Theorem elhf3OLD 9894

Description: Obsolete version of elhf3 9884 as of 17-Sep-2026. (Contributed by Eric Schmidt, 8-Sep-2026.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elhf3OLD	⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ))

Proof of Theorem elhf3OLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hffi 9880	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝐴 ∈ Fin)
2		hfelhf 9885	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
3	2	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ Hf ))
4	3	ssrdv 3936	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝐴 ⊆ Hf )
5	1, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ))
6		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ Hf ↔ ∅ ∈ Hf ))
7		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ Hf ↔ 𝑦 ∈ Hf ))
8		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∈ Hf ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Hf ))
9		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Hf ↔ 𝐴 ∈ Hf ))
10		0hf 9888	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Hf
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ) → ∅ ∈ Hf )
12		eldifi 4077	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
13		ssel2 3925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ Hf ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Hf )
14	12, 13	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ Hf ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ Hf )
15		hfadj 9893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Hf ∧ 𝑧 ∈ Hf ) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Hf )
16	15	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ Hf → (𝑦 ∈ Hf → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Hf ))
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ Hf ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑦 ∈ Hf → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Hf ))
18	17	ad2ant2l 759	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∈ Hf → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Hf ))
19		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ) → 𝐴 ∈ Fin)
20	6, 7, 8, 9, 11, 18, 19	findcard2d 9160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )
21	5, 20	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  {csn 4583  Fincfn 8951   Hf chf 9877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-r1 9746  df-rank 9747  df-hf 9878

This theorem is used by: (None)