MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dividd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dividd 11407
Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dividd (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 divid 11320 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   / cdiv 11290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291
This theorem is referenced by:  nndivtr  11676  divge1  12449  xov1plusxeqvd  12880  quoremz  13222  quoremnn0ALT  13224  intfracq  13226  fldiv  13227  modid0  13264  bcn0  13670  abs1m  14691  georeclim  15224  efaddlem  15442  sqgcd  15903  prmind2  16023  divgcdodd  16048  divnumden  16082  hashgcdlem  16119  pythagtriplem19  16164  pc2dvds  16209  fldivp1  16227  abv1z  19600  dveflem  24586  dvlip  24600  elqaalem2  24920  aareccl  24926  cos02pilt1  25122  efeq1  25124  eff1olem  25144  eflogeq  25197  tanarg  25214  logcnlem4  25240  cxpaddle  25345  logbid1  25358  isosctrlem3  25410  angpieqvdlem  25418  dcubic2  25434  2efiatan  25508  atantan  25513  birthdaylem2  25542  efrlim  25559  jensenlem2  25577  logdifbnd  25583  logdiflbnd  25584  emcllem2  25586  emcllem3  25587  emcllem5  25589  dmgmdivn0  25617  lgamgulmlem2  25619  lgamgulmlem5  25622  lgamcvg2  25644  lgam1  25653  basellem8  25677  vmalogdivsum2  26126  2vmadivsumlem  26128  selberg4lem1  26148  pntrmax  26152  pntrlog2bndlem2  26166  pntrlog2bndlem5  26169  pntibndlem2  26179  pntlem3  26197  brbtwn2  26703  axsegconlem10  26724  axpaschlem  26738  axcontlem8  26769  cndprobtot  31808  cvmliftlem11  32656  divcnvlin  33078  iprodgam  33088  faclim2  33094  poimirlem32  35088  dvtan  35106  areacirc  35149  lcmineqlem18  39333  expgcd  39484  irrapxlem5  39760  pellexlem6  39768  pell14qrexpclnn0  39800  reglogbas  39829  imo72b2  40871  binomcxplemrat  41047  divcan8d  41937  mccllem  42232  clim1fr1  42236  coseq0  42499  dvnxpaek  42577  stoweidlem1  42636  stoweidlem11  42646  stoweidlem26  42661  wallispilem5  42704  stirlinglem1  42709  stirlinglem3  42711  stirlinglem4  42712  stirlinglem6  42714  stirlinglem7  42715  stirlinglem10  42718  dirkertrigeqlem3  42735  dirkercncflem1  42738  fourierdlem4  42746  fourierdlem6  42748  fourierdlem26  42768  fourierdlem65  42806  etransclem35  42904  sharhght  43472  eenglngeehlnmlem1  45144  eenglngeehlnmlem2  45145  cotsqcscsq  45281
  Copyright terms: Public domain W3C validator