Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.16nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.16nn0 42490
Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 42489 if Yrm is redefined as described in rmyluc 42423. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.16nn0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12862 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 peano2zm 12635 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4 0z 12599 . . . . 5 0 ∈ β„€
5 congid 42457 . . . . 5 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
63, 4, 5sylancl 584 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
7 rmy0 42415 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
87oveq1d 7431 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0) = (0 βˆ’ 0))
96, 8breqtrrd 5171 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0))
10 1z 12622 . . . . 5 1 ∈ β„€
11 congid 42457 . . . . 5 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
123, 10, 11sylancl 584 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
13 rmy1 42416 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
1413oveq1d 7431 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
1512, 14breqtrrd 5171 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1))
16 pm3.43 472 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))))
171adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
1817, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€)
19 eluzel2 12857 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„€)
2019adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 2 ∈ β„€)
21 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
22 nnz 12609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„€)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
24 frmy 42400 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2524fovcl 7546 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2621, 23, 25syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2726, 17zmulcld 12702 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€)
2820, 27zmulcld 12702 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€)
29 zmulcl 12641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€)
3023, 10, 29sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€)
3120, 30zmulcld 12702 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€)
3218, 28, 313jca 1125 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€))
33323adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€))
34 peano2zm 12635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„€ β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3523, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3624fovcl 7546 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
3721, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
3837, 35jca 510 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€))
39383adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€))
4018, 20, 203jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€))
41403adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€))
4227, 30jca 510 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€))
43423adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€))
44 congid 42457 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
4518, 20, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
46453adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
4718, 26, 233jca 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€))
48473adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€))
4917, 10jctir 519 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€))
50493adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€))
51 simp3r 1199 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))
52 iddvds 16246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))
5318, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))
54533adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))
55 congmul 42453 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ (𝑏 Β· 1)))
5648, 50, 51, 54, 55syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ (𝑏 Β· 1)))
57 congmul 42453 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ (𝑏 Β· 1)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· (𝑏 Β· 1))))
5841, 43, 46, 56, 57syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· (𝑏 Β· 1))))
59 simp3l 1198 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
60 congsub 42456 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· (𝑏 Β· 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
6133, 39, 58, 59, 60syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
62 rmyluc 42423 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6321, 23, 62syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
64 nncn 12250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
6564mulridd 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 Β· 1) = 𝑏)
6665oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) = (2 Β· 𝑏))
67642timesd 12485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
6866, 67eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) = (𝑏 + 𝑏))
6968oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) = ((𝑏 + 𝑏) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
70 1cnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
7164, 64, 70pnncand 11640 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝑏 + 𝑏) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) = (𝑏 + 1))
7269, 71eqtr2d 2766 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 + 1) = ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
7372adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 + 1) = ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
7463, 73oveq12d 7434 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
75743adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
7661, 75breqtrrd 5171 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))
77763exp 1116 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
7877a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
7916, 78syl5 34 . . 3 (𝑏 ∈ β„• β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
80 oveq2 7424 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 0))
81 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž = 0)
8280, 81oveq12d 7434 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0))
8382breq2d 5155 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0)))
8483imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0))))
85 oveq2 7424 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 1))
86 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ π‘Ž = 1)
8785, 86oveq12d 7434 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1))
8887breq2d 5155 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1)))
8988imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1))))
90 oveq2 7424 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
91 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1))
9290, 91oveq12d 7434 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
9392breq2d 5155 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
9493imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))))
95 oveq2 7424 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ π‘Ž = 𝑏)
9795, 96oveq12d 7434 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))
9897breq2d 5155 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏)))
9998imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))))
100 oveq2 7424 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž = (𝑏 + 1))
102100, 101oveq12d 7434 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))
103102breq2d 5155 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1))))
104103imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
105 oveq2 7424 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ π‘Ž = 𝑁)
107105, 106oveq12d 7434 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))
108107breq2d 5155 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁)))
109108imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))))
1109, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 1092nn0ind 42431 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁)))
111110impcom 406 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852   βˆ₯ cdvds 16230   Yrm crmy 42386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-numer 16706  df-denom 16707  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-squarenn 42326  df-pell1qr 42327  df-pell14qr 42328  df-pell1234qr 42329  df-pellfund 42330  df-rmx 42387  df-rmy 42388
This theorem is referenced by:  jm2.27a  42491  jm2.27c  42493
  Copyright terms: Public domain W3C validator