Proof of Theorem fourierdlem26
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | fourierdlem26.5 |
. . . 4
⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) |
| 2 | 1 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))) |
| 3 | | simpr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌) |
| 4 | 3 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑌)) |
| 5 | 4 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) |
| 6 | 5 | fveq2d 6910 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇))) |
| 7 | 6 | oveq1d 7446 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) |
| 8 | 3, 7 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))) |
| 9 | | fourierdlem26.8 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇))) |
| 10 | | fourierdlem26.6 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 11 | 10 | rexrd 11311 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈
ℝ*) |
| 12 | | fourierdlem26.4 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴) |
| 13 | | fourierdlem26.2 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 14 | | fourierdlem26.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 15 | 13, 14 | resubcld 11691 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) |
| 16 | 12, 15 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 17 | 10, 16 | readdcld 11290 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ) |
| 18 | | elioc2 13450 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇)))) |
| 19 | 11, 17, 18 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇)))) |
| 20 | 9, 19 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇))) |
| 21 | 20 | simp1d 1143 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
| 22 | 13, 21 | resubcld 11691 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ) |
| 23 | | fourierdlem26.3 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
| 24 | 14, 13 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴))) |
| 25 | 23, 24 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴)) |
| 26 | 25, 12 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇) |
| 27 | 26 | gt0ne0d 11827 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0) |
| 28 | 22, 16, 27 | redivcld 12095 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 29 | 28 | flcld 13838 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ) |
| 30 | 29 | zred 12722 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 31 | 30, 16 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 32 | 21, 31 | readdcld 11290 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 33 | 2, 8, 21, 32 | fvmptd 7023 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))) |
| 34 | 10 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) |
| 35 | 21 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ) |
| 36 | 34, 35 | pncan3d 11623 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) = 𝑌) |
| 37 | 36 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑋 + (𝑌 − 𝑋))) |
| 38 | 37 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) = (𝐵 − (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)))) |
| 39 | 13 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 40 | 35, 34 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ) |
| 41 | 39, 34, 40 | subsub4d 11651 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)) = (𝐵 − (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)))) |
| 42 | 38, 41 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) = ((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋))) |
| 43 | 42 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)) / 𝑇)) |
| 44 | 13, 10 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 45 | 44 | recnd 11289 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ) |
| 46 | 16 | recnd 11289 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ) |
| 47 | 45, 40, 46, 27 | divsubdird 12082 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)) / 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇))) |
| 48 | 40, 46, 27 | divnegd 12056 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇) = (-(𝑌 − 𝑋) / 𝑇)) |
| 49 | 35, 34 | negsubdi2d 11636 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → -(𝑌 − 𝑋) = (𝑋 − 𝑌)) |
| 50 | 49 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (-(𝑌 − 𝑋) / 𝑇) = ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) |
| 51 | 48, 50 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇) = ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) |
| 52 | 51 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))) |
| 53 | 44, 16, 27 | redivcld 12095 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 54 | 53 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℂ) |
| 55 | 40, 46, 27 | divcld 12043 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℂ) |
| 56 | 54, 55 | negsubd 11626 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇))) |
| 57 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
| 58 | 54, 57 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) |
| 59 | 58 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1)) |
| 60 | 59 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = (((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))) |
| 61 | 54, 57 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ∈
ℂ) |
| 62 | 34, 35 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ ℂ) |
| 63 | 62, 46, 27 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℂ) |
| 64 | 61, 57, 63 | addassd 11283 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) |
| 65 | 60, 64 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) |
| 66 | 52, 56, 65 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) |
| 67 | 43, 47, 66 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) |
| 68 | 67 | fveq2d 6910 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) = (⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))))) |
| 69 | 10, 21 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ ℝ) |
| 70 | 16, 69 | readdcld 11290 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) ∈ ℝ) |
| 71 | 16, 26 | elrpd 13074 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 72 | 34, 46 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑋)) |
| 73 | 72 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) = (𝑋(,](𝑇 + 𝑋))) |
| 74 | 9, 73 | eleqtrd 2843 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋))) |
| 75 | 16, 10 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑋) ∈ ℝ) |
| 76 | | elioc2 13450 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ (𝑇 + 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)))) |
| 77 | 11, 75, 76 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)))) |
| 78 | 74, 77 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))) |
| 79 | 78 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)) |
| 80 | 21, 10, 16 | lesubaddd 11860 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) ≤ 𝑇 ↔ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))) |
| 81 | 79, 80 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ≤ 𝑇) |
| 82 | 21, 10 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 83 | 16, 82 | subge0d 11853 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑇 − (𝑌 − 𝑋)) ↔ (𝑌 − 𝑋) ≤ 𝑇)) |
| 84 | 81, 83 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑇 − (𝑌 − 𝑋))) |
| 85 | 46, 35, 34 | subsub2d 11649 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑇 − (𝑌 − 𝑋)) = (𝑇 + (𝑋 − 𝑌))) |
| 86 | 84, 85 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑇 + (𝑋 − 𝑌))) |
| 87 | 70, 71, 86 | divge0d 13117 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) / 𝑇)) |
| 88 | 46, 62, 46, 27 | divdird 12081 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) / 𝑇) = ((𝑇 / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))) |
| 89 | 46, 27 | dividd 12041 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1) |
| 90 | 89 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 1 = (𝑇 / 𝑇)) |
| 91 | 90 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = ((𝑇 / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))) |
| 92 | 88, 91 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) / 𝑇) = (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))) |
| 93 | 87, 92 | breqtrd 5169 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))) |
| 94 | 20 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌) |
| 95 | 10, 21 | sublt0d 11889 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) < 0 ↔ 𝑋 < 𝑌)) |
| 96 | 94, 95 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < 0) |
| 97 | 69, 71, 96 | divlt0gt0d 45298 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) < 0) |
| 98 | 69, 16, 27 | redivcld 12095 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 99 | | 1red 11262 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 100 | | ltaddneg 11477 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
→ (((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) < 0 ↔ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1)) |
| 101 | 98, 99, 100 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) < 0 ↔ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1)) |
| 102 | 97, 101 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1) |
| 103 | 53 | flcld 13838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) |
| 104 | 103 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 105 | 104, 46 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 106 | 34, 105 | pncan2d 11622 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) |
| 107 | 106 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋)) |
| 108 | 107 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇)) |
| 109 | 104, 46, 27 | divcan4d 12049 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))) |
| 110 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋) |
| 111 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋)) |
| 112 | 111 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) |
| 113 | 112 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))) |
| 114 | 113 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) |
| 115 | 110, 114 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) |
| 116 | 115 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) |
| 117 | | reflcl 13836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝐵 −
𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 118 | 53, 117 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 119 | 118, 16 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 120 | 10, 119 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 121 | 2, 116, 10, 120 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) |
| 122 | 121 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑋)) |
| 123 | 122 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((𝐸‘𝑋) − 𝑋)) |
| 124 | 123 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇) = (((𝐸‘𝑋) − 𝑋) / 𝑇)) |
| 125 | | fourierdlem26.7 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵) |
| 126 | 125 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋)) |
| 127 | 126 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑋) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) |
| 128 | 124, 127 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) |
| 129 | 108, 109,
128 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) |
| 130 | 129, 103 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℤ) |
| 131 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℤ) |
| 132 | 130, 131 | zsubcld 12727 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ∈
ℤ) |
| 133 | 99, 98 | readdcld 11290 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 134 | | flbi2 13857 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 +
((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ) →
((⌊‘((((𝐵
− 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ↔ (0 ≤ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∧ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1))) |
| 135 | 132, 133,
134 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ↔ (0 ≤ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∧ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1))) |
| 136 | 93, 102, 135 | mpbir2and 713 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1)) |
| 137 | 129 | eqcomd 2743 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))) |
| 138 | 137 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1)) |
| 139 | 68, 136, 138 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1)) |
| 140 | 139 | oveq1d 7446 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) |
| 141 | 140 | oveq2d 7447 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) |
| 142 | 37 | oveq1d 7446 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑌 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) |
| 143 | 104, 57, 46 | subdird 11720 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))) |
| 144 | 143 | oveq2d 7447 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))) |
| 145 | 34, 40 | addcld 11280 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ) |
| 146 | 57, 46 | mulcld 11281 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 · 𝑇) ∈
ℂ) |
| 147 | 145, 105,
146 | addsubassd 11640 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))) |
| 148 | 147 | eqcomd 2743 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))) = (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇))) |
| 149 | 34, 40, 105 | add32d 11489 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋))) |
| 150 | 149 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)) − (1 · 𝑇))) |
| 151 | 122 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)) = ((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋))) |
| 152 | 46 | mullidd 11279 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 · 𝑇) = 𝑇) |
| 153 | 151, 152 | oveq12d 7449 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)) − (1 · 𝑇)) = (((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)) − 𝑇)) |
| 154 | 125, 13 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
| 155 | 154 | recnd 11289 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℂ) |
| 156 | 155, 40, 46 | addsubd 11641 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)) − 𝑇) = (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) + (𝑌 − 𝑋))) |
| 157 | 125 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − 𝑇)) |
| 158 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)) |
| 159 | 158 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))) |
| 160 | 14 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 161 | 39, 160 | nncand 11625 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴) |
| 162 | 157, 159,
161 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = 𝐴) |
| 163 | 162 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) + (𝑌 − 𝑋)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋))) |
| 164 | 156, 163 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)) − 𝑇) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋))) |
| 165 | 150, 153,
164 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋))) |
| 166 | 144, 148,
165 | 3eqtrd 2781 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋))) |
| 167 | 142, 166 | eqtrd 2777 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑌 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋))) |
| 168 | 33, 141, 167 | 3eqtrd 2781 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋))) |