Theorem divcan4d 11935

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   · cmul 11041   / cdiv 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11985  ldiv  11987  mulge0b  12024  ltmuldiv  12027  rimul  12148  mul2lt0rlt0  13044  mulmod0  13834  2txmodxeq0  13891  expaddzlem  14065  mulsubdivbinom2  14222  facdiv  14247  permnn  14286  cjdiv  15124  sqrtdiv  15225  absdiv  15255  sqreulem  15320  gcddiv  16518  divgcdcoprm0  16632  hashgcdlem  16756  sylow2blem3  19595  cnflddiv  21384  cnsubrg  21409  i1fmullem  25686  mbfi1fseqlem3  25709  mbfi1fseqlem6  25712  dvsincos  25973  ftc1lem4  26031  vieta1lem2  26302  aaliou3lem9  26341  root1eq1  26744  nnlogbexp  26770  relogbcxp  26774  lawcoslem1  26804  chordthmlem2  26822  chordthmlem4  26824  dcubic1lem  26832  dcubic2  26833  dquartlem1  26840  efiatan2  26906  tanatan  26908  regamcl  27049  basellem3  27071  bclbnd  27268  gausslemma2dlem3  27356  2lgslem1a2  27378  2lgslem3b  27385  2lgslem3c  27386  2lgslem3d  27387  2sqlem3  27408  vmadivsum  27470  dchrmusum2  27482  dchrmusumlem  27510  vmalogdivsum  27527  selberg3lem1  27545  pntrlog2bndlem4  27568  pntlemb  27585  nrt2irr  30568  normcan  31672  constrrtcc  33926  constrreinvcl  33963  dya2icoseg  34468  bayesth  34630  signsplypnf  34741  divsqrtid  34785  bj-bary1lem  37677  ftc1cnnclem  38065  dvasin  38078  3lexlogpow2ineq2  42551  2np3bcnp1  42636  unitscyglem2  42688  cxp112d  42825  fltnlta  43120  3cubeslem4  43145  pellexlem2  43282  pellexlem6  43286  proot1ex  43648  divcan8d  45767  wallispilem5  46519  stirlinglem3  46526  stirlinglem4  46527  stirlinglem15  46538  dirkertrigeqlem1  46548  dirkertrigeqlem2  46549  dirkertrigeqlem3  46550  dirkercncflem4  46556  fourierdlem6  46563  fourierdlem19  46576  fourierdlem26  46583  fourierdlem39  46596  fourierdlem42  46599  fourierdlem63  46619  fourierdlem65  46621  fourierdlem89  46645  fourierdlem90  46646  fourierdlem91  46647  fourierdlem103  46659  fourierdlem104  46660  ppivalnnprm  48110  ppivalnnnprmge6  48111  2zrngnmlid  48753  1subrec1sub  49203  mvlrmuld  50273