Theorem divlt0gt0d 43079

Description: The ratio of a negative numerator and a positive denominator is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divlt0gt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divlt0gt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
divlt0gt0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
divlt0gt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 0)

Proof of Theorem divlt0gt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divlt0gt0d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		divlt0gt0d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0red 11057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4	2, 3	ltnled 11201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
5	1, 4	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ≤ 𝐴)
6		divlt0gt0d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
7	2, 6	ge0divd 12889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
8	5, 7	mtbid 323	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
9	2, 6	rerpdivcld 12882	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
10	9, 3	ltnled 11201	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
11	8, 10	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5086  (class class class)co 7316  ℝcr 10949  0cc0 10950   < clt 11088   ≤ cle 11089   / cdiv 11711  ℝ⁺crp 12809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-id 5506  df-po 5520  df-so 5521  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-rp 12810

This theorem is referenced by:  fourierdlem24  43927  fourierdlem26  43929  fourierdlem42  43945