Theorem dividd 12017

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11930	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   / cdiv 11899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900

This theorem is used by:  nndivtr  12311  divge1  13116  xov1plusxeqvd  13555  quoremz  13920  quoremnn0ALT  13922  intfracq  13924  fldiv  13925  modid0  13962  bcn0  14378  abs1m  15427  georeclim  15965  efaddlem  16185  sqgcd  16658  expgcd  16659  prmind2  16781  divgcdodd  16807  divnumden  16845  hashgcdlem  16885  pythagtriplem19  16931  pc2dvds  16977  fldivp1  16995  abv1z  20996  dveflem  26213  dvlip  26227  elqaalem2  26559  aareccl  26569  cos02pilt1  26771  efeq1  26773  eff1olem  26793  eflogeq  26847  tanarg  26864  logcnlem4  26890  cxpaddle  26997  logbid1  27013  isosctrlem3  27065  angpieqvdlem  27073  dcubic2  27089  2efiatan  27163  atantan  27168  birthdaylem2  27197  efrlim  27214  jensenlem2  27232  logdifbnd  27238  logdiflbnd  27239  emcllem2  27241  emcllem3  27242  emcllem5  27244  dmgmdivn0  27272  lgamgulmlem2  27274  lgamgulmlem5  27277  lgamcvg2  27299  lgam1  27308  basellem8  27332  vmalogdivsum2  27782  2vmadivsumlem  27784  selberg4lem1  27804  pntrmax  27808  pntrlog2bndlem2  27822  pntrlog2bndlem5  27825  pntibndlem2  27835  pntlem3  27853  brbtwn2  29370  axsegconlem10  29391  axpaschlem  29405  axcontlem8  29436  sgnval2  33214  quad3d  33228  constrdircl  34283  cos9thpiminplylem3  34302  cndprobtot  34955  cvmliftlem11  35882  divcnvlin  36320  iprodgam  36329  faclim2  36335  poimirlem32  38409  dvtan  38427  areacirc  38470  lcmineqlem18  42920  aks4d1p1p7  42948  aks4d1p5  42954  aks6d1c1  42990  expeqidd  43208  irrapxlem5  43675  pellexlem6  43683  pell14qrexpclnn0  43715  reglogbas  43744  imo72b2  45020  binomcxplemrat  45182  divcan8d  46153  mccllem  46435  clim1fr1  46439  coseq0  46700  dvnxpaek  46778  stoweidlem1  46837  stoweidlem11  46847  stoweidlem26  46862  wallispilem5  46905  stirlinglem1  46910  stirlinglem3  46912  stirlinglem4  46913  stirlinglem6  46915  stirlinglem7  46916  stirlinglem10  46919  dirkertrigeqlem3  46936  dirkercncflem1  46939  fourierdlem4  46947  fourierdlem6  46949  fourierdlem26  46969  fourierdlem65  47007  etransclem35  47105  sharhght  47701  modlt0b  48265  eenglngeehlnmlem1  49675  eenglngeehlnmlem2  49676  cotsqcscsq  50696