Theorem jm2.16nn0 43124

Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 43123 if Y_rm is redefined as described in rmyluc 43057. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.16nn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12750	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12523	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4		0z 12488	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		congid 43091	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
7		rmy0 43049	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
8	7	oveq1d 7369	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 0) − 0) = (0 − 0))
9	6, 8	breqtrrd 5123	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))
10		1z 12510	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		congid 43091	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
12	3, 10, 11	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
13		rmy1 43050	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
14	13	oveq1d 7369	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 1) − 1) = (1 − 1))
15	12, 14	breqtrrd 5123	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))
16		pm3.43 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
17	1	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
19		eluzel2 12745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℤ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
22		nnz 12498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24		frmy 43034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
25	24	fovcl 7482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
26	21, 23, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
27	26, 17	zmulcld 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
28	20, 27	zmulcld 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
29		zmulcl 12529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
30	23, 10, 29	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
31	20, 30	zmulcld 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ)
32	18, 28, 31	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
33	32	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
34		peano2zm 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
36	24	fovcl 7482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
37	21, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
38	37, 35	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
39	38	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
40	18, 20, 20	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
41	40	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
42	27, 30	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
43	42	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
44		congid 43091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
45	18, 20, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
46	45	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
47	18, 26, 23	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
48	47	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
49	17, 10	jctir 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50	49	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
51		simp3r 1203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
52		iddvds 16184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
53	18, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
54	53	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
55		congmul 43087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
56	48, 50, 51, 54, 55	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
57		congmul 43087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
58	41, 43, 46, 56, 57	syl112anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
59		simp3l 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
60		congsub 43090	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
61	33, 39, 58, 59, 60	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
62		rmyluc 43057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
63	21, 23, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
64		nncn 12142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
65	64	mulridd 11138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 · 1) = 𝑏)
66	65	oveq2d 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (2 · 𝑏))
67	64	2timesd 12373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
68	66, 67	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (𝑏 + 𝑏))
69	68	oveq1d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)) = ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)))
70		1cnd 11116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
71	64, 64, 70	pnncand 11520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)) = (𝑏 + 1))
72	69, 71	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
74	63, 73	oveq12d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
75	74	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
76	61, 75	breqtrrd 5123	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
77	76	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
78	77	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
79	16, 78	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
80		oveq2 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
81		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
82	80, 81	oveq12d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 0) − 0))
83	82	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0)))
84	83	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))))
85		oveq2 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
86		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → 𝑎 = 1)
87	85, 86	oveq12d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 1) − 1))
88	87	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1)))
89	88	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))))
90		oveq2 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
91		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → 𝑎 = (𝑏 − 1))
92	90, 91	oveq12d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
93	92	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))))
94	93	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))))
95		oveq2 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
97	95, 96	oveq12d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
98	97	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)))
99	98	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
100		oveq2 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
102	100, 101	oveq12d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
103	102	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1))))
104	103	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
105		oveq2 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → 𝑎 = 𝑁)
107	105, 106	oveq12d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
108	107	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
109	108	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))))
110	9, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109	2nn0ind 43065	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
111	110	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020   − cmin 11353  ℕcn 12134  2c2 12189  ℕ₀cn0 12390  ℤcz 12477  ℤ_≥cuz 12740   ∥ cdvds 16167   Y_rm crmy 43021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-oadd 8397  df-omul 8398  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-fi 9304  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-acn 9844  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-xnn0 12464  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-ioo 13253  df-ioc 13254  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-mod 13778  df-seq 13913  df-exp 13973  df-fac 14185  df-bc 14214  df-hash 14242  df-shft 14978  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-limsup 15382  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-sum 15598  df-ef 15978  df-sin 15980  df-cos 15981  df-pi 15983  df-dvds 16168  df-gcd 16410  df-numer 16650  df-denom 16651  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-rest 17330  df-topn 17331  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-topgen 17351  df-pt 17352  df-prds 17355  df-xrs 17410  df-qtop 17415  df-imas 17416  df-xps 17418  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-mulg 18985  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-fbas 21292  df-fg 21293  df-cnfld 21296  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-cld 22937  df-ntr 22938  df-cls 22939  df-nei 23016  df-lp 23054  df-perf 23055  df-cn 23145  df-cnp 23146  df-haus 23233  df-tx 23480  df-hmeo 23673  df-fil 23764  df-fm 23856  df-flim 23857  df-flf 23858  df-xms 24238  df-ms 24239  df-tms 24240  df-cncf 24801  df-limc 25797  df-dv 25798  df-log 26495  df-squarenn 42961  df-pell1qr 42962  df-pell14qr 42963  df-pell1234qr 42964  df-pellfund 42965  df-rmx 43022  df-rmy 43023

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43125  jm2.27c  43127