Theorem dividd 11956

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11868	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  nndivtr  12233  divge1  13021  xov1plusxeqvd  13459  quoremz  13817  quoremnn0ALT  13819  intfracq  13821  fldiv  13822  modid0  13859  bcn0  14275  abs1m  15302  georeclim  15838  efaddlem  16059  sqgcd  16532  expgcd  16533  prmind2  16655  divgcdodd  16680  divnumden  16718  hashgcdlem  16758  pythagtriplem19  16804  pc2dvds  16850  fldivp1  16868  abv1z  20733  dveflem  25883  dvlip  25898  elqaalem2  26228  aareccl  26234  cos02pilt1  26435  efeq1  26437  eff1olem  26457  eflogeq  26511  tanarg  26528  logcnlem4  26554  cxpaddle  26662  logbid1  26678  isosctrlem3  26730  angpieqvdlem  26738  dcubic2  26754  2efiatan  26828  atantan  26833  birthdaylem2  26862  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  jensenlem2  26898  logdifbnd  26904  logdiflbnd  26905  emcllem2  26907  emcllem3  26908  emcllem5  26910  dmgmdivn0  26938  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem5  26943  lgamcvg2  26965  lgam1  26974  basellem8  26998  vmalogdivsum2  27449  2vmadivsumlem  27451  selberg4lem1  27471  pntrmax  27475  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem5  27492  pntibndlem2  27502  pntlem3  27520  brbtwn2  28832  axsegconlem10  28853  axpaschlem  28867  axcontlem8  28898  sgnval2  32658  quad3d  32673  constrdircl  33755  cos9thpiminplylem3  33774  cndprobtot  34427  cvmliftlem11  35282  divcnvlin  35720  iprodgam  35729  faclim2  35735  poimirlem32  37646  dvtan  37664  areacirc  37707  lcmineqlem18  42034  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p5  42068  aks6d1c1  42104  expeqidd  42313  irrapxlem5  42814  pellexlem6  42822  pell14qrexpclnn0  42854  reglogbas  42883  imo72b2  44161  binomcxplemrat  44339  divcan8d  45310  mccllem  45595  clim1fr1  45599  coseq0  45862  dvnxpaek  45940  stoweidlem1  45999  stoweidlem11  46009  stoweidlem26  46024  wallispilem5  46067  stirlinglem1  46072  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem6  46077  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  dirkertrigeqlem3  46098  dirkercncflem1  46101  fourierdlem4  46109  fourierdlem6  46111  fourierdlem26  46131  fourierdlem65  46169  etransclem35  46267  sharhght  46863  modlt0b  47364  eenglngeehlnmlem1  48726  eenglngeehlnmlem2  48727  cotsqcscsq  49751