Theorem dividd 12072

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11985	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   / cdiv 11954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by:  nndivtr  12366  divge1  13171  xov1plusxeqvd  13610  quoremz  13975  quoremnn0ALT  13977  intfracq  13979  fldiv  13980  modid0  14017  bcn0  14434  abs1m  15483  georeclim  16021  efaddlem  16239  sqgcd  16716  expgcd  16717  prmind2  16840  divgcdodd  16866  divnumden  16904  hashgcdlem  16945  pythagtriplem19  16991  pc2dvds  17037  fldivp1  17055  abv1z  21061  dveflem  26279  dvlip  26293  elqaalem2  26625  aareccl  26635  cos02pilt1  26836  efeq1  26838  eff1olem  26858  eflogeq  26912  tanarg  26929  logcnlem4  26955  cxpaddle  27062  logbid1  27078  isosctrlem3  27130  angpieqvdlem  27138  dcubic2  27154  2efiatan  27228  atantan  27233  birthdaylem2  27262  efrlim  27279  jensenlem2  27297  logdifbnd  27303  logdiflbnd  27304  emcllem2  27306  emcllem3  27307  emcllem5  27309  dmgmdivn0  27337  lgamgulmlem2  27339  lgamgulmlem5  27342  lgamcvg2  27364  lgam1  27373  basellem8  27397  vmalogdivsum2  27847  2vmadivsumlem  27849  selberg4lem1  27869  pntrmax  27873  pntrlog2bndlem2  27887  pntrlog2bndlem5  27890  pntibndlem2  27900  pntlem3  27918  brbtwn2  29465  axsegconlem10  29486  axpaschlem  29500  axcontlem8  29531  sgnval2  33309  quad3d  33323  constrdircl  34379  cos9thpiminplylem3  34398  cndprobtot  35051  cvmliftlem11  36029  divcnvlin  36467  iprodgam  36476  faclim2  36482  poimirlem32  38538  dvtan  38556  areacirc  38599  lcmineqlem18  43064  aks4d1p1p7  43092  aks4d1p5  43098  aks6d1c1  43134  expeqidd  43350  irrapxlem5  43786  pellexlem6  43794  pell14qrexpclnn0  43826  reglogbas  43855  imo72b2  45131  binomcxplemrat  45293  divcan8d  46271  mccllem  46553  clim1fr1  46557  coseq0  46818  dvnxpaek  46896  stoweidlem1  46955  stoweidlem11  46965  stoweidlem26  46980  wallispilem5  47023  stirlinglem1  47028  stirlinglem3  47030  stirlinglem4  47031  stirlinglem6  47033  stirlinglem7  47034  stirlinglem10  47037  dirkertrigeqlem3  47054  dirkercncflem1  47057  fourierdlem4  47065  fourierdlem6  47067  fourierdlem26  47087  fourierdlem65  47125  etransclem35  47223  sharhght  47819  modlt0b  48383  eenglngeehlnmlem1  49793  eenglngeehlnmlem2  49794  cotsqcscsq  50799