Theorem dividd 12018

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11931	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   / cdiv 11901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902

This theorem is referenced by:  nndivtr  12289  divge1  13074  xov1plusxeqvd  13507  quoremz  13852  quoremnn0ALT  13854  intfracq  13856  fldiv  13857  modid0  13894  bcn0  14301  abs1m  15314  georeclim  15850  efaddlem  16069  sqgcd  16535  prmind2  16655  divgcdodd  16680  divnumden  16719  hashgcdlem  16756  pythagtriplem19  16801  pc2dvds  16847  fldivp1  16865  abv1z  20716  dveflem  25941  dvlip  25956  elqaalem2  26285  aareccl  26291  cos02pilt1  26490  efeq1  26492  eff1olem  26512  eflogeq  26566  tanarg  26583  logcnlem4  26609  cxpaddle  26717  logbid1  26730  isosctrlem3  26782  angpieqvdlem  26790  dcubic2  26806  2efiatan  26880  atantan  26885  birthdaylem2  26914  efrlim  26931  efrlimOLD  26932  jensenlem2  26950  logdifbnd  26956  logdiflbnd  26957  emcllem2  26959  emcllem3  26960  emcllem5  26962  dmgmdivn0  26990  lgamgulmlem2  26992  lgamgulmlem5  26995  lgamcvg2  27017  lgam1  27026  basellem8  27050  vmalogdivsum2  27501  2vmadivsumlem  27503  selberg4lem1  27523  pntrmax  27527  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem5  27544  pntibndlem2  27554  pntlem3  27572  brbtwn2  28772  axsegconlem10  28793  axpaschlem  28807  axcontlem8  28838  cndprobtot  34126  cvmliftlem11  34975  divcnvlin  35397  iprodgam  35406  faclim2  35412  poimirlem32  37195  dvtan  37213  areacirc  37256  lcmineqlem18  41586  aks4d1p1p7  41614  aks4d1p5  41620  aks6d1c1  41656  expgcd  41959  irrapxlem5  42311  pellexlem6  42319  pell14qrexpclnn0  42351  reglogbas  42380  imo72b2  43667  binomcxplemrat  43852  divcan8d  44757  mccllem  45048  clim1fr1  45052  coseq0  45315  dvnxpaek  45393  stoweidlem1  45452  stoweidlem11  45462  stoweidlem26  45477  wallispilem5  45520  stirlinglem1  45525  stirlinglem3  45527  stirlinglem4  45528  stirlinglem6  45530  stirlinglem7  45531  stirlinglem10  45534  dirkertrigeqlem3  45551  dirkercncflem1  45554  fourierdlem4  45562  fourierdlem6  45564  fourierdlem26  45584  fourierdlem65  45622  etransclem35  45720  sharhght  46316  eenglngeehlnmlem1  47922  eenglngeehlnmlem2  47923  cotsqcscsq  48305