Theorem divcan4d 12023

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11923	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   · cmul 11134   / cdiv 11894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12073  ldiv  12075  mulge0b  12112  ltmuldiv  12115  rimul  12231  mul2lt0rlt0  13111  mulmod0  13894  2txmodxeq0  13949  expaddzlem  14123  mulsubdivbinom2  14280  facdiv  14305  permnn  14344  cjdiv  15183  sqrtdiv  15284  absdiv  15314  sqreulem  15378  gcddiv  16570  divgcdcoprm0  16684  hashgcdlem  16807  sylow2blem3  19603  cnflddiv  21363  cnflddivOLD  21364  cnsubrg  21395  i1fmullem  25647  mbfi1fseqlem3  25670  mbfi1fseqlem6  25673  dvsincos  25937  ftc1lem4  25998  vieta1lem2  26271  aaliou3lem9  26310  root1eq1  26717  nnlogbexp  26743  relogbcxp  26747  lawcoslem1  26777  chordthmlem2  26795  chordthmlem4  26797  dcubic1lem  26805  dcubic2  26806  dquartlem1  26813  efiatan2  26879  tanatan  26881  regamcl  27023  basellem3  27045  bclbnd  27243  gausslemma2dlem3  27331  2lgslem1a2  27353  2lgslem3b  27360  2lgslem3c  27361  2lgslem3d  27362  2sqlem3  27383  vmadivsum  27445  dchrmusum2  27457  dchrmusumlem  27485  vmalogdivsum  27502  selberg3lem1  27520  pntrlog2bndlem4  27543  pntlemb  27560  nrt2irr  30454  normcan  31557  constrrtcc  33769  constrreinvcl  33806  dya2icoseg  34309  bayesth  34471  signsplypnf  34582  divsqrtid  34626  bj-bary1lem  37328  ftc1cnnclem  37715  dvasin  37728  3lexlogpow2ineq2  42072  2np3bcnp1  42157  unitscyglem2  42209  itrere  42367  cxp112d  42390  fltnlta  42686  3cubeslem4  42712  pellexlem2  42853  pellexlem6  42857  proot1ex  43220  divcan8d  45341  wallispilem5  46098  stirlinglem3  46105  stirlinglem4  46106  stirlinglem15  46117  dirkertrigeqlem1  46127  dirkertrigeqlem2  46128  dirkertrigeqlem3  46129  dirkercncflem4  46135  fourierdlem6  46142  fourierdlem19  46155  fourierdlem26  46162  fourierdlem39  46175  fourierdlem42  46178  fourierdlem63  46198  fourierdlem65  46200  fourierdlem89  46224  fourierdlem90  46225  fourierdlem91  46226  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  2zrngnmlid  48230  1subrec1sub  48685  mvlrmuld  49640