Theorem dividd 11980

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11891	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  nndivtr  12274  divge1  13077  xov1plusxeqvd  13516  quoremz  13879  quoremnn0ALT  13881  intfracq  13883  fldiv  13884  modid0  13921  bcn0  14337  abs1m  15377  georeclim  15916  efaddlem  16137  sqgcd  16610  expgcd  16611  prmind2  16733  divgcdodd  16759  divnumden  16797  hashgcdlem  16837  pythagtriplem19  16883  pc2dvds  16929  fldivp1  16947  abv1z  20896  dveflem  26099  dvlip  26113  elqaalem2  26442  aareccl  26448  cos02pilt1  26649  efeq1  26651  eff1olem  26671  eflogeq  26725  tanarg  26742  logcnlem4  26768  cxpaddle  26875  logbid1  26891  isosctrlem3  26943  angpieqvdlem  26951  dcubic2  26967  2efiatan  27041  atantan  27046  birthdaylem2  27075  efrlim  27092  jensenlem2  27110  logdifbnd  27116  logdiflbnd  27117  emcllem2  27119  emcllem3  27120  emcllem5  27122  dmgmdivn0  27150  lgamgulmlem2  27152  lgamgulmlem5  27155  lgamcvg2  27177  lgam1  27186  basellem8  27210  vmalogdivsum2  27660  2vmadivsumlem  27662  selberg4lem1  27682  pntrmax  27686  pntrlog2bndlem2  27700  pntrlog2bndlem5  27703  pntibndlem2  27713  pntlem3  27731  brbtwn2  29164  axsegconlem10  29185  axpaschlem  29199  axcontlem8  29230  sgnval2  32992  quad3d  33006  constrdircl  34072  cos9thpiminplylem3  34091  cndprobtot  34743  cvmliftlem11  35658  divcnvlin  36096  iprodgam  36105  faclim2  36111  poimirlem32  38163  dvtan  38181  areacirc  38224  lcmineqlem18  42675  aks4d1p1p7  42703  aks4d1p5  42709  aks6d1c1  42745  expeqidd  42946  irrapxlem5  43415  pellexlem6  43423  pell14qrexpclnn0  43455  reglogbas  43484  imo72b2  44760  binomcxplemrat  44924  divcan8d  45889  mccllem  46171  clim1fr1  46175  coseq0  46436  dvnxpaek  46514  stoweidlem1  46573  stoweidlem11  46583  stoweidlem26  46598  wallispilem5  46641  stirlinglem1  46646  stirlinglem3  46648  stirlinglem4  46649  stirlinglem6  46651  stirlinglem7  46652  stirlinglem10  46655  dirkertrigeqlem3  46672  dirkercncflem1  46675  fourierdlem4  46683  fourierdlem6  46685  fourierdlem26  46705  fourierdlem65  46743  etransclem35  46841  sharhght  47437  modlt0b  47961  eenglngeehlnmlem1  49368  eenglngeehlnmlem2  49369  cotsqcscsq  50391