Theorem dividd 11920

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 11831	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  nndivtr  12215  divge1  13003  xov1plusxeqvd  13442  quoremz  13805  quoremnn0ALT  13807  intfracq  13809  fldiv  13810  modid0  13847  bcn0  14263  abs1m  15289  georeclim  15828  efaddlem  16049  sqgcd  16522  expgcd  16523  prmind2  16645  divgcdodd  16671  divnumden  16709  hashgcdlem  16749  pythagtriplem19  16795  pc2dvds  16841  fldivp1  16859  abv1z  20792  dveflem  25956  dvlip  25970  elqaalem2  26297  aareccl  26303  cos02pilt1  26503  efeq1  26505  eff1olem  26525  eflogeq  26579  tanarg  26596  logcnlem4  26622  cxpaddle  26729  logbid1  26745  isosctrlem3  26797  angpieqvdlem  26805  dcubic2  26821  2efiatan  26895  atantan  26900  birthdaylem2  26929  efrlim  26946  efrlimOLD  26947  jensenlem2  26965  logdifbnd  26971  logdiflbnd  26972  emcllem2  26974  emcllem3  26975  emcllem5  26977  dmgmdivn0  27005  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem5  27010  lgamcvg2  27032  lgam1  27041  basellem8  27065  vmalogdivsum2  27515  2vmadivsumlem  27517  selberg4lem1  27537  pntrmax  27541  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem5  27558  pntibndlem2  27568  pntlem3  27586  brbtwn2  28988  axsegconlem10  29009  axpaschlem  29023  axcontlem8  29054  sgnval2  32823  quad3d  32837  constrdircl  33925  cos9thpiminplylem3  33944  cndprobtot  34596  cvmliftlem11  35493  divcnvlin  35931  iprodgam  35940  faclim2  35946  poimirlem32  37987  dvtan  38005  areacirc  38048  lcmineqlem18  42499  aks4d1p1p7  42527  aks4d1p5  42533  aks6d1c1  42569  expeqidd  42771  irrapxlem5  43272  pellexlem6  43280  pell14qrexpclnn0  43312  reglogbas  43341  imo72b2  44617  binomcxplemrat  44795  divcan8d  45763  mccllem  46045  clim1fr1  46049  coseq0  46310  dvnxpaek  46388  stoweidlem1  46447  stoweidlem11  46457  stoweidlem26  46472  wallispilem5  46515  stirlinglem1  46520  stirlinglem3  46522  stirlinglem4  46523  stirlinglem6  46525  stirlinglem7  46526  stirlinglem10  46529  dirkertrigeqlem3  46546  dirkercncflem1  46549  fourierdlem4  46557  fourierdlem6  46559  fourierdlem26  46579  fourierdlem65  46617  etransclem35  46715  sharhght  47311  modlt0b  47829  eenglngeehlnmlem1  49225  eenglngeehlnmlem2  49226  cotsqcscsq  50249