Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcong Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpcong 41282
Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcong ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem mzpcong
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6880 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
213anim1i 1152 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → (𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))))
3 simp1 1136 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
4 simpl3l 1228 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 simpr 485 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
6 congid 41281 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑏𝑏))
74, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑏𝑏))
8 simpl2l 1226 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
9 vex 3449 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
109fvconst2 7153 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) = 𝑏)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) = 𝑏)
12 simpl2r 1227 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
139fvconst2 7153 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌) = 𝑏)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌) = 𝑏)
1511, 14oveq12d 7375 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)) = (𝑏𝑏))
167, 15breqtrrd 5133 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)))
17 simpr 485 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
18 simpl3r 1229 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))
19 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑏 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑏))
20 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑏 → (𝑌𝑘) = (𝑌𝑏))
2119, 20oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑏 → ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)) = ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
2221breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑏 → (𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏))))
2322rspcva 3579 . . . . 5 ((𝑏𝑉 ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘))) → 𝑁 ∥ ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
2417, 18, 23syl2anc 584 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑁 ∥ ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
25 simpl2l 1226 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
26 fveq1 6841 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 → (𝑐𝑏) = (𝑋𝑏))
27 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))
28 fvex 6855 . . . . . . 7 (𝑋𝑏) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) = (𝑋𝑏))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) = (𝑋𝑏))
31 simpl2r 1227 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
32 fveq1 6841 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑌 → (𝑐𝑏) = (𝑌𝑏))
33 fvex 6855 . . . . . . 7 (𝑌𝑏) ∈ V
3432, 27, 33fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌) = (𝑌𝑏))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌) = (𝑌𝑏))
3630, 35oveq12d 7375 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌)) = ((𝑋𝑏) − (𝑌𝑏)))
3724, 36breqtrrd 5133 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑁 ∥ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌)))
38 simp13l 1288 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
40 simp12l 1286 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
4139, 40ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑏𝑋) ∈ ℤ)
42 simp12r 1287 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
4339, 42ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑏𝑌) ∈ ℤ)
44 simp3l 1201 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
4544, 40ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑐𝑋) ∈ ℤ)
4644, 42ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (𝑐𝑌) ∈ ℤ)
47 simp2r 1200 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)))
48 simp3r 1202 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))
49 congadd 41276 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝑐𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑐𝑌) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌))))
5038, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49syl322anc 1398 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌))))
5139ffnd 6669 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉))
5244ffnd 6669 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉))
53 ovexd 7392 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V)
54 fnfvof 7634 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))) → ((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)))
5551, 52, 53, 40, 54syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)))
56 fnfvof 7634 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))) → ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌)))
5751, 52, 53, 42, 56syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌)))
5855, 57oveq12d 7375 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌)) = (((𝑏𝑋) + (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) + (𝑐𝑌))))
5950, 58breqtrrd 5133 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌)))
60 congmul 41277 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝑐𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑐𝑌) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌))))
6138, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 60syl322anc 1398 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌))))
62 fnfvof 7634 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))) → ((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)))
6351, 52, 53, 40, 62syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)))
64 fnfvof 7634 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))) → ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌)))
6551, 52, 53, 42, 64syl22anc 837 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌)))
6663, 65oveq12d 7375 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → (((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌)) = (((𝑏𝑋) · (𝑐𝑋)) − ((𝑏𝑌) · (𝑐𝑌))))
6761, 66breqtrrd 5133 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌)))
68 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎𝑋) = (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋))
69 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎𝑌) = (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌))
7068, 69oveq12d 7375 . . . 4 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)))
7170breq2d 5117 . . 3 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘𝑌))))
72 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑎𝑋) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋))
73 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑎𝑌) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌))
7472, 73oveq12d 7375 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌)))
7574breq2d 5117 . . 3 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘𝑌))))
76 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝑋) = (𝑏𝑋))
77 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝑌) = (𝑏𝑌))
7876, 77oveq12d 7375 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌)))
7978breq2d 5117 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑏𝑋) − (𝑏𝑌))))
80 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎𝑋) = (𝑐𝑋))
81 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎𝑌) = (𝑐𝑌))
8280, 81oveq12d 7375 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌)))
8382breq2d 5117 . . 3 (𝑎 = 𝑐 → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑐𝑋) − (𝑐𝑌))))
84 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → (𝑎𝑋) = ((𝑏f + 𝑐)‘𝑋))
85 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → (𝑎𝑌) = ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌))
8684, 85oveq12d 7375 . . . 4 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = (((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌)))
8786breq2d 5117 . . 3 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑏f + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f + 𝑐)‘𝑌))))
88 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → (𝑎𝑋) = ((𝑏f · 𝑐)‘𝑋))
89 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → (𝑎𝑌) = ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌))
9088, 89oveq12d 7375 . . . 4 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = (((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌)))
9190breq2d 5117 . . 3 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑏f · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏f · 𝑐)‘𝑌))))
92 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎𝑋) = (𝐹𝑋))
93 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎𝑌) = (𝐹𝑌))
9492, 93oveq12d 7375 . . . 4 (𝑎 = 𝐹 → ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) = ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
9594breq2d 5117 . . 3 (𝑎 = 𝐹 → (𝑁 ∥ ((𝑎𝑋) − (𝑎𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))))
9616, 37, 59, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95mzpindd 41055 . 2 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
972, 3, 96syl2anc 584 1 ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋𝑘) − (𝑌𝑘)))) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  cz 12499  cdvds 16136  mzPolycmzp 41031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-dvds 16137  df-mzpcl 41032  df-mzp 41033
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator