Theorem divcan4d 11937

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11987  ldiv  11989  mulge0b  12026  ltmuldiv  12029  rimul  12150  mul2lt0rlt0  13046  mulmod0  13836  2txmodxeq0  13893  expaddzlem  14067  mulsubdivbinom2  14224  facdiv  14249  permnn  14288  cjdiv  15126  sqrtdiv  15227  absdiv  15257  sqreulem  15322  gcddiv  16520  divgcdcoprm0  16634  hashgcdlem  16758  sylow2blem3  19597  cnflddiv  21382  cnsubrg  21407  i1fmullem  25661  mbfi1fseqlem3  25684  mbfi1fseqlem6  25687  dvsincos  25948  ftc1lem4  26006  vieta1lem2  26277  aaliou3lem9  26316  root1eq1  26719  nnlogbexp  26745  relogbcxp  26749  lawcoslem1  26779  chordthmlem2  26797  chordthmlem4  26799  dcubic1lem  26807  dcubic2  26808  dquartlem1  26815  efiatan2  26881  tanatan  26883  regamcl  27024  basellem3  27046  bclbnd  27243  gausslemma2dlem3  27331  2lgslem1a2  27353  2lgslem3b  27360  2lgslem3c  27361  2lgslem3d  27362  2sqlem3  27383  vmadivsum  27445  dchrmusum2  27457  dchrmusumlem  27485  vmalogdivsum  27502  selberg3lem1  27520  pntrlog2bndlem4  27543  pntlemb  27560  nrt2irr  30543  normcan  31647  constrrtcc  33879  constrreinvcl  33916  dya2icoseg  34421  bayesth  34583  signsplypnf  34694  divsqrtid  34738  bj-bary1lem  37624  ftc1cnnclem  38012  dvasin  38025  3lexlogpow2ineq2  42498  2np3bcnp1  42583  unitscyglem2  42635  cxp112d  42773  fltnlta  43096  3cubeslem4  43121  pellexlem2  43258  pellexlem6  43262  proot1ex  43624  divcan8d  45745  wallispilem5  46497  stirlinglem3  46504  stirlinglem4  46505  stirlinglem15  46516  dirkertrigeqlem1  46526  dirkertrigeqlem2  46527  dirkertrigeqlem3  46528  dirkercncflem4  46534  fourierdlem6  46541  fourierdlem19  46554  fourierdlem26  46561  fourierdlem39  46574  fourierdlem42  46577  fourierdlem63  46597  fourierdlem65  46599  fourierdlem89  46623  fourierdlem90  46624  fourierdlem91  46625  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  ppivalnnprm  48088  ppivalnnnprmge6  48089  2zrngnmlid  48731  1subrec1sub  49181  mvlrmuld  50251