MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem1 26389
Description: Lemma for aaliou 26395. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem1.a (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem1.b (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
aalioulem1.c (𝜑𝑌 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
aalioulem1 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem aalioulem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem1.a . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
2 aalioulem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
32zcnd 12721 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4 aalioulem1.c . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℕ)
54nncnd 12280 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
64nnne0d 12314 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ≠ 0)
73, 5, 6divcld 12041 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ)
8 eqid 2735 . . . . . 6 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
9 eqid 2735 . . . . . 6 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
108, 9coeid2 26293 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
111, 7, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
1211oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
13 fzfid 14011 . . . 4 (𝜑 → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
14 dgrcl 26287 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
151, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
165, 15expcld 14183 . . . 4 (𝜑 → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
17 0z 12622 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
188coef2 26285 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
191, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
20 elfznn0 13657 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21 ffvelcdm 7101 . . . . . . 7 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
2219, 20, 21syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
2322zcnd 12721 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℂ)
24 expcl 14117 . . . . . 6 (((𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
257, 20, 24syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
2623, 25mulcld 11279 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) ∈ ℂ)
2713, 16, 26fsummulc1 15818 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
2812, 27eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
295adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℂ)
3015adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3129, 30expcld 14183 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
3223, 25, 31mulassd 11282 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))))
332adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℤ)
3433zcnd 12721 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℂ)
356adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ≠ 0)
3620adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
3734, 29, 35, 36expdivd 14197 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) = ((𝑋𝑎) / (𝑌𝑎)))
3837oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑋𝑎) / (𝑌𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
3934, 36expcld 14183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
40 nnexpcl 14112 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑌𝑎) ∈ ℕ)
414, 20, 40syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌𝑎) ∈ ℕ)
4241nncnd 12280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌𝑎) ∈ ℂ)
4341nnne0d 12314 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌𝑎) ≠ 0)
4439, 42, 31, 43div13d 12065 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋𝑎) / (𝑌𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) · (𝑋𝑎)))
4538, 44eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) · (𝑋𝑎)))
46 elfzelz 13561 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℤ)
4746adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℤ)
4830nn0zd 12637 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
4929, 35, 47, 48expsubd 14194 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) = ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)))
504adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℕ)
5150nnzd 12638 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℤ)
52 fznn0sub 13593 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
5352adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
54 zexpcl 14114 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
5551, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
5649, 55eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) ∈ ℤ)
57 zexpcl 14114 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑎) ∈ ℤ)
582, 20, 57syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋𝑎) ∈ ℤ)
5956, 58zmulcld 12726 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌𝑎)) · (𝑋𝑎)) ∈ ℤ)
6045, 59eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
6122, 60zmulcld 12726 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))) ∈ ℤ)
6232, 61eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
6313, 62fsumzcl 15768 . 2 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
6428, 63eqeltrd 2839 1 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  cexp 14099  Σcsu 15719  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245
This theorem is referenced by:  aalioulem4  26392
  Copyright terms: Public domain W3C validator