Theorem elhf3OLD 9923

Description: Obsolete version of elhf3 9913 as of 17-Sep-2026. (Contributed by Eric Schmidt, 8-Sep-2026.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elhf3OLD	⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))

Proof of Theorem elhf3OLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hffi 9909	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ∈ Fin)
2		hfelhf 9914	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ HF ) → 𝑥 ∈ HF )
3	2	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ HF ))
4	3	ssrdv 3914	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ⊆ HF )
5	1, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))
6		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ HF ↔ ∅ ∈ HF ))
7		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ HF ↔ 𝑦 ∈ HF ))
8		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∈ HF ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ HF ))
9		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ HF ↔ 𝐴 ∈ HF ))
10		0hf 9917	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ HF
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) → ∅ ∈ HF )
12		eldifi 4067	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
13		ssel2 3903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ HF )
14	12, 13	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ HF )
15		hfadj 9922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ HF ∧ 𝑧 ∈ HF ) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ HF )
16	15	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ HF → (𝑦 ∈ HF → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ HF ))
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑦 ∈ HF → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ HF ))
18	17	ad2ant2l 759	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∈ HF → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ HF ))
19		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) → 𝐴 ∈ Fin)
20	6, 7, 8, 9, 11, 18, 19	findcard2d 9182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) → 𝐴 ∈ HF )
21	5, 20	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4583  Fincfn 8973   HF chf 9904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977  df-r1 9768  df-rank 9769  df-hf 9905

This theorem is used by: (None)