Theorem jm2.15nn0 43730

Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Y_rm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.15nn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.15nn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5		0z 12597	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		congid 43698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (0 − 0))
7	4, 5, 6	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (0 − 0))
8		rmy0 43656	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
9		rmy0 43656	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 Yrm 0) = 0)
10	8, 9	oveqan12d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)) = (0 − 0))
11	7, 10	breqtrrd 5139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
12		1z 12619	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		congid 43698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (1 − 1))
14	4, 12, 13	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (1 − 1))
15		rmy1 43657	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
16		rmy1 43657	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 Yrm 1) = 1)
17	15, 16	oveqan12d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)) = (1 − 1))
18	14, 17	breqtrrd 5139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
19		pm3.43 478	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
20	4	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
21		2z 12621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 2 ∈ ℤ)
23		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
24		nnz 12607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
25	24	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
26		frmy 43641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
27	26	fovcl 7538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
28	23, 25, 27	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
29	1	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
30	29	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	28, 30	zmulcld 12701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
32	22, 31	zmulcld 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
33		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
34	26	fovcl 7538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
35	33, 25, 34	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
36	2	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
37	36	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
38	35, 37	zmulcld 12701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ)
39	22, 38	zmulcld 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ)
40		peano2zm 12632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
41	24, 40	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
43	26	fovcl 7538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
44	23, 42, 43	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
45	26	fovcl 7538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
46	33, 42, 45	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
47		congid 43698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (2 − 2))
48	20, 21, 47	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (2 − 2))
49		simp3r 1221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
50		iddvds 16322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐴 − 𝐵))
51	20, 50	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐴 − 𝐵))
52		congmul 43694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
53	20, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52	syl322anc 1425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
54		congmul 43694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
55	20, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54	syl322anc 1425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
56		simp3l 1220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
57		congsub 43697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
58	20, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57	syl322anc 1425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
59		rmyluc 43664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
60	23, 25, 59	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
61		rmyluc 43664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
62	33, 25, 61	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
63	60, 62	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
64	58, 63	breqtrrd 5139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
65	64	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
66	65	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
67	19, 66	syl5 35	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
68		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
69		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 0))
70	68, 69	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
71	70	breq2d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0))))
72	71	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))))
73		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
74		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 1))
75	73, 74	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
76	75	breq2d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1))))
77	76	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))))
78		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
79		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))
80	78, 79	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
81	80	breq2d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
82	81	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))))
83		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
84		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑏))
85	83, 84	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
86	85	breq2d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))))
87	86	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
88		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
89		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))
90	88, 89	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
91	90	breq2d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))))
92	91	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
93		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
94		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑁))
95	93, 94	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
96	95	breq2d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
97	96	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))))
98	11, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97	2nn0ind 43672	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
99	98	impcom 412	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
100	99	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  ℕcn 12228  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857   ∥ cdvds 16305   Y_rm crmy 43628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-numer 16789  df-denom 16790  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-log 26721  df-squarenn 43568  df-pell1qr 43569  df-pell14qr 43570  df-pell1234qr 43571  df-pellfund 43572  df-rmx 43629  df-rmy 43630

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43732  jm2.27c  43734