Theorem rerpdivcld 13068

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13025	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℝcr 11072   / cdiv 11844  ℝ⁺crp 12993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-rp 12994

This theorem is referenced by:  iccf1o  13500  xov1plusxeqvd  13502  expmulnbnd  14248  discr  14253  geomulcvg  15906  mertenslem1  15914  retanhcl  16191  bitsfzolem  16468  bitsfzo  16469  bitsmod  16470  odmodnn0  19580  nmoi  24788  nmoleub  24791  icopnfcnv  25004  nmoleub2lem  25176  nmoleub2lem3  25177  pjthlem1  25499  ovolscalem1  25575  ovolscalem2  25576  ovolsca  25577  mbfmulc2lem  25709  itg2const2  25803  dvferm1lem  26046  abelthlem7  26501  logdivlti  26685  logdivle  26687  logcnlem3  26709  logcnlem4  26710  advlogexp  26720  cxpaddle  26817  cxploglim  27042  cxploglim2  27043  lgamgulmlem2  27094  lgamgulmlem3  27095  lgamucov  27102  ftalem1  27137  ftalem2  27138  basellem3  27147  fsumvma2  27278  chpval2  27282  chpchtsum  27283  chpub  27284  logfacrlim  27288  logexprlim  27289  efexple  27345  bposlem9  27356  chebbnd1lem2  27534  chebbnd1lem3  27535  chtppilim  27539  chpchtlim  27543  chpo1ubb  27545  rplogsumlem1  27548  rplogsumlem2  27549  rpvmasumlem  27551  dchrmusum2  27558  dchrvmasumlem2  27562  dchrisum0fno1  27575  dchrisum0lem1b  27579  dchrisum0lem1  27580  dchrisum0lem2a  27581  rplogsum  27591  mulog2sumlem1  27598  mulog2sumlem2  27599  vmalogdivsum2  27602  vmalogdivsum  27603  2vmadivsumlem  27604  log2sumbnd  27608  selberglem2  27610  selbergb  27613  selberg2b  27616  chpdifbndlem1  27617  selberg3lem1  27621  selberg3lem2  27622  selberg3  27623  selberg4lem1  27624  selberg4  27625  pntrsumo1  27629  selberg3r  27633  selberg4r  27634  selberg34r  27635  pntrlog2bndlem1  27641  pntrlog2bndlem2  27642  pntrlog2bndlem3  27643  pntrlog2bndlem4  27644  pntrlog2bndlem5  27645  pntrlog2bndlem6  27647  pntrlog2bnd  27648  pntpbnd1a  27649  pntpbnd2  27651  pntibndlem2  27655  pntibndlem3  27656  pntlemb  27661  pntlemg  27662  pntlemh  27663  pntlemn  27664  pntlemr  27666  pntlemj  27667  pntlemf  27669  pntlemk  27670  pntlemo  27671  pnt  27678  ostth2lem1  27682  ostth2lem4  27700  ostth3  27702  pjhthlem1  31594  esumcst  34360  dya2iocress  34571  dya2iocbrsiga  34572  dya2icobrsiga  34573  sxbrsigalem2  34583  probmeasb  34727  itg2addnclem3  38172  ftc1anclem7  38198  geomcau  38258  cntotbnd  38295  bfplem1  38321  fltnlta  43245  binomcxplemnotnn0  44932  divlt0gt0d  45865  lefldiveq  45871  ltmod  46212  0ellimcdiv  46223  wallispilem5  46643  stirlingr  46664  dirkercncflem1  46677  fourierdlem65  46745  hoiqssbllem2  47197