Theorem zltlesub 40926

Description: If an integer 𝑁 is less than or equal to a real, and we subtract a quantity less than 1, then 𝑁 is less than or equal to the result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zltlesub.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
zltlesub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
zltlesub.nlea	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴)
zltlesub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
zltlesub.blt1	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
zltlesub.asb	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zltlesub	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem zltlesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltlesub.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 11893	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		zltlesub.asb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	zred 11893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
5		zltlesub.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	readdcld 10461	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) ∈ ℝ)
7		peano2re 10605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9		zltlesub.nlea	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴)
10		zltlesub.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	recnd 10460	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	5	recnd 10460	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	11, 12	npcand 10794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
14	9, 13	breqtrrd 4951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵))
15		1red 10432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
16		zltlesub.blt1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
17	5, 15, 4, 16	ltadd2dd 10591	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) < ((𝐴 − 𝐵) + 1))
18	2, 6, 8, 14, 17	lelttrd 10590	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1))
19		zleltp1 11839	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1)))
20	1, 3, 19	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1)))
21	18, 20	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2048   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  ℝcr 10326  1c1 10328   + caddc 10330   < clt 10466   ≤ cle 10467   − cmin 10662  ℤcz 11786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787

This theorem is referenced by:  fourierdlem65  41833