Theorem divcan4d 11998

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11900	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101   · cmul 11106   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12048  ldiv  12050  mulge0b  12086  ltmuldiv  12089  rimul  12210  mul2lt0rlt0  13121  mulmod0  13912  2txmodxeq0  13969  expaddzlem  14143  mulsubdivbinom2  14300  facdiv  14325  permnn  14364  cjdiv  15217  sqrtdiv  15318  absdiv  15348  sqreulem  15413  gcddiv  16610  divgcdcoprm0  16724  hashgcdlem  16848  sylow2blem3  19693  cnflddiv  21533  cnsubrg  21558  i1fmullem  25834  mbfi1fseqlem3  25857  mbfi1fseqlem6  25860  dvsincos  26121  ftc1lem4  26179  vieta1lem2  26453  aaliou3lem9  26492  root1eq1  26898  nnlogbexp  26924  relogbcxp  26928  lawcoslem1  26958  chordthmlem2  26976  chordthmlem4  26978  dcubic1lem  26986  dcubic2  26987  dquartlem1  26994  efiatan2  27060  tanatan  27062  regamcl  27203  basellem3  27225  bclbnd  27422  gausslemma2dlem3  27510  2lgslem1a2  27532  2lgslem3b  27539  2lgslem3c  27540  2lgslem3d  27541  2sqlem3  27562  vmadivsum  27624  dchrmusum2  27636  dchrmusumlem  27664  vmalogdivsum  27681  selberg3lem1  27699  pntrlog2bndlem4  27722  pntlemb  27739  nrt2irr  30802  normcan  31906  constrrtcc  34103  constrreinvcl  34140  dya2icoseg  34645  bayesth  34807  signsplypnf  34915  divsqrtid  34959  bj-bary1lem  37932  ftc1cnnclem  38320  dvasin  38333  3lexlogpow2ineq2  42804  2np3bcnp1  42889  unitscyglem2  42941  cxp112d  43080  fltnlta  43375  3cubeslem4  43400  pellexlem2  43537  pellexlem6  43541  proot1ex  43903  divcan8d  46011  wallispilem5  46763  stirlinglem3  46770  stirlinglem4  46771  stirlinglem15  46782  dirkertrigeqlem1  46792  dirkertrigeqlem2  46793  dirkertrigeqlem3  46794  dirkercncflem4  46800  fourierdlem6  46807  fourierdlem19  46820  fourierdlem26  46827  fourierdlem39  46840  fourierdlem42  46843  fourierdlem63  46863  fourierdlem65  46865  fourierdlem89  46889  fourierdlem90  46890  fourierdlem91  46891  fourierdlem103  46903  fourierdlem104  46904  ppivalnnprm  48354  ppivalnnnprmge6  48355  2zrngnmlid  48997  1subrec1sub  49462  mvlrmuld  50531