Theorem dividd 11215

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   / cdiv 11098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099

This theorem is referenced by:  nndivtr  11487  divge1  12274  xov1plusxeqvd  12700  quoremz  13038  quoremnn0ALT  13040  intfracq  13042  fldiv  13043  modid0  13080  bcn0  13485  abs1m  14556  georeclim  15088  efaddlem  15306  sqgcd  15765  prmind2  15885  divgcdodd  15910  divnumden  15944  hashgcdlem  15981  pythagtriplem19  16026  pc2dvds  16071  fldivp1  16089  abv1z  19325  dveflem  24279  dvlip  24293  elqaalem2  24612  aareccl  24618  efeq1  24814  eff1olem  24833  eflogeq  24886  tanarg  24903  logcnlem4  24929  cxpaddle  25034  logbid1  25047  isosctrlem3  25099  angpieqvdlem  25107  dcubic2  25123  2efiatan  25197  atantan  25202  birthdaylem2  25232  efrlim  25249  jensenlem2  25267  logdifbnd  25273  logdiflbnd  25274  emcllem2  25276  emcllem3  25277  emcllem5  25279  dmgmdivn0  25307  lgamgulmlem2  25309  lgamgulmlem5  25312  lgamcvg2  25334  lgam1  25343  basellem8  25367  vmalogdivsum2  25816  2vmadivsumlem  25818  selberg4lem1  25838  pntrmax  25842  pntrlog2bndlem2  25856  pntrlog2bndlem5  25859  pntibndlem2  25869  pntlem3  25887  brbtwn2  26394  axsegconlem10  26415  axpaschlem  26429  axcontlem8  26460  cndprobtot  31346  cvmliftlem11  32133  divcnvlin  32490  iprodgam  32500  faclim2  32506  poimirlem32  34371  dvtan  34389  areacirc  34434  expgcd  38621  irrapxlem5  38825  pellexlem6  38833  pell14qrexpclnn0  38865  reglogbas  38894  imo72b2  39896  binomcxplemrat  40104  divcan8d  41014  mccllem  41315  clim1fr1  41319  coseq0  41581  dvnxpaek  41663  stoweidlem1  41723  stoweidlem11  41733  stoweidlem26  41748  wallispilem5  41791  stirlinglem1  41796  stirlinglem3  41798  stirlinglem4  41799  stirlinglem6  41801  stirlinglem7  41802  stirlinglem10  41805  dirkertrigeqlem3  41822  dirkercncflem1  41825  fourierdlem4  41833  fourierdlem6  41835  fourierdlem26  41855  fourierdlem65  41893  etransclem35  41991  sharhght  42559  eenglngeehlnmlem1  44098  eenglngeehlnmlem2  44099  cotsqcscsq  44234