Theorem dividd 11924

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11835	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 591	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   / cdiv 11802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803

This theorem is referenced by:  nndivtr  12219  divge1  13007  xov1plusxeqvd  13446  quoremz  13809  quoremnn0ALT  13811  intfracq  13813  fldiv  13814  modid0  13851  bcn0  14267  abs1m  15293  georeclim  15832  efaddlem  16053  sqgcd  16526  expgcd  16527  prmind2  16649  divgcdodd  16675  divnumden  16713  hashgcdlem  16753  pythagtriplem19  16799  pc2dvds  16845  fldivp1  16863  abv1z  20800  dveflem  25968  dvlip  25982  elqaalem2  26308  aareccl  26314  cos02pilt1  26512  efeq1  26514  eff1olem  26534  eflogeq  26588  tanarg  26605  logcnlem4  26631  cxpaddle  26738  logbid1  26754  isosctrlem3  26806  angpieqvdlem  26814  dcubic2  26830  2efiatan  26904  atantan  26909  birthdaylem2  26938  efrlim  26955  jensenlem2  26973  logdifbnd  26979  logdiflbnd  26980  emcllem2  26982  emcllem3  26983  emcllem5  26985  dmgmdivn0  27013  lgamgulmlem2  27015  lgamgulmlem5  27018  lgamcvg2  27040  lgam1  27049  basellem8  27073  vmalogdivsum2  27523  2vmadivsumlem  27525  selberg4lem1  27545  pntrmax  27549  pntrlog2bndlem2  27563  pntrlog2bndlem5  27566  pntibndlem2  27576  pntlem3  27594  brbtwn2  28996  axsegconlem10  29017  axpaschlem  29031  axcontlem8  29062  sgnval2  32831  quad3d  32845  constrdircl  33961  cos9thpiminplylem3  33980  cndprobtot  34632  cvmliftlem11  35538  divcnvlin  35976  iprodgam  35985  faclim2  35991  poimirlem32  38034  dvtan  38052  areacirc  38095  lcmineqlem18  42546  aks4d1p1p7  42574  aks4d1p5  42580  aks6d1c1  42616  expeqidd  42817  irrapxlem5  43286  pellexlem6  43294  pell14qrexpclnn0  43326  reglogbas  43355  imo72b2  44631  binomcxplemrat  44809  divcan8d  45774  mccllem  46056  clim1fr1  46060  coseq0  46321  dvnxpaek  46399  stoweidlem1  46458  stoweidlem11  46468  stoweidlem26  46483  wallispilem5  46526  stirlinglem1  46531  stirlinglem3  46533  stirlinglem4  46534  stirlinglem6  46536  stirlinglem7  46537  stirlinglem10  46540  dirkertrigeqlem3  46557  dirkercncflem1  46560  fourierdlem4  46568  fourierdlem6  46570  fourierdlem26  46590  fourierdlem65  46628  etransclem35  46726  sharhght  47322  modlt0b  47846  eenglngeehlnmlem1  49242  eenglngeehlnmlem2  49243  cotsqcscsq  50266