Theorem aalioulem1 24524

Description: Lemma for aaliou 24530. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem1.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
aalioulem1.c	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem1	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem aalioulem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
2		aalioulem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 11835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
4		aalioulem1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 11392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	4	nnne0d 11425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
7	3, 5, 6	divcld 11151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ)
8		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
9		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
10	8, 9	coeid2 24432	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
11	1, 7, 10	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
12	11	oveq1d 6937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
13		fzfid 13091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
14		dgrcl 24426	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	5, 15	expcld 13327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
17		0z 11739	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
18	8	coef2 24424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
19	1, 17, 18	sylancl 580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
20		elfznn0 12751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21		ffvelrn 6621	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2an 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 11835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℂ)
24		expcl 13196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
25	7, 20, 24	syl2an 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 10397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) ∈ ℂ)
27	13, 16, 26	fsummulc1 14921	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
28	12, 27	eqtrd 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
29	5	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℂ)
30	15	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	29, 30	expcld 13327	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
32	23, 25, 31	mulassd 10400	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))))
33	2	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 11835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℂ)
35	6	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ≠ 0)
36	20	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
37	34, 29, 35, 36	expdivd 13341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) = ((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)))
38	37	oveq1d 6937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
39	34, 36	expcld 13327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℂ)
40		nnexpcl 13191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℕ)
41	4, 20, 40	syl2an 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 11392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℂ)
43	41	nnne0d 11425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ≠ 0)
44	39, 42, 31, 43	div13d 11175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)))
45	38, 44	eqtrd 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)))
46		elfzelz 12659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℤ)
47	46	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℤ)
48	30	nn0zd 11832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
49	29, 35, 47, 48	expsubd 13338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) = ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)))
50	4	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℕ)
51	50	nnzd 11833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℤ)
52		fznn0sub 12690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
53	52	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
54		zexpcl 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
55	51, 53, 54	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
56	49, 55	eqeltrrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) ∈ ℤ)
57		zexpcl 13193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℤ)
58	2, 20, 57	syl2an 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℤ)
59	56, 58	zmulcld 11840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)) ∈ ℤ)
60	45, 59	eqeltrd 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
61	22, 60	zmulcld 11840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))) ∈ ℤ)
62	32, 61	eqeltrd 2859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
63	13, 62	fsumzcl 14873	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
64	28, 63	eqeltrd 2859	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272   · cmul 10277   − cmin 10606   / cdiv 11032  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ...cfz 12643  ↑cexp 13178  Σcsu 14824  Polycply 24377  coeffccoe 24379  degcdgr 24380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-0p 23874  df-ply 24381  df-coe 24383  df-dgr 24384

This theorem is referenced by:  aalioulem4  24527