MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan4d 11411
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan4d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan4 11314 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531   / cdiv 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287
This theorem is referenced by:  mvllmuld  11461  ldiv  11463  mulge0b  11499  ltmuldiv  11502  rimul  11616  mul2lt0rlt0  12479  mulmod0  13240  2txmodxeq0  13294  expaddzlem  13468  mulsubdivbinom2  13618  facdiv  13643  permnn  13682  cjdiv  14514  sqrtdiv  14616  absdiv  14646  sqreulem  14710  gcddiv  15888  divgcdcoprm0  15998  hashgcdlem  16114  sylow2blem3  18738  cnflddiv  20119  cnsubrg  20149  i1fmullem  24296  mbfi1fseqlem3  24319  mbfi1fseqlem6  24322  dvsincos  24582  ftc1lem4  24640  vieta1lem2  24905  aaliou3lem9  24944  root1eq1  25342  nnlogbexp  25365  relogbcxp  25369  lawcoslem1  25399  chordthmlem2  25417  chordthmlem4  25419  dcubic1lem  25427  dcubic2  25428  dquartlem1  25435  efiatan2  25501  tanatan  25503  regamcl  25644  basellem3  25666  bclbnd  25862  gausslemma2dlem3  25950  2lgslem1a2  25972  2lgslem3b  25979  2lgslem3c  25980  2lgslem3d  25981  2sqlem3  26002  vmadivsum  26064  dchrmusum2  26076  dchrmusumlem  26104  vmalogdivsum  26121  selberg3lem1  26139  pntrlog2bndlem4  26162  pntlemb  26179  normcan  29357  dya2icoseg  31609  bayesth  31771  signsplypnf  31894  divsqrtid  31939  bj-bary1lem  34685  ftc1cnnclem  35087  dvasin  35100  2np3bcnp1  39308  fltnlta  39550  3cubeslem4  39561  pellexlem2  39702  pellexlem6  39706  proot1ex  40076  divcan8d  41884  wallispilem5  42651  stirlinglem3  42658  stirlinglem4  42659  stirlinglem15  42670  dirkertrigeqlem1  42680  dirkertrigeqlem2  42681  dirkertrigeqlem3  42682  dirkercncflem4  42688  fourierdlem6  42695  fourierdlem19  42708  fourierdlem26  42715  fourierdlem39  42728  fourierdlem42  42731  fourierdlem63  42751  fourierdlem65  42753  fourierdlem89  42777  fourierdlem90  42778  fourierdlem91  42779  fourierdlem103  42791  fourierdlem104  42792  2zrngnmlid  44513  1subrec1sub  45059  mvlrmuld  45244
  Copyright terms: Public domain W3C validator