Theorem divcan4d 11935

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11835	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11985  ldiv  11987  mulge0b  12024  ltmuldiv  12027  rimul  12148  mul2lt0rlt0  13021  mulmod0  13809  2txmodxeq0  13866  expaddzlem  14040  mulsubdivbinom2  14197  facdiv  14222  permnn  14261  cjdiv  15099  sqrtdiv  15200  absdiv  15230  sqreulem  15295  gcddiv  16490  divgcdcoprm0  16604  hashgcdlem  16727  sylow2blem3  19563  cnflddiv  21367  cnflddivOLD  21368  cnsubrg  21394  i1fmullem  25663  mbfi1fseqlem3  25686  mbfi1fseqlem6  25689  dvsincos  25953  ftc1lem4  26014  vieta1lem2  26287  aaliou3lem9  26326  root1eq1  26733  nnlogbexp  26759  relogbcxp  26763  lawcoslem1  26793  chordthmlem2  26811  chordthmlem4  26813  dcubic1lem  26821  dcubic2  26822  dquartlem1  26829  efiatan2  26895  tanatan  26897  regamcl  27039  basellem3  27061  bclbnd  27259  gausslemma2dlem3  27347  2lgslem1a2  27369  2lgslem3b  27376  2lgslem3c  27377  2lgslem3d  27378  2sqlem3  27399  vmadivsum  27461  dchrmusum2  27473  dchrmusumlem  27501  vmalogdivsum  27518  selberg3lem1  27536  pntrlog2bndlem4  27559  pntlemb  27576  nrt2irr  30560  normcan  31663  constrrtcc  33912  constrreinvcl  33949  dya2icoseg  34454  bayesth  34616  signsplypnf  34727  divsqrtid  34771  bj-bary1lem  37559  ftc1cnnclem  37936  dvasin  37949  3lexlogpow2ineq2  42423  2np3bcnp1  42508  unitscyglem2  42560  cxp112d  42705  fltnlta  43015  3cubeslem4  43040  pellexlem2  43181  pellexlem6  43185  proot1ex  43547  divcan8d  45668  wallispilem5  46421  stirlinglem3  46428  stirlinglem4  46429  stirlinglem15  46440  dirkertrigeqlem1  46450  dirkertrigeqlem2  46451  dirkertrigeqlem3  46452  dirkercncflem4  46458  fourierdlem6  46465  fourierdlem19  46478  fourierdlem26  46485  fourierdlem39  46498  fourierdlem42  46501  fourierdlem63  46521  fourierdlem65  46523  fourierdlem89  46547  fourierdlem90  46548  fourierdlem91  46549  fourierdlem103  46561  fourierdlem104  46562  2zrngnmlid  48609  1subrec1sub  49059  mvlrmuld  50129