Theorem dividd 11571

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  0cc0 10694  1c1 10695   / cdiv 11454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455

This theorem is referenced by:  nndivtr  11842  divge1  12619  xov1plusxeqvd  13051  quoremz  13393  quoremnn0ALT  13395  intfracq  13397  fldiv  13398  modid0  13435  bcn0  13841  abs1m  14864  georeclim  15399  efaddlem  15617  sqgcd  16085  prmind2  16205  divgcdodd  16230  divnumden  16267  hashgcdlem  16304  pythagtriplem19  16349  pc2dvds  16395  fldivp1  16413  abv1z  19822  dveflem  24830  dvlip  24844  elqaalem2  25167  aareccl  25173  cos02pilt1  25369  efeq1  25371  eff1olem  25391  eflogeq  25444  tanarg  25461  logcnlem4  25487  cxpaddle  25592  logbid1  25605  isosctrlem3  25657  angpieqvdlem  25665  dcubic2  25681  2efiatan  25755  atantan  25760  birthdaylem2  25789  efrlim  25806  jensenlem2  25824  logdifbnd  25830  logdiflbnd  25831  emcllem2  25833  emcllem3  25834  emcllem5  25836  dmgmdivn0  25864  lgamgulmlem2  25866  lgamgulmlem5  25869  lgamcvg2  25891  lgam1  25900  basellem8  25924  vmalogdivsum2  26373  2vmadivsumlem  26375  selberg4lem1  26395  pntrmax  26399  pntrlog2bndlem2  26413  pntrlog2bndlem5  26416  pntibndlem2  26426  pntlem3  26444  brbtwn2  26950  axsegconlem10  26971  axpaschlem  26985  axcontlem8  27016  cndprobtot  32069  cvmliftlem11  32924  divcnvlin  33367  iprodgam  33377  faclim2  33383  poimirlem32  35495  dvtan  35513  areacirc  35556  lcmineqlem18  39737  aks4d1p1p7  39764  expgcd  39983  irrapxlem5  40292  pellexlem6  40300  pell14qrexpclnn0  40332  reglogbas  40361  imo72b2  41402  binomcxplemrat  41582  divcan8d  42465  mccllem  42756  clim1fr1  42760  coseq0  43023  dvnxpaek  43101  stoweidlem1  43160  stoweidlem11  43170  stoweidlem26  43185  wallispilem5  43228  stirlinglem1  43233  stirlinglem3  43235  stirlinglem4  43236  stirlinglem6  43238  stirlinglem7  43239  stirlinglem10  43242  dirkertrigeqlem3  43259  dirkercncflem1  43262  fourierdlem4  43270  fourierdlem6  43272  fourierdlem26  43292  fourierdlem65  43330  etransclem35  43428  sharhght  43996  eenglngeehlnmlem1  45699  eenglngeehlnmlem2  45700  cotsqcscsq  46078