Theorem fourierdlem26 43681

Description: Periodic image of a point 𝑌 that's in the period that begins with the point 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem26.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem26.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem26.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem26.4	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem26.5	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem26.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem26.7	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
fourierdlem26.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem26	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem26.5	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
3		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
4	3	oveq2d 7300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑌))
5	4	oveq1d 7299	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇))
6	5	fveq2d 6787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)))
7	6	oveq1d 7299	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
8	3, 7	oveq12d 7302	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
9		fourierdlem26.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)))
10		fourierdlem26.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
12		fourierdlem26.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
13		fourierdlem26.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
14		fourierdlem26.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
16	12, 15	eqeltrid 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
17	10, 16	readdcld 11013	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
18		elioc2 13151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇))))
19	11, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇))))
20	9, 19	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇)))
21	20	simp1d 1141	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
22	13, 21	resubcld 11412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
23		fourierdlem26.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
24	14, 13	posdifd 11571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
25	23, 24	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
26	25, 12	breqtrrdi 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
27	26	gt0ne0d 11548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
28	22, 16, 27	redivcld 11812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
30	29	zred 12435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
31	30, 16	remulcld 11014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
32	21, 31	readdcld 11013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
33	2, 8, 21, 32	fvmptd 6891	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
34	10	recnd 11012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
35	21	recnd 11012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
36	34, 35	pncan3d 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) = 𝑌)
37	36	eqcomd 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)))
38	37	oveq2d 7300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) = (𝐵 − (𝑋 + (𝑌 − 𝑋))))
39	13	recnd 11012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
40	35, 34	subcld 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
41	39, 34, 40	subsub4d 11372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)) = (𝐵 − (𝑋 + (𝑌 − 𝑋))))
42	38, 41	eqtr4d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) = ((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)))
43	42	oveq1d 7299	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)) / 𝑇))
44	13, 10	resubcld 11412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
46	16	recnd 11012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
47	45, 40, 46, 27	divsubdird 11799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)) / 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)))
48	40, 46, 27	divnegd 11773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇) = (-(𝑌 − 𝑋) / 𝑇))
49	35, 34	negsubdi2d 11357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 − 𝑋) = (𝑋 − 𝑌))
50	49	oveq1d 7299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝑌 − 𝑋) / 𝑇) = ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))
51	48, 50	eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇) = ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))
52	51	oveq2d 7300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
53	44, 16, 27	redivcld 11812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℂ)
55	40, 46, 27	divcld 11760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℂ)
56	54, 55	negsubd 11347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)))
57		1cnd 10979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
58	54, 57	npcand 11345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
59	58	eqcomd 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1))
60	59	oveq1d 7299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = (((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
61	54, 57	subcld 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℂ)
62	34, 35	subcld 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ ℂ)
63	62, 46, 27	divcld 11760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℂ)
64	61, 57, 63	addassd 11006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))))
65	60, 64	eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))))
66	52, 56, 65	3eqtr3d 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))))
67	43, 47, 66	3eqtrd 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))))
68	67	fveq2d 6787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) = (⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))))
69	10, 21	resubcld 11412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ ℝ)
70	16, 69	readdcld 11013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) ∈ ℝ)
71	16, 26	elrpd 12778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
72	34, 46	addcomd 11186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑋))
73	72	oveq2d 7300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) = (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)))
74	9, 73	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)))
75	16, 10	readdcld 11013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑋) ∈ ℝ)
76		elioc2 13151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑇 + 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))))
77	11, 75, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))))
78	74, 77	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)))
79	78	simp3d 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))
80	21, 10, 16	lesubaddd 11581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) ≤ 𝑇 ↔ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)))
81	79, 80	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ≤ 𝑇)
82	21, 10	resubcld 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
83	16, 82	subge0d 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑇 − (𝑌 − 𝑋)) ↔ (𝑌 − 𝑋) ≤ 𝑇))
84	81, 83	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑇 − (𝑌 − 𝑋)))
85	46, 35, 34	subsub2d 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − (𝑌 − 𝑋)) = (𝑇 + (𝑋 − 𝑌)))
86	84, 85	breqtrd 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑇 + (𝑋 − 𝑌)))
87	70, 71, 86	divge0d 12821	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) / 𝑇))
88	46, 62, 46, 27	divdird 11798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) / 𝑇) = ((𝑇 / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
89	46, 27	dividd 11758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
90	89	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑇 / 𝑇))
91	90	oveq1d 7299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = ((𝑇 / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
92	88, 91	eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) / 𝑇) = (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
93	87, 92	breqtrd 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
94	20	simp2d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
95	10, 21	sublt0d 11610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) < 0 ↔ 𝑋 < 𝑌))
96	94, 95	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < 0)
97	69, 71, 96	divlt0gt0d 42832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) < 0)
98	69, 16, 27	redivcld 11812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
99		1red 10985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
100		ltaddneg 11199	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) < 0 ↔ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1))
101	98, 99, 100	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) < 0 ↔ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1))
102	97, 101	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1)
103	53	flcld 13527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
104	103	zcnd 12436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
105	104, 46	mulcld 11004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
106	34, 105	pncan2d 11343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
107	106	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
108	107	oveq1d 7299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇))
109	104, 46, 27	divcan4d 11766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
110		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
111		oveq2 7292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
112	111	oveq1d 7299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
113	112	fveq2d 6787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
114	113	oveq1d 7299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
115	110, 114	oveq12d 7302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
117		reflcl 13525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
118	53, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
119	118, 16	remulcld 11014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
120	10, 119	readdcld 11013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
121	2, 116, 10, 120	fvmptd 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
122	121	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑋))
123	122	oveq1d 7299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))
124	123	oveq1d 7299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇) = (((𝐸‘𝑋) − 𝑋) / 𝑇))
125		fourierdlem26.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
126	125	oveq1d 7299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
127	126	oveq1d 7299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑋) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
128	124, 127	eqtrd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
129	108, 109, 128	3eqtr3d 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
130	129, 103	eqeltrrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℤ)
131		1zzd 12360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
132	130, 131	zsubcld 12440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℤ)
133	99, 98	readdcld 11013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
134		flbi2 13546	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ) → ((⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ↔ (0 ≤ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∧ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1)))
135	132, 133, 134	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ↔ (0 ≤ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∧ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1)))
136	93, 102, 135	mpbir2and 710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1))
137	129	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
138	137	oveq1d 7299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1))
139	68, 136, 138	3eqtrd 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1))
140	139	oveq1d 7299	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
141	140	oveq2d 7300	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
142	37	oveq1d 7299	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
143	104, 57, 46	subdird 11441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))
144	143	oveq2d 7300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))))
145	34, 40	addcld 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
146	57, 46	mulcld 11004	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
147	145, 105, 146	addsubassd 11361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))))
148	147	eqcomd 2745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))) = (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)))
149	34, 40, 105	add32d 11211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)))
150	149	oveq1d 7299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)) − (1 · 𝑇)))
151	122	oveq1d 7299	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)) = ((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)))
152	46	mulid2d 11002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
153	151, 152	oveq12d 7302	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)) − (1 · 𝑇)) = (((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)) − 𝑇))
154	125, 13	eqeltrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
155	154	recnd 11012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℂ)
156	155, 40, 46	addsubd 11362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)) − 𝑇) = (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) + (𝑌 − 𝑋)))
157	125	oveq1d 7299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − 𝑇))
158	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
159	158	oveq2d 7300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)))
160	14	recnd 11012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
161	39, 160	nncand 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
162	157, 159, 161	3eqtrd 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
163	162	oveq1d 7299	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) + (𝑌 − 𝑋)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))
164	156, 163	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)) − 𝑇) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))
165	150, 153, 164	3eqtrd 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))
166	144, 148, 165	3eqtrd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))
167	142, 166	eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))
168	33, 141, 167	3eqtrd 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  ℝ^*cxr 11017   < clt 11018   ≤ cle 11019   − cmin 11214  -cneg 11215   / cdiv 11641  ℤcz 12328  (,]cioc 13089  ⌊cfl 13519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-inf 9211  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-ioc 13093  df-fl 13521

This theorem is referenced by:  fourierdlem65  43719  fourierdlem79  43733