Theorem esumle 34202

Description: If all of the terms of an extended sums compare, so do the sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumadd.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumadd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
esumle	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13383	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		esumadd.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumadd.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4	3	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
6	5	esumcl 34174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	2, 4, 6	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	1, 7	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
9		esumadd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11	1, 3	sselid 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	xnegcld 13252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
13	10, 12	xaddcld 13253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
14		esumle.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15		xsubge0 13213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
16	10, 11, 15	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
17	14, 16	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))
18		pnfge 13081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)
20		0xr 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
21		pnfxr 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
22		elicc1 13342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
23	20, 21, 22	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞))
24	13, 17, 19, 23	syl3anbrc 1345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
25	24	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
26	5	esumcl 34174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
27	2, 25, 26	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
28	1, 27	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
29	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
31		elicc4 13366	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
32	29, 30, 28, 31	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
33	27, 32	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞))
34	33	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))
35		xraddge02 32830	. . . . 5 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))))
36	35	imp 406	. . . 4 ⊢ (((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)))
37	8, 28, 34, 36	syl21anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)))
38		xaddcom 13192	. . . 4 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
39	8, 28, 38	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
40	37, 39	breqtrd 5111	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
41	2, 24, 3	esumadd 34201	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
42		xrge0npcan 33080	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶)
43	9, 3, 14, 42	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶)
44	43	esumeq2dv 34182	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
45	41, 44	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
46	40, 45	breqtrd 5111	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  -_𝑒cxne 13060   +_𝑒 cxad 13061  [,]cicc 13301  Σ^*cesum 34171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-ordt 17465  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-plusf 18607  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-abv 20786  df-lmod 20857  df-scaf 20858  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-tmd 24037  df-tgp 24038  df-tsms 24092  df-trg 24125  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-nm 24547  df-ngp 24548  df-nrg 24550  df-nlm 24551  df-ii 24844  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-esum 34172

This theorem is referenced by:  measiun  34362