Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcong Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpcong 39844
 Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcong ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem mzpcong
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6685 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
213anim1i 1149 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → (𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))))
3 simp1 1133 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
4 simpl3l 1225 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 simpr 488 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
6 congid 39843 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑏𝑏))
74, 5, 6syl2anc 587 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑏𝑏))
8 simpl2l 1223 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
9 vex 3472 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
109fvconst2 6948 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) = 𝑏)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) = 𝑏)
12 simpl2r 1224 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
139fvconst2 6948 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌) = 𝑏)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌) = 𝑏)
1511, 14oveq12d 7158 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)) = (𝑏𝑏))
167, 15breqtrrd 5070 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)))
17 simpr 488 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
18 simpl3r 1226 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))
19 fveq2 6652 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑏 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑏))
20 fveq2 6652 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑏 → (𝑌𝑘) = (𝑌𝑏))
2119, 20oveq12d 7158 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑏 → ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)) = ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
2221breq2d 5054 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑏 → (𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏))))
2322rspcva 3596 . . . . 5 ((𝑏𝑉 ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘))) → 𝑁 ∥ ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
2417, 18, 23syl2anc 587 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑁 ∥ ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
25 simpl2l 1223 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
26 fveq1 6651 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 → (𝑐𝑏) = (𝑋𝑏))
27 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))
28 fvex 6665 . . . . . . 7 (𝑋𝑏) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6750 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) = (𝑋𝑏))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) = (𝑋𝑏))
31 simpl2r 1224 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
32 fveq1 6651 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑌 → (𝑐𝑏) = (𝑌𝑏))
33 fvex 6665 . . . . . . 7 (𝑌𝑏) ∈ V
3432, 27, 33fvmpt 6750 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌) = (𝑌𝑏))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌) = (𝑌𝑏))
3630, 35oveq12d 7158 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌)) = ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
3724, 36breqtrrd 5070 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑁 ∥ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌)))
38 simp13l 1285 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
40 simp12l 1283 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
4139, 40ffvelrnd 6834 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑏𝑋) ∈ ℤ)
42 simp12r 1284 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
4339, 42ffvelrnd 6834 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑏𝑌) ∈ ℤ)
44 simp3l 1198 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
4544, 40ffvelrnd 6834 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑐𝑋) ∈ ℤ)
4644, 42ffvelrnd 6834 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑐𝑌) ∈ ℤ)
47 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)))
48 simp3r 1199 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))
49 congadd 39838 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝑐𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑐𝑌) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌))))
5038, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49syl322anc 1395 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌))))
5139ffnd 6495 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉))
5244ffnd 6495 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉))
53 ovexd 7175 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V)
54 fnfvof 7408 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))) → ((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)))
5551, 52, 53, 40, 54syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)))
56 fnfvof 7408 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))) → ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌)))
5751, 52, 53, 42, 56syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌)))
5855, 57oveq12d 7158 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌)) = (((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌))))
5950, 58breqtrrd 5070 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌)))
60 congmul 39839 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝑐𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑐𝑌) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌))))
6138, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 60syl322anc 1395 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌))))
62 fnfvof 7408 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))) → ((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)))
6351, 52, 53, 40, 62syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)))
64 fnfvof 7408 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))) → ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌)))
6551, 52, 53, 42, 64syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌)))
6663, 65oveq12d 7158 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌)) = (((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌))))
6761, 66breqtrrd 5070 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌)))
68 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎𝑋) = (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋))
69 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎𝑌) = (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌))
7068, 69oveq12d 7158 . . . 4 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)))
7170breq2d 5054 . . 3 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌))))
72 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑎𝑋) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋))
73 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑎𝑌) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌))
7472, 73oveq12d 7158 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌)))
7574breq2d 5054 . . 3 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌))))
76 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝑋) = (𝑏𝑋))
77 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝑌) = (𝑏𝑌))
7876, 77oveq12d 7158 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)))
7978breq2d 5054 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))))
80 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎𝑋) = (𝑐𝑋))
81 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎𝑌) = (𝑐𝑌))
8280, 81oveq12d 7158 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))
8382breq2d 5054 . . 3 (𝑎 = 𝑐 → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌))))
84 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → (𝑎𝑋) = ((𝑏f + 𝑐)‘𝑋))
85 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → (𝑎𝑌) = ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌))
8684, 85oveq12d 7158 . . . 4 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = (((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌)))
8786breq2d 5054 . . 3 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌))))
88 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → (𝑎𝑋) = ((𝑏f · 𝑐)‘𝑋))
89 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → (𝑎𝑌) = ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌))
9088, 89oveq12d 7158 . . . 4 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = (((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌)))
9190breq2d 5054 . . 3 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌))))
92 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎𝑋) = (𝐹𝑋))
93 fveq1 6651 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎𝑌) = (𝐹𝑌))
9492, 93oveq12d 7158 . . . 4 (𝑎 = 𝐹 → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
9594breq2d 5054 . . 3 (𝑎 = 𝐹 → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))))
9616, 37, 59, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95mzpindd 39618 . 2 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
972, 3, 96syl2anc 587 1 ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  Vcvv 3469  {csn 4539   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122   × cxp 5530   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∘f cof 7392   ↑m cmap 8393   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859  ℤcz 11969   ∥ cdvds 15598  mzPolycmzp 39594 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-dvds 15599  df-mzpcl 39595  df-mzp 39596 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator