Theorem divcan4d 11928

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11827	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11978  ldiv  11980  mulge0b  12017  ltmuldiv  12020  rimul  12141  mul2lt0rlt0  13037  mulmod0  13827  2txmodxeq0  13884  expaddzlem  14058  mulsubdivbinom2  14215  facdiv  14240  permnn  14279  cjdiv  15117  sqrtdiv  15218  absdiv  15248  sqreulem  15313  gcddiv  16511  divgcdcoprm0  16625  hashgcdlem  16749  sylow2blem3  19588  cnflddiv  21390  cnflddivOLD  21391  cnsubrg  21417  i1fmullem  25671  mbfi1fseqlem3  25694  mbfi1fseqlem6  25697  dvsincos  25958  ftc1lem4  26016  vieta1lem2  26288  aaliou3lem9  26327  root1eq1  26732  nnlogbexp  26758  relogbcxp  26762  lawcoslem1  26792  chordthmlem2  26810  chordthmlem4  26812  dcubic1lem  26820  dcubic2  26821  dquartlem1  26828  efiatan2  26894  tanatan  26896  regamcl  27038  basellem3  27060  bclbnd  27257  gausslemma2dlem3  27345  2lgslem1a2  27367  2lgslem3b  27374  2lgslem3c  27375  2lgslem3d  27376  2sqlem3  27397  vmadivsum  27459  dchrmusum2  27471  dchrmusumlem  27499  vmalogdivsum  27516  selberg3lem1  27534  pntrlog2bndlem4  27557  pntlemb  27574  nrt2irr  30558  normcan  31662  constrrtcc  33895  constrreinvcl  33932  dya2icoseg  34437  bayesth  34599  signsplypnf  34710  divsqrtid  34754  bj-bary1lem  37640  ftc1cnnclem  38026  dvasin  38039  3lexlogpow2ineq2  42512  2np3bcnp1  42597  unitscyglem2  42649  cxp112d  42787  fltnlta  43110  3cubeslem4  43135  pellexlem2  43276  pellexlem6  43280  proot1ex  43642  divcan8d  45763  wallispilem5  46515  stirlinglem3  46522  stirlinglem4  46523  stirlinglem15  46534  dirkertrigeqlem1  46544  dirkertrigeqlem2  46545  dirkertrigeqlem3  46546  dirkercncflem4  46552  fourierdlem6  46559  fourierdlem19  46572  fourierdlem26  46579  fourierdlem39  46592  fourierdlem42  46595  fourierdlem63  46615  fourierdlem65  46617  fourierdlem89  46641  fourierdlem90  46642  fourierdlem91  46643  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  ppivalnnprm  48100  ppivalnnnprmge6  48101  2zrngnmlid  48743  1subrec1sub  49193  mvlrmuld  50263