Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumle 30664
Description: If all of the terms of an extended sums compare, so do the sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumadd.0 (𝜑𝐴𝑉)
esumadd.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumadd.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumle.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
esumle (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumle
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12543 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 esumadd.0 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumadd.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
43ralrimiva 3174 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5 nfcv 2968 . . . . . . 7 𝑘𝐴
65esumcl 30636 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
72, 4, 6syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
81, 7sseldi 3824 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
9 esumadd.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
101, 9sseldi 3824 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
111, 3sseldi 3824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1211xnegcld 12417 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
1310, 12xaddcld 12418 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
14 esumle.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
15 xsubge0 12378 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
1610, 11, 15syl2anc 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
1714, 16mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))
18 pnfge 12249 . . . . . . . . 9 ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)
1913, 18syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)
20 0xr 10402 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
21 pnfxr 10409 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
22 elicc1 12506 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
2320, 21, 22mp2an 685 . . . . . . . 8 ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞))
2413, 17, 19, 23syl3anbrc 1449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2524ralrimiva 3174 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
265esumcl 30636 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
272, 25, 26syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
281, 27sseldi 3824 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
2920a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3021a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
31 elicc4 12527 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
3229, 30, 28, 31syl3anc 1496 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
3327, 32mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞))
3433simpld 490 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))
35 xraddge02 30067 . . . . 5 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))))
3635imp 397 . . . 4 (((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)))
378, 28, 34, 36syl21anc 873 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)))
38 xaddcom 12358 . . . 4 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
398, 28, 38syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
4037, 39breqtrd 4898 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
412, 24, 3esumadd 30663 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
42 xrge0npcan 30238 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶)
439, 3, 14, 42syl3anc 1496 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶)
4443esumeq2dv 30644 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
4541, 44eqtr3d 2862 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
4640, 45breqtrd 4898 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3116   class class class wbr 4872  (class class class)co 6904  0cc0 10251  +∞cpnf 10387  *cxr 10389  cle 10391  -𝑒cxne 12228   +𝑒 cxad 12229  [,]cicc 12465  Σ*cesum 30633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ioc 12467  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-fac 13353  df-bc 13382  df-hash 13410  df-shft 14183  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-limsup 14578  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-ef 15169  df-sin 15171  df-cos 15172  df-pi 15174  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-ordt 16513  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-ps 17552  df-tsr 17553  df-plusf 17593  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mulg 17894  df-subg 17941  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-cring 18903  df-subrg 19133  df-abv 19172  df-lmod 19220  df-scaf 19221  df-sra 19532  df-rgmod 19533  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-nei 21272  df-lp 21310  df-perf 21311  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-haus 21489  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-tmd 22245  df-tgp 22246  df-tsms 22299  df-trg 22332  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-nm 22756  df-ngp 22757  df-nrg 22759  df-nlm 22760  df-ii 23049  df-cncf 23050  df-limc 24028  df-dv 24029  df-log 24701  df-esum 30634
This theorem is referenced by:  measiun  30825
  Copyright terms: Public domain W3C validator