Theorem divcan4d 12080

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181   · cmul 11186   / cdiv 11954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by:  mvllmuld  12130  ldiv  12132  mulge0b  12168  ltmuldiv  12171  rimul  12292  mul2lt0rlt0  13205  mulmod0  13997  2txmodxeq0  14054  expaddzlem  14228  mulsubdivbinom2  14386  facdiv  14411  permnn  14450  cjdiv  15311  sqrtdiv  15412  absdiv  15442  sqreulem  15507  gcddiv  16704  divgcdcoprm0  16820  hashgcdlem  16945  sylow2blem3  19816  cnflddiv  21688  cnsubrg  21713  i1fmullem  25995  mbfi1fseqlem3  26018  mbfi1fseqlem6  26021  dvsincos  26281  ftc1lem4  26339  vieta1lem2  26616  aaliou3lem9  26659  root1eq1  27065  nnlogbexp  27091  relogbcxp  27095  lawcoslem1  27125  chordthmlem2  27143  chordthmlem4  27145  dcubic1lem  27153  dcubic2  27154  dquartlem1  27161  efiatan2  27227  tanatan  27229  regamcl  27370  basellem3  27392  bclbnd  27589  gausslemma2dlem3  27677  2lgslem1a2  27699  2lgslem3b  27706  2lgslem3c  27707  2lgslem3d  27708  2sqlem3  27729  vmadivsum  27791  dchrmusum2  27803  dchrmusumlem  27831  vmalogdivsum  27848  selberg3lem1  27866  pntrlog2bndlem4  27889  pntlemb  27906  nrt2irr  31056  normcan  32160  constrrtcc  34349  constrreinvcl  34386  dya2icoseg  34892  bayesth  35054  signsplypnf  35162  divsqrtid  35206  bj-bary1lem  38199  ftc1cnnclem  38577  dvasin  38590  3lexlogpow2ineq2  43077  2np3bcnp1  43162  unitscyglem2  43214  cxp112d  43360  fltnlta  43628  3cubeslem4  43653  pellexlem2  43790  pellexlem6  43794  proot1ex  44156  divcan8d  46271  wallispilem5  47023  stirlinglem3  47030  stirlinglem4  47031  stirlinglem15  47042  dirkertrigeqlem1  47052  dirkertrigeqlem2  47053  dirkertrigeqlem3  47054  dirkercncflem4  47060  fourierdlem6  47067  fourierdlem19  47080  fourierdlem26  47087  fourierdlem39  47100  fourierdlem42  47103  fourierdlem63  47123  fourierdlem65  47125  fourierdlem89  47149  fourierdlem90  47150  fourierdlem91  47151  fourierdlem103  47163  fourierdlem104  47164  ppivalnnprm  48654  ppivalnnnprmge6  48655  2zrngnmlid  49296  1subrec1sub  49761  mvlrmuld  50816