Theorem jm2.15nn0 43448

Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Y_rm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.15nn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.15nn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12789	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12789	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5		0z 12526	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		congid 43416	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (0 − 0))
7	4, 5, 6	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (0 − 0))
8		rmy0 43374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
9		rmy0 43374	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 Yrm 0) = 0)
10	8, 9	oveqan12d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)) = (0 − 0))
11	7, 10	breqtrrd 5100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
12		1z 12548	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		congid 43416	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (1 − 1))
14	4, 12, 13	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (1 − 1))
15		rmy1 43375	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
16		rmy1 43375	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 Yrm 1) = 1)
17	15, 16	oveqan12d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)) = (1 − 1))
18	14, 17	breqtrrd 5100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
19		pm3.43 474	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
20	4	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
21		2z 12550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 2 ∈ ℤ)
23		simp2l 1206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
24		nnz 12536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
25	24	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
26		frmy 43359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
27	26	fovcl 7484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
28	23, 25, 27	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
29	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
30	29	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	28, 30	zmulcld 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
32	22, 31	zmulcld 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
33		simp2r 1207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
34	26	fovcl 7484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
35	33, 25, 34	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
36	2	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
37	36	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
38	35, 37	zmulcld 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ)
39	22, 38	zmulcld 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ)
40		peano2zm 12561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
41	24, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
43	26	fovcl 7484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
44	23, 42, 43	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
45	26	fovcl 7484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
46	33, 42, 45	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
47		congid 43416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (2 − 2))
48	20, 21, 47	sylancl 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (2 − 2))
49		simp3r 1209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
50		iddvds 16229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐴 − 𝐵))
51	20, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐴 − 𝐵))
52		congmul 43412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
53	20, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52	syl322anc 1406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
54		congmul 43412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
55	20, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54	syl322anc 1406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
56		simp3l 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
57		congsub 43415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
58	20, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57	syl322anc 1406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
59		rmyluc 43382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
60	23, 25, 59	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
61		rmyluc 43382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
62	33, 25, 61	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
63	60, 62	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
64	58, 63	breqtrrd 5100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
65	64	3exp 1125	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
66	65	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
67	19, 66	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
68		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
69		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 0))
70	68, 69	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
71	70	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0))))
72	71	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))))
73		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
74		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 1))
75	73, 74	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
76	75	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1))))
77	76	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))))
78		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
79		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))
80	78, 79	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
81	80	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
82	81	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))))
83		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
84		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑏))
85	83, 84	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
86	85	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))))
87	86	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
88		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
89		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))
90	88, 89	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
91	90	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))))
92	91	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
93		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
94		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑁))
95	93, 94	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
96	95	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
97	96	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))))
98	11, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97	2nn0ind 43390	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
99	98	impcom 408	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
100	99	3impa 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779   ∥ cdvds 16212   Y_rm crmy 43346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-numer 16696  df-denom 16697  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852  df-log 26538  df-squarenn 43286  df-pell1qr 43287  df-pell14qr 43288  df-pell1234qr 43289  df-pellfund 43290  df-rmx 43347  df-rmy 43348

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43450  jm2.27c  43452