Theorem rerpdivcld 12997

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  ℝcr 11059   / cdiv 11821  ℝ⁺crp 12924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-rp 12925

This theorem is referenced by:  iccf1o  13423  xov1plusxeqvd  13425  expmulnbnd  14148  discr  14153  geomulcvg  15772  mertenslem1  15780  retanhcl  16052  bitsfzolem  16325  bitsfzo  16326  bitsmod  16327  odmodnn0  19336  nmoi  24129  nmoleub  24132  icopnfcnv  24342  nmoleub2lem  24514  nmoleub2lem3  24515  pjthlem1  24838  ovolscalem1  24914  ovolscalem2  24915  ovolsca  24916  mbfmulc2lem  25048  itg2const2  25143  dvferm1lem  25385  abelthlem7  25834  logdivlti  26012  logdivle  26014  logcnlem3  26036  logcnlem4  26037  advlogexp  26047  cxpaddle  26142  cxploglim  26364  cxploglim2  26365  lgamgulmlem2  26416  lgamgulmlem3  26417  lgamucov  26424  ftalem1  26459  ftalem2  26460  basellem3  26469  fsumvma2  26599  chpval2  26603  chpchtsum  26604  chpub  26605  logfacrlim  26609  logexprlim  26610  efexple  26666  bposlem9  26677  chebbnd1lem2  26855  chebbnd1lem3  26856  chtppilim  26860  chpchtlim  26864  chpo1ubb  26866  rplogsumlem1  26869  rplogsumlem2  26870  rpvmasumlem  26872  dchrmusum2  26879  dchrvmasumlem2  26883  dchrisum0fno1  26896  dchrisum0lem1b  26900  dchrisum0lem1  26901  dchrisum0lem2a  26902  rplogsum  26912  mulog2sumlem1  26919  mulog2sumlem2  26920  vmalogdivsum2  26923  vmalogdivsum  26924  2vmadivsumlem  26925  log2sumbnd  26929  selberglem2  26931  selbergb  26934  selberg2b  26937  chpdifbndlem1  26938  selberg3lem1  26942  selberg3lem2  26943  selberg3  26944  selberg4lem1  26945  selberg4  26946  pntrsumo1  26950  selberg3r  26954  selberg4r  26955  selberg34r  26956  pntrlog2bndlem1  26962  pntrlog2bndlem2  26963  pntrlog2bndlem3  26964  pntrlog2bndlem4  26965  pntrlog2bndlem5  26966  pntrlog2bndlem6  26968  pntrlog2bnd  26969  pntpbnd1a  26970  pntpbnd2  26972  pntibndlem2  26976  pntibndlem3  26977  pntlemb  26982  pntlemg  26983  pntlemh  26984  pntlemn  26985  pntlemr  26987  pntlemj  26988  pntlemf  26990  pntlemk  26991  pntlemo  26992  pnt  26999  ostth2lem1  27003  ostth2lem4  27021  ostth3  27023  pjhthlem1  30396  esumcst  32751  dya2iocress  32963  dya2iocbrsiga  32964  dya2icobrsiga  32965  sxbrsigalem2  32975  probmeasb  33119  itg2addnclem3  36204  ftc1anclem7  36230  geomcau  36291  cntotbnd  36328  bfplem1  36354  fltnlta  41059  binomcxplemnotnn0  42758  divlt0gt0d  43641  lefldiveq  43647  ltmod  43999  0ellimcdiv  44010  wallispilem5  44430  stirlingr  44451  dirkercncflem1  44464  fourierdlem65  44532  hoiqssbllem2  44984