Theorem rerpdivcld 12785

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12742	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℝcr 10854   / cdiv 11615  ℝ⁺crp 12712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-rp 12713

This theorem is referenced by:  iccf1o  13210  xov1plusxeqvd  13212  expmulnbnd  13931  discr  13936  geomulcvg  15569  mertenslem1  15577  retanhcl  15849  bitsfzolem  16122  bitsfzo  16123  bitsmod  16124  odmodnn0  19129  nmoi  23873  nmoleub  23876  icopnfcnv  24086  nmoleub2lem  24258  nmoleub2lem3  24259  pjthlem1  24582  ovolscalem1  24658  ovolscalem2  24659  ovolsca  24660  mbfmulc2lem  24792  itg2const2  24887  dvferm1lem  25129  abelthlem7  25578  logdivlti  25756  logdivle  25758  logcnlem3  25780  logcnlem4  25781  advlogexp  25791  cxpaddle  25886  cxploglim  26108  cxploglim2  26109  lgamgulmlem2  26160  lgamgulmlem3  26161  lgamucov  26168  ftalem1  26203  ftalem2  26204  basellem3  26213  fsumvma2  26343  chpval2  26347  chpchtsum  26348  chpub  26349  logfacrlim  26353  logexprlim  26354  efexple  26410  bposlem9  26421  chebbnd1lem2  26599  chebbnd1lem3  26600  chtppilim  26604  chpchtlim  26608  chpo1ubb  26610  rplogsumlem1  26613  rplogsumlem2  26614  rpvmasumlem  26616  dchrmusum2  26623  dchrvmasumlem2  26627  dchrisum0fno1  26640  dchrisum0lem1b  26644  dchrisum0lem1  26645  dchrisum0lem2a  26646  rplogsum  26656  mulog2sumlem1  26663  mulog2sumlem2  26664  vmalogdivsum2  26667  vmalogdivsum  26668  2vmadivsumlem  26669  log2sumbnd  26673  selberglem2  26675  selbergb  26678  selberg2b  26681  chpdifbndlem1  26682  selberg3lem1  26686  selberg3lem2  26687  selberg3  26688  selberg4lem1  26689  selberg4  26690  pntrsumo1  26694  selberg3r  26698  selberg4r  26699  selberg34r  26700  pntrlog2bndlem1  26706  pntrlog2bndlem2  26707  pntrlog2bndlem3  26708  pntrlog2bndlem4  26709  pntrlog2bndlem5  26710  pntrlog2bndlem6  26712  pntrlog2bnd  26713  pntpbnd1a  26714  pntpbnd2  26716  pntibndlem2  26720  pntibndlem3  26721  pntlemb  26726  pntlemg  26727  pntlemh  26728  pntlemn  26729  pntlemr  26731  pntlemj  26732  pntlemf  26734  pntlemk  26735  pntlemo  26736  pnt  26743  ostth2lem1  26747  ostth2lem4  26765  ostth3  26767  pjhthlem1  29732  esumcst  32010  dya2iocress  32220  dya2iocbrsiga  32221  dya2icobrsiga  32222  sxbrsigalem2  32232  probmeasb  32376  itg2addnclem3  35809  ftc1anclem7  35835  geomcau  35896  cntotbnd  35933  bfplem1  35959  fltnlta  40480  binomcxplemnotnn0  41927  divlt0gt0d  42778  lefldiveq  42785  ltmod  43133  0ellimcdiv  43144  wallispilem5  43564  stirlingr  43585  dirkercncflem1  43598  fourierdlem65  43666  hoiqssbllem2  44115