Theorem dividd 11963

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11875	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  nndivtr  12240  divge1  13028  xov1plusxeqvd  13466  quoremz  13824  quoremnn0ALT  13826  intfracq  13828  fldiv  13829  modid0  13866  bcn0  14282  abs1m  15309  georeclim  15845  efaddlem  16066  sqgcd  16539  expgcd  16540  prmind2  16662  divgcdodd  16687  divnumden  16725  hashgcdlem  16765  pythagtriplem19  16811  pc2dvds  16857  fldivp1  16875  abv1z  20740  dveflem  25890  dvlip  25905  elqaalem2  26235  aareccl  26241  cos02pilt1  26442  efeq1  26444  eff1olem  26464  eflogeq  26518  tanarg  26535  logcnlem4  26561  cxpaddle  26669  logbid1  26685  isosctrlem3  26737  angpieqvdlem  26745  dcubic2  26761  2efiatan  26835  atantan  26840  birthdaylem2  26869  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  jensenlem2  26905  logdifbnd  26911  logdiflbnd  26912  emcllem2  26914  emcllem3  26915  emcllem5  26917  dmgmdivn0  26945  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem5  26950  lgamcvg2  26972  lgam1  26981  basellem8  27005  vmalogdivsum2  27456  2vmadivsumlem  27458  selberg4lem1  27478  pntrmax  27482  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem5  27499  pntibndlem2  27509  pntlem3  27527  brbtwn2  28839  axsegconlem10  28860  axpaschlem  28874  axcontlem8  28905  sgnval2  32665  quad3d  32680  constrdircl  33762  cos9thpiminplylem3  33781  cndprobtot  34434  cvmliftlem11  35289  divcnvlin  35727  iprodgam  35736  faclim2  35742  poimirlem32  37653  dvtan  37671  areacirc  37714  lcmineqlem18  42041  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p5  42075  aks6d1c1  42111  expeqidd  42320  irrapxlem5  42821  pellexlem6  42829  pell14qrexpclnn0  42861  reglogbas  42890  imo72b2  44168  binomcxplemrat  44346  divcan8d  45317  mccllem  45602  clim1fr1  45606  coseq0  45869  dvnxpaek  45947  stoweidlem1  46006  stoweidlem11  46016  stoweidlem26  46031  wallispilem5  46074  stirlinglem1  46079  stirlinglem3  46081  stirlinglem4  46082  stirlinglem6  46084  stirlinglem7  46085  stirlinglem10  46088  dirkertrigeqlem3  46105  dirkercncflem1  46108  fourierdlem4  46116  fourierdlem6  46118  fourierdlem26  46138  fourierdlem65  46176  etransclem35  46274  sharhght  46870  modlt0b  47368  eenglngeehlnmlem1  48730  eenglngeehlnmlem2  48731  cotsqcscsq  49755