Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle2 39688
Description: Collapsed dvle 24751. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle2.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvle2.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvle2.3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvle2.4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvle2.5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐸)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐹))
dvle2.6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐺)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐻))
dvle2.7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹𝐻)
dvle2.8 (𝑥 = 𝐴𝐸 = 𝑃)
dvle2.9 (𝑥 = 𝐴𝐺 = 𝑄)
dvle2.10 (𝑥 = 𝐵𝐸 = 𝑅)
dvle2.11 (𝑥 = 𝐵𝐺 = 𝑆)
dvle2.12 (𝜑𝑃𝑄)
dvle2.13 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvle2 (𝜑𝑅𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem dvle2
StepHypRef Expression
1 dvle2.10 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵𝐸 = 𝑅)
21eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐸 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
3 dvle2.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
4 cncff 23638 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
6 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸)
76fmpt 6878 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝐸 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
85, 7sylibr 237 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝐸 ∈ ℝ)
9 dvle2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 10762 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
11 dvle2.13 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
129leidd 11277 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
1310, 11, 123jca 1129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵))
14 dvle2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514rexrd 10762 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
16 elicc1 12858 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1715, 10, 16syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1813, 17mpbird 260 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
192, 8, 18rspcdva 3526 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
20 dvle2.8 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴𝐸 = 𝑃)
2120eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐸 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
2214leidd 11277 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐴)
2315, 22, 113jca 1129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴𝐵))
24 elicc1 12858 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴𝐵)))
2515, 10, 24syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴𝐵)))
2623, 25mpbird 260 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2721, 8, 26rspcdva 3526 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2819, 27resubcld 11139 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑃) ∈ ℝ)
29 dvle2.11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵𝐺 = 𝑆)
3029eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐺 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
31 dvle2.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
32 cncff 23638 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
34 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺)
3534fmpt 6878 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝐺 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
3633, 35sylibr 237 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝐺 ∈ ℝ)
3730, 36, 18rspcdva 3526 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
38 dvle2.9 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴𝐺 = 𝑄)
3938eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐺 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
4039, 36, 26rspcdva 3526 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
4137, 40resubcld 11139 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑄) ∈ ℝ)
42 dvle2.5 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐸)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐹))
43 dvle2.6 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐺)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐻))
44 dvle2.7 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹𝐻)
4514, 9, 3, 42, 31, 43, 44, 26, 18, 11, 20, 38, 1, 29dvle 24751 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
46 dvle2.12 . . 3 (𝜑𝑃𝑄)
4728, 27, 41, 40, 45, 46le2addd 11330 . 2 (𝜑 → ((𝑅𝑃) + 𝑃) ≤ ((𝑆𝑄) + 𝑄))
4819recnd 10740 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
4927recnd 10740 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5048, 49npcand 11072 . . 3 (𝜑 → ((𝑅𝑃) + 𝑃) = 𝑅)
5137recnd 10740 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
5240recnd 10740 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
5351, 52npcand 11072 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑄) + 𝑄) = 𝑆)
5450, 53breq12d 5040 . 2 (𝜑 → (((𝑅𝑃) + 𝑃) ≤ ((𝑆𝑄) + 𝑄) ↔ 𝑅𝑆))
5547, 54mpbid 235 1 (𝜑𝑅𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053   class class class wbr 5027  cmpt 5107  wf 6329  (class class class)co 7164  cr 10607   + caddc 10611  *cxr 10745  cle 10747  cmin 10941  (,)cioo 12814  [,]cicc 12817  cnccncf 23621   D cdv 24607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-cmp 22131  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  39691
  Copyright terms: Public domain W3C validator