Theorem divcan4d 12126

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 12028	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   · cmul 11232   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  mvllmuld  12176  ldiv  12178  mulge0b  12214  ltmuldiv  12217  rimul  12338  mul2lt0rlt0  13251  mulmod0  14044  2txmodxeq0  14101  expaddzlem  14275  mulsubdivbinom2  14433  facdiv  14458  permnn  14497  cjdiv  15360  sqrtdiv  15461  absdiv  15491  sqreulem  15556  gcddiv  16753  divgcdcoprm0  16869  hashgcdlem  16994  sylow2blem3  19866  cnflddiv  21738  cnsubrg  21763  i1fmullem  26045  mbfi1fseqlem3  26068  mbfi1fseqlem6  26071  dvsincos  26331  ftc1lem4  26389  vieta1lem2  26664  aaliou3lem9  26707  root1eq1  27113  nnlogbexp  27139  relogbcxp  27143  lawcoslem1  27173  chordthmlem2  27191  chordthmlem4  27193  dcubic1lem  27201  dcubic2  27202  dquartlem1  27209  efiatan2  27275  tanatan  27277  regamcl  27418  basellem3  27440  bclbnd  27637  gausslemma2dlem3  27725  2lgslem1a2  27747  2lgslem3b  27754  2lgslem3c  27755  2lgslem3d  27756  2sqlem3  27777  vmadivsum  27839  dchrmusum2  27851  dchrmusumlem  27879  vmalogdivsum  27896  selberg3lem1  27914  pntrlog2bndlem4  27937  pntlemb  27954  nrt2irr  31104  normcan  32208  constrrtcc  34437  constrreinvcl  34474  dya2icoseg  34979  bayesth  35141  signsplypnf  35249  divsqrtid  35293  bj-bary1lem  38423  ftc1cnnclem  38801  dvasin  38814  3lexlogpow2ineq2  43301  2np3bcnp1  43386  unitscyglem2  43438  cxp112d  43585  fltnlta  43867  3cubeslem4  43892  pellexlem2  44030  pellexlem6  44034  proot1ex  44390  divcan8d  46533  wallispilem5  47284  stirlinglem3  47291  stirlinglem4  47292  stirlinglem15  47303  dirkertrigeqlem1  47313  dirkertrigeqlem2  47314  dirkertrigeqlem3  47315  dirkercncflem4  47321  fourierdlem6  47328  fourierdlem19  47341  fourierdlem26  47348  fourierdlem39  47361  fourierdlem42  47364  fourierdlem63  47384  fourierdlem65  47386  fourierdlem89  47410  fourierdlem90  47411  fourierdlem91  47412  fourierdlem103  47424  fourierdlem104  47425  ppivalnnprm  48915  ppivalnnnprmge6  48916  2zrngnmlid  49557  1subrec1sub  50022  mvlrmuld  51152