Theorem divcan4d 11755

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11658	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  (class class class)co 7269  ℂcc 10868  0cc0 10870   · cmul 10875   / cdiv 11630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11805  ldiv  11807  mulge0b  11843  ltmuldiv  11846  rimul  11962  mul2lt0rlt0  12829  mulmod0  13593  2txmodxeq0  13647  expaddzlem  13822  mulsubdivbinom2  13972  facdiv  13997  permnn  14036  cjdiv  14871  sqrtdiv  14973  absdiv  15003  sqreulem  15067  gcddiv  16255  divgcdcoprm0  16366  hashgcdlem  16485  sylow2blem3  19223  cnflddiv  20624  cnsubrg  20654  i1fmullem  24854  mbfi1fseqlem3  24878  mbfi1fseqlem6  24881  dvsincos  25141  ftc1lem4  25199  vieta1lem2  25467  aaliou3lem9  25506  root1eq1  25904  nnlogbexp  25927  relogbcxp  25931  lawcoslem1  25961  chordthmlem2  25979  chordthmlem4  25981  dcubic1lem  25989  dcubic2  25990  dquartlem1  25997  efiatan2  26063  tanatan  26065  regamcl  26206  basellem3  26228  bclbnd  26424  gausslemma2dlem3  26512  2lgslem1a2  26534  2lgslem3b  26541  2lgslem3c  26542  2lgslem3d  26543  2sqlem3  26564  vmadivsum  26626  dchrmusum2  26638  dchrmusumlem  26666  vmalogdivsum  26683  selberg3lem1  26701  pntrlog2bndlem4  26724  pntlemb  26741  normcan  29932  dya2icoseg  32238  bayesth  32400  signsplypnf  32523  divsqrtid  32568  bj-bary1lem  35475  ftc1cnnclem  35842  dvasin  35855  3lexlogpow2ineq2  40062  2np3bcnp1  40095  fltnlta  40495  3cubeslem4  40506  pellexlem2  40647  pellexlem6  40651  proot1ex  41021  divcan8d  42820  wallispilem5  43579  stirlinglem3  43586  stirlinglem4  43587  stirlinglem15  43598  dirkertrigeqlem1  43608  dirkertrigeqlem2  43609  dirkertrigeqlem3  43610  dirkercncflem4  43616  fourierdlem6  43623  fourierdlem19  43636  fourierdlem26  43643  fourierdlem39  43656  fourierdlem42  43659  fourierdlem63  43679  fourierdlem65  43681  fourierdlem89  43705  fourierdlem90  43706  fourierdlem91  43707  fourierdlem103  43719  fourierdlem104  43720  2zrngnmlid  45474  1subrec1sub  46018  mvlrmuld  46447