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Theorem mzpcong 41696
Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcong ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘˜)
Proof of Theorem mzpcong
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6926 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
213anim1i 1152 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))))
3 simp1 1136 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4 simpl3l 1228 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 simpr 485 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
6 congid 41695 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑏 βˆ’ 𝑏))
74, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑏 βˆ’ 𝑏))
8 simpl2l 1226 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
9 vex 3478 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
109fvconst2 7201 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) = 𝑏)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) = 𝑏)
12 simpl2r 1227 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
139fvconst2 7201 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ) = 𝑏)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ) = 𝑏)
1511, 14oveq12d 7423 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)) = (𝑏 βˆ’ 𝑏))
167, 15breqtrrd 5175 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)))
17 simpr 485 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
18 simpl3r 1229 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))
19 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘))
20 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘))
2119, 20oveq12d 7423 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑏 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)) = ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
2221breq2d 5159 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘))))
2322rspcva 3610 . . . . 5 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
2417, 18, 23syl2anc 584 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
25 simpl2l 1226 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
26 fveq1 6887 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘‹β€˜π‘))
27 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))
28 fvex 6901 . . . . . . 7 (π‘‹β€˜π‘) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6995 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) = (π‘‹β€˜π‘))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) = (π‘‹β€˜π‘))
31 simpl2r 1227 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
32 fveq1 6887 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Œ β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘Œβ€˜π‘))
33 fvex 6901 . . . . . . 7 (π‘Œβ€˜π‘) ∈ V
3432, 27, 33fvmpt 6995 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (π‘Œβ€˜π‘))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (π‘Œβ€˜π‘))
3630, 35oveq12d 7423 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)) = ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
3724, 36breqtrrd 5175 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)))
38 simp13l 1288 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
39 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
40 simp12l 1286 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
4139, 40ffvelcdmd 7084 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€)
42 simp12r 1287 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
4339, 42ffvelcdmd 7084 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€)
44 simp3l 1201 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
4544, 40ffvelcdmd 7084 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€)
4644, 42ffvelcdmd 7084 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€)
47 simp2r 1200 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
48 simp3r 1202 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
49 congadd 41690 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ ((π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ (𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)) ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5038, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49syl322anc 1398 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5139ffnd 6715 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
5244ffnd 6715 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
53 ovexd 7440 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (β„€ ↑m 𝑉) ∈ V)
54 fnfvof 7683 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)))
5551, 52, 53, 40, 54syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)))
56 fnfvof 7683 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ)))
5751, 52, 53, 42, 56syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ)))
5855, 57oveq12d 7423 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)) = (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5950, 58breqtrrd 5175 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)))
60 congmul 41691 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ ((π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ (𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)) ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
6138, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 60syl322anc 1398 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
62 fnfvof 7683 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)))
6351, 52, 53, 40, 62syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)))
64 fnfvof 7683 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
6551, 52, 53, 42, 64syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
6663, 65oveq12d 7423 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)) = (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
6761, 66breqtrrd 5175 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)))
68 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹))
69 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ))
7068, 69oveq12d 7423 . . . 4 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)))
7170breq2d 5159 . . 3 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ))))
72 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹))
73 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ))
7472, 73oveq12d 7423 . . . 4 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)))
7574breq2d 5159 . . 3 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ))))
76 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
77 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (π‘β€˜π‘Œ))
7876, 77oveq12d 7423 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
7978breq2d 5159 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))))
80 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
81 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (π‘β€˜π‘Œ))
8280, 81oveq12d 7423 . . . 4 (π‘Ž = 𝑐 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
8382breq2d 5159 . . 3 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))))
84 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹))
85 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ))
8684, 85oveq12d 7423 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)))
8786breq2d 5159 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ))))
88 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹))
89 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ))
9088, 89oveq12d 7423 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)))
9190breq2d 5159 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ))))
92 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
93 fveq1 6887 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘Œ))
9492, 93oveq12d 7423 . . . 4 (π‘Ž = 𝐹 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
9594breq2d 5159 . . 3 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ))))
9616, 37, 59, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95mzpindd 41469 . 2 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
972, 3, 96syl2anc 584 1 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8816   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  β„€cz 12554   βˆ₯ cdvds 16193  mzPolycmzp 41445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-dvds 16194  df-mzpcl 41446  df-mzp 41447
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