Theorem dividd 12015

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11927	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   / cdiv 11894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895

This theorem is referenced by:  nndivtr  12287  divge1  13077  xov1plusxeqvd  13515  quoremz  13872  quoremnn0ALT  13874  intfracq  13876  fldiv  13877  modid0  13914  bcn0  14328  abs1m  15354  georeclim  15888  efaddlem  16109  sqgcd  16581  expgcd  16582  prmind2  16704  divgcdodd  16729  divnumden  16767  hashgcdlem  16807  pythagtriplem19  16853  pc2dvds  16899  fldivp1  16917  abv1z  20784  dveflem  25935  dvlip  25950  elqaalem2  26280  aareccl  26286  cos02pilt1  26487  efeq1  26489  eff1olem  26509  eflogeq  26563  tanarg  26580  logcnlem4  26606  cxpaddle  26714  logbid1  26730  isosctrlem3  26782  angpieqvdlem  26790  dcubic2  26806  2efiatan  26880  atantan  26885  birthdaylem2  26914  efrlim  26931  efrlimOLD  26932  jensenlem2  26950  logdifbnd  26956  logdiflbnd  26957  emcllem2  26959  emcllem3  26960  emcllem5  26962  dmgmdivn0  26990  lgamgulmlem2  26992  lgamgulmlem5  26995  lgamcvg2  27017  lgam1  27026  basellem8  27050  vmalogdivsum2  27501  2vmadivsumlem  27503  selberg4lem1  27523  pntrmax  27527  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem5  27544  pntibndlem2  27554  pntlem3  27572  brbtwn2  28884  axsegconlem10  28905  axpaschlem  28919  axcontlem8  28950  sgnval2  32712  quad3d  32727  constrdircl  33799  cos9thpiminplylem3  33818  cndprobtot  34468  cvmliftlem11  35317  divcnvlin  35750  iprodgam  35759  faclim2  35765  poimirlem32  37676  dvtan  37694  areacirc  37737  lcmineqlem18  42059  aks4d1p1p7  42087  aks4d1p5  42093  aks6d1c1  42129  expeqidd  42374  irrapxlem5  42849  pellexlem6  42857  pell14qrexpclnn0  42889  reglogbas  42918  imo72b2  44196  binomcxplemrat  44374  divcan8d  45341  mccllem  45626  clim1fr1  45630  coseq0  45893  dvnxpaek  45971  stoweidlem1  46030  stoweidlem11  46040  stoweidlem26  46055  wallispilem5  46098  stirlinglem1  46103  stirlinglem3  46105  stirlinglem4  46106  stirlinglem6  46108  stirlinglem7  46109  stirlinglem10  46112  dirkertrigeqlem3  46129  dirkercncflem1  46132  fourierdlem4  46140  fourierdlem6  46142  fourierdlem26  46162  fourierdlem65  46200  etransclem35  46298  sharhght  46894  eenglngeehlnmlem1  48717  eenglngeehlnmlem2  48718  cotsqcscsq  49626