11616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ 1)) = (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾)) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 1)))
1485zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
149148adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
150144, 149, 143mul12d 11369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾)) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾)))
151 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„•)
152 expm1t 14002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾))
153143, 151, 152syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾))
154153oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾)))
155150, 154eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾)) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)))
156144mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 1) = (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))
157155, 156oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾)) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))
158142, 147, 1573eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2))))
159158oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))) = (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) + (𝐾↑2))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
160132, 159breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
161160adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
162 congtr 41332 . . . . . . . . . 10 (((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) ∈ β„€) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„€ ∧ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))) ∈ β„€) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐾↑𝑏)) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
16379, 97, 115, 161, 162syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
164 rmxluc 41303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1))))
16554, 56, 164syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1))))
166 rmyluc 41304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
16754, 56, 166syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
168167oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
1692zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
170169ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
171170, 143subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ β„‚)
172 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ β„‚
17363zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„‚)
17454, 56, 173syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„‚)
175174, 170mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„‚)
176 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
177172, 175, 176sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
17873zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
17954, 69, 178syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
180171, 177, 179subdid 11616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) = (((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
181 2cnd 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
182181, 174, 170mul12d 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· (2 Β· 𝐴)))
183174, 149mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· (2 Β· 𝐴)) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))
184182, 183eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))
185184oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴))) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
186171, 149, 174mul12d 11369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
187185, 186eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴))) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
188187oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) = (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
189168, 180, 1883eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
190165, 189oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
19158nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„‚)
19254, 56, 191syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„‚)
193149, 192mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) ∈ β„‚)
19470nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
19554, 69, 194syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
196171, 174mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ β„‚)
197149, 196mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ β„‚)
198171, 179mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
199193, 195, 197, 198sub4d 11566 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) = ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
200149, 192, 196subdid 11616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))))
201200eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))))
202201oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑏)) βˆ’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) = (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
203190, 199, 2023eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = (((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
204143, 82expp1d 14058 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑𝑏) Β· 𝐾))
205 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
206205adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
207 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
208 npcan 11415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑏 βˆ’ 1) + 1) = 𝑏)
209206, 207, 208sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝑏 βˆ’ 1) + 1) = 𝑏)
210209oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑((𝑏 βˆ’ 1) + 1)) = (𝐾↑𝑏))
211143, 87expp1d 14058 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑((𝑏 βˆ’ 1) + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾))
212210, 211eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾))
213212oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑𝑏) Β· 𝐾) = (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾) Β· 𝐾))
214144, 143, 143mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾) Β· 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (𝐾 Β· 𝐾)))
215134addid2d 11361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (0 + (𝐾↑2)) = (𝐾↑2))
21629sqvald 14054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑2) = (𝐾 Β· 𝐾))
217215, 216eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 Β· 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
218217adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾 Β· 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
219218oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (𝐾 Β· 𝐾)) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))))
220214, 219eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· 𝐾) Β· 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))))
221204, 213, 2203eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2))))
222203, 221oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
223222adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 Β· 𝐴) Β· ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))) βˆ’ ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) βˆ’ ((𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)) Β· (0 + (𝐾↑2)))))
224163, 223breqtrrd 5134 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))
225224ex 414 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
226225expcom 415 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
227226a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))) ∧ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
22851, 227syl5 34 . . . 4 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
229 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 0))
230 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 0))
231230oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0)))
232229, 231oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))))
233 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑0))
234232, 233oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0)))
235234breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0))))
236235imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 0) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 0))) βˆ’ (𝐾↑0)))))
237 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 1))
238 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 1))
239238oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1)))
240237, 239oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))))
241 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑1))
242240, 241oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1)))
243242breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1))))
244243imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 1) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 1))) βˆ’ (𝐾↑1)))))
245 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)))
246 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
247246oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
248245, 247oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
249 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))
250248, 249oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))
251250breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1)))))
252251imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 βˆ’ 1))))))
253 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑏))
254 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑏))
255254oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))
256253, 255oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
257 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑𝑏))
258256, 257oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))
259258breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏))))
260259imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑏) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))) βˆ’ (𝐾↑𝑏)))))
261 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
262 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
263262oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
264261, 263oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
265 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑(𝑏 + 1)))
266264, 265oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))
267266breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
268267imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) βˆ’ (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
269 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑁))
270 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑁))
271270oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
272269, 271oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
273 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (πΎβ†‘π‘Ž) = (𝐾↑𝑁))
274272, 273oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁)))
275274breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž)) ↔ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁))))
276275imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm π‘Ž) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm π‘Ž))) βˆ’ (πΎβ†‘π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁)))))
27734, 50, 228, 236, 244, 252, 260, 268, 2762nn0ind 41312 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁))))
278277impcom 409 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁)))
2792783impa 1111 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· 𝐾) βˆ’ (𝐾↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ (𝐾↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β†‘cexp 13973   βˆ₯ cdvds 16141   Xrm crmx 41266   Yrm crmy 41267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-numer 16615  df-denom 16616  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-squarenn 41207  df-pell1qr 41208  df-pell14qr 41209  df-pell1234qr 41210  df-pellfund 41211  df-rmx 41268  df-rmy 41269
This theorem is referenced by:  jm3.1  41387
  Copyright terms: Public domain W3C validator