Theorem divcan4d 11996

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11899	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   · cmul 11115   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12046  ldiv  12048  mulge0b  12084  ltmuldiv  12087  rimul  12203  mul2lt0rlt0  13076  mulmod0  13842  2txmodxeq0  13896  expaddzlem  14071  mulsubdivbinom2  14222  facdiv  14247  permnn  14286  cjdiv  15111  sqrtdiv  15212  absdiv  15242  sqreulem  15306  gcddiv  16493  divgcdcoprm0  16602  hashgcdlem  16721  sylow2blem3  19490  cnflddiv  20975  cnsubrg  21005  i1fmullem  25211  mbfi1fseqlem3  25235  mbfi1fseqlem6  25238  dvsincos  25498  ftc1lem4  25556  vieta1lem2  25824  aaliou3lem9  25863  root1eq1  26263  nnlogbexp  26286  relogbcxp  26290  lawcoslem1  26320  chordthmlem2  26338  chordthmlem4  26340  dcubic1lem  26348  dcubic2  26349  dquartlem1  26356  efiatan2  26422  tanatan  26424  regamcl  26565  basellem3  26587  bclbnd  26783  gausslemma2dlem3  26871  2lgslem1a2  26893  2lgslem3b  26900  2lgslem3c  26901  2lgslem3d  26902  2sqlem3  26923  vmadivsum  26985  dchrmusum2  26997  dchrmusumlem  27025  vmalogdivsum  27042  selberg3lem1  27060  pntrlog2bndlem4  27083  pntlemb  27100  nrt2irr  29726  normcan  30829  dya2icoseg  33276  bayesth  33438  signsplypnf  33561  divsqrtid  33606  bj-bary1lem  36191  ftc1cnnclem  36559  dvasin  36572  3lexlogpow2ineq2  40924  2np3bcnp1  40960  fltnlta  41405  3cubeslem4  41427  pellexlem2  41568  pellexlem6  41572  proot1ex  41943  divcan8d  44022  wallispilem5  44785  stirlinglem3  44792  stirlinglem4  44793  stirlinglem15  44804  dirkertrigeqlem1  44814  dirkertrigeqlem2  44815  dirkertrigeqlem3  44816  dirkercncflem4  44822  fourierdlem6  44829  fourierdlem19  44842  fourierdlem26  44849  fourierdlem39  44862  fourierdlem42  44865  fourierdlem63  44885  fourierdlem65  44887  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  2zrngnmlid  46847  1subrec1sub  47391  mvlrmuld  47823