MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aalioulem1 25836
Description: Lemma for aaliou 25842. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem1.a (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem1.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
aalioulem1.c (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
aalioulem1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
Proof of Theorem aalioulem1
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
2 aalioulem1.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
32zcnd 12663 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4 aalioulem1.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
54nncnd 12224 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
64nnne0d 12258 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0)
73, 5, 6divcld 11986 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 / π‘Œ) ∈ β„‚)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
108, 9coeid2 25744 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ (𝑋 / π‘Œ) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)))
111, 7, 10syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)))
1211oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
13 fzfid 13934 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) ∈ Fin)
14 dgrcl 25738 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
151, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
165, 15expcld 14107 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) ∈ β„‚)
17 0z 12565 . . . . . . . 8 0 ∈ β„€
188coef2 25736 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„€)
191, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„€)
20 elfznn0 13590 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
21 ffvelcdm 7080 . . . . . . 7 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„€ ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ β„€)
2219, 20, 21syl2an 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ β„€)
2322zcnd 12663 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
24 expcl 14041 . . . . . 6 (((𝑋 / π‘Œ) ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
257, 20, 24syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
2623, 25mulcld 11230 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) ∈ β„‚)
2713, 16, 26fsummulc1 15727 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
2812, 27eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
295adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
3015adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
3129, 30expcld 14107 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) ∈ β„‚)
3223, 25, 31mulassd 11233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)))))
332adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
3433zcnd 12663 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
356adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ β‰  0)
3620adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
3734, 29, 35, 36expdivd 14121 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) = ((π‘‹β†‘π‘Ž) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)))
3837oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((π‘‹β†‘π‘Ž) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
3934, 36expcld 14107 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
40 nnexpcl 14036 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) ∈ β„•)
414, 20, 40syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) ∈ β„•)
4241nncnd 12224 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
4341nnne0d 12258 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) β‰  0)
4439, 42, 31, 43div13d 12010 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((π‘‹β†‘π‘Ž) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘‹β†‘π‘Ž)))
4538, 44eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘‹β†‘π‘Ž)))
46 elfzelz 13497 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
4746adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
4830nn0zd 12580 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„€)
4929, 35, 47, 48expsubd 14118 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž)) = ((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)))
504adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ ∈ β„•)
5150nnzd 12581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
52 fznn0sub 13529 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ ((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž) ∈ β„•0)
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž) ∈ β„•0)
54 zexpcl 14038 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ β„€ ∧ ((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž) ∈ β„•0) β†’ (π‘Œβ†‘((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž)) ∈ β„€)
5551, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž)) ∈ β„€)
5649, 55eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) ∈ β„€)
57 zexpcl 14038 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ β„€)
582, 20, 57syl2an 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ β„€)
5956, 58zmulcld 12668 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘‹β†‘π‘Ž)) ∈ β„€)
6045, 59eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6122, 60zmulcld 12668 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)))) ∈ β„€)
6232, 61eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6313, 62fsumzcl 15677 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6428, 63eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628  Polycply 25689  coeffccoe 25691  degcdgr 25692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-0p 25178  df-ply 25693  df-coe 25695  df-dgr 25696
This theorem is referenced by:  aalioulem4  25839
  Copyright terms: Public domain W3C validator