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Theorem mzpcong 42013
Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcong ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘˜)
Proof of Theorem mzpcong
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6929 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
213anim1i 1152 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))))
3 simp1 1136 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4 simpl3l 1228 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 simpr 485 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
6 congid 42012 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑏 βˆ’ 𝑏))
74, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑏 βˆ’ 𝑏))
8 simpl2l 1226 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
9 vex 3478 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
109fvconst2 7207 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) = 𝑏)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) = 𝑏)
12 simpl2r 1227 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
139fvconst2 7207 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ) = 𝑏)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ) = 𝑏)
1511, 14oveq12d 7429 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)) = (𝑏 βˆ’ 𝑏))
167, 15breqtrrd 5176 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)))
17 simpr 485 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
18 simpl3r 1229 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))
19 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘))
20 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘))
2119, 20oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑏 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)) = ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
2221breq2d 5160 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘))))
2322rspcva 3610 . . . . 5 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
2417, 18, 23syl2anc 584 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
25 simpl2l 1226 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
26 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘‹β€˜π‘))
27 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))
28 fvex 6904 . . . . . . 7 (π‘‹β€˜π‘) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6998 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) = (π‘‹β€˜π‘))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) = (π‘‹β€˜π‘))
31 simpl2r 1227 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
32 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Œ β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘Œβ€˜π‘))
33 fvex 6904 . . . . . . 7 (π‘Œβ€˜π‘) ∈ V
3432, 27, 33fvmpt 6998 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (π‘Œβ€˜π‘))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (π‘Œβ€˜π‘))
3630, 35oveq12d 7429 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)) = ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
3724, 36breqtrrd 5176 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)))
38 simp13l 1288 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
39 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
40 simp12l 1286 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
4139, 40ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€)
42 simp12r 1287 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
4339, 42ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€)
44 simp3l 1201 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
4544, 40ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€)
4644, 42ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€)
47 simp2r 1200 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
48 simp3r 1202 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
49 congadd 42007 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ ((π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ (𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)) ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5038, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49syl322anc 1398 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5139ffnd 6718 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
5244ffnd 6718 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
53 ovexd 7446 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (β„€ ↑m 𝑉) ∈ V)
54 fnfvof 7689 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)))
5551, 52, 53, 40, 54syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)))
56 fnfvof 7689 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ)))
5751, 52, 53, 42, 56syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ)))
5855, 57oveq12d 7429 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)) = (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5950, 58breqtrrd 5176 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)))
60 congmul 42008 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ ((π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ (𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)) ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
6138, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 60syl322anc 1398 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
62 fnfvof 7689 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)))
6351, 52, 53, 40, 62syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)))
64 fnfvof 7689 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
6551, 52, 53, 42, 64syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
6663, 65oveq12d 7429 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)) = (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
6761, 66breqtrrd 5176 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)))
68 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹))
69 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ))
7068, 69oveq12d 7429 . . . 4 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)))
7170breq2d 5160 . . 3 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ))))
72 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹))
73 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ))
7472, 73oveq12d 7429 . . . 4 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)))
7574breq2d 5160 . . 3 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ))))
76 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
77 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (π‘β€˜π‘Œ))
7876, 77oveq12d 7429 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
7978breq2d 5160 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))))
80 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
81 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (π‘β€˜π‘Œ))
8280, 81oveq12d 7429 . . . 4 (π‘Ž = 𝑐 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
8382breq2d 5160 . . 3 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))))
84 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹))
85 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ))
8684, 85oveq12d 7429 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)))
8786breq2d 5160 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ))))
88 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹))
89 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ))
9088, 89oveq12d 7429 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)))
9190breq2d 5160 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ))))
92 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
93 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘Œ))
9492, 93oveq12d 7429 . . . 4 (π‘Ž = 𝐹 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
9594breq2d 5160 . . 3 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ))))
9616, 37, 59, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95mzpindd 41786 . 2 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
972, 3, 96syl2anc 584 1 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   ↑m cmap 8822   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562   βˆ₯ cdvds 16201  mzPolycmzp 41762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-dvds 16202  df-mzpcl 41763  df-mzp 41764
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