Theorem rerpdivcld 13026

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   / cdiv 11835  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  iccf1o  13457  xov1plusxeqvd  13459  expmulnbnd  14200  discr  14205  geomulcvg  15842  mertenslem1  15850  retanhcl  16127  bitsfzolem  16404  bitsfzo  16405  bitsmod  16406  odmodnn0  19470  nmoi  24616  nmoleub  24619  icopnfcnv  24840  nmoleub2lem  25014  nmoleub2lem3  25015  pjthlem1  25337  ovolscalem1  25414  ovolscalem2  25415  ovolsca  25416  mbfmulc2lem  25548  itg2const2  25642  dvferm1lem  25888  abelthlem7  26348  logdivlti  26529  logdivle  26531  logcnlem3  26553  logcnlem4  26554  advlogexp  26564  cxpaddle  26662  cxploglim  26888  cxploglim2  26889  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamucov  26948  ftalem1  26983  ftalem2  26984  basellem3  26993  fsumvma2  27125  chpval2  27129  chpchtsum  27130  chpub  27131  logfacrlim  27135  logexprlim  27136  efexple  27192  bposlem9  27203  chebbnd1lem2  27381  chebbnd1lem3  27382  chtppilim  27386  chpchtlim  27390  chpo1ubb  27392  rplogsumlem1  27395  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrmusum2  27405  dchrvmasumlem2  27409  dchrisum0fno1  27422  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2a  27428  rplogsum  27438  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem2  27446  vmalogdivsum2  27449  vmalogdivsum  27450  2vmadivsumlem  27451  log2sumbnd  27455  selberglem2  27457  selbergb  27460  selberg2b  27463  chpdifbndlem1  27464  selberg3lem1  27468  selberg3lem2  27469  selberg3  27470  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  pntrsumo1  27476  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntpbnd1a  27496  pntpbnd2  27498  pntibndlem2  27502  pntibndlem3  27503  pntlemb  27508  pntlemg  27509  pntlemh  27510  pntlemn  27511  pntlemr  27513  pntlemj  27514  pntlemf  27516  pntlemk  27517  pntlemo  27518  pnt  27525  ostth2lem1  27529  ostth2lem4  27547  ostth3  27549  pjhthlem1  31320  esumcst  34053  dya2iocress  34265  dya2iocbrsiga  34266  dya2icobrsiga  34267  sxbrsigalem2  34277  probmeasb  34421  itg2addnclem3  37667  ftc1anclem7  37693  geomcau  37753  cntotbnd  37790  bfplem1  37816  fltnlta  42651  binomcxplemnotnn0  44345  divlt0gt0d  45284  lefldiveq  45290  ltmod  45636  0ellimcdiv  45647  wallispilem5  46067  stirlingr  46088  dirkercncflem1  46101  fourierdlem65  46169  hoiqssbllem2  46621