Theorem divcan4d 11923

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11823	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031   / cdiv 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11973  ldiv  11975  mulge0b  12012  ltmuldiv  12015  rimul  12136  mul2lt0rlt0  13009  mulmod0  13797  2txmodxeq0  13854  expaddzlem  14028  mulsubdivbinom2  14185  facdiv  14210  permnn  14249  cjdiv  15087  sqrtdiv  15188  absdiv  15218  sqreulem  15283  gcddiv  16478  divgcdcoprm0  16592  hashgcdlem  16715  sylow2blem3  19551  cnflddiv  21355  cnflddivOLD  21356  cnsubrg  21382  i1fmullem  25651  mbfi1fseqlem3  25674  mbfi1fseqlem6  25677  dvsincos  25941  ftc1lem4  26002  vieta1lem2  26275  aaliou3lem9  26314  root1eq1  26721  nnlogbexp  26747  relogbcxp  26751  lawcoslem1  26781  chordthmlem2  26799  chordthmlem4  26801  dcubic1lem  26809  dcubic2  26810  dquartlem1  26817  efiatan2  26883  tanatan  26885  regamcl  27027  basellem3  27049  bclbnd  27247  gausslemma2dlem3  27335  2lgslem1a2  27357  2lgslem3b  27364  2lgslem3c  27365  2lgslem3d  27366  2sqlem3  27387  vmadivsum  27449  dchrmusum2  27461  dchrmusumlem  27489  vmalogdivsum  27506  selberg3lem1  27524  pntrlog2bndlem4  27547  pntlemb  27564  nrt2irr  30548  normcan  31651  constrrtcc  33892  constrreinvcl  33929  dya2icoseg  34434  bayesth  34596  signsplypnf  34707  divsqrtid  34751  bj-bary1lem  37511  ftc1cnnclem  37888  dvasin  37901  3lexlogpow2ineq2  42309  2np3bcnp1  42394  unitscyglem2  42446  cxp112d  42592  fltnlta  42902  3cubeslem4  42927  pellexlem2  43068  pellexlem6  43072  proot1ex  43434  divcan8d  45556  wallispilem5  46309  stirlinglem3  46316  stirlinglem4  46317  stirlinglem15  46328  dirkertrigeqlem1  46338  dirkertrigeqlem2  46339  dirkertrigeqlem3  46340  dirkercncflem4  46346  fourierdlem6  46353  fourierdlem19  46366  fourierdlem26  46373  fourierdlem39  46386  fourierdlem42  46389  fourierdlem63  46409  fourierdlem65  46411  fourierdlem89  46435  fourierdlem90  46436  fourierdlem91  46437  fourierdlem103  46449  fourierdlem104  46450  2zrngnmlid  48497  1subrec1sub  48947  mvlrmuld  50017