Theorem dividd 11927

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   / cdiv 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806

This theorem is referenced by:  nndivtr  12222  divge1  13010  xov1plusxeqvd  13449  quoremz  13812  quoremnn0ALT  13814  intfracq  13816  fldiv  13817  modid0  13854  bcn0  14270  abs1m  15296  georeclim  15835  efaddlem  16056  sqgcd  16529  expgcd  16530  prmind2  16652  divgcdodd  16678  divnumden  16716  hashgcdlem  16756  pythagtriplem19  16802  pc2dvds  16848  fldivp1  16866  abv1z  20803  dveflem  25971  dvlip  25985  elqaalem2  26311  aareccl  26317  cos02pilt1  26515  efeq1  26517  eff1olem  26537  eflogeq  26591  tanarg  26608  logcnlem4  26634  cxpaddle  26741  logbid1  26757  isosctrlem3  26809  angpieqvdlem  26817  dcubic2  26833  2efiatan  26907  atantan  26912  birthdaylem2  26941  efrlim  26958  jensenlem2  26976  logdifbnd  26982  logdiflbnd  26983  emcllem2  26985  emcllem3  26986  emcllem5  26988  dmgmdivn0  27016  lgamgulmlem2  27018  lgamgulmlem5  27021  lgamcvg2  27043  lgam1  27052  basellem8  27076  vmalogdivsum2  27526  2vmadivsumlem  27528  selberg4lem1  27548  pntrmax  27552  pntrlog2bndlem2  27566  pntrlog2bndlem5  27569  pntibndlem2  27579  pntlem3  27597  brbtwn2  28999  axsegconlem10  29020  axpaschlem  29034  axcontlem8  29065  sgnval2  32834  quad3d  32848  constrdircl  33956  cos9thpiminplylem3  33975  cndprobtot  34627  cvmliftlem11  35530  divcnvlin  35968  iprodgam  35977  faclim2  35983  poimirlem32  38026  dvtan  38044  areacirc  38087  lcmineqlem18  42538  aks4d1p1p7  42566  aks4d1p5  42572  aks6d1c1  42608  expeqidd  42809  irrapxlem5  43278  pellexlem6  43286  pell14qrexpclnn0  43318  reglogbas  43347  imo72b2  44623  binomcxplemrat  44801  divcan8d  45767  mccllem  46049  clim1fr1  46053  coseq0  46314  dvnxpaek  46392  stoweidlem1  46451  stoweidlem11  46461  stoweidlem26  46476  wallispilem5  46519  stirlinglem1  46524  stirlinglem3  46526  stirlinglem4  46527  stirlinglem6  46529  stirlinglem7  46530  stirlinglem10  46533  dirkertrigeqlem3  46550  dirkercncflem1  46553  fourierdlem4  46561  fourierdlem6  46563  fourierdlem26  46583  fourierdlem65  46621  etransclem35  46719  sharhght  47315  modlt0b  47839  eenglngeehlnmlem1  49235  eenglngeehlnmlem2  49236  cotsqcscsq  50259