Theorem elhf3OLD 9947

Description: Obsolete version of elhf3 9937 as of 17-Sep-2026. (Contributed by Eric Schmidt, 8-Sep-2026.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elhf3OLD	⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))

Proof of Theorem elhf3OLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hffi 9933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ∈ Fin)
2		hfelhf 9938	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ HF ) → 𝑥 ∈ HF )
3	2	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ HF ))
4	3	ssrdv 3919	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ⊆ HF )
5	1, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))
6		eleq1 2852	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ HF ↔ ∅ ∈ HF ))
7		eleq1 2852	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ HF ↔ 𝑦 ∈ HF ))
8		eleq1 2852	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∈ HF ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ HF ))
9		eleq1 2852	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ HF ↔ 𝐴 ∈ HF ))
10		0hf 9941	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ HF
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) → ∅ ∈ HF )
12		eldifi 4070	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
13		ssel2 3908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ HF )
14	12, 13	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ HF )
15		hfadj 9946	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ HF ∧ 𝑧 ∈ HF ) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ HF )
16	15	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ HF → (𝑦 ∈ HF → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ HF ))
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑦 ∈ HF → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ HF ))
18	17	ad2ant2l 759	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∈ HF → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ HF ))
19		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) → 𝐴 ∈ Fin)
20	6, 7, 8, 9, 11, 18, 19	findcard2d 9207	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) → 𝐴 ∈ HF )
21	5, 20	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  Fincfn 8998   HF chf 9928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-en 8999  df-dom 9000  df-fin 9002  df-r1 9792  df-rank 9793  df-hf 9929

This theorem is used by: (None)