Theorem aalioulem1 24923

Description: Lemma for aaliou 24929. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem1.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
aalioulem1.c	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem1	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem aalioulem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
2		aalioulem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12091	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
4		aalioulem1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 11656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	4	nnne0d 11690	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
7	3, 5, 6	divcld 11418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ)
8		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
9		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
10	8, 9	coeid2 24831	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
11	1, 7, 10	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
12	11	oveq1d 7173	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
13		fzfid 13344	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
14		dgrcl 24825	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	5, 15	expcld 13513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
17		0z 11995	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
18	8	coef2 24823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
19	1, 17, 18	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
20		elfznn0 13003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21		ffvelrn 6851	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12091	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℂ)
24		expcl 13450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
25	7, 20, 24	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 10663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) ∈ ℂ)
27	13, 16, 26	fsummulc1 15142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
28	12, 27	eqtrd 2858	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
29	5	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℂ)
30	15	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	29, 30	expcld 13513	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
32	23, 25, 31	mulassd 10666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))))
33	2	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℂ)
35	6	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ≠ 0)
36	20	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
37	34, 29, 35, 36	expdivd 13527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) = ((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)))
38	37	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
39	34, 36	expcld 13513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℂ)
40		nnexpcl 13445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℕ)
41	4, 20, 40	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 11656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℂ)
43	41	nnne0d 11690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ≠ 0)
44	39, 42, 31, 43	div13d 11442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)))
45	38, 44	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)))
46		elfzelz 12911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℤ)
47	46	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℤ)
48	30	nn0zd 12088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
49	29, 35, 47, 48	expsubd 13524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) = ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)))
50	4	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℕ)
51	50	nnzd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℤ)
52		fznn0sub 12942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
53	52	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
54		zexpcl 13447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
55	51, 53, 54	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
56	49, 55	eqeltrrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) ∈ ℤ)
57		zexpcl 13447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℤ)
58	2, 20, 57	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℤ)
59	56, 58	zmulcld 12096	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)) ∈ ℤ)
60	45, 59	eqeltrd 2915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
61	22, 60	zmulcld 12096	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))) ∈ ℤ)
62	32, 61	eqeltrd 2915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
63	13, 62	fsumzcl 15094	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
64	28, 63	eqeltrd 2915	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539   · cmul 10544   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  Σcsu 15044  Polycply 24776  coeffccoe 24778  degcdgr 24779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-0p 24273  df-ply 24780  df-coe 24782  df-dgr 24783

This theorem is referenced by:  aalioulem4  24926