Theorem rerpdivcld 13082

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13039	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   / cdiv 11894  ℝ⁺crp 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-rp 13009

This theorem is referenced by:  iccf1o  13513  xov1plusxeqvd  13515  expmulnbnd  14253  discr  14258  geomulcvg  15892  mertenslem1  15900  retanhcl  16177  bitsfzolem  16453  bitsfzo  16454  bitsmod  16455  odmodnn0  19521  nmoi  24667  nmoleub  24670  icopnfcnv  24891  nmoleub2lem  25065  nmoleub2lem3  25066  pjthlem1  25389  ovolscalem1  25466  ovolscalem2  25467  ovolsca  25468  mbfmulc2lem  25600  itg2const2  25694  dvferm1lem  25940  abelthlem7  26400  logdivlti  26581  logdivle  26583  logcnlem3  26605  logcnlem4  26606  advlogexp  26616  cxpaddle  26714  cxploglim  26940  cxploglim2  26941  lgamgulmlem2  26992  lgamgulmlem3  26993  lgamucov  27000  ftalem1  27035  ftalem2  27036  basellem3  27045  fsumvma2  27177  chpval2  27181  chpchtsum  27182  chpub  27183  logfacrlim  27187  logexprlim  27188  efexple  27244  bposlem9  27255  chebbnd1lem2  27433  chebbnd1lem3  27434  chtppilim  27438  chpchtlim  27442  chpo1ubb  27444  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem2  27461  dchrisum0fno1  27474  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  rplogsum  27490  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  log2sumbnd  27507  selberglem2  27509  selbergb  27512  selberg2b  27515  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem1  27520  selberg3lem2  27521  selberg3  27522  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  pntrsumo1  27528  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntpbnd1a  27548  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntibndlem3  27555  pntlemb  27560  pntlemg  27561  pntlemh  27562  pntlemn  27563  pntlemr  27565  pntlemj  27566  pntlemf  27568  pntlemk  27569  pntlemo  27570  pnt  27577  ostth2lem1  27581  ostth2lem4  27599  ostth3  27601  pjhthlem1  31372  esumcst  34094  dya2iocress  34306  dya2iocbrsiga  34307  dya2icobrsiga  34308  sxbrsigalem2  34318  probmeasb  34462  itg2addnclem3  37697  ftc1anclem7  37723  geomcau  37783  cntotbnd  37820  bfplem1  37846  fltnlta  42686  binomcxplemnotnn0  44380  divlt0gt0d  45315  lefldiveq  45321  ltmod  45667  0ellimcdiv  45678  wallispilem5  46098  stirlingr  46119  dirkercncflem1  46132  fourierdlem65  46200  hoiqssbllem2  46652