Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.16nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.16nn0 41371
Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 41370 if Yrm is redefined as described in rmyluc 41304. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.16nn0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12778 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 peano2zm 12551 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4 0z 12515 . . . . 5 0 ∈ β„€
5 congid 41338 . . . . 5 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
63, 4, 5sylancl 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
7 rmy0 41296 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
87oveq1d 7373 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0) = (0 βˆ’ 0))
96, 8breqtrrd 5134 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0))
10 1z 12538 . . . . 5 1 ∈ β„€
11 congid 41338 . . . . 5 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
123, 10, 11sylancl 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
13 rmy1 41297 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
1413oveq1d 7373 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
1512, 14breqtrrd 5134 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1))
16 pm3.43 475 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))))
171adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
1817, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€)
19 eluzel2 12773 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„€)
2019adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 2 ∈ β„€)
21 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
22 nnz 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„€)
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
24 frmy 41281 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2524fovcl 7485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2621, 23, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2726, 17zmulcld 12618 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€)
2820, 27zmulcld 12618 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€)
29 zmulcl 12557 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€)
3023, 10, 29sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€)
3120, 30zmulcld 12618 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€)
3218, 28, 313jca 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€))
33323adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€))
34 peano2zm 12551 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„€ β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3523, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3624fovcl 7485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
3721, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
3837, 35jca 513 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€))
39383adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€))
4018, 20, 203jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€))
41403adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€))
4227, 30jca 513 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€))
43423adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€))
44 congid 41338 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
4518, 20, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
46453adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
4718, 26, 233jca 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€))
48473adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€))
4917, 10jctir 522 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€))
50493adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€))
51 simp3r 1203 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))
52 iddvds 16157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))
5318, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))
54533adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))
55 congmul 41334 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ (𝑏 Β· 1)))
5648, 50, 51, 54, 55syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ (𝑏 Β· 1)))
57 congmul 41334 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ (𝑏 Β· 1)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· (𝑏 Β· 1))))
5841, 43, 46, 56, 57syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· (𝑏 Β· 1))))
59 simp3l 1202 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
60 congsub 41337 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· (𝑏 Β· 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
6133, 39, 58, 59, 60syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
62 rmyluc 41304 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6321, 23, 62syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
64 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
6564mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 Β· 1) = 𝑏)
6665oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) = (2 Β· 𝑏))
67642timesd 12401 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
6866, 67eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) = (𝑏 + 𝑏))
6968oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) = ((𝑏 + 𝑏) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
70 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
7164, 64, 70pnncand 11556 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝑏 + 𝑏) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) = (𝑏 + 1))
7269, 71eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 + 1) = ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
7372adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 + 1) = ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
7463, 73oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
75743adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
7661, 75breqtrrd 5134 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))
77763exp 1120 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
7877a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
7916, 78syl5 34 . . 3 (𝑏 ∈ β„• β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
80 oveq2 7366 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 0))
81 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž = 0)
8280, 81oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0))
8382breq2d 5118 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0)))
8483imbi2d 341 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0))))
85 oveq2 7366 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 1))
86 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ π‘Ž = 1)
8785, 86oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1))
8887breq2d 5118 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1)))
8988imbi2d 341 . . 3 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1))))
90 oveq2 7366 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
91 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1))
9290, 91oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
9392breq2d 5118 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
9493imbi2d 341 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))))
95 oveq2 7366 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ π‘Ž = 𝑏)
9795, 96oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))
9897breq2d 5118 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏)))
9998imbi2d 341 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))))
100 oveq2 7366 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž = (𝑏 + 1))
102100, 101oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))
103102breq2d 5118 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1))))
104103imbi2d 341 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
105 oveq2 7366 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ π‘Ž = 𝑁)
107105, 106oveq12d 7376 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))
108107breq2d 5118 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁)))
109108imbi2d 341 . . 3 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))))
1109, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 1092nn0ind 41312 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁)))
111110impcom 409 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768   βˆ₯ cdvds 16141   Yrm crmy 41267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-numer 16615  df-denom 16616  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-squarenn 41207  df-pell1qr 41208  df-pell14qr 41209  df-pell1234qr 41210  df-pellfund 41211  df-rmx 41268  df-rmy 41269
This theorem is referenced by:  jm2.27a  41372  jm2.27c  41374
  Copyright terms: Public domain W3C validator