MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttrclco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttrclco 9758
Description: Composition law for the transitive closure of a relation. (Contributed by Scott Fenton, 20-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
ttrclco (t++𝑅𝑅) ⊆ t++𝑅

Proof of Theorem ttrclco
StepHypRef Expression
1 relres 6023 . . . 4 Rel (𝑅 ↾ V)
2 ssttrcl 9755 . . . 4 (Rel (𝑅 ↾ V) → (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V))
3 coss2 5867 . . . 4 ((𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V) → (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V))
5 ttrcltr 9756 . . 3 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
64, 5sstri 3993 . 2 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
7 relco 6126 . . . 4 Rel (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅)
8 dfrel3 6218 . . . 4 (Rel (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↔ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅))
97, 8mpbi 230 . . 3 ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅)
10 resco 6270 . . 3 ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V))
11 ttrclresv 9757 . . . 4 t++(𝑅 ↾ V) = t++𝑅
1211coeq1i 5870 . . 3 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) = (t++𝑅𝑅)
139, 10, 123eqtr3i 2773 . 2 (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) = (t++𝑅𝑅)
146, 13, 113sstr3i 4034 1 (t++𝑅𝑅) ⊆ t++𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  Vcvv 3480  wss 3951  cres 5687  ccom 5689  Rel wrel 5690  t++cttrcl 9747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-ttrcl 9748
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator