Theorem dividd 12007

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11920	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   / cdiv 11889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890

This theorem is used by:  nndivtr  12301  divge1  13104  xov1plusxeqvd  13543  quoremz  13908  quoremnn0ALT  13910  intfracq  13912  fldiv  13913  modid0  13950  bcn0  14366  abs1m  15413  georeclim  15952  efaddlem  16172  sqgcd  16645  expgcd  16646  prmind2  16768  divgcdodd  16794  divnumden  16832  hashgcdlem  16872  pythagtriplem19  16918  pc2dvds  16964  fldivp1  16982  abv1z  20964  dveflem  26175  dvlip  26189  elqaalem2  26518  aareccl  26526  cos02pilt1  26728  efeq1  26730  eff1olem  26750  eflogeq  26804  tanarg  26821  logcnlem4  26847  cxpaddle  26954  logbid1  26970  isosctrlem3  27022  angpieqvdlem  27030  dcubic2  27046  2efiatan  27120  atantan  27125  birthdaylem2  27154  efrlim  27171  jensenlem2  27189  logdifbnd  27195  logdiflbnd  27196  emcllem2  27198  emcllem3  27199  emcllem5  27201  dmgmdivn0  27229  lgamgulmlem2  27231  lgamgulmlem5  27234  lgamcvg2  27256  lgam1  27265  basellem8  27289  vmalogdivsum2  27739  2vmadivsumlem  27741  selberg4lem1  27761  pntrmax  27765  pntrlog2bndlem2  27779  pntrlog2bndlem5  27782  pntibndlem2  27792  pntlem3  27810  brbtwn2  29292  axsegconlem10  29313  axpaschlem  29327  axcontlem8  29358  sgnval2  33117  quad3d  33131  constrdircl  34186  cos9thpiminplylem3  34205  cndprobtot  34858  cvmliftlem11  35808  divcnvlin  36246  iprodgam  36255  faclim2  36261  poimirlem32  38344  dvtan  38362  areacirc  38405  lcmineqlem18  42854  aks4d1p1p7  42882  aks4d1p5  42888  aks6d1c1  42924  expeqidd  43127  irrapxlem5  43594  pellexlem6  43602  pell14qrexpclnn0  43634  reglogbas  43663  imo72b2  44939  binomcxplemrat  45101  divcan8d  46072  mccllem  46354  clim1fr1  46358  coseq0  46619  dvnxpaek  46697  stoweidlem1  46756  stoweidlem11  46766  stoweidlem26  46781  wallispilem5  46824  stirlinglem1  46829  stirlinglem3  46831  stirlinglem4  46832  stirlinglem6  46834  stirlinglem7  46835  stirlinglem10  46838  dirkertrigeqlem3  46855  dirkercncflem1  46858  fourierdlem4  46866  fourierdlem6  46868  fourierdlem26  46888  fourierdlem65  46926  etransclem35  47024  sharhght  47620  modlt0b  48147  eenglngeehlnmlem1  49558  eenglngeehlnmlem2  49559  cotsqcscsq  50581