Theorem rerpdivcld 13195

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   / cdiv 11973  ℝ⁺crp 13120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-rp 13121

This theorem is used by:  iccf1o  13627  xov1plusxeqvd  13629  expmulnbnd  14379  discr  14384  geomulcvg  16045  mertenslem1  16053  retanhcl  16327  bitsfzolem  16604  bitsfzo  16605  bitsmod  16606  odmodnn0  19754  nmoi  25047  nmoleub  25050  icopnfcnv  25263  nmoleub2lem  25435  nmoleub2lem3  25436  pjthlem1  25758  ovolscalem1  25834  ovolscalem2  25835  ovolsca  25836  mbfmulc2lem  25968  itg2const2  26062  dvferm1lem  26304  abelthlem7  26765  logdivlti  26948  logdivle  26950  logcnlem3  26972  logcnlem4  26973  advlogexp  26983  cxpaddle  27080  cxploglim  27305  cxploglim2  27306  lgamgulmlem2  27357  lgamgulmlem3  27358  lgamucov  27365  ftalem1  27400  ftalem2  27401  basellem3  27410  fsumvma2  27541  chpval2  27545  chpchtsum  27546  chpub  27547  logfacrlim  27551  logexprlim  27552  efexple  27608  bposlem9  27619  chebbnd1lem2  27797  chebbnd1lem3  27798  chtppilim  27802  chpchtlim  27806  chpo1ubb  27808  rplogsumlem1  27811  rplogsumlem2  27812  rpvmasumlem  27814  dchrmusum2  27821  dchrvmasumlem2  27825  dchrisum0fno1  27838  dchrisum0lem1b  27842  dchrisum0lem1  27843  dchrisum0lem2a  27844  rplogsum  27854  mulog2sumlem1  27861  mulog2sumlem2  27862  vmalogdivsum2  27865  vmalogdivsum  27866  2vmadivsumlem  27867  log2sumbnd  27871  selberglem2  27873  selbergb  27876  selberg2b  27879  chpdifbndlem1  27880  selberg3lem1  27884  selberg3lem2  27885  selberg3  27886  selberg4lem1  27887  selberg4  27888  pntrsumo1  27892  selberg3r  27896  selberg4r  27897  selberg34r  27898  pntrlog2bndlem1  27904  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem3  27906  pntrlog2bndlem4  27907  pntrlog2bndlem5  27908  pntrlog2bndlem6  27910  pntrlog2bnd  27911  pntpbnd1a  27912  pntpbnd2  27914  pntibndlem2  27918  pntibndlem3  27919  pntlemb  27924  pntlemg  27925  pntlemh  27926  pntlemn  27927  pntlemr  27929  pntlemj  27930  pntlemf  27932  pntlemk  27933  pntlemo  27934  pnt  27941  ostth2lem1  27945  ostth2lem4  27963  ostth3  27965  pjhthlem1  31993  esumcst  34695  dya2iocress  34906  dya2iocbrsiga  34907  dya2icobrsiga  34908  sxbrsigalem2  34918  probmeasb  35062  itg2addnclem3  38591  ftc1anclem7  38617  geomcau  38693  cntotbnd  38730  bfplem1  38756  fltnlta  43674  binomcxplemnotnn0  45339  divlt0gt0d  46301  lefldiveq  46307  ltmod  46647  0ellimcdiv  46658  wallispilem5  47078  stirlingr  47099  dirkercncflem1  47112  fourierdlem65  47180  hoiqssbllem2  47632