Theorem dividd 12041

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11953	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  nndivtr  12313  divge1  13103  xov1plusxeqvd  13538  quoremz  13895  quoremnn0ALT  13897  intfracq  13899  fldiv  13900  modid0  13937  bcn0  14349  abs1m  15374  georeclim  15908  efaddlem  16129  sqgcd  16599  expgcd  16600  prmind2  16722  divgcdodd  16747  divnumden  16785  hashgcdlem  16825  pythagtriplem19  16871  pc2dvds  16917  fldivp1  16935  abv1z  20825  dveflem  26017  dvlip  26032  elqaalem2  26362  aareccl  26368  cos02pilt1  26568  efeq1  26570  eff1olem  26590  eflogeq  26644  tanarg  26661  logcnlem4  26687  cxpaddle  26795  logbid1  26811  isosctrlem3  26863  angpieqvdlem  26871  dcubic2  26887  2efiatan  26961  atantan  26966  birthdaylem2  26995  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  jensenlem2  27031  logdifbnd  27037  logdiflbnd  27038  emcllem2  27040  emcllem3  27041  emcllem5  27043  dmgmdivn0  27071  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem5  27076  lgamcvg2  27098  lgam1  27107  basellem8  27131  vmalogdivsum2  27582  2vmadivsumlem  27584  selberg4lem1  27604  pntrmax  27608  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem5  27625  pntibndlem2  27635  pntlem3  27653  brbtwn2  28920  axsegconlem10  28941  axpaschlem  28955  axcontlem8  28986  quad3d  32754  cndprobtot  34438  cvmliftlem11  35300  divcnvlin  35733  iprodgam  35742  faclim2  35748  poimirlem32  37659  dvtan  37677  areacirc  37720  lcmineqlem18  42047  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p5  42081  aks6d1c1  42117  expeqidd  42360  irrapxlem5  42837  pellexlem6  42845  pell14qrexpclnn0  42877  reglogbas  42906  imo72b2  44185  binomcxplemrat  44369  divcan8d  45324  mccllem  45612  clim1fr1  45616  coseq0  45879  dvnxpaek  45957  stoweidlem1  46016  stoweidlem11  46026  stoweidlem26  46041  wallispilem5  46084  stirlinglem1  46089  stirlinglem3  46091  stirlinglem4  46092  stirlinglem6  46094  stirlinglem7  46095  stirlinglem10  46098  dirkertrigeqlem3  46115  dirkercncflem1  46118  fourierdlem4  46126  fourierdlem6  46128  fourierdlem26  46148  fourierdlem65  46186  etransclem35  46284  sharhght  46880  eenglngeehlnmlem1  48658  eenglngeehlnmlem2  48659  cotsqcscsq  49281