Theorem rerpdivcld 13235

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13192	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℝcr 11238   / cdiv 12013  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-rp 13161

This theorem is used by:  iccf1o  13667  xov1plusxeqvd  13669  expmulnbnd  14420  discr  14425  geomulcvg  16089  mertenslem1  16097  retanhcl  16371  bitsfzolem  16648  bitsfzo  16649  bitsmod  16650  odmodnn0  19805  nmoi  25102  nmoleub  25105  icopnfcnv  25318  nmoleub2lem  25490  nmoleub2lem3  25491  pjthlem1  25813  ovolscalem1  25889  ovolscalem2  25890  ovolsca  25891  mbfmulc2lem  26023  itg2const2  26117  dvferm1lem  26359  abelthlem7  26822  logdivlti  27005  logdivle  27007  logcnlem3  27029  logcnlem4  27030  advlogexp  27040  cxpaddle  27137  cxploglim  27362  cxploglim2  27363  lgamgulmlem2  27414  lgamgulmlem3  27415  lgamucov  27422  ftalem1  27457  ftalem2  27458  basellem3  27467  fsumvma2  27598  chpval2  27602  chpchtsum  27603  chpub  27604  logfacrlim  27608  logexprlim  27609  efexple  27665  bposlem9  27676  chebbnd1lem2  27854  chebbnd1lem3  27855  chtppilim  27859  chpchtlim  27863  chpo1ubb  27865  rplogsumlem1  27868  rplogsumlem2  27869  rpvmasumlem  27871  dchrmusum2  27878  dchrvmasumlem2  27882  dchrisum0fno1  27895  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem2a  27901  rplogsum  27911  mulog2sumlem1  27918  mulog2sumlem2  27919  vmalogdivsum2  27922  vmalogdivsum  27923  2vmadivsumlem  27924  log2sumbnd  27928  selberglem2  27930  selbergb  27933  selberg2b  27936  chpdifbndlem1  27937  selberg3lem1  27941  selberg3lem2  27942  selberg3  27943  selberg4lem1  27944  selberg4  27945  pntrsumo1  27949  selberg3r  27953  selberg4r  27954  selberg34r  27955  pntrlog2bndlem1  27961  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem3  27963  pntrlog2bndlem4  27964  pntrlog2bndlem5  27965  pntrlog2bndlem6  27967  pntrlog2bnd  27968  pntpbnd1a  27969  pntpbnd2  27971  pntibndlem2  27975  pntibndlem3  27976  pntlemb  27981  pntlemg  27982  pntlemh  27983  pntlemn  27984  pntlemr  27986  pntlemj  27987  pntlemf  27989  pntlemk  27990  pntlemo  27991  pnt  27998  ostth2lem1  28002  ostth2lem4  28020  ostth3  28022  pjhthlem1  32050  esumcst  34806  dya2iocress  35017  dya2iocbrsiga  35018  dya2icobrsiga  35019  sxbrsigalem2  35029  probmeasb  35173  itg2addnclem3  38859  ftc1anclem7  38885  geomcau  38959  cntotbnd  38996  bfplem1  39022  fltnlta  43940  binomcxplemnotnn0  45601  divlt0gt0d  46575  lefldiveq  46581  ltmod  46921  0ellimcdiv  46932  wallispilem5  47352  stirlingr  47373  dirkercncflem1  47386  fourierdlem65  47454  hoiqssbllem2  47906