Theorem jm2.27c 42201

Description: Lemma for jm2.27 42202. Forward direction with substitutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27c4	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
jm2.27c5	⊢ 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝐵)
jm2.27c6	⊢ 𝑄 = (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))
jm2.27c7	⊢ 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))
jm2.27c8	⊢ 𝐹 = (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))
jm2.27c9	⊢ 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
jm2.27c10	⊢ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐵)
jm2.27c11	⊢ 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝐵)
jm2.27c12	⊢ 𝐽 = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1)

Assertion

Ref	Expression
jm2.27c	⊢ (𝜑 → (((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝐺 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))))

Proof of Theorem jm2.27c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27c5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝐵)
2		jm2.27a1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
3		jm2.27a2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		frmx 42107	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
6	5	fovcl 7529	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
7	2, 4, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
8	1, 7	eqeltrid 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
9		jm2.27c7	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))
10		2z 12590	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		jm2.27c6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))
12		jm2.27c4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
13		jm2.27a3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
15	12, 14	eqeltrrd 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
16	4, 15	zmulcld 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∈ ℤ)
17	11, 16	eqeltrid 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
18		zmulcl 12607	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
19	10, 17, 18	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
20		frmy 42108	. . . . . . 7 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
21	20	fovcl 7529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℤ)
22	2, 19, 21	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℤ)
23		rmy0 42123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
24	2, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
25		2nn 12281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	12, 13	eqeltrrd 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) ∈ ℕ)
27	3, 26	nnmulcld 12261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∈ ℕ)
28	11, 27	eqeltrid 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
29		nnmulcl 12232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (2 · 𝑄) ∈ ℕ)
30	25, 28, 29	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 12528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℕ0)
32	31	nn0ge0d 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑄))
33		0zd 12566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
34		lermy 42149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
35	2, 33, 19, 34	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
36	32, 35	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
37	24, 36	eqbrtrrd 5162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
38		elnn0z 12567	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
39	22, 37, 38	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
40	9, 39	eqeltrid 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
41		jm2.27c8	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))
42	5	fovcl 7529	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
43	2, 19, 42	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
44	41, 43	eqeltrid 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
45	8, 40, 44	3jca 1125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0))
46		2nn0 12485	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
47		jm2.27c9	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
48	44	nn0cnd 12530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
49	48	sqvald 14104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) = (𝐹 · 𝐹))
50	44, 44	nn0mulcld 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐹) ∈ ℕ0)
51	49, 50	eqeltrd 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
52		eluz2nn 12864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
53	2, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
55	54	nn0red 12529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
56	44	nn0red 12529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
57	56, 56	remulcld 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐹) ∈ ℝ)
58		rmx1 42120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
59	2, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
60	30	nnge1d 12256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (2 · 𝑄))
61		1nn0 12484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
63		lermxnn0 42144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℕ0) → (1 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Xrm 1) ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))))
64	2, 62, 31, 63	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Xrm 1) ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))))
65	60, 64	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 1) ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)))
66	59, 65	eqbrtrrd 5162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)))
67	66, 41	breqtrrdi 5180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐹)
68	44	nn0ge0d 12531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐹)
69		rmxnn 42145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ)
70	2, 19, 69	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ)
71	41, 70	eqeltrid 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ)
72	71	nnge1d 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐹)
73	56, 56, 68, 72	lemulge12d 12148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≤ (𝐹 · 𝐹))
74	55, 56, 57, 67, 73	letrd 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐹 · 𝐹))
75	74, 49	breqtrrd 5166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐹↑2))
76		nn0sub 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹↑2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝐹↑2) ↔ ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℕ0))
77	54, 51, 76	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝐹↑2) ↔ ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℕ0))
78	75, 77	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℕ0)
79	51, 78	nn0mulcld 12533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℕ0)
80		uzaddcl 12884	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ≥‘2))
81	2, 79, 80	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ≥‘2))
82	47, 81	eqeltrid 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
83		eluznn0 12897	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ0)
84	46, 82, 83	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
85		jm2.27c10	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐵)
86	20	fovcl 7529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
87	82, 4, 86	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
88		rmy0 42123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
89	82, 88	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
90	3	nnnn0d 12528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
91	90	nn0ge0d 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
92		lermy 42149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝐵)))
93	82, 33, 4, 92	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝐵)))
94	91, 93	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝐵))
95	89, 94	eqbrtrrd 5162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Yrm 𝐵))
96		elnn0z 12567	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐺 Yrm 𝐵)))
97	87, 95, 96	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
98	85, 97	eqeltrid 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
99		jm2.27c11	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝐵)
100	5	fovcl 7529	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐺 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
101	82, 4, 100	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
102	99, 101	eqeltrid 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
103	84, 98, 102	3jca 1125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
104		jm2.27c12	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
105		zsqcl 14090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
106	15, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
107		zmulcl 12607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∈ ℤ)
108	10, 106, 107	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∈ ℤ)
109	20	fovcl 7529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ)
110	2, 17, 109	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ)
111		zmulcl 12607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ ℤ)
112	10, 110, 111	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ ℤ)
113		iddvds 16209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∈ ℤ → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))
114	16, 113	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))
115	114, 11	breqtrrdi 5180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ 𝑄)
116		jm2.20nn 42191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ 𝑄))
117	2, 28, 3, 116	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ 𝑄))
118	115, 117	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
119	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
120		dvdscmul 16222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (2 · (𝐴 Yrm 𝑄))))
121	106, 110, 119, 120	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (2 · (𝐴 Yrm 𝑄))))
122	118, 121	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)))
123	5	fovcl 7529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℕ0)
124	2, 17, 123	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℕ0)
125	124	nn0zd 12580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
126		dvdsmul1 16217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
127	112, 125, 126	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
128		rmydbl 42134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑄)) · (𝐴 Yrm 𝑄)))
129	2, 17, 128	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑄)) · (𝐴 Yrm 𝑄)))
130		2cnd 12286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
131	124	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℂ)
132	110	zcnd 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℂ)
133	130, 131, 132	mul32d 11420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑄)) · (𝐴 Yrm 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
134	129, 133	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
135	127, 134	breqtrrd 5166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
136	108, 112, 22, 122, 135	dvdstrd 16234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
137	12	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))
138	137	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) = (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)))
139	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
140	136, 138, 139	3brtr4d 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∥ 𝐸)
141	9, 22	eqeltrid 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
142	30	nngt0d 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑄))
143		ltrmy 42146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (0 < (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
144	2, 33, 19, 143	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 < (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
145	142, 144	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
146	24	eqcomd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐴 Yrm 0))
147	145, 146, 139	3brtr4d 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
148		elnnz 12564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ ↔ (𝐸 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐸))
149	141, 147, 148	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
150	13	nnsqcld 14203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
151		nnmulcl 12232	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
152	25, 150, 151	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
153		nndivdvds 16202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℕ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ) → ((2 · (𝐶↑2)) ∥ 𝐸 ↔ (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ))
154	149, 152, 153	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐶↑2)) ∥ 𝐸 ↔ (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ))
155	140, 154	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ)
156		nnm1nn0 12509	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ → ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0)
157	155, 156	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0)
158	104, 157	eqeltrid 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
159	1	oveq1i 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐵)↑2)
160	159	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐵)↑2))
161	137	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)))
162	160, 161	oveq12d 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))))
163		rmxynorm 42112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
164	2, 4, 163	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
165	162, 164	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
166	41	oveq1i 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹↑2) = ((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2)
167	9	oveq1i 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸↑2) = ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2)
168	167	oveq2i 7412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2))
169	166, 168	oveq12i 7413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = (((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2)))
170		rmxynorm 42112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2))) = 1)
171	2, 19, 170	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2))) = 1)
172	169, 171	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
173	165, 172, 82	3jca 1125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)))
174	99	oveq1i 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼↑2) = ((𝐺 Xrm 𝐵)↑2)
175	85	oveq1i 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻↑2) = ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2)
176	175	oveq2i 7412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2)) = (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2))
177	174, 176	oveq12i 7413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = (((𝐺 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2)))
178		rmxynorm 42112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐺 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
179	82, 4, 178	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
180	177, 179	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
181	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1))
182	181	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) = (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
183	141	zcnd 12663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
184	152	nncnd 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
185	152	nnne0d 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ≠ 0)
186	183, 184, 185	divcld 11986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ)
187		ax-1cn 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
188		npcan 11465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) = (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))))
189	186, 187, 188	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) = (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))))
190	182, 189	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) = (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))))
191	190	oveq1d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) · (2 · (𝐶↑2))))
192	183, 184, 185	divcan1d 11987	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) · (2 · (𝐶↑2))) = 𝐸)
193	191, 192	eqtr2d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
194	44	nn0zd 12580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
195	78	nn0zd 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℤ)
196	194, 195	zmulcld 12668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ)
197		dvdsmul1 16217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ) → 𝐹 ∥ (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
198	194, 196, 197	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
199	47	oveq1i 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 − 𝐴) = ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − 𝐴)
200	54	nn0cnd 12530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
201	79	nn0cnd 12530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℂ)
202	200, 201	pncan2d 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − 𝐴) = ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
203	49	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) = ((𝐹 · 𝐹) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
204	78	nn0cnd 12530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
205	48, 48, 204	mulassd 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐹) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) = (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
206	202, 203, 205	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − 𝐴) = (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
207	199, 206	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐴) = (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
208	198, 207	breqtrrd 5166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
209	180, 193, 208	3jca 1125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴)))
210		zmulcl 12607	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
211	10, 14, 210	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
212		eluzelz 12828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
213	2, 212	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
214	79	nn0zd 12580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ)
215		1z 12588	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
216		zsubcl 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
217	215, 213, 216	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
218		zmulcl 12607	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℤ)
219	215, 217, 218	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℤ)
220		congid 42165	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐴))
221	211, 213, 220	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐴))
222	51	nn0zd 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
223	215	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
224	13	nncnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
225	130, 224, 224	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) · 𝐶) = (2 · (𝐶 · 𝐶)))
226	224	sqvald 14104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
227	226	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) = (2 · (𝐶 · 𝐶)))
228	225, 227	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) · 𝐶) = (2 · (𝐶↑2)))
229	228, 140	eqbrtrd 5160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) · 𝐶) ∥ 𝐸)
230		muldvds1 16220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐶) · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ 𝐸))
231	211, 14, 141, 230	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ 𝐸))
232	229, 231	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ 𝐸)
233		zsqcl 14090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
234	213, 233	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
235		peano2zm 12601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℤ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
236	234, 235	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
237	236, 141	zmulcld 12668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) ∈ ℤ)
238		dvdsmultr2 16237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸)))
239	211, 237, 141, 238	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸)))
240	232, 239	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸))
241	183	sqvald 14104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) = (𝐸 · 𝐸))
242	241	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸 · 𝐸)))
243	200	sqcld 14105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
244		subcl 11455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
245	243, 187, 244	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
246	245, 183, 183	mulassd 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸 · 𝐸)))
247	242, 246	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) = ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸))
248	240, 247	breqtrrd 5166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)))
249	48	sqcld 14105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
250	183	sqcld 14105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
251	245, 250	mulcld 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
252	187	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
253		subsub23 11461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ↔ ((𝐹↑2) − 1) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))))
254	249, 251, 252, 253	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ↔ ((𝐹↑2) − 1) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))))
255	172, 254	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − 1) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)))
256	248, 255	breqtrrd 5166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ ((𝐹↑2) − 1))
257		congsub 42164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐹↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐹↑2) − 1) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐴))) → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) − 𝐴) − (1 − 𝐴)))
258	211, 222, 223, 213, 213, 256, 221, 257	syl322anc 1395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) − 𝐴) − (1 − 𝐴)))
259		congmul 42161	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐹↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐹↑2) − 1) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) − 𝐴) − (1 − 𝐴)))) → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) − (1 · (1 − 𝐴))))
260	211, 222, 223, 195, 217, 256, 258, 259	syl322anc 1395	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) − (1 · (1 − 𝐴))))
261		congadd 42160	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐴) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) − (1 · (1 − 𝐴))))) → (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴)))))
262	211, 213, 213, 214, 219, 221, 260, 261	syl322anc 1395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴)))))
263	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
264	217	zcnd 12663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
265	264	mullidd 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 − 𝐴)) = (1 − 𝐴))
266	265	oveq2d 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴))) = (𝐴 + (1 − 𝐴)))
267		pncan3 11464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
268	200, 187, 267	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
269	266, 268	eqtr2d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴))))
270	263, 269	oveq12d 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) = ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴)))))
271	262, 270	breqtrrd 5166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
272		eluzelz 12828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐺 ∈ ℤ)
273	82, 272	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
274	273, 213	zsubcld 12667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐴) ∈ ℤ)
275	85, 87	eqeltrid 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
276	275, 14	zsubcld 12667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐶) ∈ ℤ)
277		jm2.15nn0 42197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 𝐴) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − (𝐴 Yrm 𝐵)))
278	82, 2, 90, 277	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐴) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − (𝐴 Yrm 𝐵)))
279	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐵))
280	279, 12	oveq12d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝐵) − (𝐴 Yrm 𝐵)))
281	278, 280	breqtrrd 5166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐴) ∥ (𝐻 − 𝐶))
282	194, 274, 276, 208, 281	dvdstrd 16234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
283		peano2zm 12601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
284	273, 283	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
285	275, 4	zsubcld 12667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐵) ∈ ℤ)
286		jm2.16nn0 42198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − 𝐵))
287	82, 90, 286	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − 𝐵))
288	85	oveq1i 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 − 𝐵) = ((𝐺 Yrm 𝐵) − 𝐵)
289	287, 288	breqtrrdi 5180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻 − 𝐵))
290	211, 284, 285, 271, 289	dvdstrd 16234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
291		rmygeid 42158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 Yrm 𝐵))
292	2, 90, 291	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐴 Yrm 𝐵))
293	292, 12	breqtrrd 5166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
294	290, 293	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
295	271, 282, 294	jca31 514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
296	173, 209, 295	jca31 514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
297	158, 296	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
298	45, 103, 297	jca31 514	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝐺 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  2c2 12263  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16193   X_rm crmx 42093   Y_rm crmy 42094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-numer 16669  df-denom 16670  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-log 26406  df-squarenn 42034  df-pell1qr 42035  df-pell14qr 42036  df-pell1234qr 42037  df-pellfund 42038  df-rmx 42095  df-rmy 42096

This theorem is referenced by:  jm2.27  42202