Theorem rerpdivcld 13196

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℝcr 11200   / cdiv 11974  ℝ⁺crp 13121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-rp 13122

This theorem is used by:  iccf1o  13628  xov1plusxeqvd  13630  expmulnbnd  14380  discr  14385  geomulcvg  16046  mertenslem1  16054  retanhcl  16328  bitsfzolem  16605  bitsfzo  16606  bitsmod  16607  odmodnn0  19755  nmoi  25048  nmoleub  25051  icopnfcnv  25264  nmoleub2lem  25436  nmoleub2lem3  25437  pjthlem1  25759  ovolscalem1  25835  ovolscalem2  25836  ovolsca  25837  mbfmulc2lem  25969  itg2const2  26063  dvferm1lem  26305  abelthlem7  26766  logdivlti  26949  logdivle  26951  logcnlem3  26973  logcnlem4  26974  advlogexp  26984  cxpaddle  27081  cxploglim  27306  cxploglim2  27307  lgamgulmlem2  27358  lgamgulmlem3  27359  lgamucov  27366  ftalem1  27401  ftalem2  27402  basellem3  27411  fsumvma2  27542  chpval2  27546  chpchtsum  27547  chpub  27548  logfacrlim  27552  logexprlim  27553  efexple  27609  bposlem9  27620  chebbnd1lem2  27798  chebbnd1lem3  27799  chtppilim  27803  chpchtlim  27807  chpo1ubb  27809  rplogsumlem1  27812  rplogsumlem2  27813  rpvmasumlem  27815  dchrmusum2  27822  dchrvmasumlem2  27826  dchrisum0fno1  27839  dchrisum0lem1b  27843  dchrisum0lem1  27844  dchrisum0lem2a  27845  rplogsum  27855  mulog2sumlem1  27862  mulog2sumlem2  27863  vmalogdivsum2  27866  vmalogdivsum  27867  2vmadivsumlem  27868  log2sumbnd  27872  selberglem2  27874  selbergb  27877  selberg2b  27880  chpdifbndlem1  27881  selberg3lem1  27885  selberg3lem2  27886  selberg3  27887  selberg4lem1  27888  selberg4  27889  pntrsumo1  27893  selberg3r  27897  selberg4r  27898  selberg34r  27899  pntrlog2bndlem1  27905  pntrlog2bndlem2  27906  pntrlog2bndlem3  27907  pntrlog2bndlem4  27908  pntrlog2bndlem5  27909  pntrlog2bndlem6  27911  pntrlog2bnd  27912  pntpbnd1a  27913  pntpbnd2  27915  pntibndlem2  27919  pntibndlem3  27920  pntlemb  27925  pntlemg  27926  pntlemh  27927  pntlemn  27928  pntlemr  27930  pntlemj  27931  pntlemf  27933  pntlemk  27934  pntlemo  27935  pnt  27942  ostth2lem1  27946  ostth2lem4  27964  ostth3  27966  pjhthlem1  31994  esumcst  34738  dya2iocress  34949  dya2iocbrsiga  34950  dya2icobrsiga  34951  sxbrsigalem2  34961  probmeasb  35105  itg2addnclem3  38667  ftc1anclem7  38693  geomcau  38769  cntotbnd  38806  bfplem1  38832  fltnlta  43750  binomcxplemnotnn0  45416  divlt0gt0d  46378  lefldiveq  46384  ltmod  46724  0ellimcdiv  46735  wallispilem5  47155  stirlingr  47176  dirkercncflem1  47189  fourierdlem65  47257  hoiqssbllem2  47709