Theorem jm2.25 43427

Description: Lemma for jm2.26 43430. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.25	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))

Proof of Theorem jm2.25

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		simprrr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		frmx 43341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
4	3	fovcl 7495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 2, 5	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
7		simprrl 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		frmy 43342	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
9	8	fovcl 7495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
10	1, 7, 9	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
11		congid 43399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
12	6, 10, 11	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
13		2cnd 12259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14		zcn 12529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
16	15	mul02d 11344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
18	17	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + 0))
19		zcn 12529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
20	19	addridd 11346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
22	18, 21	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
23	22	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
24	23	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
25	24	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
26	12, 25	breqtrrd 5113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
27	26	orcd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
28	27	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
29		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
30		simprrr 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
31	29, 30, 5	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
32		simprrl 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	29, 32, 9	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
34		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
35	34	peano2zd 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
36		eluzel2 12793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℤ)
38	37, 30	zmulcld 12639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
39	35, 38	zmulcld 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
40	32, 39	zaddcld 12637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
41	8	fovcl 7495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
42	29, 40, 41	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
43	34, 38	zmulcld 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
44	32, 43	zaddcld 12637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
45	8	fovcl 7495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
46	29, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
47	3	fovcl 7495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
48	47	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
49	29, 38, 48	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
50	46, 49	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
51	46	znegcld 12635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
52	50, 51	zsubcld 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∈ ℤ)
53	3	fovcl 7495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℕ0)
54	53	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
55	29, 44, 54	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
56	8	fovcl 7495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
57	29, 38, 56	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
58	55, 57	zmulcld 12639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
59	37, 31	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℤ)
60		dvdsmul2 16247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
61	59, 31, 60	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
62		rmxdbl 43367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1))
63	29, 30, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1))
64	63	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) = (((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1) + 1))
65		2cnd 12259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℂ)
66	29, 30, 4	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
67	66	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
68	67	sqcld 14106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
69	65, 68	mulcld 11165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℂ)
71	69, 70	npcand 11509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1) + 1) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
72	67	sqvald 14105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
73	72	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))))
74		mulass 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))))
75	74	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
76	65, 67, 67, 75	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
77	73, 76	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
78	64, 71, 77	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
79	61, 78	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))
80	49	peano2zd 12636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
81		dvdsmultr2 16267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))))
82	31, 46, 80, 81	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))))
83	79, 82	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)))
84	46	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
85	84	mulridd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
86	85	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
87	49	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
88	84, 87, 70	adddid 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)))
89	50	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
90	89, 84	subnegd 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
91	86, 88, 90	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
92	83, 91	breqtrd 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
93	8	fovcl 7495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
94	29, 30, 93	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
95	37, 94	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
96		dvdsmul2 16247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
97	95, 31, 96	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
98		rmydbl 43368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
99	29, 30, 98	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
100	94	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
101	65, 67, 100	mul32d 11356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
102	99, 101	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
103	97, 102	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))
104		dvdsmultr2 16267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
105	31, 55, 57, 104	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
106	103, 105	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))))
107	31, 52, 58, 92, 106	dvds2addd 16261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
108	34	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℂ)
109	38	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
110	108, 70, 109	adddird 11170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁))))
111	110	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
112	32	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℂ)
113	43	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
114		1zzd 12558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℤ)
115	114, 38	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
116	115	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
117	112, 113, 116	addassd 11167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
118	109	mullidd 11163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
119	118	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
120	111, 117, 119	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
121	120	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))))
122		rmyadd 43359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
123	29, 44, 38, 122	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
124	121, 123	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
125	124	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
126	58	zcnd 12634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
127	51	zcnd 12634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
128	89, 126, 127	addsubd 11526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
129	125, 128	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
130	107, 129	breqtrrd 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
131	130	olcd 875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))))
132		jm2.25lem1 43426	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
133	31, 33, 42, 46, 131, 132	syl221anc 1384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
134	133	pm5.74da 804	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
135		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝑏 · (2 · 𝑁)))
136	135	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))
137	136	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
138	137	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
139	138	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
140	137	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
141	140	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
142	139, 141	orbi12d 919	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
143	142	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
144		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))
145	144	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))))
146	145	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))))
147	146	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
148	147	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
149	146	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
150	149	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
151	148, 150	orbi12d 919	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
152	151	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
153		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (0 · (2 · 𝑁)))
154	153	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))))
155	154	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))))
156	155	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
157	156	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
158	155	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159	158	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160	157, 159	orbi12d 919	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
161	160	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
162		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐼 · (2 · 𝑁)))
163	162	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁))))
164	163	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))))
165	164	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
166	165	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
167	164	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
168	167	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
169	166, 168	orbi12d 919	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
170	169	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
171	134, 143, 152, 161, 170	zindbi 43374	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
172	28, 171	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
173	172	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
174	173	3impa 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  -cneg 11378  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16221   X_rm crmx 43328   Y_rm crmy 43329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-numer 16705  df-denom 16706  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-squarenn 43269  df-pell1qr 43270  df-pell14qr 43271  df-pell1234qr 43272  df-pellfund 43273  df-rmx 43330  df-rmy 43331

This theorem is referenced by:  jm2.26a  43428