Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.15nn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jm2.15nn0 41727
Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Yrm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.15nn0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
Proof of Theorem jm2.15nn0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12828 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 eluzelz 12828 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
3 zsubcl 12600 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€)
41, 2, 3syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€)
5 0z 12565 . . . . . 6 0 ∈ β„€
6 congid 41695 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
74, 5, 6sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
8 rmy0 41653 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
9 rmy0 41653 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡 Yrm 0) = 0)
108, 9oveqan12d 7424 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)) = (0 βˆ’ 0))
117, 10breqtrrd 5175 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)))
12 1z 12588 . . . . . 6 1 ∈ β„€
13 congid 41695 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
144, 12, 13sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
15 rmy1 41654 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
16 rmy1 41654 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡 Yrm 1) = 1)
1715, 16oveqan12d 7424 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)) = (1 βˆ’ 1))
1814, 17breqtrrd 5175 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)))
19 pm3.43 474 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))))
2043ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€)
21 2z 12590 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 2 ∈ β„€)
23 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
24 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„€)
25243ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
26 frmy 41638 . . . . . . . . . . . . 13 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2726fovcl 7533 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2823, 25, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
291adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
30293ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
3128, 30zmulcld 12668 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€)
3222, 31zmulcld 12668 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€)
33 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3426fovcl 7533 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐡 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
3533, 25, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐡 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
362adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
37363ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
3835, 37zmulcld 12668 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡) ∈ β„€)
3922, 38zmulcld 12668 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) ∈ β„€)
40 peano2zm 12601 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„€ β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4124, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
42413ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4326fovcl 7533 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4423, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4526fovcl 7533 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4633, 42, 45syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
47 congid 41695 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
4820, 21, 47sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
49 simp3r 1202 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))
50 iddvds 16209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
5120, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
52 congmul 41691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ (𝐡 Yrm 𝑏) ∈ β„€) ∧ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)))
5320, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52syl322anc 1398 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)))
54 congmul 41691 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (2 βˆ’ 2) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡))))
5520, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54syl322anc 1398 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡))))
56 simp3l 1201 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
57 congsub 41694 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
5820, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57syl322anc 1398 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
59 rmyluc 41661 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6023, 25, 59syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
61 rmyluc 41661 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6233, 25, 61syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6360, 62oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
6458, 63breqtrrd 5175 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))
65643exp 1119 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
6665a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
6719, 66syl5 34 . . . 4 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
68 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 0))
69 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 0))
7068, 69oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)))
7170breq2d 5159 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0))))
7271imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)))))
73 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 1))
74 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 1))
7573, 74oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)))
7675breq2d 5159 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1))))
7776imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)))))
78 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
79 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
8078, 79oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
8180breq2d 5159 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
8281imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
83 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑏))
84 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 𝑏))
8583, 84oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))
8685breq2d 5159 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏))))
8786imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))))
88 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
89 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)))
9088, 89oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))
9190breq2d 5159 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)))))
9291imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
93 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑁))
94 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 𝑁))
9593, 94oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
9695breq2d 5159 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁))))
9796imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))))
9811, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 972nn0ind 41669 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁))))
9998impcom 408 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
100993impa 1110 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818   βˆ₯ cdvds 16193   Yrm crmy 41624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-squarenn 41564  df-pell1qr 41565  df-pell14qr 41566  df-pell1234qr 41567  df-pellfund 41568  df-rmx 41625  df-rmy 41626
This theorem is referenced by:  jm2.27a  41729  jm2.27c  41731
  Copyright terms: Public domain W3C validator