Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27c 42995
Description: Lemma for jm2.27 42996. Forward direction with substitutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm2.27a2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27c4 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
jm2.27c5 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝐵)
jm2.27c6 𝑄 = (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))
jm2.27c7 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))
jm2.27c8 𝐹 = (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))
jm2.27c9 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
jm2.27c10 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐵)
jm2.27c11 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝐵)
jm2.27c12 𝐽 = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
Assertion
Ref Expression
jm2.27c (𝜑 → (((𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝐺 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))))

Proof of Theorem jm2.27c
StepHypRef Expression
1 jm2.27c5 . . . 4 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝐵)
2 jm2.27a1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
3 jm2.27a2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
43nnzd 12637 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
5 frmx 42901 . . . . . 6 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
65fovcl 7560 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
72, 4, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
81, 7eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
9 jm2.27c7 . . . 4 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))
10 2z 12646 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
11 jm2.27c6 . . . . . . . 8 𝑄 = (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))
12 jm2.27c4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
13 jm2.27a3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
1413nnzd 12637 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1512, 14eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
164, 15zmulcld 12725 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∈ ℤ)
1711, 16eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
18 zmulcl 12663 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
1910, 17, 18sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
20 frmy 42902 . . . . . . 7 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2120fovcl 7560 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℤ)
222, 19, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℤ)
23 rmy0 42917 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
242, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
25 2nn 12336 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
2612, 13eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) ∈ ℕ)
273, 26nnmulcld 12316 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∈ ℕ)
2811, 27eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
29 nnmulcl 12287 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (2 · 𝑄) ∈ ℕ)
3025, 28, 29sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℕ)
3130nnnn0d 12584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℕ0)
3231nn0ge0d 12587 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑄))
33 0zd 12622 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
34 lermy 42943 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
352, 33, 19, 34syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
3632, 35mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
3724, 36eqbrtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
38 elnn0z 12623 . . . . 5 ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
3922, 37, 38sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
409, 39eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
41 jm2.27c8 . . . 4 𝐹 = (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))
425fovcl 7560 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
432, 19, 42syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
4441, 43eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
458, 40, 443jca 1127 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℕ0))
46 2nn0 12540 . . . 4 2 ∈ ℕ0
47 jm2.27c9 . . . . 5 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
4844nn0cnd 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
4948sqvald 14179 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹↑2) = (𝐹 · 𝐹))
5044, 44nn0mulcld 12589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 · 𝐹) ∈ ℕ0)
5149, 50eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
52 eluz2nn 12921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
532, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
5453nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
5554nn0red 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5644nn0red 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
5756, 56remulcld 11288 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 · 𝐹) ∈ ℝ)
58 rmx1 42914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
592, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
6030nnge1d 12311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ (2 · 𝑄))
61 1nn0 12539 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
63 lermxnn0 42938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℕ0) → (1 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Xrm 1) ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))))
642, 62, 31, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Xrm 1) ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))))
6560, 64mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 Xrm 1) ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)))
6659, 65eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)))
6766, 41breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐹)
6844nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐹)
69 rmxnn 42939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ)
702, 19, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ)
7141, 70eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ℕ)
7271nnge1d 12311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≤ 𝐹)
7356, 56, 68, 72lemulge12d 12203 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ≤ (𝐹 · 𝐹))
7455, 56, 57, 67, 73letrd 11415 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≤ (𝐹 · 𝐹))
7574, 49breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ (𝐹↑2))
76 nn0sub 12573 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹↑2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝐹↑2) ↔ ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℕ0))
7754, 51, 76syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝐹↑2) ↔ ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℕ0))
7875, 77mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℕ0)
7951, 78nn0mulcld 12589 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℕ0)
80 uzaddcl 12943 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2))
812, 79, 80syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2))
8247, 81eqeltrid 2842 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (ℤ‘2))
83 eluznn0 12956 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ0)
8446, 82, 83sylancr 587 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
85 jm2.27c10 . . . 4 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐵)
8620fovcl 7560 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
8782, 4, 86syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
88 rmy0 42917 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
8982, 88syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
903nnnn0d 12584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
9190nn0ge0d 12587 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
92 lermy 42943 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝐵)))
9382, 33, 4, 92syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝐵)))
9491, 93mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝐵))
9589, 94eqbrtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Yrm 𝐵))
96 elnn0z 12623 . . . . 5 ((𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐺 Yrm 𝐵)))
9787, 95, 96sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
9885, 97eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
99 jm2.27c11 . . . 4 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝐵)
1005fovcl 7560 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐺 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
10182, 4, 100syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
10299, 101eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
10384, 98, 1023jca 1127 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0))
104 jm2.27c12 . . . 4 𝐽 = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
105 zsqcl 14165 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 Yrm 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
10615, 105syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
107 zmulcl 12663 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∈ ℤ)
10810, 106, 107sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∈ ℤ)
10920fovcl 7560 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ)
1102, 17, 109syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ)
111 zmulcl 12663 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ ℤ)
11210, 110, 111sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ ℤ)
113 iddvds 16303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∈ ℤ → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))
11416, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))
115114, 11breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ 𝑄)
116 jm2.20nn 42985 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ 𝑄))
1172, 28, 3, 116syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ 𝑄))
118115, 117mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
11910a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
120 dvdscmul 16316 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (2 · (𝐴 Yrm 𝑄))))
121106, 110, 119, 120syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (2 · (𝐴 Yrm 𝑄))))
122118, 121mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)))
1235fovcl 7560 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℕ0)
1242, 17, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℕ0)
125124nn0zd 12636 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
126 dvdsmul1 16311 . . . . . . . . . 10 (((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
127112, 125, 126syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
128 rmydbl 42928 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑄)) · (𝐴 Yrm 𝑄)))
1292, 17, 128syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑄)) · (𝐴 Yrm 𝑄)))
130 2cnd 12341 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
131124nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℂ)
132110zcnd 12720 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℂ)
133130, 131, 132mul32d 11468 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑄)) · (𝐴 Yrm 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
134129, 133eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
135127, 134breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
136108, 112, 22, 122, 135dvdstrd 16328 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
13712oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))
138137oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) = (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)))
1399a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
140136, 138, 1393brtr4d 5179 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∥ 𝐸)
1419, 22eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
14230nngt0d 12312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (2 · 𝑄))
143 ltrmy 42940 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (0 < (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
1442, 33, 19, 143syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 < (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
145142, 144mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
14624eqcomd 2740 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (𝐴 Yrm 0))
147145, 146, 1393brtr4d 5179 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐸)
148 elnnz 12620 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ ℕ ↔ (𝐸 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐸))
149141, 147, 148sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
15013nnsqcld 14279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
151 nnmulcl 12287 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
15225, 150, 151sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
153 nndivdvds 16295 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℕ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ) → ((2 · (𝐶↑2)) ∥ 𝐸 ↔ (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ))
154149, 152, 153syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐶↑2)) ∥ 𝐸 ↔ (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ))
155140, 154mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ)
156 nnm1nn0 12564 . . . . 5 ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ → ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0)
157155, 156syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0)
158104, 157eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
1591oveq1i 7440 . . . . . . . 8 (𝐷↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐵)↑2)
160159a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐵)↑2))
161137oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)))
162160, 161oveq12d 7448 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))))
163 rmxynorm 42906 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
1642, 4, 163syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
165162, 164eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
16641oveq1i 7440 . . . . . . 7 (𝐹↑2) = ((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2)
1679oveq1i 7440 . . . . . . . 8 (𝐸↑2) = ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2)
168167oveq2i 7441 . . . . . . 7 (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2))
169166, 168oveq12i 7442 . . . . . 6 ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = (((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2)))
170 rmxynorm 42906 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2))) = 1)
1712, 19, 170syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2))) = 1)
172169, 171eqtrid 2786 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
173165, 172, 823jca 1127 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)))
17499oveq1i 7440 . . . . . . 7 (𝐼↑2) = ((𝐺 Xrm 𝐵)↑2)
17585oveq1i 7440 . . . . . . . 8 (𝐻↑2) = ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2)
176175oveq2i 7441 . . . . . . 7 (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2)) = (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2))
177174, 176oveq12i 7442 . . . . . 6 ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = (((𝐺 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2)))
178 rmxynorm 42906 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐺 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
17982, 4, 178syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
180177, 179eqtrid 2786 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
181104a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1))
182181oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 + 1) = (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
183141zcnd 12720 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
184152nncnd 12279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
185152nnne0d 12313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ≠ 0)
186183, 184, 185divcld 12040 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ)
187 ax-1cn 11210 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
188 npcan 11514 . . . . . . . . 9 (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) = (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))))
189186, 187, 188sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) = (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))))
190182, 189eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 + 1) = (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))))
191190oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) · (2 · (𝐶↑2))))
192183, 184, 185divcan1d 12041 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) · (2 · (𝐶↑2))) = 𝐸)
193191, 192eqtr2d 2775 . . . . 5 (𝜑𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
19444nn0zd 12636 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
19578nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℤ)
196194, 195zmulcld 12725 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ)
197 dvdsmul1 16311 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ) → 𝐹 ∥ (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
198194, 196, 197syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∥ (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
19947oveq1i 7440 . . . . . . 7 (𝐺𝐴) = ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − 𝐴)
20054nn0cnd 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
20179nn0cnd 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℂ)
202200, 201pncan2d 11619 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − 𝐴) = ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
20349oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) = ((𝐹 · 𝐹) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
20478nn0cnd 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
20548, 48, 204mulassd 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐹) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) = (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
206202, 203, 2053eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − 𝐴) = (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
207199, 206eqtrid 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐴) = (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
208198, 207breqtrrd 5175 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∥ (𝐺𝐴))
209180, 193, 2083jca 1127 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺𝐴)))
210 zmulcl 12663 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
21110, 14, 210sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
212 eluzelz 12885 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2132, 212syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21479nn0zd 12636 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ)
215 1z 12644 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
216 zsubcl 12656 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
217215, 213, 216sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
218 zmulcl 12663 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℤ)
219215, 217, 218sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℤ)
220 congid 42959 . . . . . . . 8 (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐴𝐴))
221211, 213, 220syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐴𝐴))
22251nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
223215a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22413nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
225130, 224, 224mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝐶) · 𝐶) = (2 · (𝐶 · 𝐶)))
226224sqvald 14179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
227226oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) = (2 · (𝐶 · 𝐶)))
228225, 227eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝐶) · 𝐶) = (2 · (𝐶↑2)))
229228, 140eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝐶) · 𝐶) ∥ 𝐸)
230 muldvds1 16314 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐶) · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ 𝐸))
231211, 14, 141, 230syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝐶) · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ 𝐸))
232229, 231mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ 𝐸)
233 zsqcl 14165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
234213, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
235 peano2zm 12657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴↑2) ∈ ℤ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
236234, 235syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
237236, 141zmulcld 12725 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) ∈ ℤ)
238 dvdsmultr2 16331 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸)))
239211, 237, 141, 238syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸)))
240232, 239mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸))
241183sqvald 14179 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸↑2) = (𝐸 · 𝐸))
242241oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸 · 𝐸)))
243200sqcld 14180 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
244 subcl 11504 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
245243, 187, 244sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
246245, 183, 183mulassd 11281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸 · 𝐸)))
247242, 246eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) = ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸))
248240, 247breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)))
24948sqcld 14180 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
250183sqcld 14180 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
251245, 250mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
252187a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
253 subsub23 11510 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ↔ ((𝐹↑2) − 1) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))))
254249, 251, 252, 253syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ↔ ((𝐹↑2) − 1) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))))
255172, 254mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹↑2) − 1) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)))
256248, 255breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ ((𝐹↑2) − 1))
257 congsub 42958 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐹↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐹↑2) − 1) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐴𝐴))) → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) − 𝐴) − (1 − 𝐴)))
258211, 222, 223, 213, 213, 256, 221, 257syl322anc 1397 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) − 𝐴) − (1 − 𝐴)))
259 congmul 42955 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐹↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐹↑2) − 1) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) − 𝐴) − (1 − 𝐴)))) → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) − (1 · (1 − 𝐴))))
260211, 222, 223, 195, 217, 256, 258, 259syl322anc 1397 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) − (1 · (1 − 𝐴))))
261 congadd 42954 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐴𝐴) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) − (1 · (1 − 𝐴))))) → (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴)))))
262211, 213, 213, 214, 219, 221, 260, 261syl322anc 1397 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴)))))
26347a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
264217zcnd 12720 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
265264mullidd 11276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · (1 − 𝐴)) = (1 − 𝐴))
266265oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴))) = (𝐴 + (1 − 𝐴)))
267 pncan3 11513 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
268200, 187, 267sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
269266, 268eqtr2d 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 = (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴))))
270263, 269oveq12d 7448 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 − 1) = ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴)))))
271262, 270breqtrrd 5175 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
272 eluzelz 12885 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → 𝐺 ∈ ℤ)
27382, 272syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
274273, 213zsubcld 12724 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
27585, 87eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
276275, 14zsubcld 12724 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐶) ∈ ℤ)
277 jm2.15nn0 42991 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐺𝐴) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − (𝐴 Yrm 𝐵)))
27882, 2, 90, 277syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − (𝐴 Yrm 𝐵)))
27985a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐵))
280279, 12oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝐵) − (𝐴 Yrm 𝐵)))
281278, 280breqtrrd 5175 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∥ (𝐻𝐶))
282194, 274, 276, 208, 281dvdstrd 16328 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∥ (𝐻𝐶))
283 peano2zm 12657 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
284273, 283syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
285275, 4zsubcld 12724 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ ℤ)
286 jm2.16nn0 42992 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − 𝐵))
28782, 90, 286syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − 𝐵))
28885oveq1i 7440 . . . . . . . 8 (𝐻𝐵) = ((𝐺 Yrm 𝐵) − 𝐵)
289287, 288breqtrrdi 5189 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻𝐵))
290211, 284, 285, 271, 289dvdstrd 16328 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))
291 rmygeid 42952 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 Yrm 𝐵))
2922, 90, 291syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≤ (𝐴 Yrm 𝐵))
293292, 12breqtrrd 5175 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
294290, 293jca 511 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵) ∧ 𝐵𝐶))
295271, 282, 294jca31 514 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))
296173, 209, 295jca31 514 . . 3 (𝜑 → (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
297158, 296jca 511 . 2 (𝜑 → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
29845, 103, 297jca31 514 1 (𝜑 → (((𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝐺 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  cexp 14098  cdvds 16286   Xrm crmx 42887   Yrm crmy 42888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-numer 16768  df-denom 16769  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-squarenn 42828  df-pell1qr 42829  df-pell14qr 42830  df-pell1234qr 42831  df-pellfund 42832  df-rmx 42889  df-rmy 42890
This theorem is referenced by:  jm2.27  42996
  Copyright terms: Public domain W3C validator