Theorem disllycmp 23692

Description: A discrete space is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
disllycmp	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally Comp)

Proof of Theorem disllycmp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9050	. . . 4 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
2		discmp 23592	. . . 4 ⊢ ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Comp)
3	1, 2	mpbi 233	. . 3 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Comp
4	3	rgenw 3086	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ Comp
5		dislly 23691	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ Comp))
6	4, 5	mpbiri 261	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally Comp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  Fincfn 8952  Compccmp 23580  Locally clly 23658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-1o 8462  df-en 8953  df-dom 8954  df-fin 8956  df-fi 9381  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-cmp 23581  df-lly 23660

This theorem is used by:  efmndtmd  24295