Theorem jm2.27c 40745

Description: Lemma for jm2.27 40746. Forward direction with substitutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27c4	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
jm2.27c5	⊢ 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝐵)
jm2.27c6	⊢ 𝑄 = (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))
jm2.27c7	⊢ 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))
jm2.27c8	⊢ 𝐹 = (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))
jm2.27c9	⊢ 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
jm2.27c10	⊢ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐵)
jm2.27c11	⊢ 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝐵)
jm2.27c12	⊢ 𝐽 = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1)

Assertion

Ref	Expression
jm2.27c	⊢ (𝜑 → (((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝐺 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))))

Proof of Theorem jm2.27c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27c5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝐵)
2		jm2.27a1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
3		jm2.27a2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		frmx 40651	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
6	5	fovcl 7380	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
7	2, 4, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
8	1, 7	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
9		jm2.27c7	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))
10		2z 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		jm2.27c6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))
12		jm2.27c4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
13		jm2.27a3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
15	12, 14	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
16	4, 15	zmulcld 12361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∈ ℤ)
17	11, 16	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
18		zmulcl 12299	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
19	10, 17, 18	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
20		frmy 40652	. . . . . . 7 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
21	20	fovcl 7380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℤ)
22	2, 19, 21	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℤ)
23		rmy0 40667	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
24	2, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
25		2nn 11976	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	12, 13	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) ∈ ℕ)
27	3, 26	nnmulcld 11956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∈ ℕ)
28	11, 27	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
29		nnmulcl 11927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (2 · 𝑄) ∈ ℕ)
30	25, 28, 29	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℕ0)
32	31	nn0ge0d 12226	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑄))
33		0zd 12261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
34		lermy 40693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
35	2, 33, 19, 34	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
36	32, 35	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
37	24, 36	eqbrtrrd 5094	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
38		elnn0z 12262	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
39	22, 37, 38	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
40	9, 39	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
41		jm2.27c8	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))
42	5	fovcl 7380	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
43	2, 19, 42	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
44	41, 43	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
45	8, 40, 44	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0))
46		2nn0 12180	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
47		jm2.27c9	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
48	44	nn0cnd 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
49	48	sqvald 13789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) = (𝐹 · 𝐹))
50	44, 44	nn0mulcld 12228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐹) ∈ ℕ0)
51	49, 50	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
52		eluz2nn 12553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
53	2, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
55	54	nn0red 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
56	44	nn0red 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
57	56, 56	remulcld 10936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐹) ∈ ℝ)
58		rmx1 40664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
59	2, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
60	30	nnge1d 11951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (2 · 𝑄))
61		1nn0 12179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
63		lermxnn0 40688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℕ0) → (1 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Xrm 1) ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))))
64	2, 62, 31, 63	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Xrm 1) ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄))))
65	60, 64	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 1) ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)))
66	59, 65	eqbrtrrd 5094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)))
67	66, 41	breqtrrdi 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐹)
68	44	nn0ge0d 12226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐹)
69		rmxnn 40689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ)
70	2, 19, 69	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm (2 · 𝑄)) ∈ ℕ)
71	41, 70	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ)
72	71	nnge1d 11951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐹)
73	56, 56, 68, 72	lemulge12d 11843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≤ (𝐹 · 𝐹))
74	55, 56, 57, 67, 73	letrd 11062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐹 · 𝐹))
75	74, 49	breqtrrd 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐹↑2))
76		nn0sub 12213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹↑2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝐹↑2) ↔ ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℕ0))
77	54, 51, 76	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝐹↑2) ↔ ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℕ0))
78	75, 77	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℕ0)
79	51, 78	nn0mulcld 12228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℕ0)
80		uzaddcl 12573	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ≥‘2))
81	2, 79, 80	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ≥‘2))
82	47, 81	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
83		eluznn0 12586	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ0)
84	46, 82, 83	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
85		jm2.27c10	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐵)
86	20	fovcl 7380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
87	82, 4, 86	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
88		rmy0 40667	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
89	82, 88	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
90	3	nnnn0d 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
91	90	nn0ge0d 12226	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
92		lermy 40693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝐵)))
93	82, 33, 4, 92	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝐵)))
94	91, 93	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝐵))
95	89, 94	eqbrtrrd 5094	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Yrm 𝐵))
96		elnn0z 12262	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐺 Yrm 𝐵)))
97	87, 95, 96	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
98	85, 97	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
99		jm2.27c11	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝐵)
100	5	fovcl 7380	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐺 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
101	82, 4, 100	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
102	99, 101	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
103	84, 98, 102	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
104		jm2.27c12	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
105		zsqcl 13776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
106	15, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
107		zmulcl 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∈ ℤ)
108	10, 106, 107	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∈ ℤ)
109	20	fovcl 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ)
110	2, 17, 109	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ)
111		zmulcl 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ ℤ)
112	10, 110, 111	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ ℤ)
113		iddvds 15907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∈ ℤ → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))
114	16, 113	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))
115	114, 11	breqtrrdi 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ 𝑄)
116		jm2.20nn 40735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ 𝑄))
117	2, 28, 3, 116	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) ∥ 𝑄))
118	115, 117	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
119	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
120		dvdscmul 15920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (2 · (𝐴 Yrm 𝑄))))
121	106, 110, 119, 120	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝐵)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (2 · (𝐴 Yrm 𝑄))))
122	118, 121	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)))
123	5	fovcl 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℕ0)
124	2, 17, 123	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℕ0)
125	124	nn0zd 12353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
126		dvdsmul1 15915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
127	112, 125, 126	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
128		rmydbl 40678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑄)) · (𝐴 Yrm 𝑄)))
129	2, 17, 128	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑄)) · (𝐴 Yrm 𝑄)))
130		2cnd 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
131	124	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℂ)
132	110	zcnd 12356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) ∈ ℂ)
133	130, 131, 132	mul32d 11115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑄)) · (𝐴 Yrm 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
134	129, 133	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) · (𝐴 Xrm 𝑄)))
135	127, 134	breqtrrd 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 Yrm 𝑄)) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
136	108, 112, 22, 122, 135	dvdstrd 15932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
137	12	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))
138	137	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) = (2 · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)))
139	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
140	136, 138, 139	3brtr4d 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∥ 𝐸)
141	9, 22	eqeltrid 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
142	30	nngt0d 11952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑄))
143		ltrmy 40690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (0 < (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
144	2, 33, 19, 143	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 < (2 · 𝑄) ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 · 𝑄))))
145	142, 144	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm (2 · 𝑄)))
146	24	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐴 Yrm 0))
147	145, 146, 139	3brtr4d 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
148		elnnz 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ ↔ (𝐸 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐸))
149	141, 147, 148	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
150	13	nnsqcld 13887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
151		nnmulcl 11927	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
152	25, 150, 151	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
153		nndivdvds 15900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℕ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ) → ((2 · (𝐶↑2)) ∥ 𝐸 ↔ (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ))
154	149, 152, 153	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐶↑2)) ∥ 𝐸 ↔ (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ))
155	140, 154	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ)
156		nnm1nn0 12204	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℕ → ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0)
157	155, 156	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0)
158	104, 157	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
159	1	oveq1i 7265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐵)↑2)
160	159	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐵)↑2))
161	137	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2)))
162	160, 161	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))))
163		rmxynorm 40656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
164	2, 4, 163	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
165	162, 164	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
166	41	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹↑2) = ((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2)
167	9	oveq1i 7265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸↑2) = ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2)
168	167	oveq2i 7266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2))
169	166, 168	oveq12i 7267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = (((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2)))
170		rmxynorm 40656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑄) ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2))) = 1)
171	2, 19, 170	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Xrm (2 · 𝑄))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · 𝑄))↑2))) = 1)
172	169, 171	syl5eq 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
173	165, 172, 82	3jca 1126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)))
174	99	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼↑2) = ((𝐺 Xrm 𝐵)↑2)
175	85	oveq1i 7265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻↑2) = ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2)
176	175	oveq2i 7266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2)) = (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2))
177	174, 176	oveq12i 7267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = (((𝐺 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2)))
178		rmxynorm 40656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐺 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
179	82, 4, 178	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · ((𝐺 Yrm 𝐵)↑2))) = 1)
180	177, 179	syl5eq 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
181	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1))
182	181	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) = (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
183	141	zcnd 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
184	152	nncnd 11919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
185	152	nnne0d 11953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ≠ 0)
186	183, 184, 185	divcld 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ)
187		ax-1cn 10860	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
188		npcan 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) = (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))))
189	186, 187, 188	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) = (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))))
190	182, 189	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) = (𝐸 / (2 · (𝐶↑2))))
191	190	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) · (2 · (𝐶↑2))))
192	183, 184, 185	divcan1d 11682	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (𝐶↑2))) · (2 · (𝐶↑2))) = 𝐸)
193	191, 192	eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
194	44	nn0zd 12353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
195	78	nn0zd 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℤ)
196	194, 195	zmulcld 12361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ)
197		dvdsmul1 15915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ) → 𝐹 ∥ (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
198	194, 196, 197	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
199	47	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 − 𝐴) = ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − 𝐴)
200	54	nn0cnd 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
201	79	nn0cnd 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℂ)
202	200, 201	pncan2d 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − 𝐴) = ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
203	49	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) = ((𝐹 · 𝐹) · ((𝐹↑2) − 𝐴)))
204	78	nn0cnd 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
205	48, 48, 204	mulassd 10929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐹) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) = (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
206	202, 203, 205	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − 𝐴) = (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
207	199, 206	syl5eq 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐴) = (𝐹 · (𝐹 · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
208	198, 207	breqtrrd 5098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
209	180, 193, 208	3jca 1126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴)))
210		zmulcl 12299	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
211	10, 14, 210	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
212		eluzelz 12521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
213	2, 212	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
214	79	nn0zd 12353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ)
215		1z 12280	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
216		zsubcl 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
217	215, 213, 216	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
218		zmulcl 12299	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℤ)
219	215, 217, 218	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℤ)
220		congid 40709	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐴))
221	211, 213, 220	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐴))
222	51	nn0zd 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
223	215	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
224	13	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
225	130, 224, 224	mulassd 10929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) · 𝐶) = (2 · (𝐶 · 𝐶)))
226	224	sqvald 13789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
227	226	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) = (2 · (𝐶 · 𝐶)))
228	225, 227	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) · 𝐶) = (2 · (𝐶↑2)))
229	228, 140	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) · 𝐶) ∥ 𝐸)
230		muldvds1 15918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐶) · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ 𝐸))
231	211, 14, 141, 230	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ 𝐸))
232	229, 231	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ 𝐸)
233		zsqcl 13776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
234	213, 233	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
235		peano2zm 12293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℤ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
236	234, 235	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
237	236, 141	zmulcld 12361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) ∈ ℤ)
238		dvdsmultr2 15935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸)))
239	211, 237, 141, 238	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ 𝐸 → (2 · 𝐶) ∥ ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸)))
240	232, 239	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸))
241	183	sqvald 13789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) = (𝐸 · 𝐸))
242	241	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸 · 𝐸)))
243	200	sqcld 13790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
244		subcl 11150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
245	243, 187, 244	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
246	245, 183, 183	mulassd 10929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸 · 𝐸)))
247	242, 246	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) = ((((𝐴↑2) − 1) · 𝐸) · 𝐸))
248	240, 247	breqtrrd 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)))
249	48	sqcld 13790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
250	183	sqcld 13790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
251	245, 250	mulcld 10926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
252	187	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
253		subsub23 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ↔ ((𝐹↑2) − 1) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))))
254	249, 251, 252, 253	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ↔ ((𝐹↑2) − 1) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))))
255	172, 254	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − 1) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2)))
256	248, 255	breqtrrd 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ ((𝐹↑2) − 1))
257		congsub 40708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐹↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐹↑2) − 1) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐴))) → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) − 𝐴) − (1 − 𝐴)))
258	211, 222, 223, 213, 213, 256, 221, 257	syl322anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) − 𝐴) − (1 − 𝐴)))
259		congmul 40705	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐹↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (((𝐹↑2) − 𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐹↑2) − 1) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) − 𝐴) − (1 − 𝐴)))) → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) − (1 · (1 − 𝐴))))
260	211, 222, 223, 195, 217, 256, 258, 259	syl322anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) − (1 · (1 − 𝐴))))
261		congadd 40704	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (1 · (1 − 𝐴)) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐴) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴)) − (1 · (1 − 𝐴))))) → (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴)))))
262	211, 213, 213, 214, 219, 221, 260, 261	syl322anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴)))))
263	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))))
264	217	zcnd 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
265	264	mulid2d 10924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 − 𝐴)) = (1 − 𝐴))
266	265	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴))) = (𝐴 + (1 − 𝐴)))
267		pncan3 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
268	200, 187, 267	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
269	266, 268	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴))))
270	263, 269	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) = ((𝐴 + ((𝐹↑2) · ((𝐹↑2) − 𝐴))) − (𝐴 + (1 · (1 − 𝐴)))))
271	262, 270	breqtrrd 5098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
272		eluzelz 12521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐺 ∈ ℤ)
273	82, 272	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
274	273, 213	zsubcld 12360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐴) ∈ ℤ)
275	85, 87	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
276	275, 14	zsubcld 12360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐶) ∈ ℤ)
277		jm2.15nn0 40741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 𝐴) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − (𝐴 Yrm 𝐵)))
278	82, 2, 90, 277	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐴) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − (𝐴 Yrm 𝐵)))
279	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝐵))
280	279, 12	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝐵) − (𝐴 Yrm 𝐵)))
281	278, 280	breqtrrd 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐴) ∥ (𝐻 − 𝐶))
282	194, 274, 276, 208, 281	dvdstrd 15932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
283		peano2zm 12293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
284	273, 283	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
285	275, 4	zsubcld 12360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐵) ∈ ℤ)
286		jm2.16nn0 40742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − 𝐵))
287	82, 90, 286	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝐵) − 𝐵))
288	85	oveq1i 7265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 − 𝐵) = ((𝐺 Yrm 𝐵) − 𝐵)
289	287, 288	breqtrrdi 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻 − 𝐵))
290	211, 284, 285, 271, 289	dvdstrd 15932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
291		rmygeid 40702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 Yrm 𝐵))
292	2, 90, 291	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐴 Yrm 𝐵))
293	292, 12	breqtrrd 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
294	290, 293	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
295	271, 282, 294	jca31 514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
296	173, 209, 295	jca31 514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
297	158, 296	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
298	45, 103, 297	jca31 514	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝐺 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ (((((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ∧ 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ↑cexp 13710   ∥ cdvds 15891   X_rm crmx 40638   Y_rm crmy 40639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-numer 16367  df-denom 16368  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-squarenn 40579  df-pell1qr 40580  df-pell14qr 40581  df-pell1234qr 40582  df-pellfund 40583  df-rmx 40640  df-rmy 40641

This theorem is referenced by:  jm2.27  40746