Theorem rerpdivcld 12965

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12922	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   / cdiv 11774  ℝ⁺crp 12890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-rp 12891

This theorem is referenced by:  iccf1o  13396  xov1plusxeqvd  13398  expmulnbnd  14142  discr  14147  geomulcvg  15783  mertenslem1  15791  retanhcl  16068  bitsfzolem  16345  bitsfzo  16346  bitsmod  16347  odmodnn0  19452  nmoi  24643  nmoleub  24646  icopnfcnv  24867  nmoleub2lem  25041  nmoleub2lem3  25042  pjthlem1  25364  ovolscalem1  25441  ovolscalem2  25442  ovolsca  25443  mbfmulc2lem  25575  itg2const2  25669  dvferm1lem  25915  abelthlem7  26375  logdivlti  26556  logdivle  26558  logcnlem3  26580  logcnlem4  26581  advlogexp  26591  cxpaddle  26689  cxploglim  26915  cxploglim2  26916  lgamgulmlem2  26967  lgamgulmlem3  26968  lgamucov  26975  ftalem1  27010  ftalem2  27011  basellem3  27020  fsumvma2  27152  chpval2  27156  chpchtsum  27157  chpub  27158  logfacrlim  27162  logexprlim  27163  efexple  27219  bposlem9  27230  chebbnd1lem2  27408  chebbnd1lem3  27409  chtppilim  27413  chpchtlim  27417  chpo1ubb  27419  rplogsumlem1  27422  rplogsumlem2  27423  rpvmasumlem  27425  dchrmusum2  27432  dchrvmasumlem2  27436  dchrisum0fno1  27449  dchrisum0lem1b  27453  dchrisum0lem1  27454  dchrisum0lem2a  27455  rplogsum  27465  mulog2sumlem1  27472  mulog2sumlem2  27473  vmalogdivsum2  27476  vmalogdivsum  27477  2vmadivsumlem  27478  log2sumbnd  27482  selberglem2  27484  selbergb  27487  selberg2b  27490  chpdifbndlem1  27491  selberg3lem1  27495  selberg3lem2  27496  selberg3  27497  selberg4lem1  27498  selberg4  27499  pntrsumo1  27503  selberg3r  27507  selberg4r  27508  selberg34r  27509  pntrlog2bndlem1  27515  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem3  27517  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  pntrlog2bndlem6  27521  pntrlog2bnd  27522  pntpbnd1a  27523  pntpbnd2  27525  pntibndlem2  27529  pntibndlem3  27530  pntlemb  27535  pntlemg  27536  pntlemh  27537  pntlemn  27538  pntlemr  27540  pntlemj  27541  pntlemf  27543  pntlemk  27544  pntlemo  27545  pnt  27552  ostth2lem1  27556  ostth2lem4  27574  ostth3  27576  pjhthlem1  31371  esumcst  34076  dya2iocress  34287  dya2iocbrsiga  34288  dya2icobrsiga  34289  sxbrsigalem2  34299  probmeasb  34443  itg2addnclem3  37723  ftc1anclem7  37749  geomcau  37809  cntotbnd  37846  bfplem1  37872  fltnlta  42766  binomcxplemnotnn0  44459  divlt0gt0d  45397  lefldiveq  45403  ltmod  45746  0ellimcdiv  45757  wallispilem5  46177  stirlingr  46198  dirkercncflem1  46211  fourierdlem65  46279  hoiqssbllem2  46731