Theorem jm2.16nn0 43016

Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 43015 if Y_rm is redefined as described in rmyluc 42949. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.16nn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12888	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12660	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4		0z 12624	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		congid 42983	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
7		rmy0 42941	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
8	7	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 0) − 0) = (0 − 0))
9	6, 8	breqtrrd 5171	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))
10		1z 12647	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		congid 42983	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
12	3, 10, 11	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
13		rmy1 42942	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
14	13	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 1) − 1) = (1 − 1))
15	12, 14	breqtrrd 5171	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))
16		pm3.43 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
17	1	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
19		eluzel2 12883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℤ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
22		nnz 12634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24		frmy 42926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
25	24	fovcl 7561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
26	21, 23, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
27	26, 17	zmulcld 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
28	20, 27	zmulcld 12728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
29		zmulcl 12666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
30	23, 10, 29	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
31	20, 30	zmulcld 12728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ)
32	18, 28, 31	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
33	32	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
34		peano2zm 12660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
36	24	fovcl 7561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
37	21, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
38	37, 35	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
39	38	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
40	18, 20, 20	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
41	40	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
42	27, 30	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
43	42	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
44		congid 42983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
45	18, 20, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
46	45	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
47	18, 26, 23	3jca 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
48	47	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
49	17, 10	jctir 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50	49	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
51		simp3r 1203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
52		iddvds 16307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
53	18, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
54	53	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
55		congmul 42979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
56	48, 50, 51, 54, 55	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
57		congmul 42979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
58	41, 43, 46, 56, 57	syl112anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
59		simp3l 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
60		congsub 42982	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
61	33, 39, 58, 59, 60	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
62		rmyluc 42949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
63	21, 23, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
64		nncn 12274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
65	64	mulridd 11278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 · 1) = 𝑏)
66	65	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (2 · 𝑏))
67	64	2timesd 12509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
68	66, 67	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (𝑏 + 𝑏))
69	68	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)) = ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)))
70		1cnd 11256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
71	64, 64, 70	pnncand 11659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)) = (𝑏 + 1))
72	69, 71	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
74	63, 73	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
75	74	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
76	61, 75	breqtrrd 5171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
77	76	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
78	77	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
79	16, 78	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
80		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
81		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
82	80, 81	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 0) − 0))
83	82	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0)))
84	83	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))))
85		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
86		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → 𝑎 = 1)
87	85, 86	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 1) − 1))
88	87	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1)))
89	88	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))))
90		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
91		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → 𝑎 = (𝑏 − 1))
92	90, 91	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
93	92	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))))
94	93	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))))
95		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
97	95, 96	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
98	97	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)))
99	98	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
100		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
102	100, 101	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
103	102	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1))))
104	103	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
105		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → 𝑎 = 𝑁)
107	105, 106	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
108	107	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
109	108	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))))
110	9, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109	2nn0ind 42957	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
111	110	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878   ∥ cdvds 16290   Y_rm crmy 42912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-squarenn 42852  df-pell1qr 42853  df-pell14qr 42854  df-pell1234qr 42855  df-pellfund 42856  df-rmx 42913  df-rmy 42914

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43017  jm2.27c  43019