Theorem divcan4d 11971

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11871	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12021  ldiv  12023  mulge0b  12060  ltmuldiv  12063  rimul  12184  mul2lt0rlt0  13062  mulmod0  13846  2txmodxeq0  13903  expaddzlem  14077  mulsubdivbinom2  14234  facdiv  14259  permnn  14298  cjdiv  15137  sqrtdiv  15238  absdiv  15268  sqreulem  15333  gcddiv  16528  divgcdcoprm0  16642  hashgcdlem  16765  sylow2blem3  19559  cnflddiv  21319  cnflddivOLD  21320  cnsubrg  21351  i1fmullem  25602  mbfi1fseqlem3  25625  mbfi1fseqlem6  25628  dvsincos  25892  ftc1lem4  25953  vieta1lem2  26226  aaliou3lem9  26265  root1eq1  26672  nnlogbexp  26698  relogbcxp  26702  lawcoslem1  26732  chordthmlem2  26750  chordthmlem4  26752  dcubic1lem  26760  dcubic2  26761  dquartlem1  26768  efiatan2  26834  tanatan  26836  regamcl  26978  basellem3  27000  bclbnd  27198  gausslemma2dlem3  27286  2lgslem1a2  27308  2lgslem3b  27315  2lgslem3c  27316  2lgslem3d  27317  2sqlem3  27338  vmadivsum  27400  dchrmusum2  27412  dchrmusumlem  27440  vmalogdivsum  27457  selberg3lem1  27475  pntrlog2bndlem4  27498  pntlemb  27515  nrt2irr  30409  normcan  31512  constrrtcc  33732  constrreinvcl  33769  dya2icoseg  34275  bayesth  34437  signsplypnf  34548  divsqrtid  34592  bj-bary1lem  37305  ftc1cnnclem  37692  dvasin  37705  3lexlogpow2ineq2  42054  2np3bcnp1  42139  unitscyglem2  42191  cxp112d  42336  fltnlta  42658  3cubeslem4  42684  pellexlem2  42825  pellexlem6  42829  proot1ex  43192  divcan8d  45317  wallispilem5  46074  stirlinglem3  46081  stirlinglem4  46082  stirlinglem15  46093  dirkertrigeqlem1  46103  dirkertrigeqlem2  46104  dirkertrigeqlem3  46105  dirkercncflem4  46111  fourierdlem6  46118  fourierdlem19  46131  fourierdlem26  46138  fourierdlem39  46151  fourierdlem42  46154  fourierdlem63  46174  fourierdlem65  46176  fourierdlem89  46200  fourierdlem90  46201  fourierdlem91  46202  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  2zrngnmlid  48247  1subrec1sub  48698  mvlrmuld  49769