Theorem jm2.18 42981

Description: Theorem 2.18 of [JonesMatijasevic] p. 696. Direct relationship of the exponential function to X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.18	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))

Proof of Theorem jm2.18

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		eluzelz 12764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zmulcl 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6		nn0z 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	5, 7	zmulcld 12605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℤ)
9		zsqcl 14055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
11	8, 10	zsubcld 12604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
12		peano2zm 12537	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
14		dvds0 16201	. . . . . 6 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
16		rmx0 42918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
18		rmy0 42922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
20	19	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = ((𝐴 − 𝐾) · 0))
21	3, 7	zsubcld 12604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℂ)
23	22	mul01d 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · 0) = 0)
24	20, 23	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = 0)
25	17, 24	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 − 0))
26		1m0e1 12263	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 0) = 1
27	25, 26	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = 1)
28		nn0cn 12413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
30	29	exp0d 14066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑0) = 1)
31	27, 30	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = (1 − 1))
32		1m1e0 12219	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
33	31, 32	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = 0)
34	15, 33	breqtrrd 5123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
35		rmx1 42919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
37		rmy1 42923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
39	38	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = ((𝐴 − 𝐾) · 1))
40	22	mulridd 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · 1) = (𝐴 − 𝐾))
41	39, 40	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = (𝐴 − 𝐾))
42	36, 41	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)))
43	3	zcnd 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	43, 29	nncand 11499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
45	42, 44	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = 𝐾)
46	29	exp1d 14067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑1) = 𝐾)
47	45, 46	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = (𝐾 − 𝐾))
48	29	subidd 11482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 𝐾) = 0)
49	47, 48	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = 0)
50	15, 49	breqtrrd 5123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
51		pm3.43 473	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))))
52	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
53	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
54		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
55		nnz 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℤ)
57		frmx 42906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
58	57	fovcl 7481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
59	54, 56, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
60	59	nn0zd 12516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℤ)
61	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
62		frmy 42907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
63	62	fovcl 7481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
64	54, 56, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
65	61, 64	zmulcld 12605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℤ)
66	60, 65	zsubcld 12604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ)
67	53, 66	zmulcld 12605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ)
68		peano2zm 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
69	56, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
70	57	fovcl 7481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
71	54, 69, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
72	71	nn0zd 12516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
73	62	fovcl 7481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
74	54, 69, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
75	61, 74	zmulcld 12605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
76	72, 75	zsubcld 12604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ)
77	67, 76	zsubcld 12604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ)
78	52, 77	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
80	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
81		nnnn0 12410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ0)
83		zexpcl 14002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ)
84	80, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ)
85	53, 84	zmulcld 12605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ)
86		nnm1nn0 12444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
88		zexpcl 14002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
89	80, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
90	85, 89	zsubcld 12604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
91		0z 12501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
92		zaddcl 12534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
93	91, 10, 92	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
95	89, 94	zmulcld 12605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ)
96	90, 95	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
98	52, 67, 85	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ))
100	76, 89	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
102	13, 5, 5	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
103	102	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
104	66, 84	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ))
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ))
106		congid 42964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
107	13, 5, 106	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
108	107	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
109		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))
110		congmul 42960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑏) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
111	103, 105, 108, 109, 110	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
112	111	adantrl 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))))
113		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
114		congsub 42963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
115	99, 101, 112, 113, 114	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
116	13, 10	zaddcld 12603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
118		congid 42964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
119	52, 89, 118	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
120		0zd 12502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
121		iddvds 16199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
122	13, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
123	13	zcnd 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℂ)
124	123	subid1d 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) = ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
125	122, 124	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0))
126		congid 42964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
127	13, 10, 126	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
128		congadd 42959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
129	13, 13, 120, 10, 10, 125, 127, 128	syl322anc 1400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
130	129	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
131		congmul 42960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ ∧ (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
132	52, 89, 89, 117, 94, 119, 130, 131	syl322anc 1400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
133	11	zcnd 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
134	29	sqcld 14070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
135		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
136	133, 134, 135	addsubd 11515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)))
137	8	zcnd 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
138	137, 134	npcand 11498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) = ((2 · 𝐴) · 𝐾))
139	138	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
140	136, 139	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
141	140	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
142	141	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)))
143	28	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
144	143, 87	expcld 14072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
145	137	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
146		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
147	144, 145, 146	subdid 11595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)))
148	5	zcnd 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
149	148	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150	144, 149, 143	mul12d 11344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
151		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ)
152		expm1t 14016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
153	143, 151, 152	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
154	153	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
155	150, 154	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)))
156	144	mulridd 11151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
157	155, 156	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
158	142, 147, 157	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))))
159	158	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
160	132, 159	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
161	160	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
162		congtr 42958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ) ∧ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾↑𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
163	79, 97, 115, 161, 162	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
164		rmxluc 42929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
165	54, 56, 164	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
166		rmyluc 42930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
167	54, 56, 166	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
168	167	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
169	2	zcnd 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
170	169	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
171	170, 143	subcld 11494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℂ)
172		2cn 12222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
173	63	zcnd 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
174	54, 56, 173	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
175	174, 170	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ)
176		mulcl 11112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
177	172, 175, 176	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
178	73	zcnd 12600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
179	54, 69, 178	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
180	171, 177, 179	subdid 11595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
181		2cnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
182	181, 174, 170	mul12d 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)))
183	174, 149	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
184	182, 183	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
185	184	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
186	171, 149, 174	mul12d 11344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
187	185, 186	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
188	187	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
189	168, 180, 188	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
190	165, 189	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
191	58	nn0cnd 12466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
192	54, 56, 191	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
193	149, 192	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) ∈ ℂ)
194	70	nn0cnd 12466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
195	54, 69, 194	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
196	171, 174	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℂ)
197	149, 196	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℂ)
198	171, 179	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℂ)
199	193, 195, 197, 198	sub4d 11543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
200	149, 192, 196	subdid 11595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
201	200	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
202	201	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
203	190, 199, 202	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
204	143, 82	expp1d 14073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑𝑏) · 𝐾))
205		nncn 12155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
206	205	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
207		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
208		npcan 11391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
209	206, 207, 208	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
210	209	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = (𝐾↑𝑏))
211	143, 87	expp1d 14073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
212	210, 211	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
213	212	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑𝑏) · 𝐾) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾))
214	144, 143, 143	mulassd 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)))
215	134	addlidd 11336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) = (𝐾↑2))
216	29	sqvald 14069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
217	215, 216	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
218	217	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
219	218	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
220	214, 219	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
221	204, 213, 220	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
222	203, 221	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
223	222	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
224	163, 223	breqtrrd 5123	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
225	224	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
226	225	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
227	226	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
228	51, 227	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
229		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 0))
230		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
231	230	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0)))
232	229, 231	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))))
233		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑0))
234	232, 233	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
235	234	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0))))
236	235	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))))
237		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 1))
238		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
239	238	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1)))
240	237, 239	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))))
241		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑1))
242	240, 241	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
243	242	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1))))
244	243	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))))
245		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)))
246		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
247	246	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
248	245, 247	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
249		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
250	248, 249	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
251	250	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
252	251	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))))
253		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
254		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
255	254	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
256	253, 255	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
257		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑𝑏))
258	256, 257	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))
259	258	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏))))
260	259	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾↑𝑏)))))
261		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
262		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
263	262	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
264	261, 263	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
265		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑(𝑏 + 1)))
266	264, 265	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
267	266	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
268	267	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
269		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
270		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
271	270	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
272	269, 271	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
273		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐾↑𝑎) = (𝐾↑𝑁))
274	272, 273	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))
275	274	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁))))
276	275	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾↑𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))))
277	34, 50, 228, 236, 244, 252, 260, 268, 276	2nn0ind 42938	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁))))
278	277	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))
279	278	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  ℕcn 12147  2c2 12202  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12754  ↑cexp 13987   ∥ cdvds 16182   X_rm crmx 42893   Y_rm crmy 42894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ioc 13272  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-fac 14200  df-bc 14229  df-hash 14257  df-shft 14993  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-dvds 16183  df-gcd 16425  df-numer 16665  df-denom 16666  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-lp 23040  df-perf 23041  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-haus 23219  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24788  df-limc 25784  df-dv 25785  df-log 26482  df-squarenn 42834  df-pell1qr 42835  df-pell14qr 42836  df-pell1234qr 42837  df-pellfund 42838  df-rmx 42895  df-rmy 42896

This theorem is referenced by:  jm3.1  43013