Theorem rerpdivcld 13033

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12990	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  iccf1o  13464  xov1plusxeqvd  13466  expmulnbnd  14207  discr  14212  geomulcvg  15849  mertenslem1  15857  retanhcl  16134  bitsfzolem  16411  bitsfzo  16412  bitsmod  16413  odmodnn0  19477  nmoi  24623  nmoleub  24626  icopnfcnv  24847  nmoleub2lem  25021  nmoleub2lem3  25022  pjthlem1  25344  ovolscalem1  25421  ovolscalem2  25422  ovolsca  25423  mbfmulc2lem  25555  itg2const2  25649  dvferm1lem  25895  abelthlem7  26355  logdivlti  26536  logdivle  26538  logcnlem3  26560  logcnlem4  26561  advlogexp  26571  cxpaddle  26669  cxploglim  26895  cxploglim2  26896  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  lgamucov  26955  ftalem1  26990  ftalem2  26991  basellem3  27000  fsumvma2  27132  chpval2  27136  chpchtsum  27137  chpub  27138  logfacrlim  27142  logexprlim  27143  efexple  27199  bposlem9  27210  chebbnd1lem2  27388  chebbnd1lem3  27389  chtppilim  27393  chpchtlim  27397  chpo1ubb  27399  rplogsumlem1  27402  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  dchrmusum2  27412  dchrvmasumlem2  27416  dchrisum0fno1  27429  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem1  27434  dchrisum0lem2a  27435  rplogsum  27445  mulog2sumlem1  27452  mulog2sumlem2  27453  vmalogdivsum2  27456  vmalogdivsum  27457  2vmadivsumlem  27458  log2sumbnd  27462  selberglem2  27464  selbergb  27467  selberg2b  27470  chpdifbndlem1  27471  selberg3lem1  27475  selberg3lem2  27476  selberg3  27477  selberg4lem1  27478  selberg4  27479  pntrsumo1  27483  selberg3r  27487  selberg4r  27488  selberg34r  27489  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntrlog2bnd  27502  pntpbnd1a  27503  pntpbnd2  27505  pntibndlem2  27509  pntibndlem3  27510  pntlemb  27515  pntlemg  27516  pntlemh  27517  pntlemn  27518  pntlemr  27520  pntlemj  27521  pntlemf  27523  pntlemk  27524  pntlemo  27525  pnt  27532  ostth2lem1  27536  ostth2lem4  27554  ostth3  27556  pjhthlem1  31327  esumcst  34060  dya2iocress  34272  dya2iocbrsiga  34273  dya2icobrsiga  34274  sxbrsigalem2  34284  probmeasb  34428  itg2addnclem3  37674  ftc1anclem7  37700  geomcau  37760  cntotbnd  37797  bfplem1  37823  fltnlta  42658  binomcxplemnotnn0  44352  divlt0gt0d  45291  lefldiveq  45297  ltmod  45643  0ellimcdiv  45654  wallispilem5  46074  stirlingr  46095  dirkercncflem1  46108  fourierdlem65  46176  hoiqssbllem2  46628