Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem26 42566
 Description: Periodic image of a point 𝑌 that's in the period that begins with the point 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem26.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem26.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem26.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem26.4 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem26.5 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem26.6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem26.7 (𝜑 → (𝐸𝑋) = 𝐵)
fourierdlem26.8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem26 (𝜑 → (𝐸𝑌) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem26
StepHypRef Expression
1 fourierdlem26.5 . . . 4 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
3 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
43oveq2d 7146 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑌))
54oveq1d 7145 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑌) / 𝑇))
65fveq2d 6647 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)))
76oveq1d 7145 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
83, 7oveq12d 7148 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
9 fourierdlem26.8 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)))
10 fourierdlem26.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1110rexrd 10668 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
12 fourierdlem26.4 . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐵𝐴)
13 fourierdlem26.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
14 fourierdlem26.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11045 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1612, 15eqeltrid 2916 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1710, 16readdcld 10647 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
18 elioc2 12778 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇))))
1911, 17, 18syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇))))
209, 19mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇)))
2120simp1d 1139 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2213, 21resubcld 11045 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℝ)
23 fourierdlem26.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2414, 13posdifd 11204 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2523, 24mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
2625, 12breqtrrdi 5081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑇)
2726gt0ne0d 11181 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ≠ 0)
2822, 16, 27redivcld 11445 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
2928flcld 13151 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
3029zred 12065 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
3130, 16remulcld 10648 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
3221, 31readdcld 10647 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
332, 8, 21, 32fvmptd 6748 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
3410recnd 10646 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3521recnd 10646 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
3634, 35pncan3d 10977 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + (𝑌𝑋)) = 𝑌)
3736eqcomd 2827 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 = (𝑋 + (𝑌𝑋)))
3837oveq2d 7146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑌) = (𝐵 − (𝑋 + (𝑌𝑋))))
3913recnd 10646 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4035, 34subcld 10974 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
4139, 34, 40subsub4d 11005 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑋) − (𝑌𝑋)) = (𝐵 − (𝑋 + (𝑌𝑋))))
4238, 41eqtr4d 2859 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑌) = ((𝐵𝑋) − (𝑌𝑋)))
4342oveq1d 7145 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) = (((𝐵𝑋) − (𝑌𝑋)) / 𝑇))
4413, 10resubcld 11045 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
4544recnd 10646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
4616recnd 10646 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
4745, 40, 46, 27divsubdird 11432 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝑋) − (𝑌𝑋)) / 𝑇) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) − ((𝑌𝑋) / 𝑇)))
4840, 46, 27divnegd 11406 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝑌𝑋) / 𝑇) = (-(𝑌𝑋) / 𝑇))
4935, 34negsubdi2d 10990 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝑌𝑋) = (𝑋𝑌))
5049oveq1d 7145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑌𝑋) / 𝑇) = ((𝑋𝑌) / 𝑇))
5148, 50eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((𝑌𝑋) / 𝑇) = ((𝑋𝑌) / 𝑇))
5251oveq2d 7146 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) + -((𝑌𝑋) / 𝑇)) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
5344, 16, 27redivcld 11445 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
5453recnd 10646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℂ)
5540, 46, 27divcld 11393 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌𝑋) / 𝑇) ∈ ℂ)
5654, 55negsubd 10980 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) + -((𝑌𝑋) / 𝑇)) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) − ((𝑌𝑋) / 𝑇)))
57 1cnd 10613 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5854, 57npcand 10978 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
5958eqcomd 2827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) = ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + 1))
6059oveq1d 7145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) = (((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
6154, 57subcld 10974 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℂ)
6234, 35subcld 10974 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ ℂ)
6362, 46, 27divcld 11393 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑌) / 𝑇) ∈ ℂ)
6461, 57, 63addassd 10640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) = ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇))))
6560, 64eqtrd 2856 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) = ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇))))
6652, 56, 653eqtr3d 2864 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) − ((𝑌𝑋) / 𝑇)) = ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇))))
6743, 47, 663eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) = ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇))))
6867fveq2d 6647 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) = (⌊‘((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))))
6910, 21resubcld 11045 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ ℝ)
7016, 69readdcld 10647 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 + (𝑋𝑌)) ∈ ℝ)
7116, 26elrpd 12406 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7234, 46addcomd 10819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑋))
7372oveq2d 7146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) = (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)))
749, 73eleqtrd 2914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)))
7516, 10readdcld 10647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 + 𝑋) ∈ ℝ)
76 elioc2 12778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑇 + 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))))
7711, 75, 76syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))))
7874, 77mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)))
7978simp3d 1141 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))
8021, 10, 16lesubaddd 11214 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ≤ 𝑇𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)))
8179, 80mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝑋) ≤ 𝑇)
8221, 10resubcld 11045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
8316, 82subge0d 11207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (𝑇 − (𝑌𝑋)) ↔ (𝑌𝑋) ≤ 𝑇))
8481, 83mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑇 − (𝑌𝑋)))
8546, 35, 34subsub2d 11003 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 − (𝑌𝑋)) = (𝑇 + (𝑋𝑌)))
8684, 85breqtrd 5065 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑇 + (𝑋𝑌)))
8770, 71, 86divge0d 12449 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑇 + (𝑋𝑌)) / 𝑇))
8846, 62, 46, 27divdird 11431 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇 + (𝑋𝑌)) / 𝑇) = ((𝑇 / 𝑇) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
8946, 27dividd 11391 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
9089eqcomd 2827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 = (𝑇 / 𝑇))
9190oveq1d 7145 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) = ((𝑇 / 𝑇) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
9288, 91eqtr4d 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇 + (𝑋𝑌)) / 𝑇) = (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
9387, 92breqtrd 5065 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
9420simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < 𝑌)
9510, 21sublt0d 11243 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑌) < 0 ↔ 𝑋 < 𝑌))
9694, 95mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑌) < 0)
9769, 71, 96divlt0gt0d 41706 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝑌) / 𝑇) < 0)
9869, 16, 27redivcld 11445 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
99 1red 10619 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
100 ltaddneg 10832 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑋𝑌) / 𝑇) < 0 ↔ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) < 1))
10198, 99, 100syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋𝑌) / 𝑇) < 0 ↔ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) < 1))
10297, 101mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) < 1)
10353flcld 13151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
104103zcnd 12066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
105104, 46mulcld 10638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
10634, 105pncan2d 10976 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
107106eqcomd 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
108107oveq1d 7145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇))
109104, 46, 27divcan4d 11399 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
111 oveq2 7138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
112111oveq1d 7145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
113112fveq2d 6647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
114113oveq1d 7145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
115110, 114oveq12d 7148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
116115adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
117 reflcl 13149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
11853, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
119118, 16remulcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
12010, 119readdcld 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
1212, 116, 10, 120fvmptd 6748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
122121eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸𝑋))
123122oveq1d 7145 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((𝐸𝑋) − 𝑋))
124123oveq1d 7145 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇) = (((𝐸𝑋) − 𝑋) / 𝑇))
125 fourierdlem26.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸𝑋) = 𝐵)
126125oveq1d 7145 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑋) = (𝐵𝑋))
127126oveq1d 7145 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸𝑋) − 𝑋) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
128124, 127eqtrd 2856 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
129108, 109, 1283eqtr3d 2864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
130129, 103eqeltrrd 2913 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℤ)
131 1zzd 11991 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
132130, 131zsubcld 12070 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℤ)
13399, 98readdcld 10647 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
134 flbi2 13170 . . . . . . 7 (((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ) → ((⌊‘((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) ↔ (0 ≤ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) ∧ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) < 1)))
135132, 133, 134syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) ↔ (0 ≤ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) ∧ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) < 1)))
13693, 102, 135mpbir2and 712 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1))
137129eqcomd 2827 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
138137oveq1d 7145 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1))
13968, 136, 1383eqtrd 2860 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1))
140139oveq1d 7145 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
141140oveq2d 7146 . 2 (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
14237oveq1d 7145 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
143104, 57, 46subdird 11074 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))
144143oveq2d 7146 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))))
14534, 40addcld 10637 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
14657, 46mulcld 10638 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
147145, 105, 146addsubassd 10994 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌𝑋)) + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))))
148147eqcomd 2827 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))) = (((𝑋 + (𝑌𝑋)) + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)))
14934, 40, 105add32d 10844 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌𝑋)))
150149oveq1d 7145 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌𝑋)) + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌𝑋)) − (1 · 𝑇)))
151122oveq1d 7145 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌𝑋)) = ((𝐸𝑋) + (𝑌𝑋)))
15246mulid2d 10636 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
153151, 152oveq12d 7148 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌𝑋)) − (1 · 𝑇)) = (((𝐸𝑋) + (𝑌𝑋)) − 𝑇))
154125, 13eqeltrd 2912 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
155154recnd 10646 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℂ)
156155, 40, 46addsubd 10995 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸𝑋) + (𝑌𝑋)) − 𝑇) = (((𝐸𝑋) − 𝑇) + (𝑌𝑋)))
157125oveq1d 7145 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝐵𝑇))
15812a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
159158oveq2d 7146 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑇) = (𝐵 − (𝐵𝐴)))
16014recnd 10646 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
16139, 160nncand 10979 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
162157, 159, 1613eqtrd 2860 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
163162oveq1d 7145 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸𝑋) − 𝑇) + (𝑌𝑋)) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
164156, 163eqtrd 2856 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸𝑋) + (𝑌𝑋)) − 𝑇) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
165150, 153, 1643eqtrd 2860 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌𝑋)) + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
166144, 148, 1653eqtrd 2860 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
167142, 166eqtrd 2856 . 2 (𝜑 → (𝑌 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
16833, 141, 1673eqtrd 2860 1 (𝜑 → (𝐸𝑌) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5119  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℝcr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519  ℝ*cxr 10651   < clt 10652   ≤ cle 10653   − cmin 10847  -cneg 10848   / cdiv 11274  ℤcz 11959  (,]cioc 12717  ⌊cfl 13143 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-ioc 12721  df-fl 13145 This theorem is referenced by:  fourierdlem65  42604  fourierdlem79  42618
 Copyright terms: Public domain W3C validator