Theorem rerpdivcld 12450

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   / cdiv 11286  ℝ⁺crp 12377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-rp 12378

This theorem is referenced by:  iccf1o  12874  xov1plusxeqvd  12876  expmulnbnd  13592  discr  13597  geomulcvg  15224  mertenslem1  15232  retanhcl  15504  bitsfzolem  15773  bitsfzo  15774  bitsmod  15775  odmodnn0  18660  nmoi  23334  nmoleub  23337  icopnfcnv  23547  nmoleub2lem  23719  nmoleub2lem3  23720  pjthlem1  24041  ovolscalem1  24117  ovolscalem2  24118  ovolsca  24119  mbfmulc2lem  24251  itg2const2  24345  dvferm1lem  24587  abelthlem7  25033  logdivlti  25211  logdivle  25213  logcnlem3  25235  logcnlem4  25236  advlogexp  25246  cxpaddle  25341  cxploglim  25563  cxploglim2  25564  lgamgulmlem2  25615  lgamgulmlem3  25616  lgamucov  25623  ftalem1  25658  ftalem2  25659  basellem3  25668  fsumvma2  25798  chpval2  25802  chpchtsum  25803  chpub  25804  logfacrlim  25808  logexprlim  25809  efexple  25865  bposlem9  25876  chebbnd1lem2  26054  chebbnd1lem3  26055  chtppilim  26059  chpchtlim  26063  chpo1ubb  26065  rplogsumlem1  26068  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrmusum2  26078  dchrvmasumlem2  26082  dchrisum0fno1  26095  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2a  26101  rplogsum  26111  mulog2sumlem1  26118  mulog2sumlem2  26119  vmalogdivsum2  26122  vmalogdivsum  26123  2vmadivsumlem  26124  log2sumbnd  26128  selberglem2  26130  selbergb  26133  selberg2b  26136  chpdifbndlem1  26137  selberg3lem1  26141  selberg3lem2  26142  selberg3  26143  selberg4lem1  26144  selberg4  26145  pntrsumo1  26149  selberg3r  26153  selberg4r  26154  selberg34r  26155  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem3  26163  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntrlog2bndlem6  26167  pntrlog2bnd  26168  pntpbnd1a  26169  pntpbnd2  26171  pntibndlem2  26175  pntibndlem3  26176  pntlemb  26181  pntlemg  26182  pntlemh  26183  pntlemn  26184  pntlemr  26186  pntlemj  26187  pntlemf  26189  pntlemk  26190  pntlemo  26191  pnt  26198  ostth2lem1  26202  ostth2lem4  26220  ostth3  26222  pjhthlem1  29174  esumcst  31432  dya2iocress  31642  dya2iocbrsiga  31643  dya2icobrsiga  31644  sxbrsigalem2  31654  probmeasb  31798  itg2addnclem3  35110  ftc1anclem7  35136  geomcau  35197  cntotbnd  35234  bfplem1  35260  fltnlta  39619  binomcxplemnotnn0  41060  divlt0gt0d  41917  lefldiveq  41924  ltmod  42280  0ellimcdiv  42291  wallispilem5  42711  stirlingr  42732  dirkercncflem1  42745  fourierdlem65  42813  hoiqssbllem2  43262