Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divlt0gt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divlt0gt0d 41857
Description: The ratio of a negative numerator and a positive denominator is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
divlt0gt0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
divlt0gt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
divlt0gt0d.3 (𝜑𝐴 < 0)
Assertion
Ref Expression
divlt0gt0d (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 0)

Proof of Theorem divlt0gt0d
StepHypRef Expression
1 divlt0gt0d.3 . . . 4 (𝜑𝐴 < 0)
2 divlt0gt0d.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 0red 10633 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
42, 3ltnled 10776 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
51, 4mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ≤ 𝐴)
6 divlt0gt0d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
72, 6ge0divd 12457 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
85, 7mtbid 327 . 2 (𝜑 → ¬ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
92, 6rerpdivcld 12450 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
109, 3ltnled 10776 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
118, 10mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2114   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526   < clt 10664  cle 10665   / cdiv 11286  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  fourierdlem24  42713  fourierdlem26  42715  fourierdlem42  42731
  Copyright terms: Public domain W3C validator