Theorem rerpdivcld 12978

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℝcr 11023   / cdiv 11792  ℝ⁺crp 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-rp 12904

This theorem is referenced by:  iccf1o  13410  xov1plusxeqvd  13412  expmulnbnd  14156  discr  14161  geomulcvg  15797  mertenslem1  15805  retanhcl  16082  bitsfzolem  16359  bitsfzo  16360  bitsmod  16361  odmodnn0  19467  nmoi  24670  nmoleub  24673  icopnfcnv  24894  nmoleub2lem  25068  nmoleub2lem3  25069  pjthlem1  25391  ovolscalem1  25468  ovolscalem2  25469  ovolsca  25470  mbfmulc2lem  25602  itg2const2  25696  dvferm1lem  25942  abelthlem7  26402  logdivlti  26583  logdivle  26585  logcnlem3  26607  logcnlem4  26608  advlogexp  26618  cxpaddle  26716  cxploglim  26942  cxploglim2  26943  lgamgulmlem2  26994  lgamgulmlem3  26995  lgamucov  27002  ftalem1  27037  ftalem2  27038  basellem3  27047  fsumvma2  27179  chpval2  27183  chpchtsum  27184  chpub  27185  logfacrlim  27189  logexprlim  27190  efexple  27246  bposlem9  27257  chebbnd1lem2  27435  chebbnd1lem3  27436  chtppilim  27440  chpchtlim  27444  chpo1ubb  27446  rplogsumlem1  27449  rplogsumlem2  27450  rpvmasumlem  27452  dchrmusum2  27459  dchrvmasumlem2  27463  dchrisum0fno1  27476  dchrisum0lem1b  27480  dchrisum0lem1  27481  dchrisum0lem2a  27482  rplogsum  27492  mulog2sumlem1  27499  mulog2sumlem2  27500  vmalogdivsum2  27503  vmalogdivsum  27504  2vmadivsumlem  27505  log2sumbnd  27509  selberglem2  27511  selbergb  27514  selberg2b  27517  chpdifbndlem1  27518  selberg3lem1  27522  selberg3lem2  27523  selberg3  27524  selberg4lem1  27525  selberg4  27526  pntrsumo1  27530  selberg3r  27534  selberg4r  27535  selberg34r  27536  pntrlog2bndlem1  27542  pntrlog2bndlem2  27543  pntrlog2bndlem3  27544  pntrlog2bndlem4  27545  pntrlog2bndlem5  27546  pntrlog2bndlem6  27548  pntrlog2bnd  27549  pntpbnd1a  27550  pntpbnd2  27552  pntibndlem2  27556  pntibndlem3  27557  pntlemb  27562  pntlemg  27563  pntlemh  27564  pntlemn  27565  pntlemr  27567  pntlemj  27568  pntlemf  27570  pntlemk  27571  pntlemo  27572  pnt  27579  ostth2lem1  27583  ostth2lem4  27601  ostth3  27603  pjhthlem1  31415  esumcst  34169  dya2iocress  34380  dya2iocbrsiga  34381  dya2icobrsiga  34382  sxbrsigalem2  34392  probmeasb  34536  itg2addnclem3  37813  ftc1anclem7  37839  geomcau  37899  cntotbnd  37936  bfplem1  37962  fltnlta  42848  binomcxplemnotnn0  44539  divlt0gt0d  45476  lefldiveq  45482  ltmod  45824  0ellimcdiv  45835  wallispilem5  46255  stirlingr  46276  dirkercncflem1  46289  fourierdlem65  46357  hoiqssbllem2  46809