Theorem jm2.16nn0 43616

Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 43615 if Y_rm is redefined as described in rmyluc 43549. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.16nn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12868	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12633	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4		0z 12598	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		congid 43583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
6	3, 4, 5	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
7		rmy0 43541	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
8	7	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 0) − 0) = (0 − 0))
9	6, 8	breqtrrd 5140	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))
10		1z 12620	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		congid 43583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
12	3, 10, 11	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
13		rmy1 43542	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
14	13	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 1) − 1) = (1 − 1))
15	12, 14	breqtrrd 5140	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))
16		pm3.43 478	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
17	1	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17, 2	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
19		eluzel2 12863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℤ)
20	19	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ ℤ)
21		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
22		nnz 12608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
23	22	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24		frmy 43526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
25	24	fovcl 7536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
26	21, 23, 25	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
27	26, 17	zmulcld 12702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
28	20, 27	zmulcld 12702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
29		zmulcl 12639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
30	23, 10, 29	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
31	20, 30	zmulcld 12702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ)
32	18, 28, 31	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
33	32	3adant3 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
34		peano2zm 12633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
35	23, 34	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
36	24	fovcl 7536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
37	21, 35, 36	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
38	37, 35	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
39	38	3adant3 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
40	18, 20, 20	3jca 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
41	40	3adant3 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
42	27, 30	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
43	42	3adant3 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
44		congid 43583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
45	18, 20, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
46	45	3adant3 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
47	18, 26, 23	3jca 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
48	47	3adant3 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
49	17, 10	jctir 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50	49	3adant3 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
51		simp3r 1219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
52		iddvds 16323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
53	18, 52	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
54	53	3adant3 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
55		congmul 43579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
56	48, 50, 51, 54, 55	syl112anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
57		congmul 43579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
58	41, 43, 46, 56, 57	syl112anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
59		simp3l 1218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
60		congsub 43582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
61	33, 39, 58, 59, 60	syl112anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
62		rmyluc 43549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
63	21, 23, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
64		nncn 12237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
65	64	mulridd 11222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 · 1) = 𝑏)
66	65	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (2 · 𝑏))
67	64	2timesd 12483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
68	66, 67	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (𝑏 + 𝑏))
69	68	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)) = ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)))
70		1cnd 11198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
71	64, 64, 70	pnncand 11604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)) = (𝑏 + 1))
72	69, 71	eqtr2d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
73	72	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
74	63, 73	oveq12d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
75	74	3adant3 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
76	61, 75	breqtrrd 5140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
77	76	3exp 1135	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
78	77	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
79	16, 78	syl5 35	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
80		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
81		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
82	80, 81	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 0) − 0))
83	82	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0)))
84	83	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))))
85		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
86		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → 𝑎 = 1)
87	85, 86	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 1) − 1))
88	87	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1)))
89	88	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))))
90		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
91		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → 𝑎 = (𝑏 − 1))
92	90, 91	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
93	92	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))))
94	93	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))))
95		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
97	95, 96	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
98	97	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)))
99	98	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
100		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
102	100, 101	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
103	102	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1))))
104	103	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
105		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → 𝑎 = 𝑁)
107	105, 106	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
108	107	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
109	108	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))))
110	9, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109	2nn0ind 43557	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
111	110	impcom 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  ℕcn 12229  2c2 12291  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858   ∥ cdvds 16306   Y_rm crmy 43513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-numer 16790  df-denom 16791  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-log 26683  df-squarenn 43453  df-pell1qr 43454  df-pell14qr 43455  df-pell1234qr 43456  df-pellfund 43457  df-rmx 43514  df-rmy 43515

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43617  jm2.27c  43619