Theorem divcan4d 11964

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12014  ldiv  12016  mulge0b  12053  ltmuldiv  12056  rimul  12177  mul2lt0rlt0  13055  mulmod0  13839  2txmodxeq0  13896  expaddzlem  14070  mulsubdivbinom2  14227  facdiv  14252  permnn  14291  cjdiv  15130  sqrtdiv  15231  absdiv  15261  sqreulem  15326  gcddiv  16521  divgcdcoprm0  16635  hashgcdlem  16758  sylow2blem3  19552  cnflddiv  21312  cnflddivOLD  21313  cnsubrg  21344  i1fmullem  25595  mbfi1fseqlem3  25618  mbfi1fseqlem6  25621  dvsincos  25885  ftc1lem4  25946  vieta1lem2  26219  aaliou3lem9  26258  root1eq1  26665  nnlogbexp  26691  relogbcxp  26695  lawcoslem1  26725  chordthmlem2  26743  chordthmlem4  26745  dcubic1lem  26753  dcubic2  26754  dquartlem1  26761  efiatan2  26827  tanatan  26829  regamcl  26971  basellem3  26993  bclbnd  27191  gausslemma2dlem3  27279  2lgslem1a2  27301  2lgslem3b  27308  2lgslem3c  27309  2lgslem3d  27310  2sqlem3  27331  vmadivsum  27393  dchrmusum2  27405  dchrmusumlem  27433  vmalogdivsum  27450  selberg3lem1  27468  pntrlog2bndlem4  27491  pntlemb  27508  nrt2irr  30402  normcan  31505  constrrtcc  33725  constrreinvcl  33762  dya2icoseg  34268  bayesth  34430  signsplypnf  34541  divsqrtid  34585  bj-bary1lem  37298  ftc1cnnclem  37685  dvasin  37698  3lexlogpow2ineq2  42047  2np3bcnp1  42132  unitscyglem2  42184  cxp112d  42329  fltnlta  42651  3cubeslem4  42677  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  proot1ex  43185  divcan8d  45310  wallispilem5  46067  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem15  46086  dirkertrigeqlem1  46096  dirkertrigeqlem2  46097  dirkertrigeqlem3  46098  dirkercncflem4  46104  fourierdlem6  46111  fourierdlem19  46124  fourierdlem26  46131  fourierdlem39  46144  fourierdlem42  46147  fourierdlem63  46167  fourierdlem65  46169  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  2zrngnmlid  48243  1subrec1sub  48694  mvlrmuld  49765