Theorem rerpdivcld 13130

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13087	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   / cdiv 11947  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  iccf1o  13556  xov1plusxeqvd  13558  expmulnbnd  14284  discr  14289  geomulcvg  15924  mertenslem1  15932  retanhcl  16207  bitsfzolem  16480  bitsfzo  16481  bitsmod  16482  odmodnn0  19582  nmoi  24770  nmoleub  24773  icopnfcnv  24992  nmoleub2lem  25166  nmoleub2lem3  25167  pjthlem1  25490  ovolscalem1  25567  ovolscalem2  25568  ovolsca  25569  mbfmulc2lem  25701  itg2const2  25796  dvferm1lem  26042  abelthlem7  26500  logdivlti  26680  logdivle  26682  logcnlem3  26704  logcnlem4  26705  advlogexp  26715  cxpaddle  26813  cxploglim  27039  cxploglim2  27040  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamucov  27099  ftalem1  27134  ftalem2  27135  basellem3  27144  fsumvma2  27276  chpval2  27280  chpchtsum  27281  chpub  27282  logfacrlim  27286  logexprlim  27287  efexple  27343  bposlem9  27354  chebbnd1lem2  27532  chebbnd1lem3  27533  chtppilim  27537  chpchtlim  27541  chpo1ubb  27543  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem2  27560  dchrisum0fno1  27573  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  rplogsum  27589  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  log2sumbnd  27606  selberglem2  27608  selbergb  27611  selberg2b  27614  chpdifbndlem1  27615  selberg3lem1  27619  selberg3lem2  27620  selberg3  27621  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  pntrsumo1  27627  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1a  27647  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntibndlem3  27654  pntlemb  27659  pntlemg  27660  pntlemh  27661  pntlemn  27662  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemk  27668  pntlemo  27669  pnt  27676  ostth2lem1  27680  ostth2lem4  27698  ostth3  27700  pjhthlem1  31423  esumcst  34027  dya2iocress  34239  dya2iocbrsiga  34240  dya2icobrsiga  34241  sxbrsigalem2  34251  probmeasb  34395  itg2addnclem3  37633  ftc1anclem7  37659  geomcau  37719  cntotbnd  37756  bfplem1  37782  fltnlta  42618  binomcxplemnotnn0  44325  divlt0gt0d  45201  lefldiveq  45207  ltmod  45559  0ellimcdiv  45570  wallispilem5  45990  stirlingr  46011  dirkercncflem1  46024  fourierdlem65  46092  hoiqssbllem2  46544