Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.25 42423
Description: Lemma for jm2.26 42426. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.25 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝐼 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))

Proof of Theorem jm2.25
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 simprrr 780 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 frmx 42337 . . . . . . . . . . 11 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
43fovcl 7553 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
54nn0zd 12620 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
61, 2, 5syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
7 simprrl 779 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 frmy 42338 . . . . . . . . . 10 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
98fovcl 7553 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
101, 7, 9syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
11 congid 42395 . . . . . . . 8 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
126, 10, 11syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
13 2cnd 12326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ β„‚)
14 zcn 12599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1513, 14mulcld 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
1615mul02d 11448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0 Β· (2 Β· 𝑁)) = 0)
1716adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 Β· (2 Β· 𝑁)) = 0)
1817oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁))) = (𝑀 + 0))
19 zcn 12599 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
2019addridd 11450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 0) = 𝑀)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 + 0) = 𝑀)
2218, 21eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁))) = 𝑀)
2322ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁))) = 𝑀)
2423oveq2d 7440 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2524oveq1d 7439 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
2612, 25breqtrrd 5178 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
2726orcd 871 . . . . 5 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
2827ex 411 . . . 4 (𝐼 ∈ β„€ β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
29 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
30 simprrr 780 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3129, 30, 5syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
32 simprrl 779 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3329, 32, 9syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
34 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
3534peano2zd 12705 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„€)
36 eluzel2 12863 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„€)
3736ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 2 ∈ β„€)
3837, 30zmulcld 12708 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
3935, 38zmulcld 12708 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
4032, 39zaddcld 12706 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁))) ∈ β„€)
418fovcl 7553 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁))) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€)
4229, 40, 41syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€)
4334, 38zmulcld 12708 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
4432, 43zaddcld 12706 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) ∈ β„€)
458fovcl 7553 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€)
4629, 44, 45syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€)
473fovcl 7553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) ∈ β„•0)
4847nn0zd 12620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
4929, 38, 48syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
5046, 49zmulcld 12708 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) ∈ β„€)
5146znegcld 12704 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€)
5250, 51zsubcld 12707 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))) ∈ β„€)
533fovcl 7553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„•0)
5453nn0zd 12620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€)
5529, 44, 54syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€)
568fovcl 7553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
5729, 38, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
5855, 57zmulcld 12708 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁))) ∈ β„€)
5937, 31zmulcld 12708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„€)
60 dvdsmul2 16261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
6159, 31, 60syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
62 rmxdbl 42363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) = ((2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) βˆ’ 1))
6329, 30, 62syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) = ((2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) βˆ’ 1))
6463oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1) = (((2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) βˆ’ 1) + 1))
65 2cnd 12326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 2 ∈ β„‚)
6629, 30, 4syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
6766nn0cnd 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚)
6867sqcld 14146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ β„‚)
6965, 68mulcld 11270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) ∈ β„‚)
70 1cnd 11245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 1 ∈ β„‚)
7169, 70npcand 11611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (((2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) βˆ’ 1) + 1) = (2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
7267sqvald 14145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
7372oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) = (2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑁))))
74 mulass 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ β„‚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) = (2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑁))))
7574eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ β„‚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
7665, 67, 67, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
7773, 76eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (2 Β· ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) = ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
7864, 71, 773eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1) = ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
7961, 78breqtrrd 5178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1))
8049peano2zd 12705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1) ∈ β„€)
81 dvdsmultr2 16280 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1))))
8231, 46, 80, 81syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1))))
8379, 82mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1)))
8446zcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„‚)
8584mulridd 11267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· 1) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))))
8685oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) + ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) + (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))))
8749zcnd 12703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
8884, 87, 70adddid 11274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) + ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· 1)))
8950zcnd 12703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) ∈ β„‚)
9089, 84subnegd 11614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) + (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))))
9186, 88, 903eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· ((𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))))
9283, 91breqtrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))))
938fovcl 7553 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
9429, 30, 93syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
9537, 94zmulcld 12708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
96 dvdsmul2 16261 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
9795, 31, 96syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
98 rmydbl 42364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)) = ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
9929, 30, 98syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)) = ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
10094zcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
10165, 67, 100mul32d 11460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((2 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
10299, 101eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)) = ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
10397, 102breqtrrd 5178 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))
104 dvdsmultr2 16280 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))))
10531, 55, 57, 104syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))))
106103, 105mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁))))
10731, 52, 58, 92, 106dvds2addd 16274 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))))
10834zcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
10938zcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
110108, 70, 109adddird 11275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)) = ((𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)) + (1 Β· (2 Β· 𝑁))))
111110oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)) + (1 Β· (2 Β· 𝑁)))))
11232zcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
11343zcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
114 1zzd 12629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ 1 ∈ β„€)
115114, 38zmulcld 12708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (1 Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
116115zcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (1 Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
117112, 113, 116addassd 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) + (1 Β· (2 Β· 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)) + (1 Β· (2 Β· 𝑁)))))
118109mullidd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (1 Β· (2 Β· 𝑁)) = (2 Β· 𝑁))
119118oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) + (1 Β· (2 Β· 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) + (2 Β· 𝑁)))
120111, 117, 1193eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) + (2 Β· 𝑁)))
121120oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) + (2 Β· 𝑁))))
122 rmyadd 42355 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) + (2 Β· 𝑁))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))))
12329, 44, 38, 122syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))) + (2 Β· 𝑁))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))))
124121, 123eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))))
125124oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))))
12658zcnd 12703 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁))) ∈ β„‚)
12751zcnd 12703 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„‚)
12889, 126, 127addsubd 11628 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))))
129125, 128eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Xrm (2 Β· 𝑁))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) Β· (𝐴 Yrm (2 Β· 𝑁)))))
130107, 129breqtrrd 5178 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))))
131130olcd 872 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))))))
132 jm2.25lem1 42422 . . . . . . 7 ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))))) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
13331, 33, 42, 46, 131, 132syl221anc 1378 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
134133pm5.74da 802 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„€ β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
135 oveq1 7431 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))
136135oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁))) = (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁))))
137136oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))))
138137oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
139138breq2d 5162 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))))
140137oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))
141140breq2d 5162 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
142139, 141orbi12d 916 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
143142imbi2d 339 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
144 oveq1 7431 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))
145144oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁))))
146145oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))))
147146oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
148147breq2d 5162 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))))
149146oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))
150149breq2d 5162 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
151148, 150orbi12d 916 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
152151imbi2d 339 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
153 oveq1 7431 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (0 Β· (2 Β· 𝑁)))
154153oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 0 β†’ (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁))) = (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁))))
155154oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))))
156155oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
157156breq2d 5162 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))))
158155oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159158breq2d 5162 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160157, 159orbi12d 916 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
161160imbi2d 339 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
162 oveq1 7431 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))
163162oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁))) = (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁))))
164163oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))))
165164oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
166165breq2d 5162 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))))
167164oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))
168167breq2d 5162 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
169166, 168orbi12d 916 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
170169imbi2d 339 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
171134, 143, 152, 161, 170zindbi 42370 . . . 4 (𝐼 ∈ β„€ β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
17228, 171mpbid 231 . . 3 (𝐼 ∈ β„€ β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
173172impcom 406 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) ∧ 𝐼 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
1741733impa 1107 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝐼 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„‚cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   Β· cmul 11149   βˆ’ cmin 11480  -cneg 11481  2c2 12303  β„•0cn0 12508  β„€cz 12594  β„€β‰₯cuz 12858  β†‘cexp 14064   βˆ₯ cdvds 16236   Xrm crmx 42323   Yrm crmy 42324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-omul 8496  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-acn 9971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-pi 16054  df-dvds 16237  df-gcd 16475  df-numer 16712  df-denom 16713  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-squarenn 42264  df-pell1qr 42265  df-pell14qr 42266  df-pell1234qr 42267  df-pellfund 42268  df-rmx 42325  df-rmy 42326
This theorem is referenced by:  jm2.26a  42424
  Copyright terms: Public domain W3C validator