Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.15nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.15nn0 41370
Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Yrm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.15nn0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.15nn0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 eluzelz 12778 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
3 zsubcl 12550 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€)
41, 2, 3syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€)
5 0z 12515 . . . . . 6 0 ∈ β„€
6 congid 41338 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
74, 5, 6sylancl 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
8 rmy0 41296 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
9 rmy0 41296 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡 Yrm 0) = 0)
108, 9oveqan12d 7377 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)) = (0 βˆ’ 0))
117, 10breqtrrd 5134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)))
12 1z 12538 . . . . . 6 1 ∈ β„€
13 congid 41338 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
144, 12, 13sylancl 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
15 rmy1 41297 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
16 rmy1 41297 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡 Yrm 1) = 1)
1715, 16oveqan12d 7377 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)) = (1 βˆ’ 1))
1814, 17breqtrrd 5134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)))
19 pm3.43 475 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))))
2043ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€)
21 2z 12540 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 2 ∈ β„€)
23 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
24 nnz 12525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„€)
25243ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
26 frmy 41281 . . . . . . . . . . . . 13 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2726fovcl 7485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2823, 25, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
291adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
30293ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
3128, 30zmulcld 12618 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€)
3222, 31zmulcld 12618 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€)
33 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3426fovcl 7485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐡 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
3533, 25, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐡 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
362adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
37363ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
3835, 37zmulcld 12618 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡) ∈ β„€)
3922, 38zmulcld 12618 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) ∈ β„€)
40 peano2zm 12551 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„€ β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4124, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
42413ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4326fovcl 7485 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4423, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4526fovcl 7485 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4633, 42, 45syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
47 congid 41338 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
4820, 21, 47sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
49 simp3r 1203 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))
50 iddvds 16157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
5120, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
52 congmul 41334 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ (𝐡 Yrm 𝑏) ∈ β„€) ∧ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)))
5320, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52syl322anc 1399 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)))
54 congmul 41334 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (2 βˆ’ 2) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡))))
5520, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54syl322anc 1399 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡))))
56 simp3l 1202 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
57 congsub 41337 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
5820, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57syl322anc 1399 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
59 rmyluc 41304 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6023, 25, 59syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
61 rmyluc 41304 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6233, 25, 61syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6360, 62oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
6458, 63breqtrrd 5134 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))
65643exp 1120 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
6665a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
6719, 66syl5 34 . . . 4 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
68 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 0))
69 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 0))
7068, 69oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)))
7170breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0))))
7271imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)))))
73 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 1))
74 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 1))
7573, 74oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)))
7675breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1))))
7776imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)))))
78 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
79 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
8078, 79oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
8180breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
8281imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
83 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑏))
84 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 𝑏))
8583, 84oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))
8685breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏))))
8786imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))))
88 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
89 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)))
9088, 89oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))
9190breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)))))
9291imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
93 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑁))
94 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 𝑁))
9593, 94oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
9695breq2d 5118 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁))))
9796imbi2d 341 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))))
9811, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 972nn0ind 41312 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁))))
9998impcom 409 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
100993impa 1111 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768   βˆ₯ cdvds 16141   Yrm crmy 41267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-numer 16615  df-denom 16616  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-squarenn 41207  df-pell1qr 41208  df-pell14qr 41209  df-pell1234qr 41210  df-pellfund 41211  df-rmx 41268  df-rmy 41269
This theorem is referenced by:  jm2.27a  41372  jm2.27c  41374
  Copyright terms: Public domain W3C validator