Theorem rerpdivcld 13054

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13011	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  ℝcr 11058   / cdiv 11830  ℝ⁺crp 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-rp 12980

This theorem is referenced by:  iccf1o  13486  xov1plusxeqvd  13488  expmulnbnd  14234  discr  14239  geomulcvg  15878  mertenslem1  15886  retanhcl  16163  bitsfzolem  16440  bitsfzo  16441  bitsmod  16442  odmodnn0  19552  nmoi  24757  nmoleub  24760  icopnfcnv  24973  nmoleub2lem  25145  nmoleub2lem3  25146  pjthlem1  25468  ovolscalem1  25544  ovolscalem2  25545  ovolsca  25546  mbfmulc2lem  25678  itg2const2  25772  dvferm1lem  26015  abelthlem7  26467  logdivlti  26651  logdivle  26653  logcnlem3  26675  logcnlem4  26676  advlogexp  26686  cxpaddle  26783  cxploglim  27008  cxploglim2  27009  lgamgulmlem2  27060  lgamgulmlem3  27061  lgamucov  27068  ftalem1  27103  ftalem2  27104  basellem3  27113  fsumvma2  27244  chpval2  27248  chpchtsum  27249  chpub  27250  logfacrlim  27254  logexprlim  27255  efexple  27311  bposlem9  27322  chebbnd1lem2  27500  chebbnd1lem3  27501  chtppilim  27505  chpchtlim  27509  chpo1ubb  27511  rplogsumlem1  27514  rplogsumlem2  27515  rpvmasumlem  27517  dchrmusum2  27524  dchrvmasumlem2  27528  dchrisum0fno1  27541  dchrisum0lem1b  27545  dchrisum0lem1  27546  dchrisum0lem2a  27547  rplogsum  27557  mulog2sumlem1  27564  mulog2sumlem2  27565  vmalogdivsum2  27568  vmalogdivsum  27569  2vmadivsumlem  27570  log2sumbnd  27574  selberglem2  27576  selbergb  27579  selberg2b  27582  chpdifbndlem1  27583  selberg3lem1  27587  selberg3lem2  27588  selberg3  27589  selberg4lem1  27590  selberg4  27591  pntrsumo1  27595  selberg3r  27599  selberg4r  27600  selberg34r  27601  pntrlog2bndlem1  27607  pntrlog2bndlem2  27608  pntrlog2bndlem3  27609  pntrlog2bndlem4  27610  pntrlog2bndlem5  27611  pntrlog2bndlem6  27613  pntrlog2bnd  27614  pntpbnd1a  27615  pntpbnd2  27617  pntibndlem2  27621  pntibndlem3  27622  pntlemb  27627  pntlemg  27628  pntlemh  27629  pntlemn  27630  pntlemr  27632  pntlemj  27633  pntlemf  27635  pntlemk  27636  pntlemo  27637  pnt  27644  ostth2lem1  27648  ostth2lem4  27666  ostth3  27668  pjhthlem1  31529  esumcst  34304  dya2iocress  34515  dya2iocbrsiga  34516  dya2icobrsiga  34517  sxbrsigalem2  34527  probmeasb  34671  itg2addnclem3  38110  ftc1anclem7  38136  geomcau  38196  cntotbnd  38233  bfplem1  38259  fltnlta  43183  binomcxplemnotnn0  44870  divlt0gt0d  45803  lefldiveq  45809  ltmod  46150  0ellimcdiv  46161  wallispilem5  46581  stirlingr  46602  dirkercncflem1  46615  fourierdlem65  46683  hoiqssbllem2  47135