Theorem rerpdivcld 13049

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13006	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   / cdiv 11873  ℝ⁺crp 12976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-rp 12977

This theorem is referenced by:  iccf1o  13475  xov1plusxeqvd  13477  expmulnbnd  14200  discr  14205  geomulcvg  15824  mertenslem1  15832  retanhcl  16104  bitsfzolem  16377  bitsfzo  16378  bitsmod  16379  odmodnn0  19410  nmoi  24252  nmoleub  24255  icopnfcnv  24465  nmoleub2lem  24637  nmoleub2lem3  24638  pjthlem1  24961  ovolscalem1  25037  ovolscalem2  25038  ovolsca  25039  mbfmulc2lem  25171  itg2const2  25266  dvferm1lem  25508  abelthlem7  25957  logdivlti  26135  logdivle  26137  logcnlem3  26159  logcnlem4  26160  advlogexp  26170  cxpaddle  26267  cxploglim  26489  cxploglim2  26490  lgamgulmlem2  26541  lgamgulmlem3  26542  lgamucov  26549  ftalem1  26584  ftalem2  26585  basellem3  26594  fsumvma2  26724  chpval2  26728  chpchtsum  26729  chpub  26730  logfacrlim  26734  logexprlim  26735  efexple  26791  bposlem9  26802  chebbnd1lem2  26980  chebbnd1lem3  26981  chtppilim  26985  chpchtlim  26989  chpo1ubb  26991  rplogsumlem1  26994  rplogsumlem2  26995  rpvmasumlem  26997  dchrmusum2  27004  dchrvmasumlem2  27008  dchrisum0fno1  27021  dchrisum0lem1b  27025  dchrisum0lem1  27026  dchrisum0lem2a  27027  rplogsum  27037  mulog2sumlem1  27044  mulog2sumlem2  27045  vmalogdivsum2  27048  vmalogdivsum  27049  2vmadivsumlem  27050  log2sumbnd  27054  selberglem2  27056  selbergb  27059  selberg2b  27062  chpdifbndlem1  27063  selberg3lem1  27067  selberg3lem2  27068  selberg3  27069  selberg4lem1  27070  selberg4  27071  pntrsumo1  27075  selberg3r  27079  selberg4r  27080  selberg34r  27081  pntrlog2bndlem1  27087  pntrlog2bndlem2  27088  pntrlog2bndlem3  27089  pntrlog2bndlem4  27090  pntrlog2bndlem5  27091  pntrlog2bndlem6  27093  pntrlog2bnd  27094  pntpbnd1a  27095  pntpbnd2  27097  pntibndlem2  27101  pntibndlem3  27102  pntlemb  27107  pntlemg  27108  pntlemh  27109  pntlemn  27110  pntlemr  27112  pntlemj  27113  pntlemf  27115  pntlemk  27116  pntlemo  27117  pnt  27124  ostth2lem1  27128  ostth2lem4  27146  ostth3  27148  pjhthlem1  30682  esumcst  33130  dya2iocress  33342  dya2iocbrsiga  33343  dya2icobrsiga  33344  sxbrsigalem2  33354  probmeasb  33498  itg2addnclem3  36627  ftc1anclem7  36653  geomcau  36713  cntotbnd  36750  bfplem1  36776  fltnlta  41487  binomcxplemnotnn0  43197  divlt0gt0d  44075  lefldiveq  44081  ltmod  44433  0ellimcdiv  44444  wallispilem5  44864  stirlingr  44885  dirkercncflem1  44898  fourierdlem65  44966  hoiqssbllem2  45418