Theorem dividd 12068

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  nndivtr  12340  divge1  13125  xov1plusxeqvd  13558  quoremz  13906  quoremnn0ALT  13908  intfracq  13910  fldiv  13911  modid0  13948  bcn0  14359  abs1m  15384  georeclim  15920  efaddlem  16141  sqgcd  16609  expgcd  16610  prmind2  16732  divgcdodd  16757  divnumden  16795  hashgcdlem  16835  pythagtriplem19  16880  pc2dvds  16926  fldivp1  16944  abv1z  20847  dveflem  26037  dvlip  26052  elqaalem2  26380  aareccl  26386  cos02pilt1  26586  efeq1  26588  eff1olem  26608  eflogeq  26662  tanarg  26679  logcnlem4  26705  cxpaddle  26813  logbid1  26829  isosctrlem3  26881  angpieqvdlem  26889  dcubic2  26905  2efiatan  26979  atantan  26984  birthdaylem2  27013  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  jensenlem2  27049  logdifbnd  27055  logdiflbnd  27056  emcllem2  27058  emcllem3  27059  emcllem5  27061  dmgmdivn0  27089  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem5  27094  lgamcvg2  27116  lgam1  27125  basellem8  27149  vmalogdivsum2  27600  2vmadivsumlem  27602  selberg4lem1  27622  pntrmax  27626  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem5  27643  pntibndlem2  27653  pntlem3  27671  brbtwn2  28938  axsegconlem10  28959  axpaschlem  28973  axcontlem8  29004  quad3d  32757  cndprobtot  34401  cvmliftlem11  35263  divcnvlin  35695  iprodgam  35704  faclim2  35710  poimirlem32  37612  dvtan  37630  areacirc  37673  lcmineqlem18  42003  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p5  42037  aks6d1c1  42073  expeqidd  42312  irrapxlem5  42782  pellexlem6  42790  pell14qrexpclnn0  42822  reglogbas  42851  imo72b2  44134  binomcxplemrat  44319  divcan8d  45227  mccllem  45518  clim1fr1  45522  coseq0  45785  dvnxpaek  45863  stoweidlem1  45922  stoweidlem11  45932  stoweidlem26  45947  wallispilem5  45990  stirlinglem1  45995  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  dirkertrigeqlem3  46021  dirkercncflem1  46024  fourierdlem4  46032  fourierdlem6  46034  fourierdlem26  46054  fourierdlem65  46092  etransclem35  46190  sharhght  46786  eenglngeehlnmlem1  48471  eenglngeehlnmlem2  48472  cotsqcscsq  48854