Theorem divlt0gt0d 45896

Description: The ratio of a negative numerator and a positive denominator is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divlt0gt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divlt0gt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
divlt0gt0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
divlt0gt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 0)

Proof of Theorem divlt0gt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divlt0gt0d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		divlt0gt0d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0red 11210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4	2, 3	ltnled 11356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
5	1, 4	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ≤ 𝐴)
6		divlt0gt0d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
7	2, 6	ge0divd 13097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
8	5, 7	mtbid 327	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
9	2, 6	rerpdivcld 13090	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
10	9, 3	ltnled 11356	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
11	8, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  0cc0 11099   < clt 11242   ≤ cle 11243   / cdiv 11870  ℝ⁺crp 13015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-rp 13016

This theorem is referenced by:  fourierdlem24  46736  fourierdlem26  46738  fourierdlem42  46754