Theorem aalioulem1 26298

Description: Lemma for aaliou 26304. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem1.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
aalioulem1.c	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem1	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem aalioulem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
2		aalioulem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
4		aalioulem1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	4	nnne0d 12227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
7	3, 5, 6	divcld 11931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
10	8, 9	coeid2 26204	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
11	1, 7, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
12	11	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
13		fzfid 13935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
14		dgrcl 26198	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	5, 15	expcld 14108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
17		0z 12535	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
18	8	coef2 26196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
19	1, 17, 18	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
20		elfznn0 13574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21		ffvelcdm 7033	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12634	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℂ)
24		expcl 14041	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
25	7, 20, 24	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) ∈ ℂ)
27	13, 16, 26	fsummulc1 15747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
28	12, 27	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
29	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℂ)
30	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	29, 30	expcld 14108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
32	23, 25, 31	mulassd 11168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))))
33	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℂ)
35	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ≠ 0)
36	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
37	34, 29, 35, 36	expdivd 14122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) = ((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)))
38	37	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
39	34, 36	expcld 14108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℂ)
40		nnexpcl 14036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℕ)
41	4, 20, 40	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 12190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℂ)
43	41	nnne0d 12227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ≠ 0)
44	39, 42, 31, 43	div13d 11955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)))
45	38, 44	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)))
46		elfzelz 13478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℤ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℤ)
48	30	nn0zd 12549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
49	29, 35, 47, 48	expsubd 14119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) = ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)))
50	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℕ)
51	50	nnzd 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℤ)
52		fznn0sub 13510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
54		zexpcl 14038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
55	51, 53, 54	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
56	49, 55	eqeltrrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) ∈ ℤ)
57		zexpcl 14038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℤ)
58	2, 20, 57	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℤ)
59	56, 58	zmulcld 12639	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)) ∈ ℤ)
60	45, 59	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
61	22, 60	zmulcld 12639	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))) ∈ ℤ)
62	32, 61	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
63	13, 62	fsumzcl 15697	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
64	28, 63	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  Σcsu 15648  Polycply 26149  coeffccoe 26151  degcdgr 26152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-0p 25637  df-ply 26153  df-coe 26155  df-dgr 26156

This theorem is referenced by:  aalioulem4  26301