jm2.25 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem jm2.25 41723

Description: Lemma for jm2.26 41726. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.25	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))

Proof of Theorem jm2.25 Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		simprrr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		frmx 41637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
4	3	fovcl 7533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
5	4	nn0zd 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
7		simprrl 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		frmy 41638	. . . . . . . . . 10 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
9	8	fovcl 7533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
10	1, 7, 9	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
11		congid 41695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑀) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑀) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
13		2cnd 12286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14		zcn 12559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
16	15	mul02d 11408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
18	17	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + 0))
19		zcn 12559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
20	19	addridd 11410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
22	18, 21	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
23	22	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
24	23	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm 𝑀))
25	24	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
26	12, 25	breqtrrd 5175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
27	26	orcd 871	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
28	27	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
29		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
30		simprrr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
31	29, 30, 5	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
32		simprrl 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	29, 32, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
34		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
35	34	peano2zd 12665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
36		eluzel2 12823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℤ)
38	37, 30	zmulcld 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
39	35, 38	zmulcld 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
40	32, 39	zaddcld 12666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
41	8	fovcl 7533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
42	29, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
43	34, 38	zmulcld 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
44	32, 43	zaddcld 12666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
45	8	fovcl 7533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
46	29, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
47	3	fovcl 7533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
48	47	nn0zd 12580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
49	29, 38, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
50	46, 49	zmulcld 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
51	46	znegcld 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
52	50, 51	zsubcld 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∈ ℤ)
53	3	fovcl 7533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℕ₀)
54	53	nn0zd 12580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
55	29, 44, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
56	8	fovcl 7533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
57	29, 38, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
58	55, 57	zmulcld 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
59	37, 31	zmulcld 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℤ)
60		dvdsmul2 16218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
61	59, 31, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
62		rmxdbl 41663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) − 1))
63	29, 30, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) − 1))
64	63	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) = (((2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) − 1) + 1))
65		2cnd 12286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℂ)
66	29, 30, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
67	66	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ)
68	67	sqcld 14105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
69	65, 68	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℂ)
71	69, 70	npcand 11571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) − 1) + 1) = (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)))
72	67	sqvald 14104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) = ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
73	72	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) = (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 X_rm 𝑁))))
74		mulass 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)) = (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 X_rm 𝑁))))
75	74	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 X_rm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
76	65, 67, 67, 75	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 X_rm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
77	73, 76	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 X_rm 𝑁)↑2)) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
78	64, 71, 77	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
79	61, 78	breqtrrd 5175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1))
80	49	peano2zd 12665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
81		dvdsmultr2 16237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1))))
82	31, 46, 80, 81	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1))))
83	79, 82	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1)))
84	46	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
85	84	mulridd 11227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1) = (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
86	85	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
87	49	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
88	84, 87, 70	adddid 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)))
89	50	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
90	89, 84	subnegd 11574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
91	86, 88, 90	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 X_rm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
92	83, 91	breqtrd 5173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
93	8	fovcl 7533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
94	29, 30, 93	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
95	37, 94	zmulcld 12668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ)
96		dvdsmul2 16218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
97	95, 31, 96	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
98		rmydbl 41664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
99	29, 30, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
100	94	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
101	65, 67, 100	mul32d 11420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((2 · (𝐴 X_rm 𝑁)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
102	99, 101	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
103	97, 102	breqtrrd 5175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))
104		dvdsmultr2 16237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
105	31, 55, 57, 104	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
106	103, 105	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁))))
107	31, 52, 58, 92, 106	dvds2addd 16231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
108	34	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℂ)
109	38	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
110	108, 70, 109	adddird 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁))))
111	110	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
112	32	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℂ)
113	43	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
114		1zzd 12589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℤ)
115	114, 38	zmulcld 12668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
116	115	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
117	112, 113, 116	addassd 11232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
118	109	mullidd 11228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
119	118	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
120	111, 117, 119	3eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
121	120	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))))
122		rmyadd 41655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
123	29, 44, 38, 122	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
124	121, 123	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
125	124	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
126	58	zcnd 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
127	51	zcnd 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
128	89, 126, 127	addsubd 11588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
129	125, 128	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 X_rm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 X_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Y_rm (2 · 𝑁)))))
130	107, 129	breqtrrd 5175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
131	130	olcd 872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))))
132		jm2.25lem1 41722	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))) → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
133	31, 33, 42, 46, 131, 132	syl221anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
134	133	pm5.74da 802	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
135		oveq1 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝑏 · (2 · 𝑁)))
136	135	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))
137	136	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
138	137	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
139	138	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
140	137	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
141	140	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
142	139, 141	orbi12d 917	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
143	142	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
144		oveq1 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))
145	144	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))))
146	145	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))))
147	146	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
148	147	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
149	146	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
150	149	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
151	148, 150	orbi12d 917	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
152	151	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
153		oveq1 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (0 · (2 · 𝑁)))
154	153	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))))
155	154	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))))
156	155	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
157	156	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
158	155	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
159	158	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
160	157, 159	orbi12d 917	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
161	160	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
162		oveq1 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐼 · (2 · 𝑁)))
163	162	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁))))
164	163	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))))
165	164	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
166	165	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
167	164	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
168	167	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ↔ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
169	166, 168	orbi12d 917	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
170	169	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
171	134, 143, 152, 161, 170	zindbi 41670	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))))
172	28, 171	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
173	172	impcom 408	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
174	173	3impa 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 class class class wbr 5147 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℂcc 11104 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 − cmin 11440 -cneg 11441 2c2 12263 ℕ₀cn0 12468 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ↑cexp 14023 ∥ cdvds 16193 X_rm crmx 41623 Y_rm crmy 41624

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185 ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7666 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-fi 9402 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-card 9930 df-acn 9933 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-5 12274 df-6 12275 df-7 12276 df-8 12277 df-9 12278 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-dec 12674 df-uz 12819 df-q 12929 df-rp 12971 df-xneg 13088 df-xadd 13089 df-xmul 13090 df-ioo 13324 df-ioc 13325 df-ico 13326 df-icc 13327 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-fl 13753 df-mod 13831 df-seq 13963 df-exp 14024 df-fac 14230 df-bc 14259 df-hash 14287 df-shft 15010 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-limsup 15411 df-clim 15428 df-rlim 15429 df-sum 15629 df-ef 16007 df-sin 16009 df-cos 16010 df-pi 16012 df-dvds 16194 df-gcd 16432 df-numer 16667 df-denom 16668 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-mulr 17207 df-starv 17208 df-sca 17209 df-vsca 17210 df-ip 17211 df-tset 17212 df-ple 17213 df-ds 17215 df-unif 17216 df-hom 17217 df-cco 17218 df-rest 17364 df-topn 17365 df-0g 17383 df-gsum 17384 df-topgen 17385 df-pt 17386 df-prds 17389 df-xrs 17444 df-qtop 17449 df-imas 17450 df-xps 17452 df-mre 17526 df-mrc 17527 df-acs 17529 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-submnd 18668 df-mulg 18945 df-cntz 19175 df-cmn 19644 df-psmet 20928 df-xmet 20929 df-met 20930 df-bl 20931 df-mopn 20932 df-fbas 20933 df-fg 20934 df-cnfld 20937 df-top 22387 df-topon 22404 df-topsp 22426 df-bases 22440 df-cld 22514 df-ntr 22515 df-cls 22516 df-nei 22593 df-lp 22631 df-perf 22632 df-cn 22722 df-cnp 22723 df-haus 22810 df-tx 23057 df-hmeo 23250 df-fil 23341 df-fm 23433 df-flim 23434 df-flf 23435 df-xms 23817 df-ms 23818 df-tms 23819 df-cncf 24385 df-limc 25374 df-dv 25375 df-log 26056 df-squarenn 41564 df-pell1qr 41565 df-pell14qr 41566 df-pell1234qr 41567 df-pellfund 41568 df-rmx 41625 df-rmy 41626

This theorem is referenced by: jm2.26a 41724

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