MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div13d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div13d 11240
Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divmuld.4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
div13d (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐶) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem div13d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.4 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 div13 11119 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐶) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐴))
61, 2, 3, 4, 5syl121anc 1356 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐶) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2962  (class class class)co 6975  cc 10332  0cc0 10334   · cmul 10339   / cdiv 11097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098
This theorem is referenced by:  dyaddisjlem  23915  aalioulem1  24640  proot1ex  39231  dirkercncflem2  41850  affinecomb1  44087
  Copyright terms: Public domain W3C validator