Theorem divcan4d 11998

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11901	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   · cmul 11117   / cdiv 11873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12048  ldiv  12050  mulge0b  12086  ltmuldiv  12089  rimul  12205  mul2lt0rlt0  13078  mulmod0  13844  2txmodxeq0  13898  expaddzlem  14073  mulsubdivbinom2  14224  facdiv  14249  permnn  14288  cjdiv  15113  sqrtdiv  15214  absdiv  15244  sqreulem  15308  gcddiv  16495  divgcdcoprm0  16604  hashgcdlem  16723  sylow2blem3  19492  cnflddiv  20981  cnsubrg  21011  i1fmullem  25218  mbfi1fseqlem3  25242  mbfi1fseqlem6  25245  dvsincos  25505  ftc1lem4  25563  vieta1lem2  25831  aaliou3lem9  25870  root1eq1  26270  nnlogbexp  26293  relogbcxp  26297  lawcoslem1  26327  chordthmlem2  26345  chordthmlem4  26347  dcubic1lem  26355  dcubic2  26356  dquartlem1  26363  efiatan2  26429  tanatan  26431  regamcl  26572  basellem3  26594  bclbnd  26790  gausslemma2dlem3  26878  2lgslem1a2  26900  2lgslem3b  26907  2lgslem3c  26908  2lgslem3d  26909  2sqlem3  26930  vmadivsum  26992  dchrmusum2  27004  dchrmusumlem  27032  vmalogdivsum  27049  selberg3lem1  27067  pntrlog2bndlem4  27090  pntlemb  27107  nrt2irr  29764  normcan  30867  dya2icoseg  33345  bayesth  33507  signsplypnf  33630  divsqrtid  33675  bj-bary1lem  36277  ftc1cnnclem  36645  dvasin  36658  3lexlogpow2ineq2  41010  2np3bcnp1  41046  fltnlta  41487  3cubeslem4  41509  pellexlem2  41650  pellexlem6  41654  proot1ex  42025  divcan8d  44101  wallispilem5  44864  stirlinglem3  44871  stirlinglem4  44872  stirlinglem15  44883  dirkertrigeqlem1  44893  dirkertrigeqlem2  44894  dirkertrigeqlem3  44895  dirkercncflem4  44901  fourierdlem6  44908  fourierdlem19  44921  fourierdlem26  44928  fourierdlem39  44941  fourierdlem42  44944  fourierdlem63  44964  fourierdlem65  44966  fourierdlem89  44990  fourierdlem90  44991  fourierdlem91  44992  fourierdlem103  45004  fourierdlem104  45005  2zrngnmlid  46926  1subrec1sub  47469  mvlrmuld  47901