Theorem ttrclco 9608

Description: Composition law for the transitive closure of a relation. (Contributed by Scott Fenton, 20-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ttrclco	⊢ (t++𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ t++𝑅

Proof of Theorem ttrclco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5953	. . . 4 ⊢ Rel (𝑅 ↾ V)
2		ssttrcl 9605	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ V) → (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V))
3		coss2 5795	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V) → (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V))
5		ttrcltr 9606	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
6	4, 5	sstri 3939	. 2 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
7		relco 6056	. . . 4 ⊢ Rel (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅)
8		dfrel3 6145	. . . 4 ⊢ (Rel (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↔ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅))
9	7, 8	mpbi 230	. . 3 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅)
10		resco 6197	. . 3 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V))
11		ttrclresv 9607	. . . 4 ⊢ t++(𝑅 ↾ V) = t++𝑅
12	11	coeq1i 5798	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) = (t++𝑅 ∘ 𝑅)
13	9, 10, 12	3eqtr3i 2762	. 2 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) = (t++𝑅 ∘ 𝑅)
14	6, 13, 11	3sstr3i 3980	1 ⊢ (t++𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ t++𝑅

Syntax hints:   = wceq 1541  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618  Rel wrel 5619  t++cttrcl 9597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-ttrcl 9598

This theorem is referenced by: (None)