Theorem dividd 11414

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11327	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   / cdiv 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298

This theorem is referenced by:  nndivtr  11685  divge1  12458  xov1plusxeqvd  12885  quoremz  13224  quoremnn0ALT  13226  intfracq  13228  fldiv  13229  modid0  13266  bcn0  13671  abs1m  14695  georeclim  15228  efaddlem  15446  sqgcd  15909  prmind2  16029  divgcdodd  16054  divnumden  16088  hashgcdlem  16125  pythagtriplem19  16170  pc2dvds  16215  fldivp1  16233  abv1z  19603  dveflem  24576  dvlip  24590  elqaalem2  24909  aareccl  24915  cos02pilt1  25111  efeq1  25113  eff1olem  25132  eflogeq  25185  tanarg  25202  logcnlem4  25228  cxpaddle  25333  logbid1  25346  isosctrlem3  25398  angpieqvdlem  25406  dcubic2  25422  2efiatan  25496  atantan  25501  birthdaylem2  25530  efrlim  25547  jensenlem2  25565  logdifbnd  25571  logdiflbnd  25572  emcllem2  25574  emcllem3  25575  emcllem5  25577  dmgmdivn0  25605  lgamgulmlem2  25607  lgamgulmlem5  25610  lgamcvg2  25632  lgam1  25641  basellem8  25665  vmalogdivsum2  26114  2vmadivsumlem  26116  selberg4lem1  26136  pntrmax  26140  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem5  26157  pntibndlem2  26167  pntlem3  26185  brbtwn2  26691  axsegconlem10  26712  axpaschlem  26726  axcontlem8  26757  cndprobtot  31694  cvmliftlem11  32542  divcnvlin  32964  iprodgam  32974  faclim2  32980  poimirlem32  34939  dvtan  34957  areacirc  35002  expgcd  39203  irrapxlem5  39443  pellexlem6  39451  pell14qrexpclnn0  39483  reglogbas  39512  imo72b2  40545  binomcxplemrat  40702  divcan8d  41599  mccllem  41898  clim1fr1  41902  coseq0  42165  dvnxpaek  42247  stoweidlem1  42306  stoweidlem11  42316  stoweidlem26  42331  wallispilem5  42374  stirlinglem1  42379  stirlinglem3  42381  stirlinglem4  42382  stirlinglem6  42384  stirlinglem7  42385  stirlinglem10  42388  dirkertrigeqlem3  42405  dirkercncflem1  42408  fourierdlem4  42416  fourierdlem6  42418  fourierdlem26  42438  fourierdlem65  42476  etransclem35  42574  sharhght  43142  eenglngeehlnmlem1  44744  eenglngeehlnmlem2  44745  cotsqcscsq  44881