Theorem decbin0 12880

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin0	⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))

Proof of Theorem decbin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 12437	. . 3 ⊢ (2 · 2) = 4
2	1	oveq1i 7448	. 2 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
3		2cn 12348	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		decbin.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 12545	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	3, 3, 5	mulassi 11279	. 2 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
7	2, 6	eqtr3i 2767	1 ⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7438   · cmul 11167  2c2 12328  4c4 12330  ℕ₀cn0 12533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-mulcl 11224  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1rid 11232  ax-cnre 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-n0 12534

This theorem is referenced by:  decbin2  12881  decexp2  17118