Theorem decbin2 12817

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin2	⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Proof of Theorem decbin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 12374	. . 3 ⊢ (2 · 1) = 2
2	1	oveq2i 7419	. 2 ⊢ ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
3		2cn 12286	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		decbin.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 12483	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	3, 5	mulcli 11220	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
7		ax-1cn 11167	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	3, 6, 7	adddii 11225	. 2 ⊢ (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1))
9	4	decbin0 12816	. . 3 ⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
10	9	oveq1i 7418	. 2 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
11	2, 8, 10	3eqtr4ri 2771	1 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  2c2 12266  4c4 12268  ℕ₀cn0 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-mulcl 11171  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1rid 11179  ax-cnre 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472

This theorem is referenced by:  decbin3  12818