Theorem aalioulem1 26396

Description: Lemma for aaliou 26402. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem1.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
aalioulem1.c	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem1	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem aalioulem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
2		aalioulem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
4		aalioulem1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	4	nnne0d 12263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
7	3, 5, 6	divcld 11967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ)
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
9		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
10	8, 9	coeid2 26299	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
11	1, 7, 10	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
12	11	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
13		fzfid 13986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
14		dgrcl 26293	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	5, 15	expcld 14159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
17		0z 12579	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
18	8	coef2 26291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
19	1, 17, 18	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
20		elfznn0 13625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21		ffvelcdm 7062	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12678	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℂ)
24		expcl 14092	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
25	7, 20, 24	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11202	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) ∈ ℂ)
27	13, 16, 26	fsummulc1 15812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
28	12, 27	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
29	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℂ)
30	15	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	29, 30	expcld 14159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
32	23, 25, 31	mulassd 11205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))))
33	2	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℂ)
35	6	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ≠ 0)
36	20	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
37	34, 29, 35, 36	expdivd 14173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) = ((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)))
38	37	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
39	34, 36	expcld 14159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℂ)
40		nnexpcl 14087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℕ)
41	4, 20, 40	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 12226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℂ)
43	41	nnne0d 12263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ≠ 0)
44	39, 42, 31, 43	div13d 11991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)))
45	38, 44	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)))
46		elfzelz 13529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℤ)
47	46	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℤ)
48	30	nn0zd 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
49	29, 35, 47, 48	expsubd 14170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) = ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)))
50	4	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℕ)
51	50	nnzd 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℤ)
52		fznn0sub 13561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
53	52	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
54		zexpcl 14089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
55	51, 53, 54	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
56	49, 55	eqeltrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) ∈ ℤ)
57		zexpcl 14089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℤ)
58	2, 20, 57	syl2an 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℤ)
59	56, 58	zmulcld 12683	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)) ∈ ℤ)
60	45, 59	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
61	22, 60	zmulcld 12683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))) ∈ ℤ)
62	32, 61	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
63	13, 62	fsumzcl 15762	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
64	28, 63	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073   · cmul 11078   − cmin 11414   / cdiv 11844  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ...cfz 13512  ↑cexp 14074  Σcsu 15713  Polycply 26244  coeffccoe 26246  degcdgr 26247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-0p 25732  df-ply 26248  df-coe 26250  df-dgr 26251

This theorem is referenced by:  aalioulem4  26399