Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27c 42459
Description: Lemma for jm2.27 42460. Forward direction with substitutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
jm2.27a2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
jm2.27a3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„•)
jm2.27c4 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝐴 Yrm 𝐡))
jm2.27c5 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝐡)
jm2.27c6 𝑄 = (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡))
jm2.27c7 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))
jm2.27c8 𝐹 = (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄))
jm2.27c9 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)))
jm2.27c10 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐡)
jm2.27c11 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝐡)
jm2.27c12 𝐽 = ((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) βˆ’ 1)
Assertion
Ref Expression
jm2.27c (πœ‘ β†’ (((𝐷 ∈ β„•0 ∧ 𝐸 ∈ β„•0 ∧ 𝐹 ∈ β„•0) ∧ (𝐺 ∈ β„•0 ∧ 𝐻 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0)) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ (((((𝐷↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐢↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (((𝐼↑2) βˆ’ (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) Β· (2 Β· (𝐢↑2))) ∧ 𝐹 βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 𝐴))) ∧ (((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 1) ∧ 𝐹 βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐢)) ∧ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐡) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢))))))

Proof of Theorem jm2.27c
StepHypRef Expression
1 jm2.27c5 . . . 4 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝐡)
2 jm2.27a1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3 jm2.27a2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
43nnzd 12623 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
5 frmx 42365 . . . . . 6 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
65fovcl 7555 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝐡) ∈ β„•0)
72, 4, 6syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Xrm 𝐡) ∈ β„•0)
81, 7eqeltrid 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
9 jm2.27c7 . . . 4 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))
10 2z 12632 . . . . . . 7 2 ∈ β„€
11 jm2.27c6 . . . . . . . 8 𝑄 = (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡))
12 jm2.27c4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝐴 Yrm 𝐡))
13 jm2.27a3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„•)
1413nnzd 12623 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„€)
1512, 14eqeltrrd 2830 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm 𝐡) ∈ β„€)
164, 15zmulcld 12710 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡)) ∈ β„€)
1711, 16eqeltrid 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„€)
18 zmulcl 12649 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑄 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝑄) ∈ β„€)
1910, 17, 18sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑄) ∈ β„€)
20 frmy 42366 . . . . . . 7 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2120fovcl 7555 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (2 Β· 𝑄) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)) ∈ β„€)
222, 19, 21syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)) ∈ β„€)
23 rmy0 42381 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
242, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
25 2nn 12323 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•
2612, 13eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm 𝐡) ∈ β„•)
273, 26nnmulcld 12303 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡)) ∈ β„•)
2811, 27eqeltrid 2833 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„•)
29 nnmulcl 12274 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑄 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑄) ∈ β„•)
3025, 28, 29sylancr 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑄) ∈ β„•)
3130nnnn0d 12570 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑄) ∈ β„•0)
3231nn0ge0d 12573 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (2 Β· 𝑄))
33 0zd 12608 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
34 lermy 42407 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝑄) ∈ β„€) β†’ (0 ≀ (2 Β· 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) ≀ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))))
352, 33, 19, 34syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (2 Β· 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) ≀ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))))
3632, 35mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm 0) ≀ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)))
3724, 36eqbrtrrd 5176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)))
38 elnn0z 12609 . . . . 5 ((𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)) ∈ β„•0 ↔ ((𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))))
3922, 37, 38sylanbrc 581 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)) ∈ β„•0)
409, 39eqeltrid 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•0)
41 jm2.27c8 . . . 4 𝐹 = (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄))
425fovcl 7555 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (2 Β· 𝑄) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄)) ∈ β„•0)
432, 19, 42syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄)) ∈ β„•0)
4441, 43eqeltrid 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ β„•0)
458, 40, 443jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ β„•0 ∧ 𝐸 ∈ β„•0 ∧ 𝐹 ∈ β„•0))
46 2nn0 12527 . . . 4 2 ∈ β„•0
47 jm2.27c9 . . . . 5 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)))
4844nn0cnd 12572 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
4948sqvald 14147 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹↑2) = (𝐹 Β· 𝐹))
5044, 44nn0mulcld 12575 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐹) ∈ β„•0)
5149, 50eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹↑2) ∈ β„•0)
52 eluz2nn 12906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
532, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
5453nnnn0d 12570 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
5554nn0red 12571 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5644nn0red 12571 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ℝ)
5756, 56remulcld 11282 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐹) ∈ ℝ)
58 rmx1 42378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
592, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
6030nnge1d 12298 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (2 Β· 𝑄))
61 1nn0 12526 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ β„•0
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
63 lermxnn0 42402 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ (2 Β· 𝑄) ∈ β„•0) β†’ (1 ≀ (2 Β· 𝑄) ↔ (𝐴 Xrm 1) ≀ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄))))
642, 62, 31, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 ≀ (2 Β· 𝑄) ↔ (𝐴 Xrm 1) ≀ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄))))
6560, 64mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 Xrm 1) ≀ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄)))
6659, 65eqbrtrrd 5176 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄)))
6766, 41breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐹)
6844nn0ge0d 12573 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐹)
69 rmxnn 42403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (2 Β· 𝑄) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄)) ∈ β„•)
702, 19, 69syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄)) ∈ β„•)
7141, 70eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ β„•)
7271nnge1d 12298 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐹)
7356, 56, 68, 72lemulge12d 12190 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ≀ (𝐹 Β· 𝐹))
7455, 56, 57, 67, 73letrd 11409 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ (𝐹 Β· 𝐹))
7574, 49breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ (𝐹↑2))
76 nn0sub 12560 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝐹↑2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴 ≀ (𝐹↑2) ↔ ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„•0))
7754, 51, 76syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ≀ (𝐹↑2) ↔ ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„•0))
7875, 77mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„•0)
7951, 78nn0mulcld 12575 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) ∈ β„•0)
80 uzaddcl 12926 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) ∈ β„•0) β†’ (𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
812, 79, 80syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
8247, 81eqeltrid 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
83 eluznn0 12939 . . . 4 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐺 ∈ β„•0)
8446, 82, 83sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„•0)
85 jm2.27c10 . . . 4 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐡)
8620fovcl 7555 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐺 Yrm 𝐡) ∈ β„€)
8782, 4, 86syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Yrm 𝐡) ∈ β„€)
88 rmy0 42381 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐺 Yrm 0) = 0)
8982, 88syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Yrm 0) = 0)
903nnnn0d 12570 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•0)
9190nn0ge0d 12573 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐡)
92 lermy 42407 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐡 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≀ (𝐺 Yrm 𝐡)))
9382, 33, 4, 92syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐡 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≀ (𝐺 Yrm 𝐡)))
9491, 93mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Yrm 0) ≀ (𝐺 Yrm 𝐡))
9589, 94eqbrtrrd 5176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐺 Yrm 𝐡))
96 elnn0z 12609 . . . . 5 ((𝐺 Yrm 𝐡) ∈ β„•0 ↔ ((𝐺 Yrm 𝐡) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (𝐺 Yrm 𝐡)))
9787, 95, 96sylanbrc 581 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Yrm 𝐡) ∈ β„•0)
9885, 97eqeltrid 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ β„•0)
99 jm2.27c11 . . . 4 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝐡)
1005fovcl 7555 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐺 Xrm 𝐡) ∈ β„•0)
10182, 4, 100syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Xrm 𝐡) ∈ β„•0)
10299, 101eqeltrid 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
10384, 98, 1023jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ β„•0 ∧ 𝐻 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0))
104 jm2.27c12 . . . 4 𝐽 = ((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) βˆ’ 1)
105 zsqcl 14133 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 Yrm 𝐡) ∈ β„€ β†’ ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2) ∈ β„€)
10615, 105syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2) ∈ β„€)
107 zmulcl 12649 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2) ∈ β„€) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2)) ∈ β„€)
10810, 106, 107sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2)) ∈ β„€)
10920fovcl 7555 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑄 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ β„€)
1102, 17, 109syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ β„€)
111 zmulcl 12649 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ β„€) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ β„€)
11210, 110, 111sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ β„€)
113 iddvds 16254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡)) ∈ β„€ β†’ (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡)) βˆ₯ (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡)))
11416, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡)) βˆ₯ (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡)))
115114, 11breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡)) βˆ₯ 𝑄)
116 jm2.20nn 42449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑄 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝐡)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡)) βˆ₯ 𝑄))
1172, 28, 3, 116syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Yrm 𝐡)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝐡 Β· (𝐴 Yrm 𝐡)) βˆ₯ 𝑄))
118115, 117mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑄))
11910a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
120 dvdscmul 16267 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 Yrm 𝐡)↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Yrm 𝐡)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑄) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2)) βˆ₯ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄))))
121106, 110, 119, 120syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Yrm 𝐡)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑄) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2)) βˆ₯ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄))))
122118, 121mpd 15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2)) βˆ₯ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)))
1235fovcl 7555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑄 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ β„•0)
1242, 17, 123syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ β„•0)
125124nn0zd 12622 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ β„€)
126 dvdsmul1 16262 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ β„€) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) βˆ₯ ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) Β· (𝐴 Xrm 𝑄)))
127112, 125, 126syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) βˆ₯ ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) Β· (𝐴 Xrm 𝑄)))
128 rmydbl 42392 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑄 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)) = ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑄)) Β· (𝐴 Yrm 𝑄)))
1292, 17, 128syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)) = ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑄)) Β· (𝐴 Yrm 𝑄)))
130 2cnd 12328 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
131124nn0cnd 12572 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ β„‚)
132110zcnd 12705 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ β„‚)
133130, 131, 132mul32d 11462 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑄)) Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) = ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) Β· (𝐴 Xrm 𝑄)))
134129, 133eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)) = ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) Β· (𝐴 Xrm 𝑄)))
135127, 134breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑄)) βˆ₯ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)))
136108, 112, 22, 122, 135dvdstrd 16279 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2)) βˆ₯ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)))
13712oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) = ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2))
138137oveq2d 7442 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐢↑2)) = (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2)))
1399a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)))
140136, 138, 1393brtr4d 5184 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐢↑2)) βˆ₯ 𝐸)
1419, 22eqeltrid 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
14230nngt0d 12299 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (2 Β· 𝑄))
143 ltrmy 42404 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝑄) ∈ β„€) β†’ (0 < (2 Β· 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))))
1442, 33, 19, 143syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 < (2 Β· 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))))
145142, 144mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄)))
14624eqcomd 2734 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 = (𝐴 Yrm 0))
147145, 146, 1393brtr4d 5184 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐸)
148 elnnz 12606 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ β„• ↔ (𝐸 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝐸))
149141, 147, 148sylanbrc 581 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•)
15013nnsqcld 14246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) ∈ β„•)
151 nnmulcl 12274 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„• ∧ (𝐢↑2) ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝐢↑2)) ∈ β„•)
15225, 150, 151sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐢↑2)) ∈ β„•)
153 nndivdvds 16247 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ β„• ∧ (2 Β· (𝐢↑2)) ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (𝐢↑2)) βˆ₯ 𝐸 ↔ (𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) ∈ β„•))
154149, 152, 153syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (𝐢↑2)) βˆ₯ 𝐸 ↔ (𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) ∈ β„•))
155140, 154mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) ∈ β„•)
156 nnm1nn0 12551 . . . . 5 ((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) ∈ β„• β†’ ((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
157155, 156syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
158104, 157eqeltrid 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
1591oveq1i 7436 . . . . . . . 8 (𝐷↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐡)↑2)
160159a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐷↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐡)↑2))
161137oveq2d 7442 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐢↑2)) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2)))
162160, 161oveq12d 7444 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐷↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐢↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝐡)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2))))
163 rmxynorm 42370 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝐡)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2))) = 1)
1642, 4, 163syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Xrm 𝐡)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝐡)↑2))) = 1)
165162, 164eqtrd 2768 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐷↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐢↑2))) = 1)
16641oveq1i 7436 . . . . . . 7 (𝐹↑2) = ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄))↑2)
1679oveq1i 7436 . . . . . . . 8 (𝐸↑2) = ((𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))↑2)
168167oveq2i 7437 . . . . . . 7 (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))↑2))
169166, 168oveq12i 7438 . . . . . 6 ((𝐹↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))) = (((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄))↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))↑2)))
170 rmxynorm 42370 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (2 Β· 𝑄) ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄))↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))↑2))) = 1)
1712, 19, 170syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑄))↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm (2 Β· 𝑄))↑2))) = 1)
172169, 171eqtrid 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))) = 1)
173165, 172, 823jca 1125 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐷↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐢↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
17499oveq1i 7436 . . . . . . 7 (𝐼↑2) = ((𝐺 Xrm 𝐡)↑2)
17585oveq1i 7436 . . . . . . . 8 (𝐻↑2) = ((𝐺 Yrm 𝐡)↑2)
176175oveq2i 7437 . . . . . . 7 (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐻↑2)) = (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐺 Yrm 𝐡)↑2))
177174, 176oveq12i 7438 . . . . . 6 ((𝐼↑2) βˆ’ (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐻↑2))) = (((𝐺 Xrm 𝐡)↑2) βˆ’ (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐺 Yrm 𝐡)↑2)))
178 rmxynorm 42370 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (((𝐺 Xrm 𝐡)↑2) βˆ’ (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐺 Yrm 𝐡)↑2))) = 1)
17982, 4, 178syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐺 Xrm 𝐡)↑2) βˆ’ (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐺 Yrm 𝐡)↑2))) = 1)
180177, 179eqtrid 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐼↑2) βˆ’ (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐻↑2))) = 1)
181104a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 = ((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) βˆ’ 1))
182181oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 + 1) = (((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) βˆ’ 1) + 1))
183141zcnd 12705 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
184152nncnd 12266 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐢↑2)) ∈ β„‚)
185152nnne0d 12300 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐢↑2)) β‰  0)
186183, 184, 185divcld 12028 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) ∈ β„‚)
187 ax-1cn 11204 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
188 npcan 11507 . . . . . . . . 9 (((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) βˆ’ 1) + 1) = (𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))))
189186, 187, 188sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) βˆ’ 1) + 1) = (𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))))
190182, 189eqtrd 2768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 + 1) = (𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))))
191190oveq1d 7441 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐽 + 1) Β· (2 Β· (𝐢↑2))) = ((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) Β· (2 Β· (𝐢↑2))))
192183, 184, 185divcan1d 12029 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / (2 Β· (𝐢↑2))) Β· (2 Β· (𝐢↑2))) = 𝐸)
193191, 192eqtr2d 2769 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 = ((𝐽 + 1) Β· (2 Β· (𝐢↑2))))
19444nn0zd 12622 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ β„€)
19578nn0zd 12622 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„€)
196194, 195zmulcld 12710 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) ∈ β„€)
197 dvdsmul1 16262 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ β„€ ∧ (𝐹 Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) ∈ β„€) β†’ 𝐹 βˆ₯ (𝐹 Β· (𝐹 Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))))
198194, 196, 197syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 βˆ₯ (𝐹 Β· (𝐹 Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))))
19947oveq1i 7436 . . . . . . 7 (𝐺 βˆ’ 𝐴) = ((𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))) βˆ’ 𝐴)
20054nn0cnd 12572 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
20179nn0cnd 12572 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) ∈ β„‚)
202200, 201pncan2d 11611 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))) βˆ’ 𝐴) = ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)))
20349oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) = ((𝐹 Β· 𝐹) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)))
20478nn0cnd 12572 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
20548, 48, 204mulassd 11275 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐹) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) = (𝐹 Β· (𝐹 Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))))
206202, 203, 2053eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))) βˆ’ 𝐴) = (𝐹 Β· (𝐹 Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))))
207199, 206eqtrid 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 Β· (𝐹 Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))))
208198, 207breqtrrd 5180 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 𝐴))
209180, 193, 2083jca 1125 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼↑2) βˆ’ (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) Β· (2 Β· (𝐢↑2))) ∧ 𝐹 βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 𝐴)))
210 zmulcl 12649 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝐢) ∈ β„€)
21110, 14, 210sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) ∈ β„€)
212 eluzelz 12870 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2132, 212syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
21479nn0zd 12622 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) ∈ β„€)
215 1z 12630 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
216 zsubcl 12642 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ β„€)
217215, 213, 216sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ β„€)
218 zmulcl 12649 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„€ ∧ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ β„€) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴)) ∈ β„€)
219215, 217, 218sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴)) ∈ β„€)
220 congid 42423 . . . . . . . 8 (((2 Β· 𝐢) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐴))
221211, 213, 220syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐴))
22251nn0zd 12622 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹↑2) ∈ β„€)
223215a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
22413nncnd 12266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
225130, 224, 224mulassd 11275 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐢) Β· 𝐢) = (2 Β· (𝐢 Β· 𝐢)))
226224sqvald 14147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) = (𝐢 Β· 𝐢))
227226oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐢↑2)) = (2 Β· (𝐢 Β· 𝐢)))
228225, 227eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐢) Β· 𝐢) = (2 Β· (𝐢↑2)))
229228, 140eqbrtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐢) Β· 𝐢) βˆ₯ 𝐸)
230 muldvds1 16265 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 Β· 𝐢) ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ β„€ ∧ 𝐸 ∈ β„€) β†’ (((2 Β· 𝐢) Β· 𝐢) βˆ₯ 𝐸 β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ 𝐸))
231211, 14, 141, 230syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((2 Β· 𝐢) Β· 𝐢) βˆ₯ 𝐸 β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ 𝐸))
232229, 231mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ 𝐸)
233 zsqcl 14133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴↑2) ∈ β„€)
234213, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴↑2) ∈ β„€)
235 peano2zm 12643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴↑2) ∈ β„€ β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„€)
236234, 235syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„€)
237236, 141zmulcld 12710 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· 𝐸) ∈ β„€)
238 dvdsmultr2 16282 . . . . . . . . . . . 12 (((2 Β· 𝐢) ∈ β„€ ∧ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· 𝐸) ∈ β„€ ∧ 𝐸 ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ 𝐸 β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ ((((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· 𝐸) Β· 𝐸)))
239211, 237, 141, 238syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ 𝐸 β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ ((((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· 𝐸) Β· 𝐸)))
240232, 239mpd 15 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ ((((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· 𝐸) Β· 𝐸))
241183sqvald 14147 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) = (𝐸 Β· 𝐸))
242241oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸 Β· 𝐸)))
243200sqcld 14148 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴↑2) ∈ β„‚)
244 subcl 11497 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴↑2) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
245243, 187, 244sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
246245, 183, 183mulassd 11275 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· 𝐸) Β· 𝐸) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸 Β· 𝐸)))
247242, 246eqtr4d 2771 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2)) = ((((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· 𝐸) Β· 𝐸))
248240, 247breqtrrd 5180 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2)))
24948sqcld 14148 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹↑2) ∈ β„‚)
250183sqcld 14148 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ β„‚)
251245, 250mulcld 11272 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2)) ∈ β„‚)
252187a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
253 subsub23 11503 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹↑2) ∈ β„‚ ∧ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((𝐹↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))) = 1 ↔ ((𝐹↑2) βˆ’ 1) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))))
254249, 251, 252, 253syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐹↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))) = 1 ↔ ((𝐹↑2) βˆ’ 1) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))))
255172, 254mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹↑2) βˆ’ 1) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2)))
256248, 255breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ ((𝐹↑2) βˆ’ 1))
257 congsub 42422 . . . . . . . . 9 ((((2 Β· 𝐢) ∈ β„€ ∧ (𝐹↑2) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) ∧ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ ((𝐹↑2) βˆ’ 1) ∧ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐴))) β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴) βˆ’ (1 βˆ’ 𝐴)))
258211, 222, 223, 213, 213, 256, 221, 257syl322anc 1395 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴) βˆ’ (1 βˆ’ 𝐴)))
259 congmul 42419 . . . . . . . 8 ((((2 Β· 𝐢) ∈ β„€ ∧ (𝐹↑2) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) ∧ (((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„€ ∧ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ β„€) ∧ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ ((𝐹↑2) βˆ’ 1) ∧ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴) βˆ’ (1 βˆ’ 𝐴)))) β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) βˆ’ (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴))))
260211, 222, 223, 195, 217, 256, 258, 259syl322anc 1395 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) βˆ’ (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴))))
261 congadd 42418 . . . . . . 7 ((((2 Β· 𝐢) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴)) ∈ β„€) ∧ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐴) ∧ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴)) βˆ’ (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴))))) β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ ((𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))) βˆ’ (𝐴 + (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴)))))
262211, 213, 213, 214, 219, 221, 260, 261syl322anc 1395 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ ((𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))) βˆ’ (𝐴 + (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴)))))
26347a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))))
264217zcnd 12705 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
265264mullidd 11270 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴)) = (1 βˆ’ 𝐴))
266265oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 + (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴))) = (𝐴 + (1 βˆ’ 𝐴)))
267 pncan3 11506 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + (1 βˆ’ 𝐴)) = 1)
268200, 187, 267sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 + (1 βˆ’ 𝐴)) = 1)
269266, 268eqtr2d 2769 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 = (𝐴 + (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴))))
270263, 269oveq12d 7444 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 1) = ((𝐴 + ((𝐹↑2) Β· ((𝐹↑2) βˆ’ 𝐴))) βˆ’ (𝐴 + (1 Β· (1 βˆ’ 𝐴)))))
271262, 270breqtrrd 5180 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 1))
272 eluzelz 12870 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐺 ∈ β„€)
27382, 272syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„€)
274273, 213zsubcld 12709 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐴) ∈ β„€)
27585, 87eqeltrid 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ β„€)
276275, 14zsubcld 12709 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 βˆ’ 𝐢) ∈ β„€)
277 jm2.15nn0 42455 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•0) β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐴) βˆ₯ ((𝐺 Yrm 𝐡) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝐡)))
27882, 2, 90, 277syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐴) βˆ₯ ((𝐺 Yrm 𝐡) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝐡)))
27985a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐡))
280279, 12oveq12d 7444 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 βˆ’ 𝐢) = ((𝐺 Yrm 𝐡) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝐡)))
281278, 280breqtrrd 5180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐴) βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐢))
282194, 274, 276, 208, 281dvdstrd 16279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐢))
283 peano2zm 12643 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ β„€ β†’ (𝐺 βˆ’ 1) ∈ β„€)
284273, 283syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 1) ∈ β„€)
285275, 4zsubcld 12709 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€)
286 jm2.16nn0 42456 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•0) β†’ (𝐺 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐺 Yrm 𝐡) βˆ’ 𝐡))
28782, 90, 286syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐺 Yrm 𝐡) βˆ’ 𝐡))
28885oveq1i 7436 . . . . . . . 8 (𝐻 βˆ’ 𝐡) = ((𝐺 Yrm 𝐡) βˆ’ 𝐡)
289287, 288breqtrrdi 5194 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐡))
290211, 284, 285, 271, 289dvdstrd 16279 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐡))
291 rmygeid 42416 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ≀ (𝐴 Yrm 𝐡))
2922, 90, 291syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ (𝐴 Yrm 𝐡))
293292, 12breqtrrd 5180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐢)
294290, 293jca 510 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐡) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢))
295271, 282, 294jca31 513 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 1) ∧ 𝐹 βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐢)) ∧ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐡) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢)))
296173, 209, 295jca31 513 . . 3 (πœ‘ β†’ (((((𝐷↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐢↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (((𝐼↑2) βˆ’ (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) Β· (2 Β· (𝐢↑2))) ∧ 𝐹 βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 𝐴))) ∧ (((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 1) ∧ 𝐹 βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐢)) ∧ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐡) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢))))
297158, 296jca 510 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ (((((𝐷↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐢↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (((𝐼↑2) βˆ’ (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) Β· (2 Β· (𝐢↑2))) ∧ 𝐹 βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 𝐴))) ∧ (((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 1) ∧ 𝐹 βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐢)) ∧ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐡) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢)))))
29845, 103, 297jca31 513 1 (πœ‘ β†’ (((𝐷 ∈ β„•0 ∧ 𝐸 ∈ β„•0 ∧ 𝐹 ∈ β„•0) ∧ (𝐺 ∈ β„•0 ∧ 𝐻 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0)) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ (((((𝐷↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐢↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (((𝐼↑2) βˆ’ (((𝐺↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) Β· (2 Β· (𝐢↑2))) ∧ 𝐹 βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 𝐴))) ∧ (((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐺 βˆ’ 1) ∧ 𝐹 βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐢)) ∧ ((2 Β· 𝐢) βˆ₯ (𝐻 βˆ’ 𝐡) ∧ 𝐡 ≀ 𝐢))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  β„•cn 12250  2c2 12305  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860  β†‘cexp 14066   βˆ₯ cdvds 16238   Xrm crmx 42351   Yrm crmy 42352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-numer 16714  df-denom 16715  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-squarenn 42292  df-pell1qr 42293  df-pell14qr 42294  df-pell1234qr 42295  df-pellfund 42296  df-rmx 42353  df-rmy 42354
This theorem is referenced by:  jm2.27  42460
  Copyright terms: Public domain W3C validator