MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decbin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decbin2 12872
Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
decbin.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
decbin2 ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Proof of Theorem decbin2
StepHypRef Expression
1 2t1e2 12427 . . 3 (2 · 1) = 2
21oveq2i 7442 . 2 ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
3 2cn 12339 . . 3 2 ∈ ℂ
4 decbin.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
54nn0cni 12536 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
63, 5mulcli 11266 . . 3 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
7 ax-1cn 11211 . . 3 1 ∈ ℂ
83, 6, 7adddii 11271 . 2 (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1))
94decbin0 12871 . . 3 (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
109oveq1i 7441 . 2 ((4 · 𝐴) + 2) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
112, 8, 103eqtr4ri 2774 1 ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  4c4 12321  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-mulcl 11215  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1rid 11223  ax-cnre 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  decbin3  12873
  Copyright terms: Public domain W3C validator