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Theorem mzpcong 42315
Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcong ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘˜)
Proof of Theorem mzpcong
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6929 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
213anim1i 1150 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))))
3 simp1 1134 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4 simpl3l 1226 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 simpr 484 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
6 congid 42314 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑏 βˆ’ 𝑏))
74, 5, 6syl2anc 583 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑏 βˆ’ 𝑏))
8 simpl2l 1224 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
9 vex 3473 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
109fvconst2 7210 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) = 𝑏)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) = 𝑏)
12 simpl2r 1225 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
139fvconst2 7210 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ) = 𝑏)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ) = 𝑏)
1511, 14oveq12d 7432 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)) = (𝑏 βˆ’ 𝑏))
167, 15breqtrrd 5170 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)))
17 simpr 484 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
18 simpl3r 1227 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))
19 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘))
20 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘))
2119, 20oveq12d 7432 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑏 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)) = ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
2221breq2d 5154 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘))))
2322rspcva 3605 . . . . 5 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
2417, 18, 23syl2anc 583 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
25 simpl2l 1224 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
26 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘‹β€˜π‘))
27 eqid 2727 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))
28 fvex 6904 . . . . . . 7 (π‘‹β€˜π‘) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6999 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) = (π‘‹β€˜π‘))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) = (π‘‹β€˜π‘))
31 simpl2r 1225 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
32 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Œ β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘Œβ€˜π‘))
33 fvex 6904 . . . . . . 7 (π‘Œβ€˜π‘) ∈ V
3432, 27, 33fvmpt 6999 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (π‘Œβ€˜π‘))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (π‘Œβ€˜π‘))
3630, 35oveq12d 7432 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)) = ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
3724, 36breqtrrd 5170 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)))
38 simp13l 1286 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
39 simp2l 1197 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
40 simp12l 1284 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
4139, 40ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€)
42 simp12r 1285 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
4339, 42ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€)
44 simp3l 1199 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
4544, 40ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€)
4644, 42ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€)
47 simp2r 1198 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
48 simp3r 1200 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
49 congadd 42309 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ ((π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ (𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)) ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5038, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49syl322anc 1396 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5139ffnd 6717 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
5244ffnd 6717 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
53 ovexd 7449 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (β„€ ↑m 𝑉) ∈ V)
54 fnfvof 7696 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)))
5551, 52, 53, 40, 54syl22anc 838 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)))
56 fnfvof 7696 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ)))
5751, 52, 53, 42, 56syl22anc 838 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ)))
5855, 57oveq12d 7432 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)) = (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5950, 58breqtrrd 5170 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)))
60 congmul 42310 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ ((π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ (𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)) ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
6138, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 60syl322anc 1396 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
62 fnfvof 7696 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)))
6351, 52, 53, 40, 62syl22anc 838 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)))
64 fnfvof 7696 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
6551, 52, 53, 42, 64syl22anc 838 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
6663, 65oveq12d 7432 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)) = (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
6761, 66breqtrrd 5170 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)))
68 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹))
69 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ))
7068, 69oveq12d 7432 . . . 4 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)))
7170breq2d 5154 . . 3 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ))))
72 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹))
73 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ))
7472, 73oveq12d 7432 . . . 4 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)))
7574breq2d 5154 . . 3 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ))))
76 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
77 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (π‘β€˜π‘Œ))
7876, 77oveq12d 7432 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
7978breq2d 5154 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))))
80 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
81 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (π‘β€˜π‘Œ))
8280, 81oveq12d 7432 . . . 4 (π‘Ž = 𝑐 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
8382breq2d 5154 . . 3 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))))
84 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹))
85 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ))
8684, 85oveq12d 7432 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)))
8786breq2d 5154 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ))))
88 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹))
89 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ))
9088, 89oveq12d 7432 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)))
9190breq2d 5154 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ))))
92 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
93 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘Œ))
9492, 93oveq12d 7432 . . . 4 (π‘Ž = 𝐹 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
9594breq2d 5154 . . 3 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ))))
9616, 37, 59, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95mzpindd 42088 . 2 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
972, 3, 96syl2anc 583 1 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677   ↑m cmap 8836   + caddc 11133   Β· cmul 11135   βˆ’ cmin 11466  β„€cz 12580   βˆ₯ cdvds 16222  mzPolycmzp 42064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-dvds 16223  df-mzpcl 42065  df-mzp 42066
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