Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle2 41543
Description: Collapsed dvle 25953. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle2.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvle2.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvle2.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
dvle2.4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
dvle2.5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐸)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐹))
dvle2.6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐻))
dvle2.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ≀ 𝐻)
dvle2.8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝐸 = 𝑃)
dvle2.9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝐺 = 𝑄)
dvle2.10 (π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐸 = 𝑅)
dvle2.11 (π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐺 = 𝑆)
dvle2.12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ 𝑄)
dvle2.13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dvle2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐸(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)

Proof of Theorem dvle2
StepHypRef Expression
1 dvle2.10 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐸 = 𝑅)
21eleq1d 2814 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐸 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
3 dvle2.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
4 cncff 24826 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
6 eqid 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸)
76fmpt 7120 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝐸 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
85, 7sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝐸 ∈ ℝ)
9 dvle2.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
109rexrd 11295 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
11 dvle2.13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
129leidd 11811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
1310, 11, 123jca 1126 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡))
14 dvle2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1514rexrd 11295 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
16 elicc1 13401 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)))
1715, 10, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)))
1813, 17mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
192, 8, 18rspcdva 3610 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
20 dvle2.8 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝐸 = 𝑃)
2120eleq1d 2814 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐸 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
2214leidd 11811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐴)
2315, 22, 113jca 1126 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡))
24 elicc1 13401 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡)))
2515, 10, 24syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡)))
2623, 25mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2721, 8, 26rspcdva 3610 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
2819, 27resubcld 11673 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 𝑃) ∈ ℝ)
29 dvle2.11 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐺 = 𝑆)
3029eleq1d 2814 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐺 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
31 dvle2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
32 cncff 24826 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
34 eqid 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺)
3534fmpt 7120 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝐺 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
3633, 35sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝐺 ∈ ℝ)
3730, 36, 18rspcdva 3610 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
38 dvle2.9 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝐺 = 𝑄)
3938eleq1d 2814 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐺 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
4039, 36, 26rspcdva 3610 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
4137, 40resubcld 11673 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝑄) ∈ ℝ)
42 dvle2.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐸)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐹))
43 dvle2.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐻))
44 dvle2.7 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ≀ 𝐻)
4514, 9, 3, 42, 31, 43, 44, 26, 18, 11, 20, 38, 1, 29dvle 25953 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 𝑃) ≀ (𝑆 βˆ’ 𝑄))
46 dvle2.12 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ 𝑄)
4728, 27, 41, 40, 45, 46le2addd 11864 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 𝑃) + 𝑃) ≀ ((𝑆 βˆ’ 𝑄) + 𝑄))
4819recnd 11273 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
4927recnd 11273 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
5048, 49npcand 11606 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 𝑃) + 𝑃) = 𝑅)
5137recnd 11273 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
5240recnd 11273 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
5351, 52npcand 11606 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βˆ’ 𝑄) + 𝑄) = 𝑆)
5450, 53breq12d 5161 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑅 βˆ’ 𝑃) + 𝑃) ≀ ((𝑆 βˆ’ 𝑄) + 𝑄) ↔ 𝑅 ≀ 𝑆))
5547, 54mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6544  (class class class)co 7420  β„cr 11138   + caddc 11142  β„*cxr 11278   ≀ cle 11280   βˆ’ cmin 11475  (,)cioo 13357  [,]cicc 13360  β€“cnβ†’ccncf 24809   D cdv 25805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  41546
  Copyright terms: Public domain W3C validator