Theorem divcan4d 12015

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11917	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   · cmul 11123   / cdiv 11889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890

This theorem is used by:  mvllmuld  12065  ldiv  12067  mulge0b  12103  ltmuldiv  12106  rimul  12227  mul2lt0rlt0  13138  mulmod0  13930  2txmodxeq0  13987  expaddzlem  14161  mulsubdivbinom2  14318  facdiv  14343  permnn  14382  cjdiv  15241  sqrtdiv  15342  absdiv  15372  sqreulem  15437  gcddiv  16634  divgcdcoprm0  16748  hashgcdlem  16872  sylow2blem3  19723  cnflddiv  21589  cnsubrg  21614  i1fmullem  25890  mbfi1fseqlem3  25913  mbfi1fseqlem6  25916  dvsincos  26177  ftc1lem4  26235  vieta1lem2  26509  aaliou3lem9  26550  root1eq1  26957  nnlogbexp  26983  relogbcxp  26987  lawcoslem1  27017  chordthmlem2  27035  chordthmlem4  27037  dcubic1lem  27045  dcubic2  27046  dquartlem1  27053  efiatan2  27119  tanatan  27121  regamcl  27262  basellem3  27284  bclbnd  27481  gausslemma2dlem3  27569  2lgslem1a2  27591  2lgslem3b  27598  2lgslem3c  27599  2lgslem3d  27600  2sqlem3  27621  vmadivsum  27683  dchrmusum2  27695  dchrmusumlem  27723  vmalogdivsum  27740  selberg3lem1  27758  pntrlog2bndlem4  27781  pntlemb  27798  nrt2irr  30861  normcan  31965  constrrtcc  34156  constrreinvcl  34193  dya2icoseg  34699  bayesth  34861  signsplypnf  34969  divsqrtid  35013  bj-bary1lem  37995  ftc1cnnclem  38383  dvasin  38396  3lexlogpow2ineq2  42867  2np3bcnp1  42952  unitscyglem2  43004  cxp112d  43143  fltnlta  43436  3cubeslem4  43461  pellexlem2  43598  pellexlem6  43602  proot1ex  43964  divcan8d  46072  wallispilem5  46824  stirlinglem3  46831  stirlinglem4  46832  stirlinglem15  46843  dirkertrigeqlem1  46853  dirkertrigeqlem2  46854  dirkertrigeqlem3  46855  dirkercncflem4  46861  fourierdlem6  46868  fourierdlem19  46881  fourierdlem26  46888  fourierdlem39  46901  fourierdlem42  46904  fourierdlem63  46924  fourierdlem65  46926  fourierdlem89  46950  fourierdlem90  46951  fourierdlem91  46952  fourierdlem103  46964  fourierdlem104  46965  ppivalnnprm  48418  ppivalnnnprmge6  48419  2zrngnmlid  49061  1subrec1sub  49526  mvlrmuld  50595