Theorem dividd 11929

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11840	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  nndivtr  12224  divge1  13012  xov1plusxeqvd  13451  quoremz  13814  quoremnn0ALT  13816  intfracq  13818  fldiv  13819  modid0  13856  bcn0  14272  abs1m  15298  georeclim  15837  efaddlem  16058  sqgcd  16531  expgcd  16532  prmind2  16654  divgcdodd  16680  divnumden  16718  hashgcdlem  16758  pythagtriplem19  16804  pc2dvds  16850  fldivp1  16868  abv1z  20801  dveflem  25946  dvlip  25960  elqaalem2  26286  aareccl  26292  cos02pilt1  26490  efeq1  26492  eff1olem  26512  eflogeq  26566  tanarg  26583  logcnlem4  26609  cxpaddle  26716  logbid1  26732  isosctrlem3  26784  angpieqvdlem  26792  dcubic2  26808  2efiatan  26882  atantan  26887  birthdaylem2  26916  efrlim  26933  jensenlem2  26951  logdifbnd  26957  logdiflbnd  26958  emcllem2  26960  emcllem3  26961  emcllem5  26963  dmgmdivn0  26991  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem5  26996  lgamcvg2  27018  lgam1  27027  basellem8  27051  vmalogdivsum2  27501  2vmadivsumlem  27503  selberg4lem1  27523  pntrmax  27527  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem5  27544  pntibndlem2  27554  pntlem3  27572  brbtwn2  28974  axsegconlem10  28995  axpaschlem  29009  axcontlem8  29040  sgnval2  32808  quad3d  32822  constrdircl  33909  cos9thpiminplylem3  33928  cndprobtot  34580  cvmliftlem11  35477  divcnvlin  35915  iprodgam  35924  faclim2  35930  poimirlem32  37973  dvtan  37991  areacirc  38034  lcmineqlem18  42485  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p5  42519  aks6d1c1  42555  expeqidd  42757  irrapxlem5  43254  pellexlem6  43262  pell14qrexpclnn0  43294  reglogbas  43323  imo72b2  44599  binomcxplemrat  44777  divcan8d  45745  mccllem  46027  clim1fr1  46031  coseq0  46292  dvnxpaek  46370  stoweidlem1  46429  stoweidlem11  46439  stoweidlem26  46454  wallispilem5  46497  stirlinglem1  46502  stirlinglem3  46504  stirlinglem4  46505  stirlinglem6  46507  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  dirkertrigeqlem3  46528  dirkercncflem1  46531  fourierdlem4  46539  fourierdlem6  46541  fourierdlem26  46561  fourierdlem65  46599  etransclem35  46697  sharhght  47293  modlt0b  47817  eenglngeehlnmlem1  49213  eenglngeehlnmlem2  49214  cotsqcscsq  50237