Theorem rerpdivcld 13017

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 12974	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   / cdiv 11807  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  iccf1o  13449  xov1plusxeqvd  13451  expmulnbnd  14197  discr  14202  geomulcvg  15841  mertenslem1  15849  retanhcl  16126  bitsfzolem  16403  bitsfzo  16404  bitsmod  16405  odmodnn0  19515  nmoi  24693  nmoleub  24696  icopnfcnv  24909  nmoleub2lem  25081  nmoleub2lem3  25082  pjthlem1  25404  ovolscalem1  25480  ovolscalem2  25481  ovolsca  25482  mbfmulc2lem  25614  itg2const2  25708  dvferm1lem  25951  abelthlem7  26403  logdivlti  26584  logdivle  26586  logcnlem3  26608  logcnlem4  26609  advlogexp  26619  cxpaddle  26716  cxploglim  26941  cxploglim2  26942  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamucov  27001  ftalem1  27036  ftalem2  27037  basellem3  27046  fsumvma2  27177  chpval2  27181  chpchtsum  27182  chpub  27183  logfacrlim  27187  logexprlim  27188  efexple  27244  bposlem9  27255  chebbnd1lem2  27433  chebbnd1lem3  27434  chtppilim  27438  chpchtlim  27442  chpo1ubb  27444  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem2  27461  dchrisum0fno1  27474  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  rplogsum  27490  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  log2sumbnd  27507  selberglem2  27509  selbergb  27512  selberg2b  27515  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem1  27520  selberg3lem2  27521  selberg3  27522  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  pntrsumo1  27528  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntpbnd1a  27548  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntibndlem3  27555  pntlemb  27560  pntlemg  27561  pntlemh  27562  pntlemn  27563  pntlemr  27565  pntlemj  27566  pntlemf  27568  pntlemk  27569  pntlemo  27570  pnt  27577  ostth2lem1  27581  ostth2lem4  27599  ostth3  27601  pjhthlem1  31462  esumcst  34207  dya2iocress  34418  dya2iocbrsiga  34419  dya2icobrsiga  34420  sxbrsigalem2  34430  probmeasb  34574  itg2addnclem3  37994  ftc1anclem7  38020  geomcau  38080  cntotbnd  38117  bfplem1  38143  fltnlta  43096  binomcxplemnotnn0  44783  divlt0gt0d  45719  lefldiveq  45725  ltmod  46066  0ellimcdiv  46077  wallispilem5  46497  stirlingr  46518  dirkercncflem1  46531  fourierdlem65  46599  hoiqssbllem2  47051