fourierdlem26 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem26 45147

Description: Periodic image of a point 𝑌 that's in the period that begins with the point 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem26.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem26.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem26.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem26.4	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem26.5	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem26.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem26.7	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
fourierdlem26.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem26	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐵 𝑥,𝑇 𝑥,𝑋 𝑥,𝑌 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥) 𝐸(𝑥)

**Proof of Theorem fourierdlem26**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem26.5	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
3		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
4	3	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑌))
5	4	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇))
6	5	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)))
7	6	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
8	3, 7	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
9		fourierdlem26.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)))
10		fourierdlem26.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
12		fourierdlem26.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
13		fourierdlem26.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
14		fourierdlem26.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
16	12, 15	eqeltrid 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
17	10, 16	readdcld 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
18		elioc2 13391	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇))))
19	11, 17, 18	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇))))
20	9, 19	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 + 𝑇)))
21	20	simp1d 1140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
22	13, 21	resubcld 11646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
23		fourierdlem26.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
24	14, 13	posdifd 11805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
25	23, 24	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
26	25, 12	breqtrrdi 5189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
27	26	gt0ne0d 11782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
28	22, 16, 27	redivcld 12046	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
30	29	zred 12670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
31	30, 16	remulcld 11248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
32	21, 31	readdcld 11247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
33	2, 8, 21, 32	fvmptd 7004	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
34	10	recnd 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
35	21	recnd 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
36	34, 35	pncan3d 11578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) = 𝑌)
37	36	eqcomd 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)))
38	37	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) = (𝐵 − (𝑋 + (𝑌 − 𝑋))))
39	13	recnd 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
40	35, 34	subcld 11575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
41	39, 34, 40	subsub4d 11606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)) = (𝐵 − (𝑋 + (𝑌 − 𝑋))))
42	38, 41	eqtr4d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) = ((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)))
43	42	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)) / 𝑇))
44	13, 10	resubcld 11646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
46	16	recnd 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
47	45, 40, 46, 27	divsubdird 12033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) − (𝑌 − 𝑋)) / 𝑇) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)))
48	40, 46, 27	divnegd 12007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇) = (-(𝑌 − 𝑋) / 𝑇))
49	35, 34	negsubdi2d 11591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 − 𝑋) = (𝑋 − 𝑌))
50	49	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝑌 − 𝑋) / 𝑇) = ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))
51	48, 50	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇) = ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))
52	51	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
53	44, 16, 27	redivcld 12046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℂ)
55	40, 46, 27	divcld 11994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℂ)
56	54, 55	negsubd 11581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + -((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)))
57		1cnd 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
58	54, 57	npcand 11579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
59	58	eqcomd 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1))
60	59	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = (((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
61	54, 57	subcld 11575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℂ)
62	34, 35	subcld 11575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ ℂ)
63	62, 46, 27	divcld 11994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℂ)
64	61, 57, 63	addassd 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + 1) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))))
65	60, 64	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))))
66	52, 56, 65	3eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − ((𝑌 − 𝑋) / 𝑇)) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))))
67	43, 47, 66	3eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) = ((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇))))
68	67	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) = (⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))))
69	10, 21	resubcld 11646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ ℝ)
70	16, 69	readdcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) ∈ ℝ)
71	16, 26	elrpd 13017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
72	34, 46	addcomd 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑋))
73	72	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,](𝑋 + 𝑇)) = (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)))
74	9, 73	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)))
75	16, 10	readdcld 11247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑋) ∈ ℝ)
76		elioc2 13391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝑇 + 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))))
77	11, 75, 76	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,](𝑇 + 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))))
78	74, 77	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)))
79	78	simp3d 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋))
80	21, 10, 16	lesubaddd 11815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) ≤ 𝑇 ↔ 𝑌 ≤ (𝑇 + 𝑋)))
81	79, 80	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ≤ 𝑇)
82	21, 10	resubcld 11646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
83	16, 82	subge0d 11808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑇 − (𝑌 − 𝑋)) ↔ (𝑌 − 𝑋) ≤ 𝑇))
84	81, 83	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑇 − (𝑌 − 𝑋)))
85	46, 35, 34	subsub2d 11604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − (𝑌 − 𝑋)) = (𝑇 + (𝑋 − 𝑌)))
86	84, 85	breqtrd 5173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑇 + (𝑋 − 𝑌)))
87	70, 71, 86	divge0d 13060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) / 𝑇))
88	46, 62, 46, 27	divdird 12032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) / 𝑇) = ((𝑇 / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
89	46, 27	dividd 11992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
90	89	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑇 / 𝑇))
91	90	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) = ((𝑇 / 𝑇) + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
92	88, 91	eqtr4d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (𝑋 − 𝑌)) / 𝑇) = (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
93	87, 92	breqtrd 5173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))
94	20	simp2d 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
95	10, 21	sublt0d 11844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) < 0 ↔ 𝑋 < 𝑌))
96	94, 95	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < 0)
97	69, 71, 96	divlt0gt0d 44294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) < 0)
98	69, 16, 27	redivcld 12046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
99		1red 11219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
100		ltaddneg 11433	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) < 0 ↔ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1))
101	98, 99, 100	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝑌) / 𝑇) < 0 ↔ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1))
102	97, 101	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1)
103	53	flcld 13767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
104	103	zcnd 12671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
105	104, 46	mulcld 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
106	34, 105	pncan2d 11577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
107	106	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
108	107	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇))
109	104, 46, 27	divcan4d 12000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
110		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
111		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
112	111	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
113	112	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
114	113	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
115	110, 114	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
116	115	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
117		reflcl 13765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
118	53, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
119	118, 16	remulcld 11248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
120	10, 119	readdcld 11247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
121	2, 116, 10, 120	fvmptd 7004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
122	121	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸‘𝑋))
123	122	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))
124	123	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇) = (((𝐸‘𝑋) − 𝑋) / 𝑇))
125		fourierdlem26.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
126	125	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
127	126	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑋) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
128	124, 127	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
129	108, 109, 128	3eqtr3d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
130	129, 103	eqeltrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℤ)
131		1zzd 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
132	130, 131	zsubcld 12675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℤ)
133	99, 98	readdcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
134		flbi2 13786	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ) → ((⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ↔ (0 ≤ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∧ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1)))
135	132, 133, 134	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) ↔ (0 ≤ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) ∧ (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)) < 1)))
136	93, 102, 135	mpbir2and 709	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) + (1 + ((𝑋 − 𝑌) / 𝑇)))) = (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1))
137	129	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
138	137	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) − 1) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1))
139	68, 136, 138	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1))
140	139	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
141	140	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
142	37	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
143	104, 57, 46	subdird 11675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))
144	143	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))))
145	34, 40	addcld 11237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
146	57, 46	mulcld 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
147	145, 105, 146	addsubassd 11595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))))
148	147	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − (1 · 𝑇))) = (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)))
149	34, 40, 105	add32d 11445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)))
150	149	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)) − (1 · 𝑇)))
151	122	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)) = ((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)))
152	46	mullidd 11236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
153	151, 152	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) + (𝑌 − 𝑋)) − (1 · 𝑇)) = (((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)) − 𝑇))
154	125, 13	eqeltrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
155	154	recnd 11246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℂ)
156	155, 40, 46	addsubd 11596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)) − 𝑇) = (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) + (𝑌 − 𝑋)))
157	125	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − 𝑇))
158	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
159	158	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)))
160	14	recnd 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
161	39, 160	nncand 11580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
162	157, 159, 161	3eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
163	162	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) + (𝑌 − 𝑋)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))
164	156, 163	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸‘𝑋) + (𝑌 − 𝑋)) − 𝑇) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))
165	150, 153, 164	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − (1 · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))
166	144, 148, 165	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))
167	142, 166	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))
168	33, 141, 167	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝐴 + (𝑌 − 𝑋)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2104 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ‘cfv 6542 (class class class)co 7411 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 ℝ^*cxr 11251 < clt 11252 ≤ cle 11253 − cmin 11448 -cneg 11449 / cdiv 11875 ℤcz 12562 (,]cioc 13329 ⌊cfl 13759

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9439 df-inf 9440 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12979 df-ioc 13333 df-fl 13761

This theorem is referenced by: fourierdlem65 45185 fourierdlem79 45199

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