MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cottrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cottrcl 9713
Description: Composition law for the transitive closure of a relation. (Contributed by Scott Fenton, 20-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
cottrcl (𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅

Proof of Theorem cottrcl
StepHypRef Expression
1 relres 6010 . . . . 5 Rel (𝑅 ↾ V)
2 ssttrcl 9709 . . . . 5 (Rel (𝑅 ↾ V) → (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
4 coss1 5855 . . . 4 ((𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V) → ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
53, 4ax-mp 5 . . 3 ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V))
6 ttrcltr 9710 . . 3 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
75, 6sstri 3991 . 2 ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
8 ssv 4006 . . . 4 ran t++(𝑅 ↾ V) ⊆ V
9 cores 6248 . . . 4 (ran t++(𝑅 ↾ V) ⊆ V → ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V))
11 ttrclresv 9711 . . . 4 t++(𝑅 ↾ V) = t++𝑅
1211coeq2i 5860 . . 3 (𝑅 ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++𝑅)
1310, 12eqtri 2760 . 2 ((𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) = (𝑅 ∘ t++𝑅)
147, 13, 113sstr3i 4024 1 (𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  Vcvv 3474  wss 3948  ran crn 5677  cres 5678  ccom 5680  Rel wrel 5681  t++cttrcl 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-ttrcl 9702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator