Theorem dividd 11990

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11903	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by:  nndivtr  12284  divge1  13087  xov1plusxeqvd  13526  quoremz  13890  quoremnn0ALT  13892  intfracq  13894  fldiv  13895  modid0  13932  bcn0  14348  abs1m  15389  georeclim  15928  efaddlem  16148  sqgcd  16621  expgcd  16622  prmind2  16744  divgcdodd  16770  divnumden  16808  hashgcdlem  16848  pythagtriplem19  16894  pc2dvds  16940  fldivp1  16958  abv1z  20908  dveflem  26119  dvlip  26133  elqaalem2  26462  aareccl  26468  cos02pilt1  26669  efeq1  26671  eff1olem  26691  eflogeq  26745  tanarg  26762  logcnlem4  26788  cxpaddle  26895  logbid1  26911  isosctrlem3  26963  angpieqvdlem  26971  dcubic2  26987  2efiatan  27061  atantan  27066  birthdaylem2  27095  efrlim  27112  jensenlem2  27130  logdifbnd  27136  logdiflbnd  27137  emcllem2  27139  emcllem3  27140  emcllem5  27142  dmgmdivn0  27170  lgamgulmlem2  27172  lgamgulmlem5  27175  lgamcvg2  27197  lgam1  27206  basellem8  27230  vmalogdivsum2  27680  2vmadivsumlem  27682  selberg4lem1  27702  pntrmax  27706  pntrlog2bndlem2  27720  pntrlog2bndlem5  27723  pntibndlem2  27733  pntlem3  27751  brbtwn2  29233  axsegconlem10  29254  axpaschlem  29268  axcontlem8  29299  sgnval2  33058  quad3d  33072  constrdircl  34133  cos9thpiminplylem3  34152  cndprobtot  34804  cvmliftlem11  35765  divcnvlin  36203  iprodgam  36212  faclim2  36218  poimirlem32  38281  dvtan  38299  areacirc  38342  lcmineqlem18  42791  aks4d1p1p7  42819  aks4d1p5  42825  aks6d1c1  42861  expeqidd  43064  irrapxlem5  43533  pellexlem6  43541  pell14qrexpclnn0  43573  reglogbas  43602  imo72b2  44878  binomcxplemrat  45040  divcan8d  46011  mccllem  46293  clim1fr1  46297  coseq0  46558  dvnxpaek  46636  stoweidlem1  46695  stoweidlem11  46705  stoweidlem26  46720  wallispilem5  46763  stirlinglem1  46768  stirlinglem3  46770  stirlinglem4  46771  stirlinglem6  46773  stirlinglem7  46774  stirlinglem10  46777  dirkertrigeqlem3  46794  dirkercncflem1  46797  fourierdlem4  46805  fourierdlem6  46807  fourierdlem26  46827  fourierdlem65  46865  etransclem35  46963  sharhght  47559  modlt0b  48083  eenglngeehlnmlem1  49494  eenglngeehlnmlem2  49495  cotsqcscsq  50517