Theorem divcan4d 12021

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11921	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132   / cdiv 11892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12071  ldiv  12073  mulge0b  12110  ltmuldiv  12113  rimul  12229  mul2lt0rlt0  13109  mulmod0  13892  2txmodxeq0  13947  expaddzlem  14121  mulsubdivbinom2  14278  facdiv  14303  permnn  14342  cjdiv  15181  sqrtdiv  15282  absdiv  15312  sqreulem  15376  gcddiv  16568  divgcdcoprm0  16682  hashgcdlem  16805  sylow2blem3  19601  cnflddiv  21361  cnflddivOLD  21362  cnsubrg  21393  i1fmullem  25645  mbfi1fseqlem3  25668  mbfi1fseqlem6  25671  dvsincos  25935  ftc1lem4  25996  vieta1lem2  26269  aaliou3lem9  26308  root1eq1  26715  nnlogbexp  26741  relogbcxp  26745  lawcoslem1  26775  chordthmlem2  26793  chordthmlem4  26795  dcubic1lem  26803  dcubic2  26804  dquartlem1  26811  efiatan2  26877  tanatan  26879  regamcl  27021  basellem3  27043  bclbnd  27241  gausslemma2dlem3  27329  2lgslem1a2  27351  2lgslem3b  27358  2lgslem3c  27359  2lgslem3d  27360  2sqlem3  27381  vmadivsum  27443  dchrmusum2  27455  dchrmusumlem  27483  vmalogdivsum  27500  selberg3lem1  27518  pntrlog2bndlem4  27541  pntlemb  27558  nrt2irr  30400  normcan  31503  constrrtcc  33715  constrreinvcl  33752  dya2icoseg  34255  bayesth  34417  signsplypnf  34528  divsqrtid  34572  bj-bary1lem  37274  ftc1cnnclem  37661  dvasin  37674  3lexlogpow2ineq2  42018  2np3bcnp1  42103  unitscyglem2  42155  itrere  42314  cxp112d  42337  fltnlta  42633  3cubeslem4  42659  pellexlem2  42800  pellexlem6  42804  proot1ex  43167  divcan8d  45289  wallispilem5  46046  stirlinglem3  46053  stirlinglem4  46054  stirlinglem15  46065  dirkertrigeqlem1  46075  dirkertrigeqlem2  46076  dirkertrigeqlem3  46077  dirkercncflem4  46083  fourierdlem6  46090  fourierdlem19  46103  fourierdlem26  46110  fourierdlem39  46123  fourierdlem42  46126  fourierdlem63  46146  fourierdlem65  46148  fourierdlem89  46172  fourierdlem90  46173  fourierdlem91  46174  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  2zrngnmlid  48178  1subrec1sub  48633  mvlrmuld  49588