Theorem congsub 43876

Description: If two pairs of numbers are componentwise congruent, so are their differences. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐷) − (𝐶 − 𝐸)))

Proof of Theorem congsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1222	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simp12 1223	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		simp13 1224	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐶 ∈ ℤ)
4		simp2l 1218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐷 ∈ ℤ)
5	4	znegcld 12752	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → -𝐷 ∈ ℤ)
6		simp2r 1219	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐸 ∈ ℤ)
7	6	znegcld 12752	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → -𝐸 ∈ ℤ)
8		simp3l 1220	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))
9		simp3r 1221	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))
10		congneg 43875	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − -𝐸))
11	1, 4, 6, 9, 10	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − -𝐸))
12		congadd 43872	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ -𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐷 − -𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 + -𝐷) − (𝐶 + -𝐸)))
13	1, 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12	syl322anc 1425	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 + -𝐷) − (𝐶 + -𝐸)))
14	2	zcnd 12751	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	4	zcnd 12751	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	14, 15	negsubd 11624	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
17	3	zcnd 12751	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	6	zcnd 12751	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐸 ∈ ℂ)
19	17, 18	negsubd 11624	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → (𝐶 + -𝐸) = (𝐶 − 𝐸))
20	16, 19	oveq12d 7434	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → ((𝐵 + -𝐷) − (𝐶 + -𝐸)) = ((𝐵 − 𝐷) − (𝐶 − 𝐸)))
21	13, 20	breqtrd 5131	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐷) − (𝐶 − 𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7416   + caddc 11152   − cmin 11490  -cneg 11491  ℤcz 12640   ∥ cdvds 16367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-n0 12554  df-z 12641  df-dvds 16368

This theorem is used by:  jm2.18  43894  jm2.15nn0  43909  jm2.16nn0  43910  jm2.27c  43913