MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttrclco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttrclco 9662
Description: Composition law for the transitive closure of a relation. (Contributed by Scott Fenton, 20-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
ttrclco (t++𝑅𝑅) ⊆ t++𝑅

Proof of Theorem ttrclco
StepHypRef Expression
1 relres 5970 . . . 4 Rel (𝑅 ↾ V)
2 ssttrcl 9659 . . . 4 (Rel (𝑅 ↾ V) → (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V))
3 coss2 5816 . . . 4 ((𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V) → (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V))
5 ttrcltr 9660 . . 3 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
64, 5sstri 3957 . 2 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
7 relco 6064 . . . 4 Rel (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅)
8 dfrel3 6154 . . . 4 (Rel (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↔ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅))
97, 8mpbi 229 . . 3 ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅)
10 resco 6206 . . 3 ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V))
11 ttrclresv 9661 . . . 4 t++(𝑅 ↾ V) = t++𝑅
1211coeq1i 5819 . . 3 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) = (t++𝑅𝑅)
139, 10, 123eqtr3i 2769 . 2 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) = (t++𝑅𝑅)
146, 13, 113sstr3i 3990 1 (t++𝑅𝑅) ⊆ t++𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3447  wss 3914  cres 5639  ccom 5641  Rel wrel 5642  t++cttrcl 9651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-ttrcl 9652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator