Theorem jm2.25 42990

Description: Lemma for jm2.26 42993. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.25	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))

Proof of Theorem jm2.25

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		simprrr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		frmx 42904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
4	3	fovcl 7540	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
7		simprrl 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		frmy 42905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
9	8	fovcl 7540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
10	1, 7, 9	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
11		congid 42962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
13		2cnd 12323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14		zcn 12598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
16	15	mul02d 11438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
18	17	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + 0))
19		zcn 12598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
20	19	addridd 11440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
22	18, 21	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
23	22	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
24	23	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
25	24	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
26	12, 25	breqtrrd 5152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
27	26	orcd 873	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
28	27	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
29		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
30		simprrr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
31	29, 30, 5	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
32		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	29, 32, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
34		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
35	34	peano2zd 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
36		eluzel2 12862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℤ)
38	37, 30	zmulcld 12708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
39	35, 38	zmulcld 12708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
40	32, 39	zaddcld 12706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
41	8	fovcl 7540	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
42	29, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
43	34, 38	zmulcld 12708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
44	32, 43	zaddcld 12706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
45	8	fovcl 7540	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
46	29, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
47	3	fovcl 7540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
48	47	nn0zd 12619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
49	29, 38, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
50	46, 49	zmulcld 12708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
51	46	znegcld 12704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
52	50, 51	zsubcld 12707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∈ ℤ)
53	3	fovcl 7540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℕ0)
54	53	nn0zd 12619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
55	29, 44, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
56	8	fovcl 7540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
57	29, 38, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
58	55, 57	zmulcld 12708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
59	37, 31	zmulcld 12708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℤ)
60		dvdsmul2 16303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
61	59, 31, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
62		rmxdbl 42930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1))
63	29, 30, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1))
64	63	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) = (((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1) + 1))
65		2cnd 12323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℂ)
66	29, 30, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
67	66	nn0cnd 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
68	67	sqcld 14167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
69	65, 68	mulcld 11260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℂ)
71	69, 70	npcand 11603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1) + 1) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
72	67	sqvald 14166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
73	72	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))))
74		mulass 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))))
75	74	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
76	65, 67, 67, 75	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
77	73, 76	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
78	64, 71, 77	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
79	61, 78	breqtrrd 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))
80	49	peano2zd 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
81		dvdsmultr2 16322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))))
82	31, 46, 80, 81	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))))
83	79, 82	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)))
84	46	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
85	84	mulridd 11257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
86	85	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
87	49	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
88	84, 87, 70	adddid 11264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)))
89	50	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
90	89, 84	subnegd 11606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
91	86, 88, 90	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
92	83, 91	breqtrd 5150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
93	8	fovcl 7540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
94	29, 30, 93	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
95	37, 94	zmulcld 12708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
96		dvdsmul2 16303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
97	95, 31, 96	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
98		rmydbl 42931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
99	29, 30, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
100	94	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
101	65, 67, 100	mul32d 11450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
102	99, 101	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
103	97, 102	breqtrrd 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))
104		dvdsmultr2 16322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
105	31, 55, 57, 104	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
106	103, 105	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))))
107	31, 52, 58, 92, 106	dvds2addd 16316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
108	34	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℂ)
109	38	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
110	108, 70, 109	adddird 11265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁))))
111	110	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
112	32	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℂ)
113	43	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
114		1zzd 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℤ)
115	114, 38	zmulcld 12708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
116	115	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
117	112, 113, 116	addassd 11262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
118	109	mullidd 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
119	118	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
120	111, 117, 119	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
121	120	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))))
122		rmyadd 42922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
123	29, 44, 38, 122	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
124	121, 123	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
125	124	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
126	58	zcnd 12703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
127	51	zcnd 12703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
128	89, 126, 127	addsubd 11620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
129	125, 128	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
130	107, 129	breqtrrd 5152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
131	130	olcd 874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))))
132		jm2.25lem1 42989	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
133	31, 33, 42, 46, 131, 132	syl221anc 1383	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
134	133	pm5.74da 803	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
135		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝑏 · (2 · 𝑁)))
136	135	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))
137	136	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
138	137	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
139	138	breq2d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
140	137	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
141	140	breq2d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
142	139, 141	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
143	142	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
144		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))
145	144	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))))
146	145	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))))
147	146	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
148	147	breq2d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
149	146	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
150	149	breq2d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
151	148, 150	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
152	151	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
153		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (0 · (2 · 𝑁)))
154	153	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))))
155	154	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))))
156	155	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
157	156	breq2d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
158	155	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159	158	breq2d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160	157, 159	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
161	160	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
162		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐼 · (2 · 𝑁)))
163	162	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁))))
164	163	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))))
165	164	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
166	165	breq2d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
167	164	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
168	167	breq2d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
169	166, 168	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
170	169	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
171	134, 143, 152, 161, 170	zindbi 42937	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
172	28, 171	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
173	172	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
174	173	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   − cmin 11471  -cneg 11472  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16277   X_rm crmx 42890   Y_rm crmy 42891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-numer 16759  df-denom 16760  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522  df-squarenn 42831  df-pell1qr 42832  df-pell14qr 42833  df-pell1234qr 42834  df-pellfund 42835  df-rmx 42892  df-rmy 42893

This theorem is referenced by:  jm2.26a  42991