Theorem zltlesub 44294

Description: If an integer 𝑁 is less than or equal to a real, and we subtract a quantity less than 1, then 𝑁 is less than or equal to the result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zltlesub.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
zltlesub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
zltlesub.nlea	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴)
zltlesub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
zltlesub.blt1	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
zltlesub.asb	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zltlesub	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem zltlesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltlesub.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12670	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		zltlesub.asb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	zred 12670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
5		zltlesub.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	readdcld 11247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) ∈ ℝ)
7		peano2re 11391	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9		zltlesub.nlea	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴)
10		zltlesub.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	5	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	11, 12	npcand 11579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
14	9, 13	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵))
15		1red 11219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
16		zltlesub.blt1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
17	5, 15, 4, 16	ltadd2dd 11377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) < ((𝐴 − 𝐵) + 1))
18	2, 6, 8, 14, 17	lelttrd 11376	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1))
19		zleltp1 12617	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1)))
20	1, 3, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴 − 𝐵) + 1)))
21	18, 20	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563

This theorem is referenced by:  fourierdlem65  45186