Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle2 40080
Description: Collapsed dvle 25171. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle2.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvle2.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvle2.3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvle2.4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvle2.5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐸)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐹))
dvle2.6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐺)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐻))
dvle2.7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹𝐻)
dvle2.8 (𝑥 = 𝐴𝐸 = 𝑃)
dvle2.9 (𝑥 = 𝐴𝐺 = 𝑄)
dvle2.10 (𝑥 = 𝐵𝐸 = 𝑅)
dvle2.11 (𝑥 = 𝐵𝐺 = 𝑆)
dvle2.12 (𝜑𝑃𝑄)
dvle2.13 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvle2 (𝜑𝑅𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem dvle2
StepHypRef Expression
1 dvle2.10 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵𝐸 = 𝑅)
21eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐸 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
3 dvle2.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
4 cncff 24056 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
6 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸)
76fmpt 6984 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝐸 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐸):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
85, 7sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝐸 ∈ ℝ)
9 dvle2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 11025 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
11 dvle2.13 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
129leidd 11541 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
1310, 11, 123jca 1127 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵))
14 dvle2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514rexrd 11025 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
16 elicc1 13123 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1715, 10, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1813, 17mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
192, 8, 18rspcdva 3562 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
20 dvle2.8 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴𝐸 = 𝑃)
2120eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐸 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
2214leidd 11541 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐴)
2315, 22, 113jca 1127 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴𝐵))
24 elicc1 13123 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴𝐵)))
2515, 10, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴𝐵)))
2623, 25mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2721, 8, 26rspcdva 3562 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2819, 27resubcld 11403 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑃) ∈ ℝ)
29 dvle2.11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵𝐺 = 𝑆)
3029eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐺 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
31 dvle2.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
32 cncff 24056 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
34 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺)
3534fmpt 6984 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝐺 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐺):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
3633, 35sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝐺 ∈ ℝ)
3730, 36, 18rspcdva 3562 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
38 dvle2.9 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴𝐺 = 𝑄)
3938eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐺 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
4039, 36, 26rspcdva 3562 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
4137, 40resubcld 11403 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑄) ∈ ℝ)
42 dvle2.5 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐸)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐹))
43 dvle2.6 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐺)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐻))
44 dvle2.7 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹𝐻)
4514, 9, 3, 42, 31, 43, 44, 26, 18, 11, 20, 38, 1, 29dvle 25171 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
46 dvle2.12 . . 3 (𝜑𝑃𝑄)
4728, 27, 41, 40, 45, 46le2addd 11594 . 2 (𝜑 → ((𝑅𝑃) + 𝑃) ≤ ((𝑆𝑄) + 𝑄))
4819recnd 11003 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
4927recnd 11003 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5048, 49npcand 11336 . . 3 (𝜑 → ((𝑅𝑃) + 𝑃) = 𝑅)
5137recnd 11003 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
5240recnd 11003 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
5351, 52npcand 11336 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑄) + 𝑄) = 𝑆)
5450, 53breq12d 5087 . 2 (𝜑 → (((𝑅𝑃) + 𝑃) ≤ ((𝑆𝑄) + 𝑄) ↔ 𝑅𝑆))
5547, 54mpbid 231 1 (𝜑𝑅𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5074  cmpt 5157  wf 6429  (class class class)co 7275  cr 10870   + caddc 10874  *cxr 11008  cle 11010  cmin 11205  (,)cioo 13079  [,]cicc 13082  cnccncf 24039   D cdv 25027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  40083
  Copyright terms: Public domain W3C validator