Theorem dividd 11927

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  nndivtr  12204  divge1  12987  xov1plusxeqvd  13426  quoremz  13787  quoremnn0ALT  13789  intfracq  13791  fldiv  13792  modid0  13829  bcn0  14245  abs1m  15271  georeclim  15807  efaddlem  16028  sqgcd  16501  expgcd  16502  prmind2  16624  divgcdodd  16649  divnumden  16687  hashgcdlem  16727  pythagtriplem19  16773  pc2dvds  16819  fldivp1  16837  abv1z  20769  dveflem  25951  dvlip  25966  elqaalem2  26296  aareccl  26302  cos02pilt1  26503  efeq1  26505  eff1olem  26525  eflogeq  26579  tanarg  26596  logcnlem4  26622  cxpaddle  26730  logbid1  26746  isosctrlem3  26798  angpieqvdlem  26806  dcubic2  26822  2efiatan  26896  atantan  26901  birthdaylem2  26930  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  jensenlem2  26966  logdifbnd  26972  logdiflbnd  26973  emcllem2  26975  emcllem3  26976  emcllem5  26978  dmgmdivn0  27006  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem5  27011  lgamcvg2  27033  lgam1  27042  basellem8  27066  vmalogdivsum2  27517  2vmadivsumlem  27519  selberg4lem1  27539  pntrmax  27543  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem5  27560  pntibndlem2  27570  pntlem3  27588  brbtwn2  28990  axsegconlem10  29011  axpaschlem  29025  axcontlem8  29056  sgnval2  32824  quad3d  32839  constrdircl  33942  cos9thpiminplylem3  33961  cndprobtot  34613  cvmliftlem11  35508  divcnvlin  35946  iprodgam  35955  faclim2  35961  poimirlem32  37897  dvtan  37915  areacirc  37958  lcmineqlem18  42410  aks4d1p1p7  42438  aks4d1p5  42444  aks6d1c1  42480  expeqidd  42689  irrapxlem5  43177  pellexlem6  43185  pell14qrexpclnn0  43217  reglogbas  43246  imo72b2  44522  binomcxplemrat  44700  divcan8d  45668  mccllem  45951  clim1fr1  45955  coseq0  46216  dvnxpaek  46294  stoweidlem1  46353  stoweidlem11  46363  stoweidlem26  46378  wallispilem5  46421  stirlinglem1  46426  stirlinglem3  46428  stirlinglem4  46429  stirlinglem6  46431  stirlinglem7  46432  stirlinglem10  46435  dirkertrigeqlem3  46452  dirkercncflem1  46455  fourierdlem4  46463  fourierdlem6  46465  fourierdlem26  46485  fourierdlem65  46523  etransclem35  46621  sharhght  47217  modlt0b  47717  eenglngeehlnmlem1  49091  eenglngeehlnmlem2  49092  cotsqcscsq  50115