Theorem jm2.15nn0 43245

Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Y_rm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.15nn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.15nn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5		0z 12499	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		congid 43213	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (0 − 0))
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (0 − 0))
8		rmy0 43171	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
9		rmy0 43171	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 Yrm 0) = 0)
10	8, 9	oveqan12d 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)) = (0 − 0))
11	7, 10	breqtrrd 5126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
12		1z 12521	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		congid 43213	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (1 − 1))
14	4, 12, 13	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (1 − 1))
15		rmy1 43172	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
16		rmy1 43172	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 Yrm 1) = 1)
17	15, 16	oveqan12d 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)) = (1 − 1))
18	14, 17	breqtrrd 5126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
19		pm3.43 473	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
20	4	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
21		2z 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 2 ∈ ℤ)
23		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
24		nnz 12509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
25	24	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
26		frmy 43156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
27	26	fovcl 7486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
28	23, 25, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
29	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
30	29	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	28, 30	zmulcld 12602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
32	22, 31	zmulcld 12602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
33		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
34	26	fovcl 7486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
35	33, 25, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
36	2	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
37	36	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
38	35, 37	zmulcld 12602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ)
39	22, 38	zmulcld 12602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ)
40		peano2zm 12534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
41	24, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
43	26	fovcl 7486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
44	23, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
45	26	fovcl 7486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
46	33, 42, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
47		congid 43213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (2 − 2))
48	20, 21, 47	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (2 − 2))
49		simp3r 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
50		iddvds 16196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐴 − 𝐵))
51	20, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐴 − 𝐵))
52		congmul 43209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
53	20, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52	syl322anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
54		congmul 43209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
55	20, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54	syl322anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
56		simp3l 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
57		congsub 43212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
58	20, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57	syl322anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
59		rmyluc 43179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
60	23, 25, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
61		rmyluc 43179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
62	33, 25, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
63	60, 62	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
64	58, 63	breqtrrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
65	64	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
66	65	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
67	19, 66	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
68		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
69		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 0))
70	68, 69	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
71	70	breq2d 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0))))
72	71	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))))
73		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
74		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 1))
75	73, 74	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
76	75	breq2d 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1))))
77	76	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))))
78		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
79		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))
80	78, 79	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
81	80	breq2d 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
82	81	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))))
83		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
84		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑏))
85	83, 84	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
86	85	breq2d 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))))
87	86	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
88		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
89		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))
90	88, 89	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
91	90	breq2d 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))))
92	91	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
93		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
94		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑁))
95	93, 94	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
96	95	breq2d 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
97	96	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))))
98	11, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97	2nn0ind 43187	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
99	98	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
100	99	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751   ∥ cdvds 16179   Y_rm crmy 43143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-numer 16662  df-denom 16663  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-squarenn 43083  df-pell1qr 43084  df-pell14qr 43085  df-pell1234qr 43086  df-pellfund 43087  df-rmx 43144  df-rmy 43145

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43247  jm2.27c  43249