Theorem cottrcl 9629

Description: Composition law for the transitive closure of a relation. (Contributed by Scott Fenton, 20-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cottrcl	⊢ (𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅

Proof of Theorem cottrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5959	. . . . 5 ⊢ Rel (𝑅 ↾ V)
2		ssttrcl 9625	. . . . 5 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ V) → (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
4		coss1 5799	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V) → ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V))
6		ttrcltr 9626	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
7	5, 6	sstri 3926	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
8		ssv 3941	. . . 4 ⊢ ran t++(𝑅 ↾ V) ⊆ V
9		cores 6202	. . . 4 ⊢ (ran t++(𝑅 ↾ V) ⊆ V → ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V))
11		ttrclresv 9627	. . . 4 ⊢ t++(𝑅 ↾ V) = t++𝑅
12	11	coeq2i 5804	. . 3 ⊢ (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++𝑅)
13	10, 12	eqtri 2758	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++𝑅)
14	7, 13, 11	3sstr3i 3967	1 ⊢ (𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅

Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3427   ⊆ wss 3885  ran crn 5621   ↾ cres 5622   ∘ ccom 5624  Rel wrel 5625  t++cttrcl 9617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-ttrcl 9618

This theorem is referenced by: (None)