Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.16nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.16nn0 41314
Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 41313 if Yrm is redefined as described in rmyluc 41247. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.16nn0 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12773 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 peano2zm 12546 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4 0z 12510 . . . . 5 0 ∈ ℤ
5 congid 41281 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
63, 4, 5sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
7 rmy0 41239 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
87oveq1d 7372 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Yrm 0) − 0) = (0 − 0))
96, 8breqtrrd 5133 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))
10 1z 12533 . . . . 5 1 ∈ ℤ
11 congid 41281 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
123, 10, 11sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
13 rmy1 41240 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
1413oveq1d 7372 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Yrm 1) − 1) = (1 − 1))
1512, 14breqtrrd 5133 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))
16 pm3.43 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
171adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
1817, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
19 eluzel2 12768 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℤ)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ ℤ)
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
22 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24 frmy 41224 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2524fovcl 7484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2621, 23, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2726, 17zmulcld 12613 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
2820, 27zmulcld 12613 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
29 zmulcl 12552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
3023, 10, 29sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
3120, 30zmulcld 12613 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ)
3218, 28, 313jca 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
33323adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
34 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
3523, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
3624fovcl 7484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
3721, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
3837, 35jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
39383adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
4018, 20, 203jca 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
41403adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
4227, 30jca 512 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
43423adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
44 congid 41281 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
4518, 20, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
46453adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
4718, 26, 233jca 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
48473adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
4917, 10jctir 521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50493adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
51 simp3r 1202 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
52 iddvds 16152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
5318, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
54533adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
55 congmul 41277 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
5648, 50, 51, 54, 55syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
57 congmul 41277 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
5841, 43, 46, 56, 57syl112anc 1374 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
59 simp3l 1201 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
60 congsub 41280 . . . . . . . 8 ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
6133, 39, 58, 59, 60syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
62 rmyluc 41247 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
6321, 23, 62syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
64 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
6564mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 · 1) = 𝑏)
6665oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (2 · 𝑏))
67642timesd 12396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
6866, 67eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (𝑏 + 𝑏))
6968oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)) = ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)))
70 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
7164, 64, 70pnncand 11551 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)) = (𝑏 + 1))
7269, 71eqtr2d 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
7372adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
7463, 73oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
75743adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
7661, 75breqtrrd 5133 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
77763exp 1119 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
7877a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
7916, 78syl5 34 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
80 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
81 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
8280, 81oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 0) − 0))
8382breq2d 5117 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0)))
8483imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))))
85 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
86 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → 𝑎 = 1)
8785, 86oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 1) − 1))
8887breq2d 5117 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1)))
8988imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 1 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))))
90 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
91 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → 𝑎 = (𝑏 − 1))
9290, 91oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
9392breq2d 5117 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))))
9493imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))))
95 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
9795, 96oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
9897breq2d 5117 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)))
9998imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
100 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
102100, 101oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
103102breq2d 5117 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1))))
104103imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
105 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁𝑎 = 𝑁)
107105, 106oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
108107breq2d 5117 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
109108imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))))
1109, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 1092nn0ind 41255 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
111110impcom 408 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  cdvds 16136   Yrm crmy 41210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-numer 16610  df-denom 16611  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-squarenn 41150  df-pell1qr 41151  df-pell14qr 41152  df-pell1234qr 41153  df-pellfund 41154  df-rmx 41211  df-rmy 41212
This theorem is referenced by:  jm2.27a  41315  jm2.27c  41317
  Copyright terms: Public domain W3C validator