Theorem dividd 12118

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 12031	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  nndivtr  12412  divge1  13217  xov1plusxeqvd  13656  quoremz  14022  quoremnn0ALT  14024  intfracq  14026  fldiv  14027  modid0  14064  bcn0  14481  abs1m  15532  georeclim  16070  efaddlem  16288  sqgcd  16765  expgcd  16766  prmind2  16889  divgcdodd  16915  divnumden  16953  hashgcdlem  16994  pythagtriplem19  17040  pc2dvds  17086  fldivp1  17104  abv1z  21111  dveflem  26329  dvlip  26343  elqaalem2  26673  aareccl  26683  cos02pilt1  26884  efeq1  26886  eff1olem  26906  eflogeq  26960  tanarg  26977  logcnlem4  27003  cxpaddle  27110  logbid1  27126  isosctrlem3  27178  angpieqvdlem  27186  dcubic2  27202  2efiatan  27276  atantan  27281  birthdaylem2  27310  efrlim  27327  jensenlem2  27345  logdifbnd  27351  logdiflbnd  27352  emcllem2  27354  emcllem3  27355  emcllem5  27357  dmgmdivn0  27385  lgamgulmlem2  27387  lgamgulmlem5  27390  lgamcvg2  27412  lgam1  27421  basellem8  27445  vmalogdivsum2  27895  2vmadivsumlem  27897  selberg4lem1  27917  pntrmax  27921  pntrlog2bndlem2  27935  pntrlog2bndlem5  27938  pntibndlem2  27948  pntlem3  27966  brbtwn2  29513  axsegconlem10  29534  axpaschlem  29548  axcontlem8  29579  sgnval2  33397  quad3d  33411  constrdircl  34467  cos9thpiminplylem3  34486  cndprobtot  35138  cvmliftlem11  36227  divcnvlin  36676  iprodgam  36685  faclim2  36691  poimirlem32  38762  dvtan  38780  areacirc  38823  lcmineqlem18  43288  aks4d1p1p7  43316  aks4d1p5  43322  aks6d1c1  43358  expeqidd  43575  irrapxlem5  44026  pellexlem6  44034  pell14qrexpclnn0  44066  reglogbas  44095  imo72b2  45364  binomcxplemrat  45526  divcan8d  46533  mccllem  46814  clim1fr1  46818  coseq0  47079  dvnxpaek  47157  stoweidlem1  47216  stoweidlem11  47226  stoweidlem26  47241  wallispilem5  47284  stirlinglem1  47289  stirlinglem3  47291  stirlinglem4  47292  stirlinglem6  47294  stirlinglem7  47295  stirlinglem10  47298  dirkertrigeqlem3  47315  dirkercncflem1  47318  fourierdlem4  47326  fourierdlem6  47328  fourierdlem26  47348  fourierdlem65  47386  etransclem35  47484  sharhght  48080  modlt0b  48644  eenglngeehlnmlem1  50055  eenglngeehlnmlem2  50056  cotsqcscsq  51135