Theorem rerpdivcld 13107

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 13064	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℝcr 11114   / cdiv 11886  ℝ⁺crp 13032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-rp 13033

This theorem is used by:  iccf1o  13539  xov1plusxeqvd  13541  expmulnbnd  14289  discr  14294  geomulcvg  15953  mertenslem1  15961  retanhcl  16237  bitsfzolem  16514  bitsfzo  16515  bitsmod  16516  odmodnn0  19654  nmoi  24936  nmoleub  24939  icopnfcnv  25152  nmoleub2lem  25324  nmoleub2lem3  25325  pjthlem1  25647  ovolscalem1  25723  ovolscalem2  25724  ovolsca  25725  mbfmulc2lem  25857  itg2const2  25951  dvferm1lem  26194  abelthlem7  26652  logdivlti  26836  logdivle  26838  logcnlem3  26860  logcnlem4  26861  advlogexp  26871  cxpaddle  26968  cxploglim  27193  cxploglim2  27194  lgamgulmlem2  27245  lgamgulmlem3  27246  lgamucov  27253  ftalem1  27288  ftalem2  27289  basellem3  27298  fsumvma2  27429  chpval2  27433  chpchtsum  27434  chpub  27435  logfacrlim  27439  logexprlim  27440  efexple  27496  bposlem9  27507  chebbnd1lem2  27685  chebbnd1lem3  27686  chtppilim  27690  chpchtlim  27694  chpo1ubb  27696  rplogsumlem1  27699  rplogsumlem2  27700  rpvmasumlem  27702  dchrmusum2  27709  dchrvmasumlem2  27713  dchrisum0fno1  27726  dchrisum0lem1b  27730  dchrisum0lem1  27731  dchrisum0lem2a  27732  rplogsum  27742  mulog2sumlem1  27749  mulog2sumlem2  27750  vmalogdivsum2  27753  vmalogdivsum  27754  2vmadivsumlem  27755  log2sumbnd  27759  selberglem2  27761  selbergb  27764  selberg2b  27767  chpdifbndlem1  27768  selberg3lem1  27772  selberg3lem2  27773  selberg3  27774  selberg4lem1  27775  selberg4  27776  pntrsumo1  27780  selberg3r  27784  selberg4r  27785  selberg34r  27786  pntrlog2bndlem1  27792  pntrlog2bndlem2  27793  pntrlog2bndlem3  27794  pntrlog2bndlem4  27795  pntrlog2bndlem5  27796  pntrlog2bndlem6  27798  pntrlog2bnd  27799  pntpbnd1a  27800  pntpbnd2  27802  pntibndlem2  27806  pntibndlem3  27807  pntlemb  27812  pntlemg  27813  pntlemh  27814  pntlemn  27815  pntlemr  27817  pntlemj  27818  pntlemf  27820  pntlemk  27821  pntlemo  27822  pnt  27829  ostth2lem1  27833  ostth2lem4  27851  ostth3  27853  pjhthlem1  31814  esumcst  34517  dya2iocress  34729  dya2iocbrsiga  34730  dya2icobrsiga  34731  sxbrsigalem2  34741  probmeasb  34885  itg2addnclem3  38381  ftc1anclem7  38407  geomcau  38468  cntotbnd  38505  bfplem1  38531  fltnlta  43453  binomcxplemnotnn0  45124  divlt0gt0d  46063  lefldiveq  46069  ltmod  46410  0ellimcdiv  46421  wallispilem5  46841  stirlingr  46862  dirkercncflem1  46875  fourierdlem65  46943  hoiqssbllem2  47395