Theorem rerpdivcld 12992

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12949	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   / cdiv 11806  ℝ⁺crp 12917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  iccf1o  13424  xov1plusxeqvd  13426  expmulnbnd  14170  discr  14175  geomulcvg  15811  mertenslem1  15819  retanhcl  16096  bitsfzolem  16373  bitsfzo  16374  bitsmod  16375  odmodnn0  19481  nmoi  24684  nmoleub  24687  icopnfcnv  24908  nmoleub2lem  25082  nmoleub2lem3  25083  pjthlem1  25405  ovolscalem1  25482  ovolscalem2  25483  ovolsca  25484  mbfmulc2lem  25616  itg2const2  25710  dvferm1lem  25956  abelthlem7  26416  logdivlti  26597  logdivle  26599  logcnlem3  26621  logcnlem4  26622  advlogexp  26632  cxpaddle  26730  cxploglim  26956  cxploglim2  26957  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem3  27009  lgamucov  27016  ftalem1  27051  ftalem2  27052  basellem3  27061  fsumvma2  27193  chpval2  27197  chpchtsum  27198  chpub  27199  logfacrlim  27203  logexprlim  27204  efexple  27260  bposlem9  27271  chebbnd1lem2  27449  chebbnd1lem3  27450  chtppilim  27454  chpchtlim  27458  chpo1ubb  27460  rplogsumlem1  27463  rplogsumlem2  27464  rpvmasumlem  27466  dchrmusum2  27473  dchrvmasumlem2  27477  dchrisum0fno1  27490  dchrisum0lem1b  27494  dchrisum0lem1  27495  dchrisum0lem2a  27496  rplogsum  27506  mulog2sumlem1  27513  mulog2sumlem2  27514  vmalogdivsum2  27517  vmalogdivsum  27518  2vmadivsumlem  27519  log2sumbnd  27523  selberglem2  27525  selbergb  27528  selberg2b  27531  chpdifbndlem1  27532  selberg3lem1  27536  selberg3lem2  27537  selberg3  27538  selberg4lem1  27539  selberg4  27540  pntrsumo1  27544  selberg3r  27548  selberg4r  27549  selberg34r  27550  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem3  27558  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bndlem6  27562  pntrlog2bnd  27563  pntpbnd1a  27564  pntpbnd2  27566  pntibndlem2  27570  pntibndlem3  27571  pntlemb  27576  pntlemg  27577  pntlemh  27578  pntlemn  27579  pntlemr  27581  pntlemj  27582  pntlemf  27584  pntlemk  27585  pntlemo  27586  pnt  27593  ostth2lem1  27597  ostth2lem4  27615  ostth3  27617  pjhthlem1  31479  esumcst  34241  dya2iocress  34452  dya2iocbrsiga  34453  dya2icobrsiga  34454  sxbrsigalem2  34464  probmeasb  34608  itg2addnclem3  37924  ftc1anclem7  37950  geomcau  38010  cntotbnd  38047  bfplem1  38073  fltnlta  43021  binomcxplemnotnn0  44712  divlt0gt0d  45648  lefldiveq  45654  ltmod  45996  0ellimcdiv  46007  wallispilem5  46427  stirlingr  46448  dirkercncflem1  46461  fourierdlem65  46529  hoiqssbllem2  46981