Theorem jm2.16nn0 43121

Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 43120 if Y_rm is redefined as described in rmyluc 43054. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.16nn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12748	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12521	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4		0z 12486	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		congid 43088	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
7		rmy0 43046	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
8	7	oveq1d 7367	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 0) − 0) = (0 − 0))
9	6, 8	breqtrrd 5121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))
10		1z 12508	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		congid 43088	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
12	3, 10, 11	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
13		rmy1 43047	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
14	13	oveq1d 7367	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 1) − 1) = (1 − 1))
15	12, 14	breqtrrd 5121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))
16		pm3.43 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
17	1	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
19		eluzel2 12743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℤ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
22		nnz 12496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24		frmy 43031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
25	24	fovcl 7480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
26	21, 23, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
27	26, 17	zmulcld 12589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
28	20, 27	zmulcld 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
29		zmulcl 12527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
30	23, 10, 29	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
31	20, 30	zmulcld 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ)
32	18, 28, 31	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
33	32	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
34		peano2zm 12521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
36	24	fovcl 7480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
37	21, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
38	37, 35	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
39	38	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
40	18, 20, 20	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
41	40	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
42	27, 30	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
43	42	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
44		congid 43088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
45	18, 20, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
46	45	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
47	18, 26, 23	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
48	47	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
49	17, 10	jctir 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50	49	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
51		simp3r 1203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
52		iddvds 16182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
53	18, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
54	53	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
55		congmul 43084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
56	48, 50, 51, 54, 55	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
57		congmul 43084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
58	41, 43, 46, 56, 57	syl112anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
59		simp3l 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
60		congsub 43087	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
61	33, 39, 58, 59, 60	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
62		rmyluc 43054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
63	21, 23, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
64		nncn 12140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
65	64	mulridd 11136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 · 1) = 𝑏)
66	65	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (2 · 𝑏))
67	64	2timesd 12371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
68	66, 67	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (𝑏 + 𝑏))
69	68	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)) = ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)))
70		1cnd 11114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
71	64, 64, 70	pnncand 11518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)) = (𝑏 + 1))
72	69, 71	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
74	63, 73	oveq12d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
75	74	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
76	61, 75	breqtrrd 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
77	76	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
78	77	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
79	16, 78	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
80		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
81		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
82	80, 81	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 0) − 0))
83	82	breq2d 5105	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0)))
84	83	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))))
85		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
86		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → 𝑎 = 1)
87	85, 86	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 1) − 1))
88	87	breq2d 5105	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1)))
89	88	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))))
90		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
91		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → 𝑎 = (𝑏 − 1))
92	90, 91	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
93	92	breq2d 5105	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))))
94	93	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))))
95		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
97	95, 96	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
98	97	breq2d 5105	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)))
99	98	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
100		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
102	100, 101	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
103	102	breq2d 5105	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1))))
104	103	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
105		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → 𝑎 = 𝑁)
107	105, 106	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
108	107	breq2d 5105	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
109	108	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))))
110	9, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109	2nn0ind 43062	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
111	110	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   − cmin 11351  ℕcn 12132  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738   ∥ cdvds 16165   Y_rm crmy 43018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-acn 9842  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-dvds 16166  df-gcd 16408  df-numer 16648  df-denom 16649  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-squarenn 42958  df-pell1qr 42959  df-pell14qr 42960  df-pell1234qr 42961  df-pellfund 42962  df-rmx 43019  df-rmy 43020

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43122  jm2.27c  43124