Theorem rerpdivcld 13118

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13075	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℝcr 11124   / cdiv 11896  ℝ⁺crp 13043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-rp 13044

This theorem is used by:  iccf1o  13550  xov1plusxeqvd  13552  expmulnbnd  14300  discr  14305  geomulcvg  15966  mertenslem1  15974  retanhcl  16248  bitsfzolem  16525  bitsfzo  16526  bitsmod  16527  odmodnn0  19668  nmoi  24955  nmoleub  24958  icopnfcnv  25171  nmoleub2lem  25343  nmoleub2lem3  25344  pjthlem1  25666  ovolscalem1  25742  ovolscalem2  25743  ovolsca  25744  mbfmulc2lem  25876  itg2const2  25970  dvferm1lem  26212  abelthlem7  26675  logdivlti  26858  logdivle  26860  logcnlem3  26882  logcnlem4  26883  advlogexp  26893  cxpaddle  26990  cxploglim  27215  cxploglim2  27216  lgamgulmlem2  27267  lgamgulmlem3  27268  lgamucov  27275  ftalem1  27310  ftalem2  27311  basellem3  27320  fsumvma2  27451  chpval2  27455  chpchtsum  27456  chpub  27457  logfacrlim  27461  logexprlim  27462  efexple  27518  bposlem9  27529  chebbnd1lem2  27707  chebbnd1lem3  27708  chtppilim  27712  chpchtlim  27716  chpo1ubb  27718  rplogsumlem1  27721  rplogsumlem2  27722  rpvmasumlem  27724  dchrmusum2  27731  dchrvmasumlem2  27735  dchrisum0fno1  27748  dchrisum0lem1b  27752  dchrisum0lem1  27753  dchrisum0lem2a  27754  rplogsum  27764  mulog2sumlem1  27771  mulog2sumlem2  27772  vmalogdivsum2  27775  vmalogdivsum  27776  2vmadivsumlem  27777  log2sumbnd  27781  selberglem2  27783  selbergb  27786  selberg2b  27789  chpdifbndlem1  27790  selberg3lem1  27794  selberg3lem2  27795  selberg3  27796  selberg4lem1  27797  selberg4  27798  pntrsumo1  27802  selberg3r  27806  selberg4r  27807  selberg34r  27808  pntrlog2bndlem1  27814  pntrlog2bndlem2  27815  pntrlog2bndlem3  27816  pntrlog2bndlem4  27817  pntrlog2bndlem5  27818  pntrlog2bndlem6  27820  pntrlog2bnd  27821  pntpbnd1a  27822  pntpbnd2  27824  pntibndlem2  27828  pntibndlem3  27829  pntlemb  27834  pntlemg  27835  pntlemh  27836  pntlemn  27837  pntlemr  27839  pntlemj  27840  pntlemf  27842  pntlemk  27843  pntlemo  27844  pnt  27851  ostth2lem1  27855  ostth2lem4  27873  ostth3  27875  pjhthlem1  31873  esumcst  34574  dya2iocress  34786  dya2iocbrsiga  34787  dya2icobrsiga  34788  sxbrsigalem2  34798  probmeasb  34942  itg2addnclem3  38423  ftc1anclem7  38449  geomcau  38510  cntotbnd  38547  bfplem1  38573  fltnlta  43510  binomcxplemnotnn0  45181  divlt0gt0d  46120  lefldiveq  46126  ltmod  46467  0ellimcdiv  46478  wallispilem5  46898  stirlingr  46919  dirkercncflem1  46932  fourierdlem65  47000  hoiqssbllem2  47452