Theorem rerpdivcld 13002

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   / cdiv 11811  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  iccf1o  13433  xov1plusxeqvd  13435  expmulnbnd  14176  discr  14181  geomulcvg  15818  mertenslem1  15826  retanhcl  16103  bitsfzolem  16380  bitsfzo  16381  bitsmod  16382  odmodnn0  19454  nmoi  24649  nmoleub  24652  icopnfcnv  24873  nmoleub2lem  25047  nmoleub2lem3  25048  pjthlem1  25370  ovolscalem1  25447  ovolscalem2  25448  ovolsca  25449  mbfmulc2lem  25581  itg2const2  25675  dvferm1lem  25921  abelthlem7  26381  logdivlti  26562  logdivle  26564  logcnlem3  26586  logcnlem4  26587  advlogexp  26597  cxpaddle  26695  cxploglim  26921  cxploglim2  26922  lgamgulmlem2  26973  lgamgulmlem3  26974  lgamucov  26981  ftalem1  27016  ftalem2  27017  basellem3  27026  fsumvma2  27158  chpval2  27162  chpchtsum  27163  chpub  27164  logfacrlim  27168  logexprlim  27169  efexple  27225  bposlem9  27236  chebbnd1lem2  27414  chebbnd1lem3  27415  chtppilim  27419  chpchtlim  27423  chpo1ubb  27425  rplogsumlem1  27428  rplogsumlem2  27429  rpvmasumlem  27431  dchrmusum2  27438  dchrvmasumlem2  27442  dchrisum0fno1  27455  dchrisum0lem1b  27459  dchrisum0lem1  27460  dchrisum0lem2a  27461  rplogsum  27471  mulog2sumlem1  27478  mulog2sumlem2  27479  vmalogdivsum2  27482  vmalogdivsum  27483  2vmadivsumlem  27484  log2sumbnd  27488  selberglem2  27490  selbergb  27493  selberg2b  27496  chpdifbndlem1  27497  selberg3lem1  27501  selberg3lem2  27502  selberg3  27503  selberg4lem1  27504  selberg4  27505  pntrsumo1  27509  selberg3r  27513  selberg4r  27514  selberg34r  27515  pntrlog2bndlem1  27521  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem3  27523  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem5  27525  pntrlog2bndlem6  27527  pntrlog2bnd  27528  pntpbnd1a  27529  pntpbnd2  27531  pntibndlem2  27535  pntibndlem3  27536  pntlemb  27541  pntlemg  27542  pntlemh  27543  pntlemn  27544  pntlemr  27546  pntlemj  27547  pntlemf  27549  pntlemk  27550  pntlemo  27551  pnt  27558  ostth2lem1  27562  ostth2lem4  27580  ostth3  27582  pjhthlem1  31370  esumcst  34046  dya2iocress  34258  dya2iocbrsiga  34259  dya2icobrsiga  34260  sxbrsigalem2  34270  probmeasb  34414  itg2addnclem3  37660  ftc1anclem7  37686  geomcau  37746  cntotbnd  37783  bfplem1  37809  fltnlta  42644  binomcxplemnotnn0  44338  divlt0gt0d  45277  lefldiveq  45283  ltmod  45629  0ellimcdiv  45640  wallispilem5  46060  stirlingr  46081  dirkercncflem1  46094  fourierdlem65  46162  hoiqssbllem2  46614