Theorem divcan4d 12046

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11946	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12096  ldiv  12098  mulge0b  12135  ltmuldiv  12138  rimul  12254  mul2lt0rlt0  13134  mulmod0  13913  2txmodxeq0  13968  expaddzlem  14142  mulsubdivbinom2  14297  facdiv  14322  permnn  14361  cjdiv  15199  sqrtdiv  15300  absdiv  15330  sqreulem  15394  gcddiv  16584  divgcdcoprm0  16698  hashgcdlem  16821  sylow2blem3  19654  cnflddiv  21430  cnflddivOLD  21431  cnsubrg  21462  i1fmullem  25742  mbfi1fseqlem3  25766  mbfi1fseqlem6  25769  dvsincos  26033  ftc1lem4  26094  vieta1lem2  26367  aaliou3lem9  26406  root1eq1  26812  nnlogbexp  26838  relogbcxp  26842  lawcoslem1  26872  chordthmlem2  26890  chordthmlem4  26892  dcubic1lem  26900  dcubic2  26901  dquartlem1  26908  efiatan2  26974  tanatan  26976  regamcl  27118  basellem3  27140  bclbnd  27338  gausslemma2dlem3  27426  2lgslem1a2  27448  2lgslem3b  27455  2lgslem3c  27456  2lgslem3d  27457  2sqlem3  27478  vmadivsum  27540  dchrmusum2  27552  dchrmusumlem  27580  vmalogdivsum  27597  selberg3lem1  27615  pntrlog2bndlem4  27638  pntlemb  27655  nrt2irr  30501  normcan  31604  constrrtcc  33740  dya2icoseg  34258  bayesth  34420  signsplypnf  34543  divsqrtid  34587  bj-bary1lem  37292  ftc1cnnclem  37677  dvasin  37690  3lexlogpow2ineq2  42040  2np3bcnp1  42125  unitscyglem2  42177  itrere  42331  cxp112d  42355  fltnlta  42649  3cubeslem4  42676  pellexlem2  42817  pellexlem6  42821  proot1ex  43184  divcan8d  45262  wallispilem5  46024  stirlinglem3  46031  stirlinglem4  46032  stirlinglem15  46043  dirkertrigeqlem1  46053  dirkertrigeqlem2  46054  dirkertrigeqlem3  46055  dirkercncflem4  46061  fourierdlem6  46068  fourierdlem19  46081  fourierdlem26  46088  fourierdlem39  46101  fourierdlem42  46104  fourierdlem63  46124  fourierdlem65  46126  fourierdlem89  46150  fourierdlem90  46151  fourierdlem91  46152  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  2zrngnmlid  48098  1subrec1sub  48554  mvlrmuld  49006