Theorem jm2.25 42693

Description: Lemma for jm2.26 42696. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.25	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))

Proof of Theorem jm2.25

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		simprrr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		frmx 42607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
4	3	fovcl 7545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 2, 5	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
7		simprrl 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		frmy 42608	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
9	8	fovcl 7545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
10	1, 7, 9	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
11		congid 42665	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
12	6, 10, 11	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
13		2cnd 12335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14		zcn 12608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
16	15	mul02d 11452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
17	16	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
18	17	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + 0))
19		zcn 12608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
20	19	addridd 11454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
21	20	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
22	18, 21	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
23	22	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
24	23	oveq2d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
25	24	oveq1d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
26	12, 25	breqtrrd 5173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
27	26	orcd 871	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
28	27	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
29		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
30		simprrr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
31	29, 30, 5	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
32		simprrl 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	29, 32, 9	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
34		simpl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
35	34	peano2zd 12714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
36		eluzel2 12872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℤ)
38	37, 30	zmulcld 12717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
39	35, 38	zmulcld 12717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
40	32, 39	zaddcld 12715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
41	8	fovcl 7545	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
42	29, 40, 41	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
43	34, 38	zmulcld 12717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
44	32, 43	zaddcld 12715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
45	8	fovcl 7545	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
46	29, 44, 45	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
47	3	fovcl 7545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
48	47	nn0zd 12629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
49	29, 38, 48	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
50	46, 49	zmulcld 12717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
51	46	znegcld 12713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
52	50, 51	zsubcld 12716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∈ ℤ)
53	3	fovcl 7545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℕ0)
54	53	nn0zd 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
55	29, 44, 54	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
56	8	fovcl 7545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
57	29, 38, 56	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
58	55, 57	zmulcld 12717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
59	37, 31	zmulcld 12717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℤ)
60		dvdsmul2 16275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
61	59, 31, 60	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
62		rmxdbl 42633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1))
63	29, 30, 62	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1))
64	63	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) = (((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1) + 1))
65		2cnd 12335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℂ)
66	29, 30, 4	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
67	66	nn0cnd 12579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
68	67	sqcld 14156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
69	65, 68	mulcld 11274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℂ)
71	69, 70	npcand 11615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1) + 1) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
72	67	sqvald 14155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
73	72	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))))
74		mulass 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))))
75	74	eqcomd 2732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
76	65, 67, 67, 75	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
77	73, 76	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
78	64, 71, 77	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
79	61, 78	breqtrrd 5173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))
80	49	peano2zd 12714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
81		dvdsmultr2 16294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))))
82	31, 46, 80, 81	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))))
83	79, 82	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)))
84	46	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
85	84	mulridd 11271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
86	85	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
87	49	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
88	84, 87, 70	adddid 11278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)))
89	50	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
90	89, 84	subnegd 11618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
91	86, 88, 90	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
92	83, 91	breqtrd 5171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
93	8	fovcl 7545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
94	29, 30, 93	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
95	37, 94	zmulcld 12717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
96		dvdsmul2 16275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
97	95, 31, 96	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
98		rmydbl 42634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
99	29, 30, 98	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
100	94	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
101	65, 67, 100	mul32d 11464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
102	99, 101	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
103	97, 102	breqtrrd 5173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))
104		dvdsmultr2 16294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
105	31, 55, 57, 104	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
106	103, 105	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))))
107	31, 52, 58, 92, 106	dvds2addd 16288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
108	34	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℂ)
109	38	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
110	108, 70, 109	adddird 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁))))
111	110	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
112	32	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℂ)
113	43	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
114		1zzd 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℤ)
115	114, 38	zmulcld 12717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
116	115	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
117	112, 113, 116	addassd 11276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
118	109	mullidd 11272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
119	118	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
120	111, 117, 119	3eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
121	120	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))))
122		rmyadd 42625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
123	29, 44, 38, 122	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
124	121, 123	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
125	124	oveq1d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
126	58	zcnd 12712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
127	51	zcnd 12712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
128	89, 126, 127	addsubd 11632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
129	125, 128	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
130	107, 129	breqtrrd 5173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
131	130	olcd 872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))))
132		jm2.25lem1 42692	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
133	31, 33, 42, 46, 131, 132	syl221anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
134	133	pm5.74da 802	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
135		oveq1 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝑏 · (2 · 𝑁)))
136	135	oveq2d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))
137	136	oveq2d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
138	137	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
139	138	breq2d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
140	137	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
141	140	breq2d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
142	139, 141	orbi12d 916	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
143	142	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
144		oveq1 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))
145	144	oveq2d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))))
146	145	oveq2d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))))
147	146	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
148	147	breq2d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
149	146	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
150	149	breq2d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
151	148, 150	orbi12d 916	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
152	151	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
153		oveq1 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (0 · (2 · 𝑁)))
154	153	oveq2d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))))
155	154	oveq2d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))))
156	155	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
157	156	breq2d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
158	155	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159	158	breq2d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160	157, 159	orbi12d 916	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
161	160	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
162		oveq1 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐼 · (2 · 𝑁)))
163	162	oveq2d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁))))
164	163	oveq2d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))))
165	164	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
166	165	breq2d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
167	164	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
168	167	breq2d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
169	166, 168	orbi12d 916	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
170	169	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
171	134, 143, 152, 161, 170	zindbi 42640	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
172	28, 171	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
173	172	impcom 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
174	173	3impa 1107	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5145  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415  ℂcc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   · cmul 11153   − cmin 11484  -cneg 11485  2c2 12312  ℕ₀cn0 12517  ℤcz 12603  ℤ_≥cuz 12867  ↑cexp 14074   ∥ cdvds 16250   X_rm crmx 42593   Y_rm crmy 42594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-inf2 9676  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-isom 6554  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8848  df-pm 8849  df-ixp 8918  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-fsupp 9398  df-fi 9446  df-sup 9477  df-inf 9478  df-oi 9545  df-card 9974  df-acn 9977  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-xnn0 12590  df-z 12604  df-dec 12723  df-uz 12868  df-q 12978  df-rp 13022  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13532  df-fzo 13675  df-fl 13805  df-mod 13883  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14285  df-bc 14314  df-hash 14342  df-shft 15066  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-limsup 15467  df-clim 15484  df-rlim 15485  df-sum 15685  df-ef 16063  df-sin 16065  df-cos 16066  df-pi 16068  df-dvds 16251  df-gcd 16489  df-numer 16731  df-denom 16732  df-struct 17143  df-sets 17160  df-slot 17178  df-ndx 17190  df-base 17208  df-ress 17237  df-plusg 17273  df-mulr 17274  df-starv 17275  df-sca 17276  df-vsca 17277  df-ip 17278  df-tset 17279  df-ple 17280  df-ds 17282  df-unif 17283  df-hom 17284  df-cco 17285  df-rest 17431  df-topn 17432  df-0g 17450  df-gsum 17451  df-topgen 17452  df-pt 17453  df-prds 17456  df-xrs 17511  df-qtop 17516  df-imas 17517  df-xps 17519  df-mre 17593  df-mrc 17594  df-acs 17596  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18768  df-mulg 19057  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-psmet 21330  df-xmet 21331  df-met 21332  df-bl 21333  df-mopn 21334  df-fbas 21335  df-fg 21336  df-cnfld 21339  df-top 22883  df-topon 22900  df-topsp 22922  df-bases 22936  df-cld 23010  df-ntr 23011  df-cls 23012  df-nei 23089  df-lp 23127  df-perf 23128  df-cn 23218  df-cnp 23219  df-haus 23306  df-tx 23553  df-hmeo 23746  df-fil 23837  df-fm 23929  df-flim 23930  df-flf 23931  df-xms 24313  df-ms 24314  df-tms 24315  df-cncf 24885  df-limc 25882  df-dv 25883  df-log 26579  df-squarenn 42534  df-pell1qr 42535  df-pell14qr 42536  df-pell1234qr 42537  df-pellfund 42538  df-rmx 42595  df-rmy 42596

This theorem is referenced by:  jm2.26a  42694