Theorem dividd 11962

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11873	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   / cdiv 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842

This theorem is referenced by:  nndivtr  12257  divge1  13060  xov1plusxeqvd  13499  quoremz  13862  quoremnn0ALT  13864  intfracq  13866  fldiv  13867  modid0  13904  bcn0  14320  abs1m  15346  georeclim  15885  efaddlem  16106  sqgcd  16579  expgcd  16580  prmind2  16702  divgcdodd  16728  divnumden  16766  hashgcdlem  16806  pythagtriplem19  16852  pc2dvds  16898  fldivp1  16916  abv1z  20853  dveflem  26021  dvlip  26035  elqaalem2  26361  aareccl  26367  cos02pilt1  26568  efeq1  26570  eff1olem  26590  eflogeq  26644  tanarg  26661  logcnlem4  26687  cxpaddle  26794  logbid1  26810  isosctrlem3  26862  angpieqvdlem  26870  dcubic2  26886  2efiatan  26960  atantan  26965  birthdaylem2  26994  efrlim  27011  jensenlem2  27029  logdifbnd  27035  logdiflbnd  27036  emcllem2  27038  emcllem3  27039  emcllem5  27041  dmgmdivn0  27069  lgamgulmlem2  27071  lgamgulmlem5  27074  lgamcvg2  27096  lgam1  27105  basellem8  27129  vmalogdivsum2  27579  2vmadivsumlem  27581  selberg4lem1  27601  pntrmax  27605  pntrlog2bndlem2  27619  pntrlog2bndlem5  27622  pntibndlem2  27632  pntlem3  27650  brbtwn2  29052  axsegconlem10  29073  axpaschlem  29087  axcontlem8  29118  sgnval2  32887  quad3d  32901  constrdircl  34023  cos9thpiminplylem3  34042  cndprobtot  34694  cvmliftlem11  35609  divcnvlin  36047  iprodgam  36056  faclim2  36062  poimirlem32  38115  dvtan  38133  areacirc  38176  lcmineqlem18  42627  aks4d1p1p7  42655  aks4d1p5  42661  aks6d1c1  42697  expeqidd  42898  irrapxlem5  43367  pellexlem6  43375  pell14qrexpclnn0  43407  reglogbas  43436  imo72b2  44712  binomcxplemrat  44890  divcan8d  45855  mccllem  46137  clim1fr1  46141  coseq0  46402  dvnxpaek  46480  stoweidlem1  46539  stoweidlem11  46549  stoweidlem26  46564  wallispilem5  46607  stirlinglem1  46612  stirlinglem3  46614  stirlinglem4  46615  stirlinglem6  46617  stirlinglem7  46618  stirlinglem10  46621  dirkertrigeqlem3  46638  dirkercncflem1  46641  fourierdlem4  46649  fourierdlem6  46651  fourierdlem26  46671  fourierdlem65  46709  etransclem35  46807  sharhght  47403  modlt0b  47927  eenglngeehlnmlem1  49323  eenglngeehlnmlem2  49324  cotsqcscsq  50347