Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.15nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.15nn0 39737
Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Yrm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.15nn0 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.15nn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12232 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 12232 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zsubcl 12003 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
5 0z 11971 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
6 congid 39705 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ (0 − 0))
74, 5, 6sylancl 588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ (0 − 0))
8 rmy0 39663 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
9 rmy0 39663 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 Yrm 0) = 0)
108, 9oveqan12d 7152 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)) = (0 − 0))
117, 10breqtrrd 5070 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
12 1z 11991 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
13 congid 39705 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ (1 − 1))
144, 12, 13sylancl 588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ (1 − 1))
15 rmy1 39664 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
16 rmy1 39664 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 Yrm 1) = 1)
1715, 16oveqan12d 7152 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)) = (1 − 1))
1814, 17breqtrrd 5070 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
19 pm3.43 476 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
2043ad2ant2 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
21 2z 11993 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 2 ∈ ℤ)
23 simp2l 1195 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
24 nnz 11983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
25243ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
26 frmy 39648 . . . . . . . . . . . . 13 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2726fovcl 7256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2823, 25, 27syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
291adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
30293ad2ant2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
3128, 30zmulcld 12072 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
3222, 31zmulcld 12072 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
33 simp2r 1196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ (ℤ‘2))
3426fovcl 7256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
3533, 25, 34syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
362adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
37363ad2ant2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3835, 37zmulcld 12072 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ)
3922, 38zmulcld 12072 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ)
40 peano2zm 12004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
4124, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
42413ad2ant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
4326fovcl 7256 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
4423, 42, 43syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
4526fovcl 7256 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
4633, 42, 45syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
47 congid 39705 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ (2 − 2))
4820, 21, 47sylancl 588 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (2 − 2))
49 simp3r 1198 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
50 iddvds 15603 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∥ (𝐴𝐵))
5120, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (𝐴𝐵))
52 congmul 39701 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)) ∧ (𝐴𝐵) ∥ (𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
5320, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52syl322anc 1394 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
54 congmul 39701 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
5520, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54syl322anc 1394 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
56 simp3l 1197 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
57 congsub 39704 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))) → (𝐴𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
5820, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57syl322anc 1394 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
59 rmyluc 39671 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
6023, 25, 59syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
61 rmyluc 39671 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
6233, 25, 61syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
6360, 62oveq12d 7151 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
6458, 63breqtrrd 5070 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
65643exp 1115 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
6665a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
6719, 66syl5 34 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
68 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
69 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 0))
7068, 69oveq12d 7151 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
7170breq2d 5054 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0))))
7271imbi2d 343 . . . 4 (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))))
73 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
74 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 1))
7573, 74oveq12d 7151 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
7675breq2d 5054 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1))))
7776imbi2d 343 . . . 4 (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))))
78 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
79 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))
8078, 79oveq12d 7151 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
8180breq2d 5054 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
8281imbi2d 343 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))))
83 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
84 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑏))
8583, 84oveq12d 7151 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
8685breq2d 5054 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))))
8786imbi2d 343 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
88 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
89 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))
9088, 89oveq12d 7151 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
9190breq2d 5054 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))))
9291imbi2d 343 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
93 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
94 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑁))
9593, 94oveq12d 7151 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
9695breq2d 5054 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
9796imbi2d 343 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))))
9811, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 972nn0ind 39679 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
9998impcom 410 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
100993impa 1106 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6331  (class class class)co 7133  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520  cmin 10848  cn 11616  2c2 11671  0cn0 11876  cz 11960  cuz 12222  cdvds 15587   Yrm crmy 39635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-acn 9349  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-shft 14406  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-ef 15401  df-sin 15403  df-cos 15404  df-pi 15406  df-dvds 15588  df-gcd 15822  df-numer 16053  df-denom 16054  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449  df-log 25127  df-squarenn 39575  df-pell1qr 39576  df-pell14qr 39577  df-pell1234qr 39578  df-pellfund 39579  df-rmx 39636  df-rmy 39637
This theorem is referenced by:  jm2.27a  39739  jm2.27c  39741
  Copyright terms: Public domain W3C validator