Theorem rerpdivcld 13108

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13065	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   / cdiv 11920  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-rp 13035

This theorem is referenced by:  iccf1o  13536  xov1plusxeqvd  13538  expmulnbnd  14274  discr  14279  geomulcvg  15912  mertenslem1  15920  retanhcl  16195  bitsfzolem  16471  bitsfzo  16472  bitsmod  16473  odmodnn0  19558  nmoi  24749  nmoleub  24752  icopnfcnv  24973  nmoleub2lem  25147  nmoleub2lem3  25148  pjthlem1  25471  ovolscalem1  25548  ovolscalem2  25549  ovolsca  25550  mbfmulc2lem  25682  itg2const2  25776  dvferm1lem  26022  abelthlem7  26482  logdivlti  26662  logdivle  26664  logcnlem3  26686  logcnlem4  26687  advlogexp  26697  cxpaddle  26795  cxploglim  27021  cxploglim2  27022  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  lgamucov  27081  ftalem1  27116  ftalem2  27117  basellem3  27126  fsumvma2  27258  chpval2  27262  chpchtsum  27263  chpub  27264  logfacrlim  27268  logexprlim  27269  efexple  27325  bposlem9  27336  chebbnd1lem2  27514  chebbnd1lem3  27515  chtppilim  27519  chpchtlim  27523  chpo1ubb  27525  rplogsumlem1  27528  rplogsumlem2  27529  rpvmasumlem  27531  dchrmusum2  27538  dchrvmasumlem2  27542  dchrisum0fno1  27555  dchrisum0lem1b  27559  dchrisum0lem1  27560  dchrisum0lem2a  27561  rplogsum  27571  mulog2sumlem1  27578  mulog2sumlem2  27579  vmalogdivsum2  27582  vmalogdivsum  27583  2vmadivsumlem  27584  log2sumbnd  27588  selberglem2  27590  selbergb  27593  selberg2b  27596  chpdifbndlem1  27597  selberg3lem1  27601  selberg3lem2  27602  selberg3  27603  selberg4lem1  27604  selberg4  27605  pntrsumo1  27609  selberg3r  27613  selberg4r  27614  selberg34r  27615  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem3  27623  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6  27627  pntrlog2bnd  27628  pntpbnd1a  27629  pntpbnd2  27631  pntibndlem2  27635  pntibndlem3  27636  pntlemb  27641  pntlemg  27642  pntlemh  27643  pntlemn  27644  pntlemr  27646  pntlemj  27647  pntlemf  27649  pntlemk  27650  pntlemo  27651  pnt  27658  ostth2lem1  27662  ostth2lem4  27680  ostth3  27682  pjhthlem1  31410  esumcst  34064  dya2iocress  34276  dya2iocbrsiga  34277  dya2icobrsiga  34278  sxbrsigalem2  34288  probmeasb  34432  itg2addnclem3  37680  ftc1anclem7  37706  geomcau  37766  cntotbnd  37803  bfplem1  37829  fltnlta  42673  binomcxplemnotnn0  44375  divlt0gt0d  45298  lefldiveq  45304  ltmod  45653  0ellimcdiv  45664  wallispilem5  46084  stirlingr  46105  dirkercncflem1  46118  fourierdlem65  46186  hoiqssbllem2  46638