Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.15nn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jm2.15nn0 41824
Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Yrm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.15nn0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
Proof of Theorem jm2.15nn0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12834 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 eluzelz 12834 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
3 zsubcl 12606 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€)
41, 2, 3syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€)
5 0z 12571 . . . . . 6 0 ∈ β„€
6 congid 41792 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
74, 5, 6sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
8 rmy0 41750 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
9 rmy0 41750 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡 Yrm 0) = 0)
108, 9oveqan12d 7430 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)) = (0 βˆ’ 0))
117, 10breqtrrd 5176 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)))
12 1z 12594 . . . . . 6 1 ∈ β„€
13 congid 41792 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
144, 12, 13sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
15 rmy1 41751 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
16 rmy1 41751 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡 Yrm 1) = 1)
1715, 16oveqan12d 7430 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)) = (1 βˆ’ 1))
1814, 17breqtrrd 5176 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)))
19 pm3.43 474 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))))
2043ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€)
21 2z 12596 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 2 ∈ β„€)
23 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
24 nnz 12581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„€)
25243ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
26 frmy 41735 . . . . . . . . . . . . 13 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2726fovcl 7539 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2823, 25, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
291adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
30293ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
3128, 30zmulcld 12674 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€)
3222, 31zmulcld 12674 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€)
33 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3426fovcl 7539 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐡 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
3533, 25, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐡 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
362adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
37363ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
3835, 37zmulcld 12674 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡) ∈ β„€)
3922, 38zmulcld 12674 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) ∈ β„€)
40 peano2zm 12607 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„€ β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4124, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
42413ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4326fovcl 7539 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4423, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4526fovcl 7539 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4633, 42, 45syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
47 congid 41792 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
4820, 21, 47sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
49 simp3r 1202 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))
50 iddvds 16215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
5120, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
52 congmul 41788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ (𝐡 Yrm 𝑏) ∈ β„€) ∧ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)))
5320, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52syl322anc 1398 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)))
54 congmul 41788 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (2 βˆ’ 2) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡))))
5520, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54syl322anc 1398 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡))))
56 simp3l 1201 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
57 congsub 41791 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
5820, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57syl322anc 1398 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
59 rmyluc 41758 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6023, 25, 59syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
61 rmyluc 41758 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6233, 25, 61syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6360, 62oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· ((𝐡 Yrm 𝑏) Β· 𝐡)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
6458, 63breqtrrd 5176 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„• ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))
65643exp 1119 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
6665a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
6719, 66syl5 34 . . . 4 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
68 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 0))
69 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 0))
7068, 69oveq12d 7429 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)))
7170breq2d 5160 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0))))
7271imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ (𝐡 Yrm 0)))))
73 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 1))
74 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 1))
7573, 74oveq12d 7429 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)))
7675breq2d 5160 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1))))
7776imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ (𝐡 Yrm 1)))))
78 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
79 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
8078, 79oveq12d 7429 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
8180breq2d 5160 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))))
8281imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))))
83 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑏))
84 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 𝑏))
8583, 84oveq12d 7429 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))
8685breq2d 5160 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏))))
8786imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑏)))))
88 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
89 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)))
9088, 89oveq12d 7429 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))
9190breq2d 5160 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1)))))
9291imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝐡 Yrm (𝑏 + 1))))))
93 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑁))
94 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐡 Yrm π‘Ž) = (𝐡 Yrm 𝑁))
9593, 94oveq12d 7429 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
9695breq2d 5160 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁))))
9796imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ (𝐡 Yrm π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))))
9811, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 972nn0ind 41766 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁))))
9998impcom 408 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
100993impa 1110 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐡 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824   βˆ₯ cdvds 16199   Yrm crmy 41721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-numer 16673  df-denom 16674  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-squarenn 41661  df-pell1qr 41662  df-pell14qr 41663  df-pell1234qr 41664  df-pellfund 41665  df-rmx 41722  df-rmy 41723
This theorem is referenced by:  jm2.27a  41826  jm2.27c  41828
  Copyright terms: Public domain W3C validator