Theorem jm2.16nn0 43450

Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 43449 if Y_rm is redefined as described in rmyluc 43383. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.16nn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12789	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12561	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4		0z 12526	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		congid 43417	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
6	3, 4, 5	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
7		rmy0 43375	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
8	7	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 0) − 0) = (0 − 0))
9	6, 8	breqtrrd 5114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))
10		1z 12548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		congid 43417	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
12	3, 10, 11	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
13		rmy1 43376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
14	13	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 1) − 1) = (1 − 1))
15	12, 14	breqtrrd 5114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))
16		pm3.43 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
17	1	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
19		eluzel2 12784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℤ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
22		nnz 12536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24		frmy 43360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
25	24	fovcl 7488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
26	21, 23, 25	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
27	26, 17	zmulcld 12630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
28	20, 27	zmulcld 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
29		zmulcl 12567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
30	23, 10, 29	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
31	20, 30	zmulcld 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ)
32	18, 28, 31	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
33	32	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
34		peano2zm 12561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
36	24	fovcl 7488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
37	21, 35, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
38	37, 35	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
39	38	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
40	18, 20, 20	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
41	40	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
42	27, 30	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
43	42	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
44		congid 43417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
45	18, 20, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
46	45	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
47	18, 26, 23	3jca 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
48	47	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
49	17, 10	jctir 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50	49	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
51		simp3r 1204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
52		iddvds 16229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
53	18, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
54	53	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
55		congmul 43413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
56	48, 50, 51, 54, 55	syl112anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
57		congmul 43413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
58	41, 43, 46, 56, 57	syl112anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
59		simp3l 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
60		congsub 43416	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
61	33, 39, 58, 59, 60	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
62		rmyluc 43383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
63	21, 23, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
64		nncn 12173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
65	64	mulridd 11153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 · 1) = 𝑏)
66	65	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (2 · 𝑏))
67	64	2timesd 12411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
68	66, 67	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (𝑏 + 𝑏))
69	68	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)) = ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)))
70		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
71	64, 64, 70	pnncand 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)) = (𝑏 + 1))
72	69, 71	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
74	63, 73	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
75	74	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
76	61, 75	breqtrrd 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
77	76	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
78	77	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
79	16, 78	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
80		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
81		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
82	80, 81	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 0) − 0))
83	82	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0)))
84	83	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))))
85		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
86		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → 𝑎 = 1)
87	85, 86	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 1) − 1))
88	87	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1)))
89	88	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))))
90		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
91		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → 𝑎 = (𝑏 − 1))
92	90, 91	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
93	92	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))))
94	93	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))))
95		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
97	95, 96	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
98	97	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)))
99	98	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
100		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
102	100, 101	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
103	102	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1))))
104	103	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
105		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → 𝑎 = 𝑁)
107	105, 106	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
108	107	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
109	108	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))))
110	9, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109	2nn0ind 43391	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
111	110	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779   ∥ cdvds 16212   Y_rm crmy 43347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-numer 16696  df-denom 16697  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-squarenn 43287  df-pell1qr 43288  df-pell14qr 43289  df-pell1234qr 43290  df-pellfund 43291  df-rmx 43348  df-rmy 43349

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43451  jm2.27c  43453