Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acongeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acongeq 42185
Description: Two numbers in the fundamental domain are alternating-congruent iff they are equal. TODO: could be used to shorten jm2.26 42204. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongeq ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†” ((2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆจ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ))))

Proof of Theorem acongeq
StepHypRef Expression
1 2z 12601 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
2 nnz 12586 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
323ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4 zmulcl 12618 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
51, 3, 4sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
6 elfzelz 13508 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
763ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
8 congid 42173 . . . . . 6 (((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ต))
95, 7, 8syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ต))
109adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง ๐ต = ๐ถ) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ต))
11 oveq2 7420 . . . . 5 (๐ต = ๐ถ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ต) = (๐ต โˆ’ ๐ถ))
1211adantl 481 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง ๐ต = ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ต) = (๐ต โˆ’ ๐ถ))
1310, 12breqtrd 5174 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง ๐ต = ๐ถ) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ))
1413orcd 870 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง ๐ต = ๐ถ) โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆจ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)))
15 elfzelz 13508 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
16153ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
177, 16zsubcld 12678 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
1817zcnd 12674 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1918abscld 15390 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
20 nnre 12226 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21203ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
22 0re 11223 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
23 resubcl 11531 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) โˆˆ โ„)
2421, 22, 23sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) โˆˆ โ„)
25 2re 12293 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
26 remulcl 11201 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
2725, 21, 26sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
28 simp2 1136 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ (0...๐ด))
29 simp3 1137 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0...๐ด))
3024leidd 11787 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) โ‰ค (๐ด โˆ’ 0))
31 fzmaxdif 42183 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (๐ด โˆ’ 0) โ‰ค (๐ด โˆ’ 0)) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ‰ค (๐ด โˆ’ 0))
323, 28, 3, 29, 30, 31syl221anc 1380 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ‰ค (๐ด โˆ’ 0))
33 nnrp 12992 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
34333ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
3521, 34ltaddrpd 13056 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ด < (๐ด + ๐ด))
3621recnd 11249 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3736subid1d 11567 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
38362timesd 12462 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
3935, 37, 383brtr4d 5180 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) < (2 ยท ๐ด))
4019, 24, 27, 32, 39lelttrd 11379 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (2 ยท ๐ด))
4140adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (2 ยท ๐ด))
42 2nn 12292 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
43 simpl1 1190 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
44 nnmulcl 12243 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
4542, 43, 44sylancr 586 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
46 simpl2 1191 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ (0...๐ด))
4746elfzelzd 13509 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
48 simpl3 1192 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0...๐ด))
4948elfzelzd 13509 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
50 simpr 484 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ))
51 congabseq 42176 . . . . 5 ((((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (2 ยท ๐ด) โ†” ๐ต = ๐ถ))
5245, 47, 49, 50, 51syl31anc 1372 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (2 ยท ๐ด) โ†” ๐ต = ๐ถ))
5341, 52mpbid 231 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
54 simpll2 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ (0...๐ด))
55 elfzle1 13511 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ (0...๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
577zred 12673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5816zred 12673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
5958renegcld 11648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ -๐ถ โˆˆ โ„)
6057, 59resubcld 11649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ต โˆ’ -๐ถ) โˆˆ โ„)
6160recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ต โˆ’ -๐ถ) โˆˆ โ„‚)
6261abscld 15390 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆˆ โ„)
6362ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆˆ โ„)
64 1re 11221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„
65 resubcl 11531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
6621, 64, 65sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
6766renegcld 11648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ -(๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
6821, 67resubcld 11649 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
7027ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
717ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
7271zcnd 12674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7316znegcld 12675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ -๐ถ โˆˆ โ„ค)
7473ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ -๐ถ โˆˆ โ„ค)
7574zcnd 12674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ -๐ถ โˆˆ โ„‚)
7672, 75abssubd 15407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ -๐ถ)) = (absโ€˜(-๐ถ โˆ’ ๐ต)))
77 0zd 12577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)))
79 0zd 12577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
80 1z 12599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„ค
81 zsubcl 12611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
823, 80, 81sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
83 fzneg 42184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†” -๐ถ โˆˆ (-(๐ด โˆ’ 1)...-0)))
8416, 79, 82, 83syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†” -๐ถ โˆˆ (-(๐ด โˆ’ 1)...-0)))
8584ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†” -๐ถ โˆˆ (-(๐ด โˆ’ 1)...-0)))
8678, 85mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ -๐ถ โˆˆ (-(๐ด โˆ’ 1)...-0))
87 neg0 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -0 = 0
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ -0 = 0)
8988oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (-(๐ด โˆ’ 1)...-0) = (-(๐ด โˆ’ 1)...0))
9086, 89eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ -๐ถ โˆˆ (-(๐ด โˆ’ 1)...0))
913ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
92 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
9342, 92, 44sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
94 nnm1nn0 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
9695nn0ge0d 12542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1))
97 0m0e0 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 โˆ’ 0) = 0
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (0 โˆ’ 0) = 0)
99 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10036, 36, 99addsubassd 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ((๐ด + ๐ด) โˆ’ 1) = (๐ด + (๐ด โˆ’ 1)))
10138oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1) = ((๐ด + ๐ด) โˆ’ 1))
102 ax-1cn 11174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„‚
103 subcl 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
10436, 102, 103sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
10536, 104subnegd 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)) = (๐ด + (๐ด โˆ’ 1)))
106100, 101, 1053eqtr4rd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)) = ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1))
10796, 98, 1063brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (0 โˆ’ 0) โ‰ค (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)))
108107ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (0 โˆ’ 0) โ‰ค (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)))
109 fzmaxdif 42183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0 โˆˆ โ„ค โˆง -๐ถ โˆˆ (-(๐ด โˆ’ 1)...0)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (0 โˆ’ 0) โ‰ค (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(-๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)))
11077, 90, 91, 54, 108, 109syl221anc 1380 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(-๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)))
11176, 110eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ -๐ถ)) โ‰ค (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)))
11227ltm1d 12153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1) < (2 ยท ๐ด))
113106, 112eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)) < (2 ยท ๐ด))
114113ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด โˆ’ -(๐ด โˆ’ 1)) < (2 ยท ๐ด))
11563, 69, 70, 111, 114lelttrd 11379 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ -๐ถ)) < (2 ยท ๐ด))
11693ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
117 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ))
118 congabseq 42176 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง -๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ -๐ถ)) < (2 ยท ๐ด) โ†” ๐ต = -๐ถ))
119116, 71, 74, 117, 118syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ -๐ถ)) < (2 ยท ๐ด) โ†” ๐ต = -๐ถ))
120115, 119mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต = -๐ถ)
12156, 120breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค -๐ถ)
122 elfzelz 13508 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
123122zred 12673 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
124123adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
125124le0neg1d 11792 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (๐ถ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ถ))
126121, 125mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ โ‰ค 0)
127 elfzle1 13511 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
128127adantl 481 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
129 letri3 11306 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ = 0 โ†” (๐ถ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)))
130124, 22, 129sylancl 585 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (๐ถ = 0 โ†” (๐ถ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)))
131126, 128, 130mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ = 0)
132131negeqd 11461 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ -๐ถ = -0)
133132, 88eqtrd 2771 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ -๐ถ = 0)
134133, 120, 1313eqtr4d 2781 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
135 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (๐ถ = ๐ด โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
136135adantl 481 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
137136fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))
13840ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (2 ยท ๐ด))
139137, 138eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) < (2 ยท ๐ด))
14093ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
1417ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1423ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
143 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ))
1447zcnd 12674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
14536, 36, 144ppncand 11618 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ((๐ด + ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ด + ๐ต))
14636, 144addcomd 11423 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ต + ๐ด))
147145, 146eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ((๐ด + ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ต + ๐ด))
148147ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ต + ๐ด))
149 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ = ๐ด โ†’ (๐ต + ๐ถ) = (๐ต + ๐ด))
150149adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (๐ต + ๐ถ) = (๐ต + ๐ด))
151148, 150eqtr4d 2774 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ต + ๐ถ))
15238oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ((2 ยท ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด + ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)))
153152ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด + ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)))
15416zcnd 12674 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
155144, 154subnegd 11585 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ต โˆ’ -๐ถ) = (๐ต + ๐ถ))
156155ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (๐ต โˆ’ -๐ถ) = (๐ต + ๐ถ))
157151, 153, 1563eqtr4d 2781 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ต โˆ’ -๐ถ))
158143, 157breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆฅ ((2 ยท ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)))
1595ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
1607, 3zsubcld 12678 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค)
161160ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค)
162 dvdsadd 16252 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†” (2 ยท ๐ด) โˆฅ ((2 ยท ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด))))
163159, 161, 162syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†” (2 ยท ๐ด) โˆฅ ((2 ยท ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด))))
164158, 163mpbird 257 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ด))
165 congabseq 42176 . . . . . . 7 ((((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) < (2 ยท ๐ด) โ†” ๐ต = ๐ด))
166140, 141, 142, 164, 165syl31anc 1372 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) < (2 ยท ๐ด) โ†” ๐ต = ๐ด))
167139, 166mpbid 231 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ๐ต = ๐ด)
168 simpr 484 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ๐ถ = ๐ด)
169167, 168eqtr4d 2774 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โˆง ๐ถ = ๐ด) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
170 nnnn0 12486 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
1711703ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
172 nn0uz 12871 . . . . . . 7 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
173171, 172eleqtrdi 2842 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
174 fzm1 13588 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (๐ถ โˆˆ (0...๐ด) โ†” (๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โˆจ ๐ถ = ๐ด)))
175174biimpa 476 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โˆจ ๐ถ = ๐ด))
176173, 29, 175syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โˆจ ๐ถ = ๐ด))
177176adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โˆจ ๐ถ = ๐ด))
178134, 169, 177mpjaodan 956 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ)) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
17953, 178jaodan 955 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โˆง ((2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆจ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ))) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
18014, 179impbida 798 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ (0...๐ด)) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†” ((2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆจ (2 ยท ๐ด) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  โ„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   ยท cmul 11121   < clt 11255   โ‰ค cle 11256   โˆ’ cmin 11451  -cneg 11452  โ„•cn 12219  2c2 12274  โ„•0cn0 12479  โ„คcz 12565  โ„คโ‰ฅcuz 12829  โ„+crp 12981  ...cfz 13491  abscabs 15188   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  jm2.27a  42207
  Copyright terms: Public domain W3C validator