Theorem divcan4d 11910

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013   · cmul 11018   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11960  ldiv  11962  mulge0b  11999  ltmuldiv  12002  rimul  12123  mul2lt0rlt0  12996  mulmod0  13783  2txmodxeq0  13840  expaddzlem  14014  mulsubdivbinom2  14171  facdiv  14196  permnn  14235  cjdiv  15073  sqrtdiv  15174  absdiv  15204  sqreulem  15269  gcddiv  16464  divgcdcoprm0  16578  hashgcdlem  16701  sylow2blem3  19536  cnflddiv  21339  cnflddivOLD  21340  cnsubrg  21366  i1fmullem  25623  mbfi1fseqlem3  25646  mbfi1fseqlem6  25649  dvsincos  25913  ftc1lem4  25974  vieta1lem2  26247  aaliou3lem9  26286  root1eq1  26693  nnlogbexp  26719  relogbcxp  26723  lawcoslem1  26753  chordthmlem2  26771  chordthmlem4  26773  dcubic1lem  26781  dcubic2  26782  dquartlem1  26789  efiatan2  26855  tanatan  26857  regamcl  26999  basellem3  27021  bclbnd  27219  gausslemma2dlem3  27307  2lgslem1a2  27329  2lgslem3b  27336  2lgslem3c  27337  2lgslem3d  27338  2sqlem3  27359  vmadivsum  27421  dchrmusum2  27433  dchrmusumlem  27461  vmalogdivsum  27478  selberg3lem1  27496  pntrlog2bndlem4  27519  pntlemb  27536  nrt2irr  30455  normcan  31558  constrrtcc  33769  constrreinvcl  33806  dya2icoseg  34311  bayesth  34473  signsplypnf  34584  divsqrtid  34628  bj-bary1lem  37375  ftc1cnnclem  37751  dvasin  37764  3lexlogpow2ineq2  42172  2np3bcnp1  42257  unitscyglem2  42309  cxp112d  42459  fltnlta  42781  3cubeslem4  42806  pellexlem2  42947  pellexlem6  42951  proot1ex  43313  divcan8d  45437  wallispilem5  46191  stirlinglem3  46198  stirlinglem4  46199  stirlinglem15  46210  dirkertrigeqlem1  46220  dirkertrigeqlem2  46221  dirkertrigeqlem3  46222  dirkercncflem4  46228  fourierdlem6  46235  fourierdlem19  46248  fourierdlem26  46255  fourierdlem39  46268  fourierdlem42  46271  fourierdlem63  46291  fourierdlem65  46293  fourierdlem89  46317  fourierdlem90  46318  fourierdlem91  46319  fourierdlem103  46331  fourierdlem104  46332  2zrngnmlid  48379  1subrec1sub  48830  mvlrmuld  49901