Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.16nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.16nn0 42321
Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 42320 if Yrm is redefined as described in rmyluc 42254. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.16nn0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12836 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 peano2zm 12609 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4 0z 12573 . . . . 5 0 ∈ β„€
5 congid 42288 . . . . 5 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
63, 4, 5sylancl 585 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (0 βˆ’ 0))
7 rmy0 42246 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
87oveq1d 7420 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0) = (0 βˆ’ 0))
96, 8breqtrrd 5169 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0))
10 1z 12596 . . . . 5 1 ∈ β„€
11 congid 42288 . . . . 5 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
123, 10, 11sylancl 585 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (1 βˆ’ 1))
13 rmy1 42247 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
1413oveq1d 7420 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
1512, 14breqtrrd 5169 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1))
16 pm3.43 473 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))))
171adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
1817, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€)
19 eluzel2 12831 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„€)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 2 ∈ β„€)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
22 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„€)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
24 frmy 42231 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2524fovcl 7533 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2621, 23, 25syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2726, 17zmulcld 12676 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€)
2820, 27zmulcld 12676 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€)
29 zmulcl 12615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€)
3023, 10, 29sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€)
3120, 30zmulcld 12676 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€)
3218, 28, 313jca 1125 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€))
33323adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€))
34 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„€ β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3523, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3624fovcl 7533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
3721, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
3837, 35jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€))
39383adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€))
4018, 20, 203jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€))
41403adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€))
4227, 30jca 511 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€))
43423adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€))
44 congid 42288 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
4518, 20, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
46453adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2))
4718, 26, 233jca 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€))
48473adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€))
4917, 10jctir 520 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€))
50493adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€))
51 simp3r 1199 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))
52 iddvds 16220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))
5318, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))
54533adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))
55 congmul 42284 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ (𝑏 Β· 1)))
5648, 50, 51, 54, 55syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ (𝑏 Β· 1)))
57 congmul 42284 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ (𝑏 Β· 1) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (2 βˆ’ 2) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) βˆ’ (𝑏 Β· 1)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· (𝑏 Β· 1))))
5841, 43, 46, 56, 57syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· (𝑏 Β· 1))))
59 simp3l 1198 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
60 congsub 42287 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) ∈ β„€ ∧ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑏 βˆ’ 1) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (2 Β· (𝑏 Β· 1))) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
6133, 39, 58, 59, 60syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
62 rmyluc 42254 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
6321, 23, 62syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))))
64 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ β„• β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
6564mulridd 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 Β· 1) = 𝑏)
6665oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) = (2 Β· 𝑏))
67642timesd 12459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
6866, 67eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑏 Β· 1)) = (𝑏 + 𝑏))
6968oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) = ((𝑏 + 𝑏) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
70 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
7164, 64, 70pnncand 11614 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝑏 + 𝑏) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) = (𝑏 + 1))
7269, 71eqtr2d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑏 + 1) = ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
7372adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 + 1) = ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
7463, 73oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
75743adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)) = (((2 Β· ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2 Β· (𝑏 Β· 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
7661, 75breqtrrd 5169 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))
77763exp 1116 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏)) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
7877a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
7916, 78syl5 34 . . 3 (𝑏 ∈ β„• β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))) ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
80 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 0))
81 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž = 0)
8280, 81oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0))
8382breq2d 5153 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0)))
8483imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 0) βˆ’ 0))))
85 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 1))
86 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ π‘Ž = 1)
8785, 86oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1))
8887breq2d 5153 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1)))
8988imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 1) βˆ’ 1))))
90 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)))
91 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1))
9290, 91oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))
9392breq2d 5153 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1))))
9493imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆ’ 1) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 βˆ’ 1)) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 1)))))
95 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ π‘Ž = 𝑏)
9795, 96oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))
9897breq2d 5153 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏)))
9998imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑏) βˆ’ 𝑏))))
100 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž = (𝑏 + 1))
102100, 101oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))
103102breq2d 5153 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1))))
104103imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) βˆ’ (𝑏 + 1)))))
105 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ π‘Ž = 𝑁)
107105, 106oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) = ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))
108107breq2d 5153 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž) ↔ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁)))
109108imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘Ž) βˆ’ π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))))
1109, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 1092nn0ind 42262 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁)))
111110impcom 407 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826   βˆ₯ cdvds 16204   Yrm crmy 42217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16680  df-denom 16681  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-squarenn 42157  df-pell1qr 42158  df-pell14qr 42159  df-pell1234qr 42160  df-pellfund 42161  df-rmx 42218  df-rmy 42219
This theorem is referenced by:  jm2.27a  42322  jm2.27c  42324
  Copyright terms: Public domain W3C validator