Theorem rerpdivcld 13105

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13062	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℝcr 11151   / cdiv 11917  ℝ⁺crp 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  iccf1o  13532  xov1plusxeqvd  13534  expmulnbnd  14270  discr  14275  geomulcvg  15908  mertenslem1  15916  retanhcl  16191  bitsfzolem  16467  bitsfzo  16468  bitsmod  16469  odmodnn0  19572  nmoi  24764  nmoleub  24767  icopnfcnv  24986  nmoleub2lem  25160  nmoleub2lem3  25161  pjthlem1  25484  ovolscalem1  25561  ovolscalem2  25562  ovolsca  25563  mbfmulc2lem  25695  itg2const2  25790  dvferm1lem  26036  abelthlem7  26496  logdivlti  26676  logdivle  26678  logcnlem3  26700  logcnlem4  26701  advlogexp  26711  cxpaddle  26809  cxploglim  27035  cxploglim2  27036  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem3  27088  lgamucov  27095  ftalem1  27130  ftalem2  27131  basellem3  27140  fsumvma2  27272  chpval2  27276  chpchtsum  27277  chpub  27278  logfacrlim  27282  logexprlim  27283  efexple  27339  bposlem9  27350  chebbnd1lem2  27528  chebbnd1lem3  27529  chtppilim  27533  chpchtlim  27537  chpo1ubb  27539  rplogsumlem1  27542  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  dchrmusum2  27552  dchrvmasumlem2  27556  dchrisum0fno1  27569  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem1  27574  dchrisum0lem2a  27575  rplogsum  27585  mulog2sumlem1  27592  mulog2sumlem2  27593  vmalogdivsum2  27596  vmalogdivsum  27597  2vmadivsumlem  27598  log2sumbnd  27602  selberglem2  27604  selbergb  27607  selberg2b  27610  chpdifbndlem1  27611  selberg3lem1  27615  selberg3lem2  27616  selberg3  27617  selberg4lem1  27618  selberg4  27619  pntrsumo1  27623  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntrlog2bndlem1  27635  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6  27641  pntrlog2bnd  27642  pntpbnd1a  27643  pntpbnd2  27645  pntibndlem2  27649  pntibndlem3  27650  pntlemb  27655  pntlemg  27656  pntlemh  27657  pntlemn  27658  pntlemr  27660  pntlemj  27661  pntlemf  27663  pntlemk  27664  pntlemo  27665  pnt  27672  ostth2lem1  27676  ostth2lem4  27694  ostth3  27696  pjhthlem1  31419  esumcst  34043  dya2iocress  34255  dya2iocbrsiga  34256  dya2icobrsiga  34257  sxbrsigalem2  34267  probmeasb  34411  itg2addnclem3  37659  ftc1anclem7  37685  geomcau  37745  cntotbnd  37782  bfplem1  37808  fltnlta  42649  binomcxplemnotnn0  44351  divlt0gt0d  45236  lefldiveq  45242  ltmod  45593  0ellimcdiv  45604  wallispilem5  46024  stirlingr  46045  dirkercncflem1  46058  fourierdlem65  46126  hoiqssbllem2  46578