Theorem zltlesub 46222

Description: If an integer 𝑁 is less than or equal to a real, and we subtract a quantity less than 1, then 𝑁 is less than or equal to the result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zltlesub.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
zltlesub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
zltlesub.nlea	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴)
zltlesub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
zltlesub.blt1	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
zltlesub.asb	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zltlesub	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem zltlesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltlesub.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12772	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		zltlesub.asb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	zred 12772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
5		zltlesub.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	readdcld 11309	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) ∈ ℝ)
7		peano2re 11454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9		zltlesub.nlea	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴)
10		zltlesub.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	5	recnd 11308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	11, 12	npcand 11644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
14	9, 13	breqtrrd 5132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵))
15		1red 11280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
16		zltlesub.blt1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
17	5, 15, 4, 16	ltadd2dd 11440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) < ((𝐴 − 𝐵) + 1))
18	2, 6, 8, 14, 17	lelttrd 11439	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1))
19		zleltp1 12716	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1)))
20	1, 3, 19	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1)))
21	18, 20	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℝcr 11170  1c1 11172   + caddc 11174   < clt 11314   ≤ cle 11315   − cmin 11512  ℤcz 12662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663

This theorem is used by:  fourierdlem65  47103