Theorem divcan4d 11924

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11824	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11974  ldiv  11976  mulge0b  12013  ltmuldiv  12016  rimul  12137  mul2lt0rlt0  13015  mulmod0  13799  2txmodxeq0  13856  expaddzlem  14030  mulsubdivbinom2  14187  facdiv  14212  permnn  14251  cjdiv  15089  sqrtdiv  15190  absdiv  15220  sqreulem  15285  gcddiv  16480  divgcdcoprm0  16594  hashgcdlem  16717  sylow2blem3  19519  cnflddiv  21325  cnflddivOLD  21326  cnsubrg  21352  i1fmullem  25611  mbfi1fseqlem3  25634  mbfi1fseqlem6  25637  dvsincos  25901  ftc1lem4  25962  vieta1lem2  26235  aaliou3lem9  26274  root1eq1  26681  nnlogbexp  26707  relogbcxp  26711  lawcoslem1  26741  chordthmlem2  26759  chordthmlem4  26761  dcubic1lem  26769  dcubic2  26770  dquartlem1  26777  efiatan2  26843  tanatan  26845  regamcl  26987  basellem3  27009  bclbnd  27207  gausslemma2dlem3  27295  2lgslem1a2  27317  2lgslem3b  27324  2lgslem3c  27325  2lgslem3d  27326  2sqlem3  27347  vmadivsum  27409  dchrmusum2  27421  dchrmusumlem  27449  vmalogdivsum  27466  selberg3lem1  27484  pntrlog2bndlem4  27507  pntlemb  27524  nrt2irr  30435  normcan  31538  constrrtcc  33701  constrreinvcl  33738  dya2icoseg  34244  bayesth  34406  signsplypnf  34517  divsqrtid  34561  bj-bary1lem  37283  ftc1cnnclem  37670  dvasin  37683  3lexlogpow2ineq2  42032  2np3bcnp1  42117  unitscyglem2  42169  cxp112d  42314  fltnlta  42636  3cubeslem4  42662  pellexlem2  42803  pellexlem6  42807  proot1ex  43169  divcan8d  45294  wallispilem5  46051  stirlinglem3  46058  stirlinglem4  46059  stirlinglem15  46070  dirkertrigeqlem1  46080  dirkertrigeqlem2  46081  dirkertrigeqlem3  46082  dirkercncflem4  46088  fourierdlem6  46095  fourierdlem19  46108  fourierdlem26  46115  fourierdlem39  46128  fourierdlem42  46131  fourierdlem63  46151  fourierdlem65  46153  fourierdlem89  46177  fourierdlem90  46178  fourierdlem91  46179  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  2zrngnmlid  48240  1subrec1sub  48691  mvlrmuld  49762