Theorem cottrcl 9672

Description: Composition law for the transitive closure of a relation. (Contributed by Scott Fenton, 20-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cottrcl	⊢ (𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅

Proof of Theorem cottrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5976	. . . . 5 ⊢ Rel (𝑅 ↾ V)
2		ssttrcl 9668	. . . . 5 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ V) → (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
4		coss1 5819	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V) → ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V))
6		ttrcltr 9669	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
7	5, 6	sstri 3956	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
8		ssv 3971	. . . 4 ⊢ ran t++(𝑅 ↾ V) ⊆ V
9		cores 6222	. . . 4 ⊢ (ran t++(𝑅 ↾ V) ⊆ V → ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V))
11		ttrclresv 9670	. . . 4 ⊢ t++(𝑅 ↾ V) = t++𝑅
12	11	coeq2i 5824	. . 3 ⊢ (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++𝑅)
13	10, 12	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++𝑅)
14	7, 13, 11	3sstr3i 3997	1 ⊢ (𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅

Syntax hints:   = wceq 1540  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ran crn 5639   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  Rel wrel 5643  t++cttrcl 9660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-ttrcl 9661

This theorem is referenced by: (None)