Theorem aalioulem1 26240

Description: Lemma for aaliou 26246. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem1.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
aalioulem1.c	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem1	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem aalioulem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
2		aalioulem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12639	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
4		aalioulem1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	4	nnne0d 12236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
7	3, 5, 6	divcld 11958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
9		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
10	8, 9	coeid2 26144	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
11	1, 7, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)))
12	11	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
13		fzfid 13938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
14		dgrcl 26138	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	5, 15	expcld 14111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
17		0z 12540	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
18	8	coef2 26136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
19	1, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ)
20		elfznn0 13581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21		ffvelcdm 7053	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12639	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑎) ∈ ℂ)
24		expcl 14044	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 / 𝑌) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
25	7, 20, 24	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) ∈ ℂ)
27	13, 16, 26	fsummulc1 15751	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
28	12, 27	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
29	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℂ)
30	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	29, 30	expcld 14111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑(deg‘𝐹)) ∈ ℂ)
32	23, 25, 31	mulassd 11197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))))
33	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑋 ∈ ℂ)
35	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ≠ 0)
36	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
37	34, 29, 35, 36	expdivd 14125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) = ((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)))
38	37	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))))
39	34, 36	expcld 14111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℂ)
40		nnexpcl 14039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℕ)
41	4, 20, 40	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 12202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ∈ ℂ)
43	41	nnne0d 12236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑𝑎) ≠ 0)
44	39, 42, 31, 43	div13d 11982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋↑𝑎) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)))
45	38, 44	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) = (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)))
46		elfzelz 13485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑎 ∈ ℤ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑎 ∈ ℤ)
48	30	nn0zd 12555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
49	29, 35, 47, 48	expsubd 14122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) = ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)))
50	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℕ)
51	50	nnzd 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑌 ∈ ℤ)
52		fznn0sub 13517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0)
54		zexpcl 14041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ ((deg‘𝐹) − 𝑎) ∈ ℕ0) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
55	51, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑌↑((deg‘𝐹) − 𝑎)) ∈ ℤ)
56	49, 55	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) ∈ ℤ)
57		zexpcl 14041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℤ)
58	2, 20, 57	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑋↑𝑎) ∈ ℤ)
59	56, 58	zmulcld 12644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑌↑(deg‘𝐹)) / (𝑌↑𝑎)) · (𝑋↑𝑎)) ∈ ℤ)
60	45, 59	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
61	22, 60	zmulcld 12644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑎) · (((𝑋 / 𝑌)↑𝑎) · (𝑌↑(deg‘𝐹)))) ∈ ℤ)
62	32, 61	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
63	13, 62	fsumzcl 15701	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0...(deg‘𝐹))((((coeff‘𝐹)‘𝑎) · ((𝑋 / 𝑌)↑𝑎)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
64	28, 63	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) · (𝑌↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ↑cexp 14026  Σcsu 15652  Polycply 26089  coeffccoe 26091  degcdgr 26092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-0p 25571  df-ply 26093  df-coe 26095  df-dgr 26096

This theorem is referenced by:  aalioulem4  26243