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Theorem mzpcong 41711
Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcong ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘˜)
Proof of Theorem mzpcong
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6930 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
213anim1i 1153 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))))
3 simp1 1137 . 2 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4 simpl3l 1229 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 simpr 486 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
6 congid 41710 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑏 βˆ’ 𝑏))
74, 5, 6syl2anc 585 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑏 βˆ’ 𝑏))
8 simpl2l 1227 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
9 vex 3479 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
109fvconst2 7205 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) = 𝑏)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) = 𝑏)
12 simpl2r 1228 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
139fvconst2 7205 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ) = 𝑏)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ) = 𝑏)
1511, 14oveq12d 7427 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)) = (𝑏 βˆ’ 𝑏))
167, 15breqtrrd 5177 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)))
17 simpr 486 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
18 simpl3r 1230 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))
19 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘))
20 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘))
2119, 20oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑏 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)) = ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
2221breq2d 5161 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑏 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘))))
2322rspcva 3611 . . . . 5 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
2417, 18, 23syl2anc 585 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
25 simpl2l 1227 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
26 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘‹β€˜π‘))
27 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))
28 fvex 6905 . . . . . . 7 (π‘‹β€˜π‘) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6999 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) = (π‘‹β€˜π‘))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) = (π‘‹β€˜π‘))
31 simpl2r 1228 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
32 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Œ β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘Œβ€˜π‘))
33 fvex 6905 . . . . . . 7 (π‘Œβ€˜π‘) ∈ V
3432, 27, 33fvmpt 6999 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (π‘Œβ€˜π‘))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (π‘Œβ€˜π‘))
3630, 35oveq12d 7427 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)) = ((π‘‹β€˜π‘) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘)))
3724, 36breqtrrd 5177 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)))
38 simp13l 1289 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
39 simp2l 1200 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
40 simp12l 1287 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
4139, 40ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€)
42 simp12r 1288 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
4339, 42ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€)
44 simp3l 1202 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
4544, 40ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€)
4644, 42ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€)
47 simp2r 1201 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
48 simp3r 1203 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
49 congadd 41705 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ ((π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ (𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)) ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5038, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49syl322anc 1399 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5139ffnd 6719 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
5244ffnd 6719 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
53 ovexd 7444 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (β„€ ↑m 𝑉) ∈ V)
54 fnfvof 7687 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)))
5551, 52, 53, 40, 54syl22anc 838 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)))
56 fnfvof 7687 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ)))
5751, 52, 53, 42, 56syl22anc 838 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ)))
5855, 57oveq12d 7427 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)) = (((π‘β€˜π‘‹) + (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) + (π‘β€˜π‘Œ))))
5950, 58breqtrrd 5177 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)))
60 congmul 41706 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ ((π‘β€˜π‘‹) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ β„€) ∧ (𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)) ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
6138, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 60syl322anc 1399 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
62 fnfvof 7687 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)))
6351, 52, 53, 40, 62syl22anc 838 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) = ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)))
64 fnfvof 7687 . . . . . 6 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
6551, 52, 53, 42, 64syl22anc 838 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ) = ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
6663, 65oveq12d 7427 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)) = (((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘‹)) βˆ’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘Œ))))
6761, 66breqtrrd 5177 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)))
68 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹))
69 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ))
7068, 69oveq12d 7427 . . . 4 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ)))
7170breq2d 5161 . . 3 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘‹) βˆ’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜π‘Œ))))
72 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹))
73 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ))
7472, 73oveq12d 7427 . . . 4 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ)))
7574breq2d 5161 . . 3 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜π‘Œ))))
76 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
77 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (π‘β€˜π‘Œ))
7876, 77oveq12d 7427 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
7978breq2d 5161 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))))
80 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
81 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (π‘β€˜π‘Œ))
8280, 81oveq12d 7427 . . . 4 (π‘Ž = 𝑐 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ)))
8382breq2d 5161 . . 3 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ (π‘β€˜π‘Œ))))
84 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹))
85 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ))
8684, 85oveq12d 7427 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ)))
8786breq2d 5161 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜π‘Œ))))
88 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹))
89 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ))
9088, 89oveq12d 7427 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ)))
9190breq2d 5161 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ (((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘‹) βˆ’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜π‘Œ))))
92 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
93 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘Œ))
9492, 93oveq12d 7427 . . . 4 (π‘Ž = 𝐹 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
9594breq2d 5161 . . 3 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (𝑁 βˆ₯ ((π‘Žβ€˜π‘‹) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ))))
9616, 37, 59, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95mzpindd 41484 . 2 (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
972, 3, 96syl2anc 585 1 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (𝑋 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 𝑁 βˆ₯ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((πΉβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   ↑m cmap 8820   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558   βˆ₯ cdvds 16197  mzPolycmzp 41460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-dvds 16198  df-mzpcl 41461  df-mzp 41462
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