Theorem ttrclco 33514

Description: Composition law for the transitive closure of a relationship. (Contributed by Scott Fenton, 20-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ttrclco	⊢ (t++𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ t++𝑅

Proof of Theorem ttrclco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5877	. . . 4 ⊢ Rel (𝑅 ↾ V)
2		ssttrcl 33511	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ V) → (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V))
3		coss2 5722	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V) → (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V))
5		ttrcltr 33512	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
6	4, 5	sstri 3907	. 2 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
7		relco 6105	. . . 4 ⊢ Rel (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅)
8		dfrel3 6058	. . . 4 ⊢ (Rel (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↔ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅))
9	7, 8	mpbi 233	. . 3 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅)
10		resco 6111	. . 3 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V))
11		ttrclresv 33513	. . . 4 ⊢ t++(𝑅 ↾ V) = t++𝑅
12	11	coeq1i 5725	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) = (t++𝑅 ∘ 𝑅)
13	9, 10, 12	3eqtr3i 2773	. 2 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) = (t++𝑅 ∘ 𝑅)
14	6, 13, 11	3sstr3i 3940	1 ⊢ (t++𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ t++𝑅

Syntax hints:   = wceq 1543  Vcvv 3405   ⊆ wss 3863   ↾ cres 5550   ∘ ccom 5552  Rel wrel 5553  t++cttrcl 33503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5319  ax-un 7520

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2940  df-ral 3063  df-rex 3064  df-reu 3065  df-rmo 3066  df-rab 3067  df-v 3407  df-sbc 3692  df-csb 3809  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4235  df-if 4437  df-pw 4512  df-sn 4539  df-pr 4541  df-tp 4543  df-op 4545  df-uni 4817  df-int 4857  df-iun 4903  df-br 5051  df-opab 5113  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5452  df-eprel 5457  df-po 5465  df-so 5466  df-fr 5506  df-we 5508  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6157  df-ord 6213  df-on 6214  df-lim 6215  df-suc 6216  df-iota 6335  df-fun 6379  df-fn 6380  df-f 6381  df-f1 6382  df-fo 6383  df-f1o 6384  df-fv 6385  df-riota 7167  df-ov 7213  df-oprab 7214  df-mpo 7215  df-om 7642  df-wrecs 8044  df-recs 8105  df-rdg 8143  df-1o 8199  df-oadd 8203  df-ttrcl 33504

This theorem is referenced by: (None)