Theorem rerpdivcld 12212

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 579	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 6922  ℝcr 10271   / cdiv 11032  ℝ⁺crp 12137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-rp 12138

This theorem is referenced by:  iccf1o  12633  xov1plusxeqvd  12635  expmulnbnd  13315  discr  13320  geomulcvg  15011  mertenslem1  15019  retanhcl  15291  bitsfzolem  15562  bitsfzo  15563  bitsmod  15564  odmodnn0  18343  nmoi  22940  nmoleub  22943  icopnfcnv  23149  nmoleub2lem  23321  nmoleub2lem3  23322  pjthlem1  23643  ovolscalem1  23717  ovolscalem2  23718  ovolsca  23719  mbfmulc2lem  23851  itg2const2  23945  dvferm1lem  24184  abelthlem7  24629  logdivlti  24803  logdivle  24805  logcnlem3  24827  logcnlem4  24828  advlogexp  24838  cxpaddle  24933  cxploglim  25156  cxploglim2  25157  lgamgulmlem2  25208  lgamgulmlem3  25209  lgamucov  25216  ftalem1  25251  ftalem2  25252  basellem3  25261  fsumvma2  25391  chpval2  25395  chpchtsum  25396  chpub  25397  logfacrlim  25401  logexprlim  25402  efexple  25458  bposlem9  25469  chebbnd1lem2  25611  chebbnd1lem3  25612  chtppilim  25616  chpchtlim  25620  chpo1ubb  25622  rplogsumlem1  25625  rplogsumlem2  25626  rpvmasumlem  25628  dchrmusum2  25635  dchrvmasumlem2  25639  dchrisum0fno1  25652  dchrisum0lem1b  25656  dchrisum0lem1  25657  dchrisum0lem2a  25658  rplogsum  25668  mulog2sumlem1  25675  mulog2sumlem2  25676  vmalogdivsum2  25679  vmalogdivsum  25680  2vmadivsumlem  25681  log2sumbnd  25685  selberglem2  25687  selbergb  25690  selberg2b  25693  chpdifbndlem1  25694  selberg3lem1  25698  selberg3lem2  25699  selberg3  25700  selberg4lem1  25701  selberg4  25702  pntrsumo1  25706  selberg3r  25710  selberg4r  25711  selberg34r  25712  pntrlog2bndlem1  25718  pntrlog2bndlem2  25719  pntrlog2bndlem3  25720  pntrlog2bndlem4  25721  pntrlog2bndlem5  25722  pntrlog2bndlem6  25724  pntrlog2bnd  25725  pntpbnd1a  25726  pntpbnd2  25728  pntibndlem2  25732  pntibndlem3  25733  pntlemb  25738  pntlemg  25739  pntlemh  25740  pntlemn  25741  pntlemr  25743  pntlemj  25744  pntlemf  25746  pntlemk  25747  pntlemo  25748  pnt  25755  ostth2lem1  25759  ostth2lem4  25777  ostth3  25779  pjhthlem1  28822  esumcst  30723  dya2iocress  30934  dya2iocbrsiga  30935  dya2icobrsiga  30936  sxbrsigalem2  30946  probmeasb  31091  itg2addnclem3  34072  ftc1anclem7  34100  geomcau  34163  cntotbnd  34203  bfplem1  34229  binomcxplemnotnn0  39493  divlt0gt0d  40390  lefldiveq  40397  ltmod  40760  0ellimcdiv  40771  wallispilem5  41195  stirlingr  41216  dirkercncflem1  41229  fourierdlem65  41297  hoiqssbllem2  41746