Theorem divcan4d 11687

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11737  ldiv  11739  mulge0b  11775  ltmuldiv  11778  rimul  11894  mul2lt0rlt0  12761  mulmod0  13525  2txmodxeq0  13579  expaddzlem  13754  mulsubdivbinom2  13904  facdiv  13929  permnn  13968  cjdiv  14803  sqrtdiv  14905  absdiv  14935  sqreulem  14999  gcddiv  16187  divgcdcoprm0  16298  hashgcdlem  16417  sylow2blem3  19142  cnflddiv  20540  cnsubrg  20570  i1fmullem  24763  mbfi1fseqlem3  24787  mbfi1fseqlem6  24790  dvsincos  25050  ftc1lem4  25108  vieta1lem2  25376  aaliou3lem9  25415  root1eq1  25813  nnlogbexp  25836  relogbcxp  25840  lawcoslem1  25870  chordthmlem2  25888  chordthmlem4  25890  dcubic1lem  25898  dcubic2  25899  dquartlem1  25906  efiatan2  25972  tanatan  25974  regamcl  26115  basellem3  26137  bclbnd  26333  gausslemma2dlem3  26421  2lgslem1a2  26443  2lgslem3b  26450  2lgslem3c  26451  2lgslem3d  26452  2sqlem3  26473  vmadivsum  26535  dchrmusum2  26547  dchrmusumlem  26575  vmalogdivsum  26592  selberg3lem1  26610  pntrlog2bndlem4  26633  pntlemb  26650  normcan  29839  dya2icoseg  32144  bayesth  32306  signsplypnf  32429  divsqrtid  32474  bj-bary1lem  35408  ftc1cnnclem  35775  dvasin  35788  3lexlogpow2ineq2  39995  2np3bcnp1  40028  fltnlta  40416  3cubeslem4  40427  pellexlem2  40568  pellexlem6  40572  proot1ex  40942  divcan8d  42741  wallispilem5  43500  stirlinglem3  43507  stirlinglem4  43508  stirlinglem15  43519  dirkertrigeqlem1  43529  dirkertrigeqlem2  43530  dirkertrigeqlem3  43531  dirkercncflem4  43537  fourierdlem6  43544  fourierdlem19  43557  fourierdlem26  43564  fourierdlem39  43577  fourierdlem42  43580  fourierdlem63  43600  fourierdlem65  43602  fourierdlem89  43626  fourierdlem90  43627  fourierdlem91  43628  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  2zrngnmlid  45395  1subrec1sub  45939  mvlrmuld  46366