MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem1 25598
Description: Lemma for aaliou 25604. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem1.a (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem1.b (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
aalioulem1.c (𝜑𝑌 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
aalioulem1 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem aalioulem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem1.a . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
2 aalioulem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
32zcnd 12533 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4 aalioulem1.c . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℕ)
54nncnd 12095 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
64nnne0d 12129 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ≠ 0)
73, 5, 6divcld 11857 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
108, 9coeid2 25506 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
111, 7, 10syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
1211oveq1d 7357 . . 3 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
13 fzfid 13799 . . . 4 (𝜑 → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
14 dgrcl 25500 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
151, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
165, 15expcld 13970 . . . 4 (𝜑 → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
17 0z 12436 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
188coef2 25498 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
191, 17, 18sylancl 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
20 elfznn0 13455 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21 ffvelcdm 7020 . . . . . . 7 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
2219, 20, 21syl2an 597 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
2322zcnd 12533 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℂ)
24 expcl 13906 . . . . . 6 (((𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
257, 20, 24syl2an 597 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
2623, 25mulcld 11101 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) ∈ ℂ)
2713, 16, 26fsummulc1 15597 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
2812, 27eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
295adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℂ)
3015adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3129, 30expcld 13970 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
3223, 25, 31mulassd 11104 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))))
332adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℤ)
3433zcnd 12533 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℂ)
356adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ≠ 0)
3620adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
3734, 29, 35, 36expdivd 13984 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) = ((𝑋𝑎) / (𝑌𝑎)))
3837oveq1d 7357 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑋𝑎) / (𝑌𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
3934, 36expcld 13970 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
40 nnexpcl 13901 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑌𝑎) ∈ ℕ)
414, 20, 40syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌𝑎) ∈ ℕ)
4241nncnd 12095 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌𝑎) ∈ ℂ)
4341nnne0d 12129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌𝑎) ≠ 0)
4439, 42, 31, 43div13d 11881 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋𝑎) / (𝑌𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) · (𝑋𝑎)))
4538, 44eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) · (𝑋𝑎)))
46 elfzelz 13362 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℤ)
4746adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℤ)
4830nn0zd 12530 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
4929, 35, 47, 48expsubd 13981 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) = ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)))
504adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℕ)
5150nnzd 12531 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℤ)
52 fznn0sub 13394 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
5352adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
54 zexpcl 13903 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
5551, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
5649, 55eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) ∈ ℤ)
57 zexpcl 13903 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑎) ∈ ℤ)
582, 20, 57syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋𝑎) ∈ ℤ)
5956, 58zmulcld 12538 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) · (𝑋𝑎)) ∈ ℤ)
6045, 59eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
6122, 60zmulcld 12538 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))) ∈ ℤ)
6232, 61eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
6313, 62fsumzcl 15547 . 2 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
6428, 63eqeltrd 2838 1 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wf 6480  cfv 6484  (class class class)co 7342  cc 10975  0cc0 10977   · cmul 10982  cmin 11311   / cdiv 11738  cn 12079  0cn0 12339  cz 12425  ...cfz 13345  cexp 13888  Σcsu 15497  Polycply 25451  coeffccoe 25453  degcdgr 25454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-rp 12837  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-0p 24940  df-ply 25455  df-coe 25457  df-dgr 25458
This theorem is referenced by:  aalioulem4  25601
  Copyright terms: Public domain W3C validator