Theorem dividd 12038

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11950	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918

This theorem is referenced by:  nndivtr  12310  divge1  13100  xov1plusxeqvd  13534  quoremz  13891  quoremnn0ALT  13893  intfracq  13895  fldiv  13896  modid0  13933  bcn0  14345  abs1m  15370  georeclim  15904  efaddlem  16125  sqgcd  16595  expgcd  16596  prmind2  16718  divgcdodd  16743  divnumden  16781  hashgcdlem  16821  pythagtriplem19  16866  pc2dvds  16912  fldivp1  16930  abv1z  20841  dveflem  26031  dvlip  26046  elqaalem2  26376  aareccl  26382  cos02pilt1  26582  efeq1  26584  eff1olem  26604  eflogeq  26658  tanarg  26675  logcnlem4  26701  cxpaddle  26809  logbid1  26825  isosctrlem3  26877  angpieqvdlem  26885  dcubic2  26901  2efiatan  26975  atantan  26980  birthdaylem2  27009  efrlim  27026  efrlimOLD  27027  jensenlem2  27045  logdifbnd  27051  logdiflbnd  27052  emcllem2  27054  emcllem3  27055  emcllem5  27057  dmgmdivn0  27085  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem5  27090  lgamcvg2  27112  lgam1  27121  basellem8  27145  vmalogdivsum2  27596  2vmadivsumlem  27598  selberg4lem1  27618  pntrmax  27622  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem5  27639  pntibndlem2  27649  pntlem3  27667  brbtwn2  28934  axsegconlem10  28955  axpaschlem  28969  axcontlem8  29000  quad3d  32760  cndprobtot  34417  cvmliftlem11  35279  divcnvlin  35712  iprodgam  35721  faclim2  35727  poimirlem32  37638  dvtan  37656  areacirc  37699  lcmineqlem18  42027  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p5  42061  aks6d1c1  42097  expeqidd  42338  irrapxlem5  42813  pellexlem6  42821  pell14qrexpclnn0  42853  reglogbas  42882  imo72b2  44161  binomcxplemrat  44345  divcan8d  45262  mccllem  45552  clim1fr1  45556  coseq0  45819  dvnxpaek  45897  stoweidlem1  45956  stoweidlem11  45966  stoweidlem26  45981  wallispilem5  46024  stirlinglem1  46029  stirlinglem3  46031  stirlinglem4  46032  stirlinglem6  46034  stirlinglem7  46035  stirlinglem10  46038  dirkertrigeqlem3  46055  dirkercncflem1  46058  fourierdlem4  46066  fourierdlem6  46068  fourierdlem26  46088  fourierdlem65  46126  etransclem35  46224  sharhght  46820  eenglngeehlnmlem1  48586  eenglngeehlnmlem2  48587  cotsqcscsq  48992