Theorem dividd 12094

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 12007	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   / cdiv 11976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977

This theorem is used by:  nndivtr  12388  divge1  13193  xov1plusxeqvd  13632  quoremz  13998  quoremnn0ALT  14000  intfracq  14002  fldiv  14003  modid0  14040  bcn0  14457  abs1m  15508  georeclim  16046  efaddlem  16264  sqgcd  16741  expgcd  16742  prmind2  16865  divgcdodd  16891  divnumden  16929  hashgcdlem  16970  pythagtriplem19  17016  pc2dvds  17062  fldivp1  17080  abv1z  21086  dveflem  26304  dvlip  26318  elqaalem2  26648  aareccl  26658  cos02pilt1  26859  efeq1  26861  eff1olem  26881  eflogeq  26935  tanarg  26952  logcnlem4  26978  cxpaddle  27085  logbid1  27101  isosctrlem3  27153  angpieqvdlem  27161  dcubic2  27177  2efiatan  27251  atantan  27256  birthdaylem2  27285  efrlim  27302  jensenlem2  27320  logdifbnd  27326  logdiflbnd  27327  emcllem2  27329  emcllem3  27330  emcllem5  27332  dmgmdivn0  27360  lgamgulmlem2  27362  lgamgulmlem5  27365  lgamcvg2  27387  lgam1  27396  basellem8  27420  vmalogdivsum2  27870  2vmadivsumlem  27872  selberg4lem1  27892  pntrmax  27896  pntrlog2bndlem2  27910  pntrlog2bndlem5  27913  pntibndlem2  27923  pntlem3  27941  brbtwn2  29488  axsegconlem10  29509  axpaschlem  29523  axcontlem8  29554  sgnval2  33373  quad3d  33387  constrdircl  34443  cos9thpiminplylem3  34462  cndprobtot  35114  cvmliftlem11  36146  divcnvlin  36590  iprodgam  36599  faclim2  36605  poimirlem32  38663  dvtan  38681  areacirc  38724  lcmineqlem18  43189  aks4d1p1p7  43217  aks4d1p5  43223  aks6d1c1  43259  expeqidd  43475  irrapxlem5  43926  pellexlem6  43934  pell14qrexpclnn0  43966  reglogbas  43995  imo72b2  45265  binomcxplemrat  45427  divcan8d  46421  mccllem  46702  clim1fr1  46706  coseq0  46967  dvnxpaek  47045  stoweidlem1  47104  stoweidlem11  47114  stoweidlem26  47129  wallispilem5  47172  stirlinglem1  47177  stirlinglem3  47179  stirlinglem4  47180  stirlinglem6  47182  stirlinglem7  47183  stirlinglem10  47186  dirkertrigeqlem3  47203  dirkercncflem1  47206  fourierdlem4  47214  fourierdlem6  47216  fourierdlem26  47236  fourierdlem65  47274  etransclem35  47372  sharhght  47968  modlt0b  48532  eenglngeehlnmlem1  49943  eenglngeehlnmlem2  49944  cotsqcscsq  51023