Theorem dividd 11916

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11828	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  nndivtr  12193  divge1  12981  xov1plusxeqvd  13419  quoremz  13777  quoremnn0ALT  13779  intfracq  13781  fldiv  13782  modid0  13819  bcn0  14235  abs1m  15261  georeclim  15797  efaddlem  16018  sqgcd  16491  expgcd  16492  prmind2  16614  divgcdodd  16639  divnumden  16677  hashgcdlem  16717  pythagtriplem19  16763  pc2dvds  16809  fldivp1  16827  abv1z  20727  dveflem  25899  dvlip  25914  elqaalem2  26244  aareccl  26250  cos02pilt1  26451  efeq1  26453  eff1olem  26473  eflogeq  26527  tanarg  26544  logcnlem4  26570  cxpaddle  26678  logbid1  26694  isosctrlem3  26746  angpieqvdlem  26754  dcubic2  26770  2efiatan  26844  atantan  26849  birthdaylem2  26878  efrlim  26895  efrlimOLD  26896  jensenlem2  26914  logdifbnd  26920  logdiflbnd  26921  emcllem2  26923  emcllem3  26924  emcllem5  26926  dmgmdivn0  26954  lgamgulmlem2  26956  lgamgulmlem5  26959  lgamcvg2  26981  lgam1  26990  basellem8  27014  vmalogdivsum2  27465  2vmadivsumlem  27467  selberg4lem1  27487  pntrmax  27491  pntrlog2bndlem2  27505  pntrlog2bndlem5  27508  pntibndlem2  27518  pntlem3  27536  brbtwn2  28868  axsegconlem10  28889  axpaschlem  28903  axcontlem8  28934  sgnval2  32691  quad3d  32706  constrdircl  33731  cos9thpiminplylem3  33750  cndprobtot  34403  cvmliftlem11  35267  divcnvlin  35705  iprodgam  35714  faclim2  35720  poimirlem32  37631  dvtan  37649  areacirc  37692  lcmineqlem18  42019  aks4d1p1p7  42047  aks4d1p5  42053  aks6d1c1  42089  expeqidd  42298  irrapxlem5  42799  pellexlem6  42807  pell14qrexpclnn0  42839  reglogbas  42868  imo72b2  44145  binomcxplemrat  44323  divcan8d  45294  mccllem  45579  clim1fr1  45583  coseq0  45846  dvnxpaek  45924  stoweidlem1  45983  stoweidlem11  45993  stoweidlem26  46008  wallispilem5  46051  stirlinglem1  46056  stirlinglem3  46058  stirlinglem4  46059  stirlinglem6  46061  stirlinglem7  46062  stirlinglem10  46065  dirkertrigeqlem3  46082  dirkercncflem1  46085  fourierdlem4  46093  fourierdlem6  46095  fourierdlem26  46115  fourierdlem65  46153  etransclem35  46251  sharhght  46847  modlt0b  47348  eenglngeehlnmlem1  48723  eenglngeehlnmlem2  48724  cotsqcscsq  49748