Theorem zltlesub 43929

Description: If an integer 𝑁 is less than or equal to a real, and we subtract a quantity less than 1, then 𝑁 is less than or equal to the result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zltlesub.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
zltlesub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
zltlesub.nlea	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴)
zltlesub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
zltlesub.blt1	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
zltlesub.asb	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zltlesub	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem zltlesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltlesub.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12661	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		zltlesub.asb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	zred 12661	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
5		zltlesub.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	readdcld 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) ∈ ℝ)
7		peano2re 11382	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9		zltlesub.nlea	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴)
10		zltlesub.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	5	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	11, 12	npcand 11570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
14	9, 13	breqtrrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵))
15		1red 11210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
16		zltlesub.blt1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
17	5, 15, 4, 16	ltadd2dd 11368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) < ((𝐴 − 𝐵) + 1))
18	2, 6, 8, 14, 17	lelttrd 11367	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1))
19		zleltp1 12608	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1)))
20	1, 3, 19	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1)))
21	18, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5146  (class class class)co 7403  ℝcr 11104  1c1 11106   + caddc 11108   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11439  ℤcz 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554

This theorem is referenced by:  fourierdlem65  44821