Theorem jm2.18 39083

Description: Theorem 2.18 of [JonesMatijasevic] p. 696. Direct relationship of the exponential function to X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.18	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))

Proof of Theorem jm2.18

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11864	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		eluzelz 12103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zmulcl 11881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6		nn0z 11855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	5, 7	zmulcld 11943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℤ)
9		zsqcl 13344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
11	8, 10	zsubcld 11942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
12		peano2zm 11875	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
14		dvds0 15458	. . . . . 6 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
16		rmx0 39020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
18		rmy0 39024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
20	19	oveq2d 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = ((𝐴 − 𝐾) · 0))
21	3, 7	zsubcld 11942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
22	21	zcnd 11938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℂ)
23	22	mul01d 10688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · 0) = 0)
24	20, 23	eqtrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = 0)
25	17, 24	oveq12d 7037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 − 0))
26		1m0e1 11608	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 0) = 1
27	25, 26	syl6eq 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = 1)
28		nn0cn 11757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
30	29	exp0d 13354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑0) = 1)
31	27, 30	oveq12d 7037	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = (1 − 1))
32		1m1e0 11559	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
33	31, 32	syl6eq 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = 0)
34	15, 33	breqtrrd 4992	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
35		rmx1 39021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
37		rmy1 39025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
39	38	oveq2d 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = ((𝐴 − 𝐾) · 1))
40	22	mulid1d 10507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · 1) = (𝐴 − 𝐾))
41	39, 40	eqtrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = (𝐴 − 𝐾))
42	36, 41	oveq12d 7037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)))
43	3	zcnd 11938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	43, 29	nncand 10852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
45	42, 44	eqtrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = 𝐾)
46	29	exp1d 13355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑1) = 𝐾)
47	45, 46	oveq12d 7037	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = (𝐾 − 𝐾))
48	29	subidd 10835	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 𝐾) = 0)
49	47, 48	eqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = 0)
50	15, 49	breqtrrd 4992	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
51		pm3.43 474	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))))
52	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
53	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
54		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
55		nnz 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℤ)
57		frmx 39008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
58	57	fovcl 7138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
59	54, 56, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
60	59	nn0zd 11935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℤ)
61	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
62		frmy 39009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
63	62	fovcl 7138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
64	54, 56, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
65	61, 64	zmulcld 11943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℤ)
66	60, 65	zsubcld 11942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ)
67	53, 66	zmulcld 11943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ)
68		peano2zm 11875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
69	56, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
70	57	fovcl 7138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
71	54, 69, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
72	71	nn0zd 11935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
73	62	fovcl 7138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
74	54, 69, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
75	61, 74	zmulcld 11943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
76	72, 75	zsubcld 11942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ)
77	67, 76	zsubcld 11942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ)
78	52, 77	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
80	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
81		nnnn0 11754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ0)
83		zexpcl 13294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ)
84	80, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ)
85	53, 84	zmulcld 11943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ)
86		nnm1nn0 11788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
88		zexpcl 13294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
89	80, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
90	85, 89	zsubcld 11942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
91		0z 11842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
92		zaddcl 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
93	91, 10, 92	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
95	89, 94	zmulcld 11943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ)
96	90, 95	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
98	52, 67, 85	3jca 1121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ))
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ))
100	76, 89	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
102	13, 5, 5	3jca 1121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
103	102	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
104	66, 84	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ))
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ))
106		congid 39066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
107	13, 5, 106	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
108	107	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
109		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))
110		congmul 39062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
111	103, 105, 108, 109, 110	syl112anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
112	111	adantrl 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
113		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
114		congsub 39065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
115	99, 101, 112, 113, 114	syl112anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
116	13, 10	zaddcld 11941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
118		congid 39066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
119	52, 89, 118	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
120		0zd 11843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
121		iddvds 15456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
122	13, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
123	13	zcnd 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℂ)
124	123	subid1d 10836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) = ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
125	122, 124	breqtrrd 4992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0))
126		congid 39066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
127	13, 10, 126	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
128		congadd 39061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
129	13, 13, 120, 10, 10, 125, 127, 128	syl322anc 1391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
131		congmul 39062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ ∧ (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
132	52, 89, 89, 117, 94, 119, 130, 131	syl322anc 1391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
133	11	zcnd 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
134	29	sqcld 13358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
135		1cnd 10485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
136	133, 134, 135	addsubd 10868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)))
137	8	zcnd 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
138	137, 134	npcand 10851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) = ((2 · 𝐴) · 𝐾))
139	138	oveq1d 7034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
140	136, 139	eqtr3d 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
142	141	oveq2d 7035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)))
143	28	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
144	143, 87	expcld 13360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
145	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
146		1cnd 10485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
147	144, 145, 146	subdid 10946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)))
148	5	zcnd 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150	144, 149, 143	mul12d 10698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
151		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ)
152		expm1t 13307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
153	143, 151, 152	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
154	153	oveq2d 7035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
155	150, 154	eqtr4d 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)))
156	144	mulid1d 10507	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
157	155, 156	oveq12d 7037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
158	142, 147, 157	3eqtrrd 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))))
159	158	oveq1d 7034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
160	132, 159	breqtrrd 4992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
161	160	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
162		congtr 39060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ) ∧ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
163	79, 97, 115, 161, 162	syl112anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
164		rmxluc 39031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
165	54, 56, 164	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
166		rmyluc 39032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
167	54, 56, 166	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
168	167	oveq2d 7035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
169	2	zcnd 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
170	169	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
171	170, 143	subcld 10847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℂ)
172		2cn 11562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
173	63	zcnd 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
174	54, 56, 173	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
175	174, 170	mulcld 10510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ)
176		mulcl 10470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
177	172, 175, 176	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
178	73	zcnd 11938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
179	54, 69, 178	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
180	171, 177, 179	subdid 10946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
181		2cnd 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
182	181, 174, 170	mul12d 10698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)))
183	174, 149	mulcomd 10511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
184	182, 183	eqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
185	184	oveq2d 7035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
186	171, 149, 174	mul12d 10698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
187	185, 186	eqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
188	187	oveq1d 7034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
189	168, 180, 188	3eqtrd 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
190	165, 189	oveq12d 7037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
191	58	nn0cnd 11807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
192	54, 56, 191	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
193	149, 192	mulcld 10510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) ∈ ℂ)
194	70	nn0cnd 11807	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
195	54, 69, 194	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
196	171, 174	mulcld 10510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℂ)
197	149, 196	mulcld 10510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℂ)
198	171, 179	mulcld 10510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℂ)
199	193, 195, 197, 198	sub4d 10896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
200	149, 192, 196	subdid 10946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
201	200	eqcomd 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
202	201	oveq1d 7034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
203	190, 199, 202	3eqtrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
204	143, 82	expp1d 13361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑𝑏) · 𝐾))
205		nncn 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
206	205	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
207		ax-1cn 10444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
208		npcan 10745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
209	206, 207, 208	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
210	209	oveq2d 7035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = (𝐾↑𝑏))
211	143, 87	expp1d 13361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
212	210, 211	eqtr3d 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
213	212	oveq1d 7034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑𝑏) · 𝐾) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾))
214	144, 143, 143	mulassd 10513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)))
215	134	addid2d 10690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) = (𝐾↑2))
216	29	sqvald 13357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
217	215, 216	eqtr2d 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
218	217	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
219	218	oveq2d 7035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
220	214, 219	eqtrd 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
221	204, 213, 220	3eqtrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
222	203, 221	oveq12d 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
223	222	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
224	163, 223	breqtrrd 4992	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
225	224	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
226	225	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
227	226	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
228	51, 227	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
229		oveq2 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 0))
230		oveq2 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
231	230	oveq2d 7035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0)))
232	229, 231	oveq12d 7037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))))
233		oveq2 7027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑0))
234	232, 233	oveq12d 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
235	234	breq2d 4976	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0))))
236	235	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))))
237		oveq2 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 1))
238		oveq2 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
239	238	oveq2d 7035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1)))
240	237, 239	oveq12d 7037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))))
241		oveq2 7027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑1))
242	240, 241	oveq12d 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
243	242	breq2d 4976	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1))))
244	243	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))))
245		oveq2 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)))
246		oveq2 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
247	246	oveq2d 7035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
248	245, 247	oveq12d 7037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
249		oveq2 7027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
250	248, 249	oveq12d 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
251	250	breq2d 4976	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
252	251	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))))
253		oveq2 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
254		oveq2 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
255	254	oveq2d 7035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
256	253, 255	oveq12d 7037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
257		oveq2 7027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑𝑏))
258	256, 257	oveq12d 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))
259	258	breq2d 4976	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))))
260	259	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))))
261		oveq2 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
262		oveq2 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
263	262	oveq2d 7035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
264	261, 263	oveq12d 7037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
265		oveq2 7027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑(𝑏 + 1)))
266	264, 265	oveq12d 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
267	266	breq2d 4976	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
268	267	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
269		oveq2 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
270		oveq2 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
271	270	oveq2d 7035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
272	269, 271	oveq12d 7037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
273		oveq2 7027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑𝑁))
274	272, 273	oveq12d 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))
275	274	breq2d 4976	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁))))
276	275	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))))
277	34, 50, 228, 236, 244, 252, 260, 268, 276	2nn0ind 39040	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁))))
278	277	impcom 408	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))
279	278	3impa 1103	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   class class class wbr 4964  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  ℂcc 10384  0cc0 10386  1c1 10387   + caddc 10389   · cmul 10391   − cmin 10719  ℕcn 11488  2c2 11542  ℕ₀cn0 11747  ℤcz 11831  ℤ_≥cuz 12093  ↑cexp 13279   ∥ cdvds 15440   X_rm crmx 38995   Y_rm crmy 38996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464  ax-addf 10465  ax-mulf 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-oadd 7960  df-omul 7961  df-er 8142  df-map 8261  df-pm 8262  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-fi 8724  df-sup 8755  df-inf 8756  df-oi 8823  df-card 9217  df-acn 9220  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-xnn0 11818  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-numer 15904  df-denom 15905  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821  df-squarenn 38936  df-pell1qr 38937  df-pell14qr 38938  df-pell1234qr 38939  df-pellfund 38940  df-rmx 38997  df-rmy 38998

This theorem is referenced by:  jm3.1  39115