Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle2 40575
Description: Collapsed dvle 25387. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle2.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvle2.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvle2.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
dvle2.4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
dvle2.5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐸)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐹))
dvle2.6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐻))
dvle2.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ≀ 𝐻)
dvle2.8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝐸 = 𝑃)
dvle2.9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝐺 = 𝑄)
dvle2.10 (π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐸 = 𝑅)
dvle2.11 (π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐺 = 𝑆)
dvle2.12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ 𝑄)
dvle2.13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dvle2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐸(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)

Proof of Theorem dvle2
StepHypRef Expression
1 dvle2.10 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐸 = 𝑅)
21eleq1d 2819 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐸 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
3 dvle2.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
4 cncff 24272 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸)
76fmpt 7059 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝐸 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
85, 7sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝐸 ∈ ℝ)
9 dvle2.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
109rexrd 11210 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
11 dvle2.13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
129leidd 11726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
1310, 11, 123jca 1129 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡))
14 dvle2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1514rexrd 11210 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
16 elicc1 13314 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)))
1715, 10, 16syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)))
1813, 17mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
192, 8, 18rspcdva 3581 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
20 dvle2.8 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝐸 = 𝑃)
2120eleq1d 2819 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐸 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
2214leidd 11726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐴)
2315, 22, 113jca 1129 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡))
24 elicc1 13314 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡)))
2515, 10, 24syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡)))
2623, 25mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2721, 8, 26rspcdva 3581 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
2819, 27resubcld 11588 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 𝑃) ∈ ℝ)
29 dvle2.11 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐺 = 𝑆)
3029eleq1d 2819 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐺 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
31 dvle2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
32 cncff 24272 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
34 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺)
3534fmpt 7059 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝐺 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
3633, 35sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝐺 ∈ ℝ)
3730, 36, 18rspcdva 3581 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
38 dvle2.9 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝐺 = 𝑄)
3938eleq1d 2819 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐺 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
4039, 36, 26rspcdva 3581 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
4137, 40resubcld 11588 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝑄) ∈ ℝ)
42 dvle2.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐸)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐹))
43 dvle2.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐻))
44 dvle2.7 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ≀ 𝐻)
4514, 9, 3, 42, 31, 43, 44, 26, 18, 11, 20, 38, 1, 29dvle 25387 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 𝑃) ≀ (𝑆 βˆ’ 𝑄))
46 dvle2.12 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ 𝑄)
4728, 27, 41, 40, 45, 46le2addd 11779 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 𝑃) + 𝑃) ≀ ((𝑆 βˆ’ 𝑄) + 𝑄))
4819recnd 11188 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
4927recnd 11188 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
5048, 49npcand 11521 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 𝑃) + 𝑃) = 𝑅)
5137recnd 11188 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
5240recnd 11188 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
5351, 52npcand 11521 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βˆ’ 𝑄) + 𝑄) = 𝑆)
5450, 53breq12d 5119 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑅 βˆ’ 𝑃) + 𝑃) ≀ ((𝑆 βˆ’ 𝑄) + 𝑄) ↔ 𝑅 ≀ 𝑆))
5547, 54mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358  β„cr 11055   + caddc 11059  β„*cxr 11193   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  (,)cioo 13270  [,]cicc 13273  β€“cnβ†’ccncf 24255   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  40578
  Copyright terms: Public domain W3C validator