Theorem divcan4d 11411

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11461  ldiv  11463  mulge0b  11499  ltmuldiv  11502  rimul  11616  mul2lt0rlt0  12479  mulmod0  13240  2txmodxeq0  13294  expaddzlem  13468  mulsubdivbinom2  13618  facdiv  13643  permnn  13682  cjdiv  14515  sqrtdiv  14617  absdiv  14647  sqreulem  14711  gcddiv  15889  divgcdcoprm0  15999  hashgcdlem  16115  sylow2blem3  18739  cnflddiv  20121  cnsubrg  20151  i1fmullem  24298  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem6  24324  dvsincos  24584  ftc1lem4  24642  vieta1lem2  24907  aaliou3lem9  24946  root1eq1  25344  nnlogbexp  25367  relogbcxp  25371  lawcoslem1  25401  chordthmlem2  25419  chordthmlem4  25421  dcubic1lem  25429  dcubic2  25430  dquartlem1  25437  efiatan2  25503  tanatan  25505  regamcl  25646  basellem3  25668  bclbnd  25864  gausslemma2dlem3  25952  2lgslem1a2  25974  2lgslem3b  25981  2lgslem3c  25982  2lgslem3d  25983  2sqlem3  26004  vmadivsum  26066  dchrmusum2  26078  dchrmusumlem  26106  vmalogdivsum  26123  selberg3lem1  26141  pntrlog2bndlem4  26164  pntlemb  26181  normcan  29359  dya2icoseg  31645  bayesth  31807  signsplypnf  31930  divsqrtid  31975  bj-bary1lem  34724  ftc1cnnclem  35128  dvasin  35141  2np3bcnp1  39348  fltnlta  39619  3cubeslem4  39630  pellexlem2  39771  pellexlem6  39775  proot1ex  40145  divcan8d  41944  wallispilem5  42711  stirlinglem3  42718  stirlinglem4  42719  stirlinglem15  42730  dirkertrigeqlem1  42740  dirkertrigeqlem2  42741  dirkertrigeqlem3  42742  dirkercncflem4  42748  fourierdlem6  42755  fourierdlem19  42768  fourierdlem26  42775  fourierdlem39  42788  fourierdlem42  42791  fourierdlem63  42811  fourierdlem65  42813  fourierdlem89  42837  fourierdlem90  42838  fourierdlem91  42839  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  2zrngnmlid  44573  1subrec1sub  45119  mvlrmuld  45304