jm2.25 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem jm2.25 42297

Description: Lemma for jm2.26 42300. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.25	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))

Proof of Theorem jm2.25 Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		simprrr 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		frmx 42211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
4	3	fovcl 7532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
5	4	nn0zd 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 2, 5	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
7		simprrl 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		frmy 42212	. . . . . . . . . 10 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
9	8	fovcl 7532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
10	1, 7, 9	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
11		congid 42269	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑀) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
12	6, 10, 11	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑀) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
13		2cnd 12291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14		zcn 12564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
16	15	mul02d 11413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
18	17	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + 0))
19		zcn 12564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
20	19	addridd 11415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
22	18, 21	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
23	22	ad2antll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
24	23	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm 𝑀))
25	24	oveq1d 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
26	12, 25	breqtrrd 5169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
27	26	orcd 870	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
28	27	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
29		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
30		simprrr 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
31	29, 30, 5	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
32		simprrl 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	29, 32, 9	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
34		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
35	34	peano2zd 12670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
36		eluzel2 12828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℤ)
38	37, 30	zmulcld 12673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
39	35, 38	zmulcld 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
40	32, 39	zaddcld 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
41	8	fovcl 7532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
42	29, 40, 41	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
43	34, 38	zmulcld 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
44	32, 43	zaddcld 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
45	8	fovcl 7532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
46	29, 44, 45	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
47	3	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
48	47	nn0zd 12585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
49	29, 38, 48	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
50	46, 49	zmulcld 12673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
51	46	znegcld 12669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
52	50, 51	zsubcld 12672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∈ ℤ)
53	3	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℕ₀)
54	53	nn0zd 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
55	29, 44, 54	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
56	8	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
57	29, 38, 56	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
58	55, 57	zmulcld 12673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
59	37, 31	zmulcld 12673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℤ)
60		dvdsmul2 16227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
61	59, 31, 60	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
62		rmxdbl 42237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) − 1))
63	29, 30, 62	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) − 1))
64	63	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) = (((2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) − 1) + 1))
65		2cnd 12291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℂ)
66	29, 30, 4	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
67	66	nn0cnd 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ)
68	67	sqcld 14112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
69	65, 68	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℂ)
71	69, 70	npcand 11576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) − 1) + 1) = (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)))
72	67	sqvald 14111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) = ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
73	72	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) = (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 X_rm 𝑁))))
74		mulass 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)) = (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 X_rm 𝑁))))
75	74	eqcomd 2732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 X_rm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
76	65, 67, 67, 75	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 X_rm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
77	73, 76	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
78	64, 71, 77	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
79	61, 78	breqtrrd 5169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1))
80	49	peano2zd 12670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
81		dvdsmultr2 16246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1))))
82	31, 46, 80, 81	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1))))
83	79, 82	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1)))
84	46	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
85	84	mulridd 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1) = (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
86	85	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
87	49	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
88	84, 87, 70	adddid 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)))
89	50	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
90	89, 84	subnegd 11579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
91	86, 88, 90	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
92	83, 91	breqtrd 5167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
93	8	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
94	29, 30, 93	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
95	37, 94	zmulcld 12673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ)
96		dvdsmul2 16227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
97	95, 31, 96	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
98		rmydbl 42238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
99	29, 30, 98	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
100	94	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
101	65, 67, 100	mul32d 11425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
102	99, 101	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
103	97, 102	breqtrrd 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))
104		dvdsmultr2 16246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
105	31, 55, 57, 104	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
106	103, 105	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁))))
107	31, 52, 58, 92, 106	dvds2addd 16240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
108	34	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℂ)
109	38	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
110	108, 70, 109	adddird 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁))))
111	110	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
112	32	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℂ)
113	43	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
114		1zzd 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℤ)
115	114, 38	zmulcld 12673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
116	115	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
117	112, 113, 116	addassd 11237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
118	109	mullidd 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
119	118	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
120	111, 117, 119	3eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
121	120	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))))
122		rmyadd 42229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
123	29, 44, 38, 122	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
124	121, 123	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
125	124	oveq1d 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
126	58	zcnd 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
127	51	zcnd 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
128	89, 126, 127	addsubd 11593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
129	125, 128	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
130	107, 129	breqtrrd 5169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
131	130	olcd 871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))))
132		jm2.25lem1 42296	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))) → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
133	31, 33, 42, 46, 131, 132	syl221anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
134	133	pm5.74da 801	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
135		oveq1 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝑏 · (2 · 𝑁)))
136	135	oveq2d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))
137	136	oveq2d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
138	137	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
139	138	breq2d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
140	137	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
141	140	breq2d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
142	139, 141	orbi12d 915	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
143	142	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
144		oveq1 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))
145	144	oveq2d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))))
146	145	oveq2d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))))
147	146	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
148	147	breq2d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
149	146	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
150	149	breq2d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
151	148, 150	orbi12d 915	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
152	151	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
153		oveq1 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (0 · (2 · 𝑁)))
154	153	oveq2d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))))
155	154	oveq2d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))))
156	155	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
157	156	breq2d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
158	155	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
159	158	breq2d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
160	157, 159	orbi12d 915	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
161	160	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
162		oveq1 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐼 · (2 · 𝑁)))
163	162	oveq2d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁))))
164	163	oveq2d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))))
165	164	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
166	165	breq2d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
167	164	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
168	167	breq2d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
169	166, 168	orbi12d 915	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
170	169	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
171	134, 143, 152, 161, 170	zindbi 42244	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
172	28, 171	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
173	172	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
174	173	3impa 1107	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 844 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 class class class wbr 5141 ‘cfv 6536 (class class class)co 7404 ℂcc 11107 0cc0 11109 1c1 11110 + caddc 11112 · cmul 11114 − cmin 11445 -cneg 11446 2c2 12268 ℕ₀cn0 12473 ℤcz 12559 ℤ_≥cuz 12823 ↑cexp 14030 ∥ cdvds 16202 X_rm crmx 42197 Y_rm crmy 42198

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 ax-addf 11188

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-of 7666 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8144 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-2o 8465 df-oadd 8468 df-omul 8469 df-er 8702 df-map 8821 df-pm 8822 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-fi 9405 df-sup 9436 df-inf 9437 df-oi 9504 df-card 9933 df-acn 9936 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-4 12278 df-5 12279 df-6 12280 df-7 12281 df-8 12282 df-9 12283 df-n0 12474 df-xnn0 12546 df-z 12560 df-dec 12679 df-uz 12824 df-q 12934 df-rp 12978 df-xneg 13095 df-xadd 13096 df-xmul 13097 df-ioo 13331 df-ioc 13332 df-ico 13333 df-icc 13334 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-fl 13760 df-mod 13838 df-seq 13970 df-exp 14031 df-fac 14237 df-bc 14266 df-hash 14294 df-shft 15018 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-limsup 15419 df-clim 15436 df-rlim 15437 df-sum 15637 df-ef 16015 df-sin 16017 df-cos 16018 df-pi 16020 df-dvds 16203 df-gcd 16441 df-numer 16678 df-denom 16679 df-struct 17087 df-sets 17104 df-slot 17122 df-ndx 17134 df-base 17152 df-ress 17181 df-plusg 17217 df-mulr 17218 df-starv 17219 df-sca 17220 df-vsca 17221 df-ip 17222 df-tset 17223 df-ple 17224 df-ds 17226 df-unif 17227 df-hom 17228 df-cco 17229 df-rest 17375 df-topn 17376 df-0g 17394 df-gsum 17395 df-topgen 17396 df-pt 17397 df-prds 17400 df-xrs 17455 df-qtop 17460 df-imas 17461 df-xps 17463 df-mre 17537 df-mrc 17538 df-acs 17540 df-mgm 18571 df-sgrp 18650 df-mnd 18666 df-submnd 18712 df-mulg 18994 df-cntz 19231 df-cmn 19700 df-psmet 21228 df-xmet 21229 df-met 21230 df-bl 21231 df-mopn 21232 df-fbas 21233 df-fg 21234 df-cnfld 21237 df-top 22747 df-topon 22764 df-topsp 22786 df-bases 22800 df-cld 22874 df-ntr 22875 df-cls 22876 df-nei 22953 df-lp 22991 df-perf 22992 df-cn 23082 df-cnp 23083 df-haus 23170 df-tx 23417 df-hmeo 23610 df-fil 23701 df-fm 23793 df-flim 23794 df-flf 23795 df-xms 24177 df-ms 24178 df-tms 24179 df-cncf 24749 df-limc 25746 df-dv 25747 df-log 26441 df-squarenn 42138 df-pell1qr 42139 df-pell14qr 42140 df-pell1234qr 42141 df-pellfund 42142 df-rmx 42199 df-rmy 42200

This theorem is referenced by: jm2.26a 42298

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