MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cottrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cottrcl 9714
Description: Composition law for the transitive closure of a relation. (Contributed by Scott Fenton, 20-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
cottrcl (𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅

Proof of Theorem cottrcl
StepHypRef Expression
1 relres 6011 . . . . 5 Rel (𝑅 ↾ V)
2 ssttrcl 9710 . . . . 5 (Rel (𝑅 ↾ V) → (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
4 coss1 5856 . . . 4 ((𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V) → ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
53, 4ax-mp 5 . . 3 ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V))
6 ttrcltr 9711 . . 3 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
75, 6sstri 3992 . 2 ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
8 ssv 4007 . . . 4 ran t++(𝑅 ↾ V) ⊆ V
9 cores 6249 . . . 4 (ran t++(𝑅 ↾ V) ⊆ V → ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V))
11 ttrclresv 9712 . . . 4 t++(𝑅 ↾ V) = t++𝑅
1211coeq2i 5861 . . 3 (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++𝑅)
1310, 12eqtri 2761 . 2 ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++𝑅)
147, 13, 113sstr3i 4025 1 (𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3475  wss 3949  ran crn 5678  cres 5679  ccom 5681  Rel wrel 5682  t++cttrcl 9702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-ttrcl 9703
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator