Theorem divcan4d 12076

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11976	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12126  ldiv  12128  mulge0b  12165  ltmuldiv  12168  rimul  12284  mul2lt0rlt0  13159  mulmod0  13928  2txmodxeq0  13982  expaddzlem  14156  mulsubdivbinom2  14311  facdiv  14336  permnn  14375  cjdiv  15213  sqrtdiv  15314  absdiv  15344  sqreulem  15408  gcddiv  16598  divgcdcoprm0  16712  hashgcdlem  16835  sylow2blem3  19664  cnflddiv  21436  cnflddivOLD  21437  cnsubrg  21468  i1fmullem  25748  mbfi1fseqlem3  25772  mbfi1fseqlem6  25775  dvsincos  26039  ftc1lem4  26100  vieta1lem2  26371  aaliou3lem9  26410  root1eq1  26816  nnlogbexp  26842  relogbcxp  26846  lawcoslem1  26876  chordthmlem2  26894  chordthmlem4  26896  dcubic1lem  26904  dcubic2  26905  dquartlem1  26912  efiatan2  26978  tanatan  26980  regamcl  27122  basellem3  27144  bclbnd  27342  gausslemma2dlem3  27430  2lgslem1a2  27452  2lgslem3b  27459  2lgslem3c  27460  2lgslem3d  27461  2sqlem3  27482  vmadivsum  27544  dchrmusum2  27556  dchrmusumlem  27584  vmalogdivsum  27601  selberg3lem1  27619  pntrlog2bndlem4  27642  pntlemb  27659  nrt2irr  30505  normcan  31608  constrrtcc  33726  dya2icoseg  34242  bayesth  34404  signsplypnf  34527  divsqrtid  34571  bj-bary1lem  37276  ftc1cnnclem  37651  dvasin  37664  3lexlogpow2ineq2  42016  2np3bcnp1  42101  unitscyglem2  42153  itrere  42307  cxp112d  42329  fltnlta  42618  3cubeslem4  42645  pellexlem2  42786  pellexlem6  42790  proot1ex  43157  divcan8d  45227  wallispilem5  45990  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem15  46009  dirkertrigeqlem1  46019  dirkertrigeqlem2  46020  dirkertrigeqlem3  46021  dirkercncflem4  46027  fourierdlem6  46034  fourierdlem19  46047  fourierdlem26  46054  fourierdlem39  46067  fourierdlem42  46070  fourierdlem63  46090  fourierdlem65  46092  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  2zrngnmlid  47978  1subrec1sub  48439  mvlrmuld  48870