Theorem rerpdivcld 13202

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℝcr 11206   / cdiv 11980  ℝ⁺crp 13127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-rp 13128

This theorem is used by:  iccf1o  13634  xov1plusxeqvd  13636  expmulnbnd  14386  discr  14391  geomulcvg  16054  mertenslem1  16062  retanhcl  16336  bitsfzolem  16613  bitsfzo  16614  bitsmod  16615  odmodnn0  19763  nmoi  25056  nmoleub  25059  icopnfcnv  25272  nmoleub2lem  25444  nmoleub2lem3  25445  pjthlem1  25767  ovolscalem1  25843  ovolscalem2  25844  ovolsca  25845  mbfmulc2lem  25977  itg2const2  26071  dvferm1lem  26313  abelthlem7  26774  logdivlti  26957  logdivle  26959  logcnlem3  26981  logcnlem4  26982  advlogexp  26992  cxpaddle  27089  cxploglim  27314  cxploglim2  27315  lgamgulmlem2  27366  lgamgulmlem3  27367  lgamucov  27374  ftalem1  27409  ftalem2  27410  basellem3  27419  fsumvma2  27550  chpval2  27554  chpchtsum  27555  chpub  27556  logfacrlim  27560  logexprlim  27561  efexple  27617  bposlem9  27628  chebbnd1lem2  27806  chebbnd1lem3  27807  chtppilim  27811  chpchtlim  27815  chpo1ubb  27817  rplogsumlem1  27820  rplogsumlem2  27821  rpvmasumlem  27823  dchrmusum2  27830  dchrvmasumlem2  27834  dchrisum0fno1  27847  dchrisum0lem1b  27851  dchrisum0lem1  27852  dchrisum0lem2a  27853  rplogsum  27863  mulog2sumlem1  27870  mulog2sumlem2  27871  vmalogdivsum2  27874  vmalogdivsum  27875  2vmadivsumlem  27876  log2sumbnd  27880  selberglem2  27882  selbergb  27885  selberg2b  27888  chpdifbndlem1  27889  selberg3lem1  27893  selberg3lem2  27894  selberg3  27895  selberg4lem1  27896  selberg4  27897  pntrsumo1  27901  selberg3r  27905  selberg4r  27906  selberg34r  27907  pntrlog2bndlem1  27913  pntrlog2bndlem2  27914  pntrlog2bndlem3  27915  pntrlog2bndlem4  27916  pntrlog2bndlem5  27917  pntrlog2bndlem6  27919  pntrlog2bnd  27920  pntpbnd1a  27921  pntpbnd2  27923  pntibndlem2  27927  pntibndlem3  27928  pntlemb  27933  pntlemg  27934  pntlemh  27935  pntlemn  27936  pntlemr  27938  pntlemj  27939  pntlemf  27941  pntlemk  27942  pntlemo  27943  pnt  27950  ostth2lem1  27954  ostth2lem4  27972  ostth3  27974  pjhthlem1  32002  esumcst  34745  dya2iocress  34956  dya2iocbrsiga  34957  dya2icobrsiga  34958  sxbrsigalem2  34968  probmeasb  35112  itg2addnclem3  38728  ftc1anclem7  38754  geomcau  38830  cntotbnd  38867  bfplem1  38893  fltnlta  43811  binomcxplemnotnn0  45477  divlt0gt0d  46438  lefldiveq  46444  ltmod  46784  0ellimcdiv  46795  wallispilem5  47215  stirlingr  47236  dirkercncflem1  47249  fourierdlem65  47317  hoiqssbllem2  47769