Theorem divcan4d 11970

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070   · cmul 11075   / cdiv 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12020  ldiv  12022  mulge0b  12059  ltmuldiv  12062  rimul  12183  mul2lt0rlt0  13094  mulmod0  13884  2txmodxeq0  13941  expaddzlem  14115  mulsubdivbinom2  14272  facdiv  14297  permnn  14336  cjdiv  15174  sqrtdiv  15275  absdiv  15305  sqreulem  15370  gcddiv  16568  divgcdcoprm0  16682  hashgcdlem  16806  sylow2blem3  19645  cnflddiv  21434  cnsubrg  21459  i1fmullem  25736  mbfi1fseqlem3  25759  mbfi1fseqlem6  25762  dvsincos  26023  ftc1lem4  26081  vieta1lem2  26352  aaliou3lem9  26391  root1eq1  26797  nnlogbexp  26823  relogbcxp  26827  lawcoslem1  26857  chordthmlem2  26875  chordthmlem4  26877  dcubic1lem  26885  dcubic2  26886  dquartlem1  26893  efiatan2  26959  tanatan  26961  regamcl  27102  basellem3  27124  bclbnd  27321  gausslemma2dlem3  27409  2lgslem1a2  27431  2lgslem3b  27438  2lgslem3c  27439  2lgslem3d  27440  2sqlem3  27461  vmadivsum  27523  dchrmusum2  27535  dchrmusumlem  27563  vmalogdivsum  27580  selberg3lem1  27598  pntrlog2bndlem4  27621  pntlemb  27638  nrt2irr  30621  normcan  31725  constrrtcc  33993  constrreinvcl  34030  dya2icoseg  34535  bayesth  34697  signsplypnf  34808  divsqrtid  34852  bj-bary1lem  37766  ftc1cnnclem  38154  dvasin  38167  3lexlogpow2ineq2  42640  2np3bcnp1  42725  unitscyglem2  42777  cxp112d  42914  fltnlta  43209  3cubeslem4  43234  pellexlem2  43371  pellexlem6  43375  proot1ex  43737  divcan8d  45855  wallispilem5  46607  stirlinglem3  46614  stirlinglem4  46615  stirlinglem15  46626  dirkertrigeqlem1  46636  dirkertrigeqlem2  46637  dirkertrigeqlem3  46638  dirkercncflem4  46644  fourierdlem6  46651  fourierdlem19  46664  fourierdlem26  46671  fourierdlem39  46684  fourierdlem42  46687  fourierdlem63  46707  fourierdlem65  46709  fourierdlem89  46733  fourierdlem90  46734  fourierdlem91  46735  fourierdlem103  46747  fourierdlem104  46748  ppivalnnprm  48198  ppivalnnnprmge6  48199  2zrngnmlid  48841  1subrec1sub  49291  mvlrmuld  50361