MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  disllycmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disllycmp 23446
Description: A discrete space is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
disllycmp (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally Comp)

Proof of Theorem disllycmp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 9069 . . . 4 {𝑥} ∈ Fin
2 discmp 23346 . . . 4 ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Comp)
31, 2mpbi 229 . . 3 𝒫 {𝑥} ∈ Comp
43rgenw 3054 . 2 𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ Comp
5 dislly 23445 . 2 (𝑋𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally Comp ↔ ∀𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ Comp))
64, 5mpbiri 257 1 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  wral 3050  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  Fincfn 8964  Compccmp 23334  Locally clly 23412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9436  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cmp 23335  df-lly 23414
This theorem is referenced by:  efmndtmd  24049
  Copyright terms: Public domain W3C validator