Theorem divcan4d 12034

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11937	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146   · cmul 11151   / cdiv 11909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910

This theorem is referenced by:  mvllmuld  12084  ldiv  12086  mulge0b  12122  ltmuldiv  12125  rimul  12241  mul2lt0rlt0  13116  mulmod0  13882  2txmodxeq0  13936  expaddzlem  14110  mulsubdivbinom2  14261  facdiv  14286  permnn  14325  cjdiv  15151  sqrtdiv  15252  absdiv  15282  sqreulem  15346  gcddiv  16534  divgcdcoprm0  16643  hashgcdlem  16764  sylow2blem3  19584  cnflddiv  21335  cnflddivOLD  21336  cnsubrg  21367  i1fmullem  25643  mbfi1fseqlem3  25667  mbfi1fseqlem6  25670  dvsincos  25933  ftc1lem4  25994  vieta1lem2  26266  aaliou3lem9  26305  root1eq1  26710  nnlogbexp  26733  relogbcxp  26737  lawcoslem1  26767  chordthmlem2  26785  chordthmlem4  26787  dcubic1lem  26795  dcubic2  26796  dquartlem1  26803  efiatan2  26869  tanatan  26871  regamcl  27013  basellem3  27035  bclbnd  27233  gausslemma2dlem3  27321  2lgslem1a2  27343  2lgslem3b  27350  2lgslem3c  27351  2lgslem3d  27352  2sqlem3  27373  vmadivsum  27435  dchrmusum2  27447  dchrmusumlem  27475  vmalogdivsum  27492  selberg3lem1  27510  pntrlog2bndlem4  27533  pntlemb  27550  nrt2irr  30303  normcan  31406  dya2icoseg  33930  bayesth  34092  signsplypnf  34215  divsqrtid  34259  bj-bary1lem  36822  ftc1cnnclem  37197  dvasin  37210  3lexlogpow2ineq2  41562  2np3bcnp1  41648  itrere  41910  cxp112d  41943  fltnlta  42118  3cubeslem4  42140  pellexlem2  42281  pellexlem6  42285  proot1ex  42655  divcan8d  44723  wallispilem5  45486  stirlinglem3  45493  stirlinglem4  45494  stirlinglem15  45505  dirkertrigeqlem1  45515  dirkertrigeqlem2  45516  dirkertrigeqlem3  45517  dirkercncflem4  45523  fourierdlem6  45530  fourierdlem19  45543  fourierdlem26  45550  fourierdlem39  45563  fourierdlem42  45566  fourierdlem63  45586  fourierdlem65  45588  fourierdlem89  45612  fourierdlem90  45613  fourierdlem91  45614  fourierdlem103  45626  fourierdlem104  45627  2zrngnmlid  47395  1subrec1sub  47856  mvlrmuld  48287