Theorem dividd 11902

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11814	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by:  nndivtr  12179  divge1  12962  xov1plusxeqvd  13400  quoremz  13761  quoremnn0ALT  13763  intfracq  13765  fldiv  13766  modid0  13803  bcn0  14219  abs1m  15245  georeclim  15781  efaddlem  16002  sqgcd  16475  expgcd  16476  prmind2  16598  divgcdodd  16623  divnumden  16661  hashgcdlem  16701  pythagtriplem19  16747  pc2dvds  16793  fldivp1  16811  abv1z  20741  dveflem  25911  dvlip  25926  elqaalem2  26256  aareccl  26262  cos02pilt1  26463  efeq1  26465  eff1olem  26485  eflogeq  26539  tanarg  26556  logcnlem4  26582  cxpaddle  26690  logbid1  26706  isosctrlem3  26758  angpieqvdlem  26766  dcubic2  26782  2efiatan  26856  atantan  26861  birthdaylem2  26890  efrlim  26907  efrlimOLD  26908  jensenlem2  26926  logdifbnd  26932  logdiflbnd  26933  emcllem2  26935  emcllem3  26936  emcllem5  26938  dmgmdivn0  26966  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem5  26971  lgamcvg2  26993  lgam1  27002  basellem8  27026  vmalogdivsum2  27477  2vmadivsumlem  27479  selberg4lem1  27499  pntrmax  27503  pntrlog2bndlem2  27517  pntrlog2bndlem5  27520  pntibndlem2  27530  pntlem3  27548  brbtwn2  28885  axsegconlem10  28906  axpaschlem  28920  axcontlem8  28951  sgnval2  32722  quad3d  32737  constrdircl  33799  cos9thpiminplylem3  33818  cndprobtot  34470  cvmliftlem11  35360  divcnvlin  35798  iprodgam  35807  faclim2  35813  poimirlem32  37712  dvtan  37730  areacirc  37773  lcmineqlem18  42159  aks4d1p1p7  42187  aks4d1p5  42193  aks6d1c1  42229  expeqidd  42443  irrapxlem5  42943  pellexlem6  42951  pell14qrexpclnn0  42983  reglogbas  43012  imo72b2  44289  binomcxplemrat  44467  divcan8d  45437  mccllem  45721  clim1fr1  45725  coseq0  45986  dvnxpaek  46064  stoweidlem1  46123  stoweidlem11  46133  stoweidlem26  46148  wallispilem5  46191  stirlinglem1  46196  stirlinglem3  46198  stirlinglem4  46199  stirlinglem6  46201  stirlinglem7  46202  stirlinglem10  46205  dirkertrigeqlem3  46222  dirkercncflem1  46225  fourierdlem4  46233  fourierdlem6  46235  fourierdlem26  46255  fourierdlem65  46293  etransclem35  46391  sharhght  46987  modlt0b  47487  eenglngeehlnmlem1  48862  eenglngeehlnmlem2  48863  cotsqcscsq  49887