Theorem dividd 11988

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11901	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  nndivtr  12259  divge1  13042  xov1plusxeqvd  13475  quoremz  13820  quoremnn0ALT  13822  intfracq  13824  fldiv  13825  modid0  13862  bcn0  14270  abs1m  15282  georeclim  15818  efaddlem  16036  sqgcd  16502  prmind2  16622  divgcdodd  16647  divnumden  16684  hashgcdlem  16721  pythagtriplem19  16766  pc2dvds  16812  fldivp1  16830  abv1z  20440  dveflem  25496  dvlip  25510  elqaalem2  25833  aareccl  25839  cos02pilt1  26035  efeq1  26037  eff1olem  26057  eflogeq  26110  tanarg  26127  logcnlem4  26153  cxpaddle  26260  logbid1  26273  isosctrlem3  26325  angpieqvdlem  26333  dcubic2  26349  2efiatan  26423  atantan  26428  birthdaylem2  26457  efrlim  26474  jensenlem2  26492  logdifbnd  26498  logdiflbnd  26499  emcllem2  26501  emcllem3  26502  emcllem5  26504  dmgmdivn0  26532  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem5  26537  lgamcvg2  26559  lgam1  26568  basellem8  26592  vmalogdivsum2  27041  2vmadivsumlem  27043  selberg4lem1  27063  pntrmax  27067  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem5  27084  pntibndlem2  27094  pntlem3  27112  brbtwn2  28194  axsegconlem10  28215  axpaschlem  28229  axcontlem8  28260  cndprobtot  33466  cvmliftlem11  34317  divcnvlin  34733  iprodgam  34743  faclim2  34749  poimirlem32  36568  dvtan  36586  areacirc  36629  lcmineqlem18  40959  aks4d1p1p7  40987  aks4d1p5  40993  expgcd  41273  irrapxlem5  41612  pellexlem6  41620  pell14qrexpclnn0  41652  reglogbas  41681  imo72b2  42972  binomcxplemrat  43157  divcan8d  44070  mccllem  44361  clim1fr1  44365  coseq0  44628  dvnxpaek  44706  stoweidlem1  44765  stoweidlem11  44775  stoweidlem26  44790  wallispilem5  44833  stirlinglem1  44838  stirlinglem3  44840  stirlinglem4  44841  stirlinglem6  44843  stirlinglem7  44844  stirlinglem10  44847  dirkertrigeqlem3  44864  dirkercncflem1  44867  fourierdlem4  44875  fourierdlem6  44877  fourierdlem26  44897  fourierdlem65  44935  etransclem35  45033  sharhght  45629  eenglngeehlnmlem1  47471  eenglngeehlnmlem2  47472  cotsqcscsq  47855