MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decbin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decbin2 12874
Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
decbin.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
decbin2 ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Proof of Theorem decbin2
StepHypRef Expression
1 2t1e2 12429 . . 3 (2 · 1) = 2
21oveq2i 7442 . 2 ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
3 2cn 12341 . . 3 2 ∈ ℂ
4 decbin.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
54nn0cni 12538 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
63, 5mulcli 11268 . . 3 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
7 ax-1cn 11213 . . 3 1 ∈ ℂ
83, 6, 7adddii 11273 . 2 (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1))
94decbin0 12873 . . 3 (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
109oveq1i 7441 . 2 ((4 · 𝐴) + 2) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
112, 8, 103eqtr4ri 2776 1 ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  4c4 12323  0cn0 12526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-mulcl 11217  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1rid 11225  ax-cnre 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527
This theorem is referenced by:  decbin3  12875
  Copyright terms: Public domain W3C validator