Theorem divcan4d 11900

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003   · cmul 11008   / cdiv 11771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11950  ldiv  11952  mulge0b  11989  ltmuldiv  11992  rimul  12113  mul2lt0rlt0  12991  mulmod0  13778  2txmodxeq0  13835  expaddzlem  14009  mulsubdivbinom2  14166  facdiv  14191  permnn  14230  cjdiv  15068  sqrtdiv  15169  absdiv  15199  sqreulem  15264  gcddiv  16459  divgcdcoprm0  16573  hashgcdlem  16696  sylow2blem3  19532  cnflddiv  21335  cnflddivOLD  21336  cnsubrg  21362  i1fmullem  25620  mbfi1fseqlem3  25643  mbfi1fseqlem6  25646  dvsincos  25910  ftc1lem4  25971  vieta1lem2  26244  aaliou3lem9  26283  root1eq1  26690  nnlogbexp  26716  relogbcxp  26720  lawcoslem1  26750  chordthmlem2  26768  chordthmlem4  26770  dcubic1lem  26778  dcubic2  26779  dquartlem1  26786  efiatan2  26852  tanatan  26854  regamcl  26996  basellem3  27018  bclbnd  27216  gausslemma2dlem3  27304  2lgslem1a2  27326  2lgslem3b  27333  2lgslem3c  27334  2lgslem3d  27335  2sqlem3  27356  vmadivsum  27418  dchrmusum2  27430  dchrmusumlem  27458  vmalogdivsum  27475  selberg3lem1  27493  pntrlog2bndlem4  27516  pntlemb  27533  nrt2irr  30448  normcan  31551  constrrtcc  33743  constrreinvcl  33780  dya2icoseg  34285  bayesth  34447  signsplypnf  34558  divsqrtid  34602  bj-bary1lem  37343  ftc1cnnclem  37730  dvasin  37743  3lexlogpow2ineq2  42091  2np3bcnp1  42176  unitscyglem2  42228  cxp112d  42373  fltnlta  42695  3cubeslem4  42721  pellexlem2  42862  pellexlem6  42866  proot1ex  43228  divcan8d  45352  wallispilem5  46106  stirlinglem3  46113  stirlinglem4  46114  stirlinglem15  46125  dirkertrigeqlem1  46135  dirkertrigeqlem2  46136  dirkertrigeqlem3  46137  dirkercncflem4  46143  fourierdlem6  46150  fourierdlem19  46163  fourierdlem26  46170  fourierdlem39  46183  fourierdlem42  46186  fourierdlem63  46206  fourierdlem65  46208  fourierdlem89  46232  fourierdlem90  46233  fourierdlem91  46234  fourierdlem103  46246  fourierdlem104  46247  2zrngnmlid  48285  1subrec1sub  48736  mvlrmuld  49807