Theorem rerpdivcld 13052

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13009	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℝcr 11112   / cdiv 11876  ℝ⁺crp 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-rp 12980

This theorem is referenced by:  iccf1o  13478  xov1plusxeqvd  13480  expmulnbnd  14203  discr  14208  geomulcvg  15827  mertenslem1  15835  retanhcl  16107  bitsfzolem  16380  bitsfzo  16381  bitsmod  16382  odmodnn0  19450  nmoi  24466  nmoleub  24469  icopnfcnv  24688  nmoleub2lem  24862  nmoleub2lem3  24863  pjthlem1  25186  ovolscalem1  25263  ovolscalem2  25264  ovolsca  25265  mbfmulc2lem  25397  itg2const2  25492  dvferm1lem  25734  abelthlem7  26183  logdivlti  26361  logdivle  26363  logcnlem3  26385  logcnlem4  26386  advlogexp  26396  cxpaddle  26493  cxploglim  26715  cxploglim2  26716  lgamgulmlem2  26767  lgamgulmlem3  26768  lgamucov  26775  ftalem1  26810  ftalem2  26811  basellem3  26820  fsumvma2  26950  chpval2  26954  chpchtsum  26955  chpub  26956  logfacrlim  26960  logexprlim  26961  efexple  27017  bposlem9  27028  chebbnd1lem2  27206  chebbnd1lem3  27207  chtppilim  27211  chpchtlim  27215  chpo1ubb  27217  rplogsumlem1  27220  rplogsumlem2  27221  rpvmasumlem  27223  dchrmusum2  27230  dchrvmasumlem2  27234  dchrisum0fno1  27247  dchrisum0lem1b  27251  dchrisum0lem1  27252  dchrisum0lem2a  27253  rplogsum  27263  mulog2sumlem1  27270  mulog2sumlem2  27271  vmalogdivsum2  27274  vmalogdivsum  27275  2vmadivsumlem  27276  log2sumbnd  27280  selberglem2  27282  selbergb  27285  selberg2b  27288  chpdifbndlem1  27289  selberg3lem1  27293  selberg3lem2  27294  selberg3  27295  selberg4lem1  27296  selberg4  27297  pntrsumo1  27301  selberg3r  27305  selberg4r  27306  selberg34r  27307  pntrlog2bndlem1  27313  pntrlog2bndlem2  27314  pntrlog2bndlem3  27315  pntrlog2bndlem4  27316  pntrlog2bndlem5  27317  pntrlog2bndlem6  27319  pntrlog2bnd  27320  pntpbnd1a  27321  pntpbnd2  27323  pntibndlem2  27327  pntibndlem3  27328  pntlemb  27333  pntlemg  27334  pntlemh  27335  pntlemn  27336  pntlemr  27338  pntlemj  27339  pntlemf  27341  pntlemk  27342  pntlemo  27343  pnt  27350  ostth2lem1  27354  ostth2lem4  27372  ostth3  27374  pjhthlem1  30908  esumcst  33356  dya2iocress  33568  dya2iocbrsiga  33569  dya2icobrsiga  33570  sxbrsigalem2  33580  probmeasb  33724  itg2addnclem3  36845  ftc1anclem7  36871  geomcau  36931  cntotbnd  36968  bfplem1  36994  fltnlta  41708  binomcxplemnotnn0  43418  divlt0gt0d  44296  lefldiveq  44302  ltmod  44654  0ellimcdiv  44665  wallispilem5  45085  stirlingr  45106  dirkercncflem1  45119  fourierdlem65  45187  hoiqssbllem2  45639