Theorem dividd 11915

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11827	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   / cdiv 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795

This theorem is referenced by:  nndivtr  12192  divge1  12975  xov1plusxeqvd  13414  quoremz  13775  quoremnn0ALT  13777  intfracq  13779  fldiv  13780  modid0  13817  bcn0  14233  abs1m  15259  georeclim  15795  efaddlem  16016  sqgcd  16489  expgcd  16490  prmind2  16612  divgcdodd  16637  divnumden  16675  hashgcdlem  16715  pythagtriplem19  16761  pc2dvds  16807  fldivp1  16825  abv1z  20757  dveflem  25939  dvlip  25954  elqaalem2  26284  aareccl  26290  cos02pilt1  26491  efeq1  26493  eff1olem  26513  eflogeq  26567  tanarg  26584  logcnlem4  26610  cxpaddle  26718  logbid1  26734  isosctrlem3  26786  angpieqvdlem  26794  dcubic2  26810  2efiatan  26884  atantan  26889  birthdaylem2  26918  efrlim  26935  efrlimOLD  26936  jensenlem2  26954  logdifbnd  26960  logdiflbnd  26961  emcllem2  26963  emcllem3  26964  emcllem5  26966  dmgmdivn0  26994  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem5  26999  lgamcvg2  27021  lgam1  27030  basellem8  27054  vmalogdivsum2  27505  2vmadivsumlem  27507  selberg4lem1  27527  pntrmax  27531  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem5  27548  pntibndlem2  27558  pntlem3  27576  brbtwn2  28978  axsegconlem10  28999  axpaschlem  29013  axcontlem8  29044  sgnval2  32814  quad3d  32829  constrdircl  33922  cos9thpiminplylem3  33941  cndprobtot  34593  cvmliftlem11  35489  divcnvlin  35927  iprodgam  35936  faclim2  35942  poimirlem32  37849  dvtan  37867  areacirc  37910  lcmineqlem18  42296  aks4d1p1p7  42324  aks4d1p5  42330  aks6d1c1  42366  expeqidd  42576  irrapxlem5  43064  pellexlem6  43072  pell14qrexpclnn0  43104  reglogbas  43133  imo72b2  44409  binomcxplemrat  44587  divcan8d  45556  mccllem  45839  clim1fr1  45843  coseq0  46104  dvnxpaek  46182  stoweidlem1  46241  stoweidlem11  46251  stoweidlem26  46266  wallispilem5  46309  stirlinglem1  46314  stirlinglem3  46316  stirlinglem4  46317  stirlinglem6  46319  stirlinglem7  46320  stirlinglem10  46323  dirkertrigeqlem3  46340  dirkercncflem1  46343  fourierdlem4  46351  fourierdlem6  46353  fourierdlem26  46373  fourierdlem65  46411  etransclem35  46509  sharhght  47105  modlt0b  47605  eenglngeehlnmlem1  48979  eenglngeehlnmlem2  48980  cotsqcscsq  50003