Theorem divcan4d 11988

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11887	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   · cmul 11093   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12038  ldiv  12040  mulge0b  12076  ltmuldiv  12079  rimul  12200  mul2lt0rlt0  13111  mulmod0  13901  2txmodxeq0  13958  expaddzlem  14132  mulsubdivbinom2  14289  facdiv  14314  permnn  14353  cjdiv  15205  sqrtdiv  15306  absdiv  15336  sqreulem  15401  gcddiv  16599  divgcdcoprm0  16713  hashgcdlem  16837  sylow2blem3  19683  cnflddiv  21512  cnsubrg  21537  i1fmullem  25814  mbfi1fseqlem3  25837  mbfi1fseqlem6  25840  dvsincos  26101  ftc1lem4  26159  vieta1lem2  26433  aaliou3lem9  26472  root1eq1  26878  nnlogbexp  26904  relogbcxp  26908  lawcoslem1  26938  chordthmlem2  26956  chordthmlem4  26958  dcubic1lem  26966  dcubic2  26967  dquartlem1  26974  efiatan2  27040  tanatan  27042  regamcl  27183  basellem3  27205  bclbnd  27402  gausslemma2dlem3  27490  2lgslem1a2  27512  2lgslem3b  27519  2lgslem3c  27520  2lgslem3d  27521  2sqlem3  27542  vmadivsum  27604  dchrmusum2  27616  dchrmusumlem  27644  vmalogdivsum  27661  selberg3lem1  27679  pntrlog2bndlem4  27702  pntlemb  27719  nrt2irr  30733  normcan  31837  constrrtcc  34042  constrreinvcl  34079  dya2icoseg  34584  bayesth  34746  signsplypnf  34854  divsqrtid  34898  bj-bary1lem  37814  ftc1cnnclem  38202  dvasin  38215  3lexlogpow2ineq2  42688  2np3bcnp1  42773  unitscyglem2  42825  cxp112d  42962  fltnlta  43257  3cubeslem4  43282  pellexlem2  43419  pellexlem6  43423  proot1ex  43785  divcan8d  45889  wallispilem5  46641  stirlinglem3  46648  stirlinglem4  46649  stirlinglem15  46660  dirkertrigeqlem1  46670  dirkertrigeqlem2  46671  dirkertrigeqlem3  46672  dirkercncflem4  46678  fourierdlem6  46685  fourierdlem19  46698  fourierdlem26  46705  fourierdlem39  46718  fourierdlem42  46721  fourierdlem63  46741  fourierdlem65  46743  fourierdlem89  46767  fourierdlem90  46768  fourierdlem91  46769  fourierdlem103  46781  fourierdlem104  46782  ppivalnnprm  48232  ppivalnnnprmge6  48233  2zrngnmlid  48875  1subrec1sub  49336  mvlrmuld  50405