Theorem disllycmp 23414

Description: A discrete space is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
disllycmp	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally Comp)

Proof of Theorem disllycmp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8972	. . . 4 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
2		discmp 23314	. . . 4 ⊢ ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Comp)
3	1, 2	mpbi 230	. . 3 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Comp
4	3	rgenw 3052	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ Comp
5		dislly 23413	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ Comp))
6	4, 5	mpbiri 258	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally Comp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  𝒫 cpw 4549  {csn 4575  Fincfn 8875  Compccmp 23302  Locally clly 23380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-1o 8391  df-en 8876  df-dom 8877  df-fin 8879  df-fi 9302  df-rest 17328  df-topgen 17349  df-top 22810  df-topon 22827  df-bases 22862  df-cmp 23303  df-lly 23382

This theorem is referenced by:  efmndtmd  24017