MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aalioulem1 26081
Description: Lemma for aaliou 26087. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem1.a (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem1.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
aalioulem1.c (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
aalioulem1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
Proof of Theorem aalioulem1
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
2 aalioulem1.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
32zcnd 12671 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4 aalioulem1.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
54nncnd 12232 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
64nnne0d 12266 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0)
73, 5, 6divcld 11994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 / π‘Œ) ∈ β„‚)
8 eqid 2730 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
9 eqid 2730 . . . . . 6 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
108, 9coeid2 25988 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ (𝑋 / π‘Œ) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)))
111, 7, 10syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)))
1211oveq1d 7426 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
13 fzfid 13942 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) ∈ Fin)
14 dgrcl 25982 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
151, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
165, 15expcld 14115 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) ∈ β„‚)
17 0z 12573 . . . . . . . 8 0 ∈ β„€
188coef2 25980 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„€)
191, 17, 18sylancl 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„€)
20 elfznn0 13598 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
21 ffvelcdm 7082 . . . . . . 7 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„€ ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ β„€)
2219, 20, 21syl2an 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ β„€)
2322zcnd 12671 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
24 expcl 14049 . . . . . 6 (((𝑋 / π‘Œ) ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
257, 20, 24syl2an 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
2623, 25mulcld 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) ∈ β„‚)
2713, 16, 26fsummulc1 15735 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
2812, 27eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
295adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
3015adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
3129, 30expcld 14115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) ∈ β„‚)
3223, 25, 31mulassd 11241 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)))))
332adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
3433zcnd 12671 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
356adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ β‰  0)
3620adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
3734, 29, 35, 36expdivd 14129 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) = ((π‘‹β†‘π‘Ž) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)))
3837oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((π‘‹β†‘π‘Ž) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
3934, 36expcld 14115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
40 nnexpcl 14044 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) ∈ β„•)
414, 20, 40syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) ∈ β„•)
4241nncnd 12232 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
4341nnne0d 12266 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) β‰  0)
4439, 42, 31, 43div13d 12018 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((π‘‹β†‘π‘Ž) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘‹β†‘π‘Ž)))
4538, 44eqtrd 2770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘‹β†‘π‘Ž)))
46 elfzelz 13505 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
4746adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
4830nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„€)
4929, 35, 47, 48expsubd 14126 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž)) = ((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)))
504adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ ∈ β„•)
5150nnzd 12589 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
52 fznn0sub 13537 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ ((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž) ∈ β„•0)
5352adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž) ∈ β„•0)
54 zexpcl 14046 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ β„€ ∧ ((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž) ∈ β„•0) β†’ (π‘Œβ†‘((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž)) ∈ β„€)
5551, 53, 54syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž)) ∈ β„€)
5649, 55eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) ∈ β„€)
57 zexpcl 14046 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ β„€)
582, 20, 57syl2an 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ β„€)
5956, 58zmulcld 12676 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘‹β†‘π‘Ž)) ∈ β„€)
6045, 59eqeltrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6122, 60zmulcld 12676 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)))) ∈ β„€)
6232, 61eqeltrd 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6313, 62fsumzcl 15685 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6428, 63eqeltrd 2831 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  Ξ£csu 15636  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
This theorem is referenced by:  aalioulem4  26084
  Copyright terms: Public domain W3C validator