Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.16nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.16nn0 43016
Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 43015 if Yrm is redefined as described in rmyluc 42949. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.16nn0 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12888 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 peano2zm 12660 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4 0z 12624 . . . . 5 0 ∈ ℤ
5 congid 42983 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
63, 4, 5sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
7 rmy0 42941 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
87oveq1d 7446 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Yrm 0) − 0) = (0 − 0))
96, 8breqtrrd 5171 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))
10 1z 12647 . . . . 5 1 ∈ ℤ
11 congid 42983 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
123, 10, 11sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
13 rmy1 42942 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
1413oveq1d 7446 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Yrm 1) − 1) = (1 − 1))
1512, 14breqtrrd 5171 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))
16 pm3.43 473 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
171adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
1817, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
19 eluzel2 12883 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℤ)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ ℤ)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
22 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24 frmy 42926 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2524fovcl 7561 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2621, 23, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2726, 17zmulcld 12728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
2820, 27zmulcld 12728 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
29 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
3023, 10, 29sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
3120, 30zmulcld 12728 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ)
3218, 28, 313jca 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
33323adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
34 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
3523, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
3624fovcl 7561 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
3721, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
3837, 35jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
39383adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
4018, 20, 203jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
41403adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
4227, 30jca 511 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
43423adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
44 congid 42983 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
4518, 20, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
46453adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
4718, 26, 233jca 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
48473adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
4917, 10jctir 520 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50493adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
51 simp3r 1203 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
52 iddvds 16307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
5318, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
54533adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
55 congmul 42979 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
5648, 50, 51, 54, 55syl112anc 1376 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
57 congmul 42979 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
5841, 43, 46, 56, 57syl112anc 1376 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
59 simp3l 1202 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
60 congsub 42982 . . . . . . . 8 ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
6133, 39, 58, 59, 60syl112anc 1376 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
62 rmyluc 42949 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
6321, 23, 62syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
64 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
6564mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 · 1) = 𝑏)
6665oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (2 · 𝑏))
67642timesd 12509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
6866, 67eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (𝑏 + 𝑏))
6968oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)) = ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)))
70 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
7164, 64, 70pnncand 11659 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)) = (𝑏 + 1))
7269, 71eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
7372adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
7463, 73oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
75743adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
7661, 75breqtrrd 5171 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
77763exp 1120 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
7877a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
7916, 78syl5 34 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
80 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
81 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
8280, 81oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 0) − 0))
8382breq2d 5155 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0)))
8483imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))))
85 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
86 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → 𝑎 = 1)
8785, 86oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 1) − 1))
8887breq2d 5155 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1)))
8988imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 1 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))))
90 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
91 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → 𝑎 = (𝑏 − 1))
9290, 91oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
9392breq2d 5155 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))))
9493imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))))
95 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
9795, 96oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
9897breq2d 5155 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)))
9998imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
100 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
102100, 101oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
103102breq2d 5155 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1))))
104103imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
105 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁𝑎 = 𝑁)
107105, 106oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
108107breq2d 5155 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
109108imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))))
1109, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 1092nn0ind 42957 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
111110impcom 407 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  cdvds 16290   Yrm crmy 42912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-squarenn 42852  df-pell1qr 42853  df-pell14qr 42854  df-pell1234qr 42855  df-pellfund 42856  df-rmx 42913  df-rmy 42914
This theorem is referenced by:  jm2.27a  43017  jm2.27c  43019
  Copyright terms: Public domain W3C validator