Theorem rerpdivcld 12968

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12925	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   / cdiv 11777  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  iccf1o  13399  xov1plusxeqvd  13401  expmulnbnd  14142  discr  14147  geomulcvg  15783  mertenslem1  15791  retanhcl  16068  bitsfzolem  16345  bitsfzo  16346  bitsmod  16347  odmodnn0  19419  nmoi  24614  nmoleub  24617  icopnfcnv  24838  nmoleub2lem  25012  nmoleub2lem3  25013  pjthlem1  25335  ovolscalem1  25412  ovolscalem2  25413  ovolsca  25414  mbfmulc2lem  25546  itg2const2  25640  dvferm1lem  25886  abelthlem7  26346  logdivlti  26527  logdivle  26529  logcnlem3  26551  logcnlem4  26552  advlogexp  26562  cxpaddle  26660  cxploglim  26886  cxploglim2  26887  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem3  26939  lgamucov  26946  ftalem1  26981  ftalem2  26982  basellem3  26991  fsumvma2  27123  chpval2  27127  chpchtsum  27128  chpub  27129  logfacrlim  27133  logexprlim  27134  efexple  27190  bposlem9  27201  chebbnd1lem2  27379  chebbnd1lem3  27380  chtppilim  27384  chpchtlim  27388  chpo1ubb  27390  rplogsumlem1  27393  rplogsumlem2  27394  rpvmasumlem  27396  dchrmusum2  27403  dchrvmasumlem2  27407  dchrisum0fno1  27420  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem1  27425  dchrisum0lem2a  27426  rplogsum  27436  mulog2sumlem1  27443  mulog2sumlem2  27444  vmalogdivsum2  27447  vmalogdivsum  27448  2vmadivsumlem  27449  log2sumbnd  27453  selberglem2  27455  selbergb  27458  selberg2b  27461  chpdifbndlem1  27462  selberg3lem1  27466  selberg3lem2  27467  selberg3  27468  selberg4lem1  27469  selberg4  27470  pntrsumo1  27474  selberg3r  27478  selberg4r  27479  selberg34r  27480  pntrlog2bndlem1  27486  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6  27492  pntrlog2bnd  27493  pntpbnd1a  27494  pntpbnd2  27496  pntibndlem2  27500  pntibndlem3  27501  pntlemb  27506  pntlemg  27507  pntlemh  27508  pntlemn  27509  pntlemr  27511  pntlemj  27512  pntlemf  27514  pntlemk  27515  pntlemo  27516  pnt  27523  ostth2lem1  27527  ostth2lem4  27545  ostth3  27547  pjhthlem1  31335  esumcst  34030  dya2iocress  34242  dya2iocbrsiga  34243  dya2icobrsiga  34244  sxbrsigalem2  34254  probmeasb  34398  itg2addnclem3  37657  ftc1anclem7  37683  geomcau  37743  cntotbnd  37780  bfplem1  37806  fltnlta  42640  binomcxplemnotnn0  44333  divlt0gt0d  45272  lefldiveq  45278  ltmod  45623  0ellimcdiv  45634  wallispilem5  46054  stirlingr  46075  dirkercncflem1  46088  fourierdlem65  46156  hoiqssbllem2  46608