Theorem dividd 12023

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137  1c1 11138   / cdiv 11902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903

This theorem is referenced by:  nndivtr  12295  divge1  13085  xov1plusxeqvd  13520  quoremz  13877  quoremnn0ALT  13879  intfracq  13881  fldiv  13882  modid0  13919  bcn0  14331  abs1m  15356  georeclim  15890  efaddlem  16111  sqgcd  16581  expgcd  16582  prmind2  16704  divgcdodd  16729  divnumden  16767  hashgcdlem  16807  pythagtriplem19  16853  pc2dvds  16899  fldivp1  16917  abv1z  20793  dveflem  25953  dvlip  25968  elqaalem2  26298  aareccl  26304  cos02pilt1  26504  efeq1  26506  eff1olem  26526  eflogeq  26580  tanarg  26597  logcnlem4  26623  cxpaddle  26731  logbid1  26747  isosctrlem3  26799  angpieqvdlem  26807  dcubic2  26823  2efiatan  26897  atantan  26902  birthdaylem2  26931  efrlim  26948  efrlimOLD  26949  jensenlem2  26967  logdifbnd  26973  logdiflbnd  26974  emcllem2  26976  emcllem3  26977  emcllem5  26979  dmgmdivn0  27007  lgamgulmlem2  27009  lgamgulmlem5  27012  lgamcvg2  27034  lgam1  27043  basellem8  27067  vmalogdivsum2  27518  2vmadivsumlem  27520  selberg4lem1  27540  pntrmax  27544  pntrlog2bndlem2  27558  pntrlog2bndlem5  27561  pntibndlem2  27571  pntlem3  27589  brbtwn2  28850  axsegconlem10  28871  axpaschlem  28885  axcontlem8  28916  quad3d  32690  constrdircl  33745  cndprobtot  34397  cvmliftlem11  35259  divcnvlin  35692  iprodgam  35701  faclim2  35707  poimirlem32  37618  dvtan  37636  areacirc  37679  lcmineqlem18  42006  aks4d1p1p7  42034  aks4d1p5  42040  aks6d1c1  42076  expeqidd  42323  irrapxlem5  42800  pellexlem6  42808  pell14qrexpclnn0  42840  reglogbas  42869  imo72b2  44147  binomcxplemrat  44326  divcan8d  45281  mccllem  45569  clim1fr1  45573  coseq0  45836  dvnxpaek  45914  stoweidlem1  45973  stoweidlem11  45983  stoweidlem26  45998  wallispilem5  46041  stirlinglem1  46046  stirlinglem3  46048  stirlinglem4  46049  stirlinglem6  46051  stirlinglem7  46052  stirlinglem10  46055  dirkertrigeqlem3  46072  dirkercncflem1  46075  fourierdlem4  46083  fourierdlem6  46085  fourierdlem26  46105  fourierdlem65  46143  etransclem35  46241  sharhght  46837  eenglngeehlnmlem1  48616  eenglngeehlnmlem2  48617  cotsqcscsq  49289