Theorem rerpdivcld 12463

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   / cdiv 11297  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  iccf1o  12883  xov1plusxeqvd  12885  expmulnbnd  13597  discr  13602  geomulcvg  15232  mertenslem1  15240  retanhcl  15512  bitsfzolem  15783  bitsfzo  15784  bitsmod  15785  odmodnn0  18668  nmoi  23337  nmoleub  23340  icopnfcnv  23546  nmoleub2lem  23718  nmoleub2lem3  23719  pjthlem1  24040  ovolscalem1  24114  ovolscalem2  24115  ovolsca  24116  mbfmulc2lem  24248  itg2const2  24342  dvferm1lem  24581  abelthlem7  25026  logdivlti  25203  logdivle  25205  logcnlem3  25227  logcnlem4  25228  advlogexp  25238  cxpaddle  25333  cxploglim  25555  cxploglim2  25556  lgamgulmlem2  25607  lgamgulmlem3  25608  lgamucov  25615  ftalem1  25650  ftalem2  25651  basellem3  25660  fsumvma2  25790  chpval2  25794  chpchtsum  25795  chpub  25796  logfacrlim  25800  logexprlim  25801  efexple  25857  bposlem9  25868  chebbnd1lem2  26046  chebbnd1lem3  26047  chtppilim  26051  chpchtlim  26055  chpo1ubb  26057  rplogsumlem1  26060  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrmusum2  26070  dchrvmasumlem2  26074  dchrisum0fno1  26087  dchrisum0lem1b  26091  dchrisum0lem1  26092  dchrisum0lem2a  26093  rplogsum  26103  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  vmalogdivsum2  26114  vmalogdivsum  26115  2vmadivsumlem  26116  log2sumbnd  26120  selberglem2  26122  selbergb  26125  selberg2b  26128  chpdifbndlem1  26129  selberg3lem1  26133  selberg3lem2  26134  selberg3  26135  selberg4lem1  26136  selberg4  26137  pntrsumo1  26141  selberg3r  26145  selberg4r  26146  selberg34r  26147  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem3  26155  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntrlog2bndlem6  26159  pntrlog2bnd  26160  pntpbnd1a  26161  pntpbnd2  26163  pntibndlem2  26167  pntibndlem3  26168  pntlemb  26173  pntlemg  26174  pntlemh  26175  pntlemn  26176  pntlemr  26178  pntlemj  26179  pntlemf  26181  pntlemk  26182  pntlemo  26183  pnt  26190  ostth2lem1  26194  ostth2lem4  26212  ostth3  26214  pjhthlem1  29168  esumcst  31322  dya2iocress  31532  dya2iocbrsiga  31533  dya2icobrsiga  31534  sxbrsigalem2  31544  probmeasb  31688  itg2addnclem3  34960  ftc1anclem7  34988  geomcau  35049  cntotbnd  35089  bfplem1  35115  fltnlta  39324  binomcxplemnotnn0  40737  divlt0gt0d  41601  lefldiveq  41608  ltmod  41968  0ellimcdiv  41979  wallispilem5  42403  stirlingr  42424  dirkercncflem1  42437  fourierdlem65  42505  hoiqssbllem2  42954