Theorem rerpdivcld 12980

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12937	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   / cdiv 11794  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  iccf1o  13412  xov1plusxeqvd  13414  expmulnbnd  14158  discr  14163  geomulcvg  15799  mertenslem1  15807  retanhcl  16084  bitsfzolem  16361  bitsfzo  16362  bitsmod  16363  odmodnn0  19469  nmoi  24672  nmoleub  24675  icopnfcnv  24896  nmoleub2lem  25070  nmoleub2lem3  25071  pjthlem1  25393  ovolscalem1  25470  ovolscalem2  25471  ovolsca  25472  mbfmulc2lem  25604  itg2const2  25698  dvferm1lem  25944  abelthlem7  26404  logdivlti  26585  logdivle  26587  logcnlem3  26609  logcnlem4  26610  advlogexp  26620  cxpaddle  26718  cxploglim  26944  cxploglim2  26945  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamucov  27004  ftalem1  27039  ftalem2  27040  basellem3  27049  fsumvma2  27181  chpval2  27185  chpchtsum  27186  chpub  27187  logfacrlim  27191  logexprlim  27192  efexple  27248  bposlem9  27259  chebbnd1lem2  27437  chebbnd1lem3  27438  chtppilim  27442  chpchtlim  27446  chpo1ubb  27448  rplogsumlem1  27451  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrmusum2  27461  dchrvmasumlem2  27465  dchrisum0fno1  27478  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2a  27484  rplogsum  27494  mulog2sumlem1  27501  mulog2sumlem2  27502  vmalogdivsum2  27505  vmalogdivsum  27506  2vmadivsumlem  27507  log2sumbnd  27511  selberglem2  27513  selbergb  27516  selberg2b  27519  chpdifbndlem1  27520  selberg3lem1  27524  selberg3lem2  27525  selberg3  27526  selberg4lem1  27527  selberg4  27528  pntrsumo1  27532  selberg3r  27536  selberg4r  27537  selberg34r  27538  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6  27550  pntrlog2bnd  27551  pntpbnd1a  27552  pntpbnd2  27554  pntibndlem2  27558  pntibndlem3  27559  pntlemb  27564  pntlemg  27565  pntlemh  27566  pntlemn  27567  pntlemr  27569  pntlemj  27570  pntlemf  27572  pntlemk  27573  pntlemo  27574  pnt  27581  ostth2lem1  27585  ostth2lem4  27603  ostth3  27605  pjhthlem1  31466  esumcst  34220  dya2iocress  34431  dya2iocbrsiga  34432  dya2icobrsiga  34433  sxbrsigalem2  34443  probmeasb  34587  itg2addnclem3  37874  ftc1anclem7  37900  geomcau  37960  cntotbnd  37997  bfplem1  38023  fltnlta  42906  binomcxplemnotnn0  44597  divlt0gt0d  45534  lefldiveq  45540  ltmod  45882  0ellimcdiv  45893  wallispilem5  46313  stirlingr  46334  dirkercncflem1  46347  fourierdlem65  46415  hoiqssbllem2  46867