Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.25 43011
Description: Lemma for jm2.26 43014. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.25 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))

Proof of Theorem jm2.25
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
2 simprrr 782 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 frmx 42925 . . . . . . . . . . 11 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
43fovcl 7561 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
54nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
61, 2, 5syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
7 simprrl 781 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 frmy 42926 . . . . . . . . . 10 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
98fovcl 7561 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
101, 7, 9syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
11 congid 42983 . . . . . . . 8 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
126, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
13 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1513, 14mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
1615mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · (2 · 𝑁)) = 0)
1817oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + 0))
19 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2019addridd 11461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
2218, 21eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
2322ad2antll 729 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))) = 𝑀)
2423oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2524oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
2612, 25breqtrrd 5171 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
2726orcd 874 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
2827ex 412 . . . 4 (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
29 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
30 simprrr 782 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3129, 30, 5syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
32 simprrl 781 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
3329, 32, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
34 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
3534peano2zd 12725 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
36 eluzel2 12883 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℤ)
3736ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℤ)
3837, 30zmulcld 12728 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
3935, 38zmulcld 12728 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
4032, 39zaddcld 12726 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
418fovcl 7561 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
4229, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
4334, 38zmulcld 12728 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
4432, 43zaddcld 12726 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
458fovcl 7561 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
4629, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
473fovcl 7561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
4847nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
4929, 38, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
5046, 49zmulcld 12728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
5146znegcld 12724 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
5250, 51zsubcld 12727 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∈ ℤ)
533fovcl 7561 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℕ0)
5453nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
5529, 44, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ)
568fovcl 7561 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
5729, 38, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
5855, 57zmulcld 12728 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
5937, 31zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℤ)
60 dvdsmul2 16316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
6159, 31, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
62 rmxdbl 42951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1))
6329, 30, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) = ((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1))
6463oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) = (((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1) + 1))
65 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 2 ∈ ℂ)
6629, 30, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
6766nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
6867sqcld 14184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
6965, 68mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
70 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℂ)
7169, 70npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) − 1) + 1) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
7267sqvald 14183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
7372oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))))
74 mulass 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)) = (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))))
7574eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
7665, 67, 67, 75syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
7773, 76eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
7864, 71, 773eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
7961, 78breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))
8049peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
81 dvdsmultr2 16335 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))))
8231, 46, 80, 81syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1))))
8379, 82mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)))
8446zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
8584mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
8685oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
8749zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
8884, 87, 70adddid 11285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · 1)))
8950zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
9089, 84subnegd 11627 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
9186, 88, 903eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · ((𝐴 Xrm (2 · 𝑁)) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
9283, 91breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
938fovcl 7561 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
9429, 30, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
9537, 94zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
96 dvdsmul2 16316 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
9795, 31, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
98 rmydbl 42952 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
9929, 30, 98syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
10094zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
10165, 67, 100mul32d 11471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((2 · (𝐴 Xrm 𝑁)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
10299, 101eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) = ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
10397, 102breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))
104 dvdsmultr2 16335 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
10531, 55, 57, 104syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
106103, 105mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))))
10731, 52, 58, 92, 106dvds2addd 16329 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
10834zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℂ)
10938zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
110108, 70, 109adddird 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁))))
111110oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
11232zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℂ)
11343zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
114 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℤ)
115114, 38zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
116115zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
117112, 113, 116addassd 11283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 · (2 · 𝑁)) + (1 · (2 · 𝑁)))))
118109mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · (2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
119118oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (1 · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
120111, 117, 1193eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))) = ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁)))
121120oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))))
122 rmyadd 42943 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
12329, 44, 38, 122syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm ((𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))) + (2 · 𝑁))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
124121, 123eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) = (((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
125124oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
12658zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
12751zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℂ)
12889, 126, 127addsubd 11641 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
129125, 128eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) = ((((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Xrm (2 · 𝑁))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) + ((𝐴 Xrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) · (𝐴 Yrm (2 · 𝑁)))))
130107, 129breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))
131130olcd 875 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))))
132 jm2.25lem1 43010 . . . . . . 7 ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
13331, 33, 42, 46, 131, 132syl221anc 1383 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
134133pm5.74da 804 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
135 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝑏 · (2 · 𝑁)))
136135oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁))))
137136oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))))
138137oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
139138breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
140137oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
141140breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
142139, 141orbi12d 919 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
143142imbi2d 340 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑏 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
144 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))
145144oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁))))
146145oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))))
147146oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
148147breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
149146oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
150149breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
151148, 150orbi12d 919 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
152151imbi2d 340 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + ((𝑏 + 1) · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
153 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 0 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (0 · (2 · 𝑁)))
154153oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 0 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁))))
155154oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))))
156155oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
157156breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
158155oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159158breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160157, 159orbi12d 919 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
161160imbi2d 340 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
162 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐼 · (2 · 𝑁)))
163162oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝐼 → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁))))
164163oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐼 → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))))
165164oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
166165breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
167164oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
168167breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
169166, 168orbi12d 919 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
170169imbi2d 340 . . . . 5 (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
171134, 143, 152, 161, 170zindbi 42958 . . . 4 (𝐼 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (0 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))))
17228, 171mpbid 232 . . 3 (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
173172impcom 407 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
1741733impa 1110 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐼 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  cexp 14102  cdvds 16290   Xrm crmx 42911   Yrm crmy 42912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-squarenn 42852  df-pell1qr 42853  df-pell14qr 42854  df-pell1234qr 42855  df-pellfund 42856  df-rmx 42913  df-rmy 42914
This theorem is referenced by:  jm2.26a  43012
  Copyright terms: Public domain W3C validator