MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem1 25708
Description: Lemma for aaliou 25714. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem1.a (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem1.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
aalioulem1.c (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
aalioulem1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)

Proof of Theorem aalioulem1
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
2 aalioulem1.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
32zcnd 12615 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4 aalioulem1.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
54nncnd 12176 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
64nnne0d 12210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0)
73, 5, 6divcld 11938 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 / π‘Œ) ∈ β„‚)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
108, 9coeid2 25616 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ (𝑋 / π‘Œ) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)))
111, 7, 10syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)))
1211oveq1d 7377 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
13 fzfid 13885 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) ∈ Fin)
14 dgrcl 25610 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
151, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
165, 15expcld 14058 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) ∈ β„‚)
17 0z 12517 . . . . . . . 8 0 ∈ β„€
188coef2 25608 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„€)
191, 17, 18sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„€)
20 elfznn0 13541 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
21 ffvelcdm 7037 . . . . . . 7 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„€ ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ β„€)
2219, 20, 21syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ β„€)
2322zcnd 12615 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
24 expcl 13992 . . . . . 6 (((𝑋 / π‘Œ) ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
257, 20, 24syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
2623, 25mulcld 11182 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) ∈ β„‚)
2713, 16, 26fsummulc1 15677 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
2812, 27eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
295adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
3015adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
3129, 30expcld 14058 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) ∈ β„‚)
3223, 25, 31mulassd 11185 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)))))
332adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
3433zcnd 12615 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
356adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ β‰  0)
3620adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
3734, 29, 35, 36expdivd 14072 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) = ((π‘‹β†‘π‘Ž) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)))
3837oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((π‘‹β†‘π‘Ž) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))))
3934, 36expcld 14058 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
40 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) ∈ β„•)
414, 20, 40syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) ∈ β„•)
4241nncnd 12176 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) ∈ β„‚)
4341nnne0d 12210 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘π‘Ž) β‰  0)
4439, 42, 31, 43div13d 11962 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((π‘‹β†‘π‘Ž) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘‹β†‘π‘Ž)))
4538, 44eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) = (((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘‹β†‘π‘Ž)))
46 elfzelz 13448 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
4746adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
4830nn0zd 12532 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„€)
4929, 35, 47, 48expsubd 14069 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž)) = ((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)))
504adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ ∈ β„•)
5150nnzd 12533 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
52 fznn0sub 13480 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ ((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž) ∈ β„•0)
5352adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž) ∈ β„•0)
54 zexpcl 13989 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ β„€ ∧ ((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž) ∈ β„•0) β†’ (π‘Œβ†‘((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž)) ∈ β„€)
5551, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘Œβ†‘((degβ€˜πΉ) βˆ’ π‘Ž)) ∈ β„€)
5649, 55eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) ∈ β„€)
57 zexpcl 13989 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ β„€)
582, 20, 57syl2an 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ β„€)
5956, 58zmulcld 12620 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)) / (π‘Œβ†‘π‘Ž)) Β· (π‘‹β†‘π‘Ž)) ∈ β„€)
6045, 59eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6122, 60zmulcld 12620 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· (((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ)))) ∈ β„€)
6232, 61eqeltrd 2838 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6313, 62fsumzcl 15627 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘Ž) Β· ((𝑋 / π‘Œ)β†‘π‘Ž)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6428, 63eqeltrd 2838 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) Β· (π‘Œβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058   Β· cmul 11063   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  Ξ£csu 15577  Polycply 25561  coeffccoe 25563  degcdgr 25564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-0p 25050  df-ply 25565  df-coe 25567  df-dgr 25568
This theorem is referenced by:  aalioulem4  25711
  Copyright terms: Public domain W3C validator