Theorem divcan4d 11133

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11037	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1494	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252   · cmul 10257   / cdiv 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11183  ldiv  11185  mulge0b  11223  ltmuldiv  11226  rimul  11341  mul2lt0rlt0  12216  mulmod0  12971  2txmodxeq0  13025  expaddzlem  13197  mulsubdivbinom2  13342  facdiv  13367  permnn  13406  cjdiv  14281  sqrtdiv  14383  absdiv  14412  sqreulem  14476  gcddiv  15641  divgcdcoprm0  15751  hashgcdlem  15864  sylow2blem3  18388  cnflddiv  20136  cnsubrg  20166  i1fmullem  23860  mbfi1fseqlem3  23883  mbfi1fseqlem6  23886  dvsincos  24143  ftc1lem4  24201  vieta1lem2  24465  aaliou3lem9  24504  root1eq1  24898  nnlogbexp  24921  relogbcxp  24925  lawcoslem1  24955  chordthmlem2  24973  chordthmlem4  24975  dcubic1lem  24983  dcubic2  24984  dquartlem1  24991  efiatan2  25057  tanatan  25059  regamcl  25200  basellem3  25222  bclbnd  25418  gausslemma2dlem3  25506  2lgslem1a2  25528  2lgslem3b  25535  2lgslem3c  25536  2lgslem3d  25537  2sqlem3  25558  vmadivsum  25584  dchrmusum2  25596  dchrmusumlem  25624  vmalogdivsum  25641  selberg3lem1  25659  pntrlog2bndlem4  25682  pntlemb  25699  normcan  28979  dya2icoseg  30873  bayesth  31036  signsplypnf  31163  divsqrtid  31210  bj-bary1lem  33701  ftc1cnnclem  34019  dvasin  34032  pellexlem2  38231  pellexlem6  38235  proot1ex  38615  divcan8d  40317  wallispilem5  41073  stirlinglem3  41080  stirlinglem4  41081  stirlinglem15  41092  dirkertrigeqlem1  41102  dirkertrigeqlem2  41103  dirkertrigeqlem3  41104  dirkercncflem4  41110  fourierdlem6  41117  fourierdlem19  41130  fourierdlem26  41137  fourierdlem39  41150  fourierdlem42  41153  fourierdlem63  41173  fourierdlem65  41175  fourierdlem89  41199  fourierdlem90  41200  fourierdlem91  41201  fourierdlem103  41213  fourierdlem104  41214  2zrngnmlid  42789  1subrec1sub  43267  mvlrmuld  43411