Theorem dividd 12010

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11923	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   / cdiv 11893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894

This theorem is referenced by:  nndivtr  12281  divge1  13066  xov1plusxeqvd  13499  quoremz  13844  quoremnn0ALT  13846  intfracq  13848  fldiv  13849  modid0  13886  bcn0  14293  abs1m  15306  georeclim  15842  efaddlem  16061  sqgcd  16527  prmind2  16647  divgcdodd  16672  divnumden  16711  hashgcdlem  16748  pythagtriplem19  16793  pc2dvds  16839  fldivp1  16857  abv1z  20701  dveflem  25898  dvlip  25913  elqaalem2  26242  aareccl  26248  cos02pilt1  26447  efeq1  26449  eff1olem  26469  eflogeq  26523  tanarg  26540  logcnlem4  26566  cxpaddle  26674  logbid1  26687  isosctrlem3  26739  angpieqvdlem  26747  dcubic2  26763  2efiatan  26837  atantan  26842  birthdaylem2  26871  efrlim  26888  efrlimOLD  26889  jensenlem2  26907  logdifbnd  26913  logdiflbnd  26914  emcllem2  26916  emcllem3  26917  emcllem5  26919  dmgmdivn0  26947  lgamgulmlem2  26949  lgamgulmlem5  26952  lgamcvg2  26974  lgam1  26983  basellem8  27007  vmalogdivsum2  27458  2vmadivsumlem  27460  selberg4lem1  27480  pntrmax  27484  pntrlog2bndlem2  27498  pntrlog2bndlem5  27501  pntibndlem2  27511  pntlem3  27529  brbtwn2  28703  axsegconlem10  28724  axpaschlem  28738  axcontlem8  28769  cndprobtot  33992  cvmliftlem11  34841  divcnvlin  35263  iprodgam  35272  faclim2  35278  poimirlem32  37060  dvtan  37078  areacirc  37121  lcmineqlem18  41454  aks4d1p1p7  41482  aks4d1p5  41488  aks6d1c1  41520  expgcd  41816  irrapxlem5  42168  pellexlem6  42176  pell14qrexpclnn0  42208  reglogbas  42237  imo72b2  43525  binomcxplemrat  43710  divcan8d  44617  mccllem  44908  clim1fr1  44912  coseq0  45175  dvnxpaek  45253  stoweidlem1  45312  stoweidlem11  45322  stoweidlem26  45337  wallispilem5  45380  stirlinglem1  45385  stirlinglem3  45387  stirlinglem4  45388  stirlinglem6  45390  stirlinglem7  45391  stirlinglem10  45394  dirkertrigeqlem3  45411  dirkercncflem1  45414  fourierdlem4  45422  fourierdlem6  45424  fourierdlem26  45444  fourierdlem65  45482  etransclem35  45580  sharhght  46176  eenglngeehlnmlem1  47733  eenglngeehlnmlem2  47734  cotsqcscsq  48116