Theorem zltlesub 45744

Description: If an integer 𝑁 is less than or equal to a real, and we subtract a quantity less than 1, then 𝑁 is less than or equal to the result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zltlesub.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
zltlesub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
zltlesub.nlea	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴)
zltlesub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
zltlesub.blt1	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
zltlesub.asb	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zltlesub	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem zltlesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltlesub.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12630	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		zltlesub.asb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	zred 12630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
5		zltlesub.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	readdcld 11171	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) ∈ ℝ)
7		peano2re 11316	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9		zltlesub.nlea	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴)
10		zltlesub.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	5	recnd 11170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	11, 12	npcand 11506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
14	9, 13	breqtrrd 5114	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵))
15		1red 11142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
16		zltlesub.blt1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
17	5, 15, 4, 16	ltadd2dd 11302	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) < ((𝐴 − 𝐵) + 1))
18	2, 6, 8, 14, 17	lelttrd 11301	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1))
19		zleltp1 12575	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1)))
20	1, 3, 19	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1)))
21	18, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7364  ℝcr 11034  1c1 11036   + caddc 11038   < clt 11176   ≤ cle 11177   − cmin 11374  ℤcz 12521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-n0 12435  df-z 12522

This theorem is referenced by:  fourierdlem65  46625