Theorem dividd 11749

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11662	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   / cdiv 11632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633

This theorem is referenced by:  nndivtr  12020  divge1  12798  xov1plusxeqvd  13230  quoremz  13575  quoremnn0ALT  13577  intfracq  13579  fldiv  13580  modid0  13617  bcn0  14024  abs1m  15047  georeclim  15584  efaddlem  15802  sqgcd  16270  prmind2  16390  divgcdodd  16415  divnumden  16452  hashgcdlem  16489  pythagtriplem19  16534  pc2dvds  16580  fldivp1  16598  abv1z  20092  dveflem  25143  dvlip  25157  elqaalem2  25480  aareccl  25486  cos02pilt1  25682  efeq1  25684  eff1olem  25704  eflogeq  25757  tanarg  25774  logcnlem4  25800  cxpaddle  25905  logbid1  25918  isosctrlem3  25970  angpieqvdlem  25978  dcubic2  25994  2efiatan  26068  atantan  26073  birthdaylem2  26102  efrlim  26119  jensenlem2  26137  logdifbnd  26143  logdiflbnd  26144  emcllem2  26146  emcllem3  26147  emcllem5  26149  dmgmdivn0  26177  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem5  26182  lgamcvg2  26204  lgam1  26213  basellem8  26237  vmalogdivsum2  26686  2vmadivsumlem  26688  selberg4lem1  26708  pntrmax  26712  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem5  26729  pntibndlem2  26739  pntlem3  26757  brbtwn2  27273  axsegconlem10  27294  axpaschlem  27308  axcontlem8  27339  cndprobtot  32403  cvmliftlem11  33257  divcnvlin  33698  iprodgam  33708  faclim2  33714  poimirlem32  35809  dvtan  35827  areacirc  35870  lcmineqlem18  40054  aks4d1p1p7  40082  aks4d1p5  40088  expgcd  40334  irrapxlem5  40648  pellexlem6  40656  pell14qrexpclnn0  40688  reglogbas  40717  imo72b2  41783  binomcxplemrat  41968  divcan8d  42851  mccllem  43138  clim1fr1  43142  coseq0  43405  dvnxpaek  43483  stoweidlem1  43542  stoweidlem11  43552  stoweidlem26  43567  wallispilem5  43610  stirlinglem1  43615  stirlinglem3  43617  stirlinglem4  43618  stirlinglem6  43620  stirlinglem7  43621  stirlinglem10  43624  dirkertrigeqlem3  43641  dirkercncflem1  43644  fourierdlem4  43652  fourierdlem6  43654  fourierdlem26  43674  fourierdlem65  43712  etransclem35  43810  sharhght  44381  eenglngeehlnmlem1  46083  eenglngeehlnmlem2  46084  cotsqcscsq  46464