MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem1 26357
Description: Lemma for aaliou 26363. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem1.a (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem1.b (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
aalioulem1.c (𝜑𝑌 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
aalioulem1 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem aalioulem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem1.a . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
2 aalioulem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
32zcnd 12713 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4 aalioulem1.c . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℕ)
54nncnd 12274 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
64nnne0d 12308 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ≠ 0)
73, 5, 6divcld 12035 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
108, 9coeid2 26263 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
111, 7, 10syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
1211oveq1d 7431 . . 3 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
13 fzfid 13987 . . . 4 (𝜑 → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
14 dgrcl 26257 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
151, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
165, 15expcld 14159 . . . 4 (𝜑 → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
17 0z 12615 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
188coef2 26255 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
191, 17, 18sylancl 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
20 elfznn0 13642 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21 ffvelcdm 7087 . . . . . . 7 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
2219, 20, 21syl2an 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
2322zcnd 12713 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℂ)
24 expcl 14093 . . . . . 6 (((𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
257, 20, 24syl2an 594 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
2623, 25mulcld 11275 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) ∈ ℂ)
2713, 16, 26fsummulc1 15784 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
2812, 27eqtrd 2766 . 2 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
295adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℂ)
3015adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3129, 30expcld 14159 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
3223, 25, 31mulassd 11278 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))))
332adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℤ)
3433zcnd 12713 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℂ)
356adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ≠ 0)
3620adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
3734, 29, 35, 36expdivd 14173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) = ((𝑋𝑎) / (𝑌𝑎)))
3837oveq1d 7431 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑋𝑎) / (𝑌𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
3934, 36expcld 14159 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
40 nnexpcl 14088 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑌𝑎) ∈ ℕ)
414, 20, 40syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌𝑎) ∈ ℕ)
4241nncnd 12274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌𝑎) ∈ ℂ)
4341nnne0d 12308 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌𝑎) ≠ 0)
4439, 42, 31, 43div13d 12059 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋𝑎) / (𝑌𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) · (𝑋𝑎)))
4538, 44eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) · (𝑋𝑎)))
46 elfzelz 13549 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℤ)
4746adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℤ)
4830nn0zd 12630 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
4929, 35, 47, 48expsubd 14170 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) = ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)))
504adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℕ)
5150nnzd 12631 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℤ)
52 fznn0sub 13581 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
5352adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
54 zexpcl 14090 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
5551, 53, 54syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
5649, 55eqeltrrd 2827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) ∈ ℤ)
57 zexpcl 14090 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑎) ∈ ℤ)
582, 20, 57syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋𝑎) ∈ ℤ)
5956, 58zmulcld 12718 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) · (𝑋𝑎)) ∈ ℤ)
6045, 59eqeltrd 2826 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
6122, 60zmulcld 12718 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))) ∈ ℤ)
6232, 61eqeltrd 2826 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
6313, 62fsumzcl 15734 . 2 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
6428, 63eqeltrd 2826 1 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  cc 11147  0cc0 11149   · cmul 11154  cmin 11485   / cdiv 11912  cn 12258  0cn0 12518  cz 12604  ...cfz 13532  cexp 14075  Σcsu 15685  Polycply 26208  coeffccoe 26210  degcdgr 26211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-0p 25687  df-ply 26212  df-coe 26214  df-dgr 26215
This theorem is referenced by:  aalioulem4  26360
  Copyright terms: Public domain W3C validator