Theorem divcan4d 12049

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11949	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12099  ldiv  12101  mulge0b  12138  ltmuldiv  12141  rimul  12257  mul2lt0rlt0  13137  mulmod0  13917  2txmodxeq0  13972  expaddzlem  14146  mulsubdivbinom2  14301  facdiv  14326  permnn  14365  cjdiv  15203  sqrtdiv  15304  absdiv  15334  sqreulem  15398  gcddiv  16588  divgcdcoprm0  16702  hashgcdlem  16825  sylow2blem3  19640  cnflddiv  21413  cnflddivOLD  21414  cnsubrg  21445  i1fmullem  25729  mbfi1fseqlem3  25752  mbfi1fseqlem6  25755  dvsincos  26019  ftc1lem4  26080  vieta1lem2  26353  aaliou3lem9  26392  root1eq1  26798  nnlogbexp  26824  relogbcxp  26828  lawcoslem1  26858  chordthmlem2  26876  chordthmlem4  26878  dcubic1lem  26886  dcubic2  26887  dquartlem1  26894  efiatan2  26960  tanatan  26962  regamcl  27104  basellem3  27126  bclbnd  27324  gausslemma2dlem3  27412  2lgslem1a2  27434  2lgslem3b  27441  2lgslem3c  27442  2lgslem3d  27443  2sqlem3  27464  vmadivsum  27526  dchrmusum2  27538  dchrmusumlem  27566  vmalogdivsum  27583  selberg3lem1  27601  pntrlog2bndlem4  27624  pntlemb  27641  nrt2irr  30492  normcan  31595  constrrtcc  33776  dya2icoseg  34279  bayesth  34441  signsplypnf  34565  divsqrtid  34609  bj-bary1lem  37311  ftc1cnnclem  37698  dvasin  37711  3lexlogpow2ineq2  42060  2np3bcnp1  42145  unitscyglem2  42197  itrere  42353  cxp112d  42377  fltnlta  42673  3cubeslem4  42700  pellexlem2  42841  pellexlem6  42845  proot1ex  43208  divcan8d  45324  wallispilem5  46084  stirlinglem3  46091  stirlinglem4  46092  stirlinglem15  46103  dirkertrigeqlem1  46113  dirkertrigeqlem2  46114  dirkertrigeqlem3  46115  dirkercncflem4  46121  fourierdlem6  46128  fourierdlem19  46141  fourierdlem26  46148  fourierdlem39  46161  fourierdlem42  46164  fourierdlem63  46184  fourierdlem65  46186  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  2zrngnmlid  48171  1subrec1sub  48626  mvlrmuld  49295