Theorem ttrclco 9719

Description: Composition law for the transitive closure of a relation. (Contributed by Scott Fenton, 20-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ttrclco	⊢ (t++𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ t++𝑅

Proof of Theorem ttrclco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5996	. . . 4 ⊢ Rel (𝑅 ↾ V)
2		ssttrcl 9716	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ V) → (𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V))
3		coss2 5834	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾ V) ⊆ t++(𝑅 ↾ V) → (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V))
5		ttrcltr 9717	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ t++(𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
6	4, 5	sstri 3940	. 2 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) ⊆ t++(𝑅 ↾ V)
7		relco 6104	. . . 4 ⊢ Rel (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅)
8		dfrel3 6192	. . . 4 ⊢ (Rel (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↔ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅))
9	7, 8	mpbi 233	. . 3 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅)
10		resco 6251	. . 3 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) ↾ V) = (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V))
11		ttrclresv 9718	. . . 4 ⊢ t++(𝑅 ↾ V) = t++𝑅
12	11	coeq1i 5837	. . 3 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ 𝑅) = (t++𝑅 ∘ 𝑅)
13	9, 10, 12	3eqtr3i 2792	. 2 ⊢ (t++(𝑅 ↾ V) ∘ (𝑅 ↾ V)) = (t++𝑅 ∘ 𝑅)
14	6, 13, 11	3sstr3i 3981	1 ⊢ (t++𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ t++𝑅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  Rel wrel 5656  t++cttrcl 9708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-ttrcl 9709

This theorem is used by: (None)