Theorem cottrcl 9756

Description: Composition law for the transitive closure of a relation. (Contributed by Scott Fenton, 20-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cottrcl	⊢ (𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅

Proof of Theorem cottrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 6025	. . . . 5 ⊢ Rel (𝑅 ↾ V)
2		ssttrcl 9752	. . . . 5 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ V) → (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
4		coss1 5868	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V) → ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V))
6		ttrcltr 9753	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
7	5, 6	sstri 4004	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
8		ssv 4019	. . . 4 ⊢ ran t++(𝑅 ↾ V) ⊆ V
9		cores 6270	. . . 4 ⊢ (ran t++(𝑅 ↾ V) ⊆ V → ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V))
11		ttrclresv 9754	. . . 4 ⊢ t++(𝑅 ↾ V) = t++𝑅
12	11	coeq2i 5873	. . 3 ⊢ (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++𝑅)
13	10, 12	eqtri 2762	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++𝑅)
14	7, 13, 11	3sstr3i 4037	1 ⊢ (𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅

Syntax hints:   = wceq 1536  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962  ran crn 5689   ↾ cres 5690   ∘ ccom 5692  Rel wrel 5693  t++cttrcl 9744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-ttrcl 9745

This theorem is referenced by: (None)