Theorem rerpdivcld 13008

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12965	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℝcr 11028   / cdiv 11798  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  iccf1o  13440  xov1plusxeqvd  13442  expmulnbnd  14188  discr  14193  geomulcvg  15832  mertenslem1  15840  retanhcl  16117  bitsfzolem  16394  bitsfzo  16395  bitsmod  16396  odmodnn0  19506  nmoi  24711  nmoleub  24714  icopnfcnv  24927  nmoleub2lem  25099  nmoleub2lem3  25100  pjthlem1  25422  ovolscalem1  25498  ovolscalem2  25499  ovolsca  25500  mbfmulc2lem  25632  itg2const2  25726  dvferm1lem  25969  abelthlem7  26421  logdivlti  26602  logdivle  26604  logcnlem3  26626  logcnlem4  26627  advlogexp  26637  cxpaddle  26734  cxploglim  26959  cxploglim2  26960  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem3  27012  lgamucov  27019  ftalem1  27054  ftalem2  27055  basellem3  27064  fsumvma2  27195  chpval2  27199  chpchtsum  27200  chpub  27201  logfacrlim  27205  logexprlim  27206  efexple  27262  bposlem9  27273  chebbnd1lem2  27451  chebbnd1lem3  27452  chtppilim  27456  chpchtlim  27460  chpo1ubb  27462  rplogsumlem1  27465  rplogsumlem2  27466  rpvmasumlem  27468  dchrmusum2  27475  dchrvmasumlem2  27479  dchrisum0fno1  27492  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrisum0lem2a  27498  rplogsum  27508  mulog2sumlem1  27515  mulog2sumlem2  27516  vmalogdivsum2  27519  vmalogdivsum  27520  2vmadivsumlem  27521  log2sumbnd  27525  selberglem2  27527  selbergb  27530  selberg2b  27533  chpdifbndlem1  27534  selberg3lem1  27538  selberg3lem2  27539  selberg3  27540  selberg4lem1  27541  selberg4  27542  pntrsumo1  27546  selberg3r  27550  selberg4r  27551  selberg34r  27552  pntrlog2bndlem1  27558  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bndlem6  27564  pntrlog2bnd  27565  pntpbnd1a  27566  pntpbnd2  27568  pntibndlem2  27572  pntibndlem3  27573  pntlemb  27578  pntlemg  27579  pntlemh  27580  pntlemn  27581  pntlemr  27583  pntlemj  27584  pntlemf  27586  pntlemk  27587  pntlemo  27588  pnt  27595  ostth2lem1  27599  ostth2lem4  27617  ostth3  27619  pjhthlem1  31480  esumcst  34247  dya2iocress  34458  dya2iocbrsiga  34459  dya2icobrsiga  34460  sxbrsigalem2  34470  probmeasb  34614  itg2addnclem3  38040  ftc1anclem7  38066  geomcau  38126  cntotbnd  38163  bfplem1  38189  fltnlta  43113  binomcxplemnotnn0  44800  divlt0gt0d  45734  lefldiveq  45740  ltmod  46081  0ellimcdiv  46092  wallispilem5  46512  stirlingr  46533  dirkercncflem1  46546  fourierdlem65  46614  hoiqssbllem2  47066