Theorem rerpdivcld 12849

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12806	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  ℝcr 10916   / cdiv 11678  ℝ⁺crp 12776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-rp 12777

This theorem is referenced by:  iccf1o  13274  xov1plusxeqvd  13276  expmulnbnd  13996  discr  14001  geomulcvg  15633  mertenslem1  15641  retanhcl  15913  bitsfzolem  16186  bitsfzo  16187  bitsmod  16188  odmodnn0  19193  nmoi  23937  nmoleub  23940  icopnfcnv  24150  nmoleub2lem  24322  nmoleub2lem3  24323  pjthlem1  24646  ovolscalem1  24722  ovolscalem2  24723  ovolsca  24724  mbfmulc2lem  24856  itg2const2  24951  dvferm1lem  25193  abelthlem7  25642  logdivlti  25820  logdivle  25822  logcnlem3  25844  logcnlem4  25845  advlogexp  25855  cxpaddle  25950  cxploglim  26172  cxploglim2  26173  lgamgulmlem2  26224  lgamgulmlem3  26225  lgamucov  26232  ftalem1  26267  ftalem2  26268  basellem3  26277  fsumvma2  26407  chpval2  26411  chpchtsum  26412  chpub  26413  logfacrlim  26417  logexprlim  26418  efexple  26474  bposlem9  26485  chebbnd1lem2  26663  chebbnd1lem3  26664  chtppilim  26668  chpchtlim  26672  chpo1ubb  26674  rplogsumlem1  26677  rplogsumlem2  26678  rpvmasumlem  26680  dchrmusum2  26687  dchrvmasumlem2  26691  dchrisum0fno1  26704  dchrisum0lem1b  26708  dchrisum0lem1  26709  dchrisum0lem2a  26710  rplogsum  26720  mulog2sumlem1  26727  mulog2sumlem2  26728  vmalogdivsum2  26731  vmalogdivsum  26732  2vmadivsumlem  26733  log2sumbnd  26737  selberglem2  26739  selbergb  26742  selberg2b  26745  chpdifbndlem1  26746  selberg3lem1  26750  selberg3lem2  26751  selberg3  26752  selberg4lem1  26753  selberg4  26754  pntrsumo1  26758  selberg3r  26762  selberg4r  26763  selberg34r  26764  pntrlog2bndlem1  26770  pntrlog2bndlem2  26771  pntrlog2bndlem3  26772  pntrlog2bndlem4  26773  pntrlog2bndlem5  26774  pntrlog2bndlem6  26776  pntrlog2bnd  26777  pntpbnd1a  26778  pntpbnd2  26780  pntibndlem2  26784  pntibndlem3  26785  pntlemb  26790  pntlemg  26791  pntlemh  26792  pntlemn  26793  pntlemr  26795  pntlemj  26796  pntlemf  26798  pntlemk  26799  pntlemo  26800  pnt  26807  ostth2lem1  26811  ostth2lem4  26829  ostth3  26831  pjhthlem1  29798  esumcst  32076  dya2iocress  32286  dya2iocbrsiga  32287  dya2icobrsiga  32288  sxbrsigalem2  32298  probmeasb  32442  itg2addnclem3  35874  ftc1anclem7  35900  geomcau  35961  cntotbnd  35998  bfplem1  36024  fltnlta  40537  binomcxplemnotnn0  42012  divlt0gt0d  42873  lefldiveq  42879  ltmod  43228  0ellimcdiv  43239  wallispilem5  43659  stirlingr  43680  dirkercncflem1  43693  fourierdlem65  43761  hoiqssbllem2  44211