Theorem esumle 34740

Description: If all of the terms of an extended sums compare, so do the sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumadd.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumadd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
esumle	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13568	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		esumadd.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumadd.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4	3	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
6	5	esumcl 34712	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	2, 4, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	1, 7	sselid 3907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
9		esumadd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11	1, 3	sselid 3907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	xnegcld 13437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -e𝐵 ∈ ℝ*)
13	10, 12	xaddcld 13438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
14		esumle.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15		xsubge0 13398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐶 +e -e𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
16	10, 11, 15	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐶 +e -e𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
17	14, 16	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 +e -e𝐵))
18		pnfge 13266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ* → (𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞)
19	13, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞)
20		0xr 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
21		pnfxr 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
22		elicc1 13527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +e -e𝐵) ∧ (𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞)))
23	20, 21, 22	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +e -e𝐵) ∧ (𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞))
24	13, 17, 19, 23	syl3anbrc 1362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞))
25	24	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞))
26	5	esumcl 34712	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞))
27	2, 25, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞))
28	1, 27	sselid 3907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
29	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
31		elicc4 13551	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞)))
32	29, 30, 28, 31	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞)))
33	27, 32	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞))
34	33	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵))
35		xraddge02 33399	. . . . 5 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵))))
36	35	imp 412	. . . 4 ⊢ (((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵)))
37	8, 28, 34, 36	syl21anc 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵)))
38		xaddcom 13377	. . . 4 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵)) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
39	8, 28, 38	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵)) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
40	37, 39	breqtrd 5130	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
41	2, 24, 3	esumadd 34739	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴((𝐶 +e -e𝐵) +e 𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
42		xrge0npcan 33631	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐶 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐶)
43	9, 3, 14, 42	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐶 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐶)
44	43	esumeq2dv 34720	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴((𝐶 +e -e𝐵) +e 𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
45	41, 44	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
46	40, 45	breqtrd 5130	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  0cc0 11207  +∞cpnf 11347  ℝ^*cxr 11349   ≤ cle 11351   -_ecxne 13245   +_e cxad 13246  [,]cicc 13486  Σ^*cesum 34709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-ordt 17682  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-ps 18749  df-tsr 18750  df-plusf 18824  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-abv 21075  df-lmod 21146  df-scaf 21147  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-tmd 24400  df-tgp 24401  df-tsms 24455  df-trg 24488  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-nm 24910  df-ngp 24911  df-nrg 24913  df-nlm 24914  df-ii 25207  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893  df-esum 34710

This theorem is used by:  measiun  34901