Theorem divlt0gt0d 46410

Description: The ratio of a negative numerator and a positive denominator is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divlt0gt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divlt0gt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
divlt0gt0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
divlt0gt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 0)

Proof of Theorem divlt0gt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divlt0gt0d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		divlt0gt0d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0red 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4	2, 3	ltnled 11464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
5	1, 4	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ≤ 𝐴)
6		divlt0gt0d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
7	2, 6	ge0divd 13209	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
8	5, 7	mtbid 327	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
9	2, 6	rerpdivcld 13202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
10	9, 3	ltnled 11464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
11	8, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207   < clt 11350   ≤ cle 11351   / cdiv 11980  ℝ⁺crp 13127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-rp 13128

This theorem is used by:  fourierdlem24  47249  fourierdlem26  47251  fourierdlem42  47267