Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem26 46148
Description: Periodic image of a point 𝑌 that's in the period that begins with the point 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem26.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem26.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem26.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem26.4 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem26.5 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem26.6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem26.7 (𝜑 → (𝐸𝑋) = 𝐵)
fourierdlem26.8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem26 (𝜑 → (𝐸𝑌) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem26
StepHypRef Expression
1 fourierdlem26.5 . . . 4 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
3 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
43oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑌))
54oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑌) / 𝑇))
65fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)))
76oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
83, 7oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
9 fourierdlem26.8 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)))
10 fourierdlem26.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1110rexrd 11311 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
12 fourierdlem26.4 . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐵𝐴)
13 fourierdlem26.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
14 fourierdlem26.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1612, 15eqeltrid 2845 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1710, 16readdcld 11290 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
18 elioc2 13450 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇))))
1911, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇))))
209, 19mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇)))
2120simp1d 1143 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2213, 21resubcld 11691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℝ)
23 fourierdlem26.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2414, 13posdifd 11850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2523, 24mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
2625, 12breqtrrdi 5185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑇)
2726gt0ne0d 11827 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ≠ 0)
2822, 16, 27redivcld 12095 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
2928flcld 13838 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
3029zred 12722 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
3130, 16remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
3221, 31readdcld 11290 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
332, 8, 21, 32fvmptd 7023 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
3410recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3521recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
3634, 35pncan3d 11623 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + (𝑌𝑋)) = 𝑌)
3736eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 = (𝑋 + (𝑌𝑋)))
3837oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑌) = (𝐵 − (𝑋 + (𝑌𝑋))))
3913recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4035, 34subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
4139, 34, 40subsub4d 11651 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑋) − (𝑌𝑋)) = (𝐵 − (𝑋 + (𝑌𝑋))))
4238, 41eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑌) = ((𝐵𝑋) − (𝑌𝑋)))
4342oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) = (((𝐵𝑋) − (𝑌𝑋)) / 𝑇))
4413, 10resubcld 11691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
4544recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
4616recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
4745, 40, 46, 27divsubdird 12082 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝑋) − (𝑌𝑋)) / 𝑇) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) − ((𝑌𝑋) / 𝑇)))
4840, 46, 27divnegd 12056 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝑌𝑋) / 𝑇) = (-(𝑌𝑋) / 𝑇))
4935, 34negsubdi2d 11636 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝑌𝑋) = (𝑋𝑌))
5049oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑌𝑋) / 𝑇) = ((𝑋𝑌) / 𝑇))
5148, 50eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((𝑌𝑋) / 𝑇) = ((𝑋𝑌) / 𝑇))
5251oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) + -((𝑌𝑋) / 𝑇)) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
5344, 16, 27redivcld 12095 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
5453recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℂ)
5540, 46, 27divcld 12043 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌𝑋) / 𝑇) ∈ ℂ)
5654, 55negsubd 11626 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) + -((𝑌𝑋) / 𝑇)) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) − ((𝑌𝑋) / 𝑇)))
57 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5854, 57npcand 11624 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
5958eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) = ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + 1))
6059oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) = (((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
6154, 57subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℂ)
6234, 35subcld 11620 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ ℂ)
6362, 46, 27divcld 12043 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑌) / 𝑇) ∈ ℂ)
6461, 57, 63addassd 11283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) = ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇))))
6560, 64eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) = ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇))))
6652, 56, 653eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) − ((𝑌𝑋) / 𝑇)) = ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇))))
6743, 47, 663eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) = ((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇))))
6867fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) = (⌊‘((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))))
6910, 21resubcld 11691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ ℝ)
7016, 69readdcld 11290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 + (𝑋𝑌)) ∈ ℝ)
7116, 26elrpd 13074 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7234, 46addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑋))
7372oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) = (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)))
749, 73eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)))
7516, 10readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 + 𝑋) ∈ ℝ)
76 elioc2 13450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑇 + 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))))
7711, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))))
7874, 77mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)))
7978simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))
8021, 10, 16lesubaddd 11860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ≤ 𝑇𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)))
8179, 80mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝑋) ≤ 𝑇)
8221, 10resubcld 11691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
8316, 82subge0d 11853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (𝑇 − (𝑌𝑋)) ↔ (𝑌𝑋) ≤ 𝑇))
8481, 83mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑇 − (𝑌𝑋)))
8546, 35, 34subsub2d 11649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 − (𝑌𝑋)) = (𝑇 + (𝑋𝑌)))
8684, 85breqtrd 5169 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑇 + (𝑋𝑌)))
8770, 71, 86divge0d 13117 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑇 + (𝑋𝑌)) / 𝑇))
8846, 62, 46, 27divdird 12081 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇 + (𝑋𝑌)) / 𝑇) = ((𝑇 / 𝑇) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
8946, 27dividd 12041 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
9089eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 = (𝑇 / 𝑇))
9190oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) = ((𝑇 / 𝑇) + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
9288, 91eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇 + (𝑋𝑌)) / 𝑇) = (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
9387, 92breqtrd 5169 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))
9420simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < 𝑌)
9510, 21sublt0d 11889 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑌) < 0 ↔ 𝑋 < 𝑌))
9694, 95mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑌) < 0)
9769, 71, 96divlt0gt0d 45298 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝑌) / 𝑇) < 0)
9869, 16, 27redivcld 12095 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
99 1red 11262 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
100 ltaddneg 11477 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑋𝑌) / 𝑇) < 0 ↔ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) < 1))
10198, 99, 100syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋𝑌) / 𝑇) < 0 ↔ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) < 1))
10297, 101mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) < 1)
10353flcld 13838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
104103zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
105104, 46mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
10634, 105pncan2d 11622 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
107106eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
108107oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇))
109104, 46, 27divcan4d 12049 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
111 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
112111oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
113112fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
114113oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
115110, 114oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
117 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
11853, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
119118, 16remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
12010, 119readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
1212, 116, 10, 120fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
122121eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸𝑋))
123122oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((𝐸𝑋) − 𝑋))
124123oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇) = (((𝐸𝑋) − 𝑋) / 𝑇))
125 fourierdlem26.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸𝑋) = 𝐵)
126125oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑋) = (𝐵𝑋))
127126oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸𝑋) − 𝑋) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
128124, 127eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
129108, 109, 1283eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
130129, 103eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℤ)
131 1zzd 12648 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
132130, 131zsubcld 12727 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℤ)
13399, 98readdcld 11290 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
134 flbi2 13857 . . . . . . 7 (((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ) → ((⌊‘((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) ↔ (0 ≤ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) ∧ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) < 1)))
135132, 133, 134syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) ↔ (0 ≤ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) ∧ (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)) < 1)))
13693, 102, 135mpbir2and 713 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1))
137129eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
138137oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / 𝑇) − 1) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1))
13968, 136, 1383eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1))
140139oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
141140oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
14237oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
143104, 57, 46subdird 11720 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))
144143oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))))
14534, 40addcld 11280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
14657, 46mulcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
147145, 105, 146addsubassd 11640 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌𝑋)) + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))))
148147eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))) = (((𝑋 + (𝑌𝑋)) + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)))
14934, 40, 105add32d 11489 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌𝑋)))
150149oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌𝑋)) + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌𝑋)) − (1 · 𝑇)))
151122oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌𝑋)) = ((𝐸𝑋) + (𝑌𝑋)))
15246mullidd 11279 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
153151, 152oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌𝑋)) − (1 · 𝑇)) = (((𝐸𝑋) + (𝑌𝑋)) − 𝑇))
154125, 13eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
155154recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℂ)
156155, 40, 46addsubd 11641 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸𝑋) + (𝑌𝑋)) − 𝑇) = (((𝐸𝑋) − 𝑇) + (𝑌𝑋)))
157125oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝐵𝑇))
15812a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
159158oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑇) = (𝐵 − (𝐵𝐴)))
16014recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
16139, 160nncand 11625 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
162157, 159, 1613eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
163162oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸𝑋) − 𝑇) + (𝑌𝑋)) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
164156, 163eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸𝑋) + (𝑌𝑋)) − 𝑇) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
165150, 153, 1643eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌𝑋)) + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
166144, 148, 1653eqtrd 2781 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌𝑋)) + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
167142, 166eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝑌 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
16833, 141, 1673eqtrd 2781 1 (𝜑 → (𝐸𝑌) = (𝐴 + (𝑌𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cz 12613  (,]cioc 13388  cfl 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioc 13392  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  fourierdlem65  46186  fourierdlem79  46200
  Copyright terms: Public domain W3C validator