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Theorem iblsplit 44281
Description: The union of two integrable functions is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblsplit.1 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
iblsplit.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
iblsplit.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
iblsplit.4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
iblsplit.5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblsplit (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘ˆ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem iblsplit
Dummy variables π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblsplit.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
21fmpttd 7068 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ 𝐢):π‘ˆβŸΆβ„‚)
3 ssun1 4137 . . . . . 6 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
4 iblsplit.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
53, 4sseqtrrid 4002 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† π‘ˆ)
65resmptd 5999 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢))
7 iblsplit.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
8 eqidd 2738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))), 0)))
9 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))) = (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))))
105sseld 3948 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
1110imdistani 570 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
1211, 1syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
138, 9, 12isibl2 25147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))), 0))) ∈ ℝ)))
147, 13mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))), 0))) ∈ ℝ))
1514simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
166, 15eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
17 ssun2 4138 . . . . . 6 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
1817, 4sseqtrrid 4002 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† π‘ˆ)
1918resmptd 5999 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢))
20 iblsplit.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
21 eqidd 2738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))), 0)))
22 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))) = (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))))
2318sseld 3948 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
2423imdistani 570 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
2524, 1syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2621, 22, 25isibl2 25147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))), 0))) ∈ ℝ)))
2720, 26mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (i↑𝑦))), 0))) ∈ ℝ))
2827simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
2919, 28eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
304eqcomd 2743 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = π‘ˆ)
312, 16, 29, 30mbfres2cn 44273 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
3215, 12mbfdm2 25017 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
3332adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
3428, 25mbfdm2 25017 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
3534adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
36 iblsplit.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
3736adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
384adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
391adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
40 ax-icn 11117 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ β„‚
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0...3) β†’ i ∈ β„‚)
42 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0...3) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4341, 42expcld 14058 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...3) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
4540a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ i ∈ β„‚)
46 ine0 11597 . . . . . . . . . . . . 13 i β‰  0
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ i β‰  0)
48 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0...3) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
5045, 47, 49expne0d 14064 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (iβ†‘π‘˜) β‰  0)
5139, 44, 50divcld 11938 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐢 / (iβ†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
5251recld 15086 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∈ ℝ)
5352rexrd 11212 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∈ ℝ*)
5453adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∈ ℝ*)
55 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))) β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))))
56 pnfge 13058 . . . . . . . 8 ((β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∈ ℝ* β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ≀ +∞)
5754, 56syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ≀ +∞)
58 0xr 11209 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
59 pnfxr 11216 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
60 elicc1 13315 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∧ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ≀ +∞)))
6158, 59, 60mp2an 691 . . . . . . 7 ((β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∧ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ≀ +∞))
6254, 55, 57, 61syl3anbrc 1344 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) ∈ (0[,]+∞))
63 0e0iccpnf 13383 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
6463a1i 11 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
6562, 64ifclda 4526 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0) ∈ (0[,]+∞))
66 eqid 2737 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0))
67 eqid 2737 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0))
68 ifan 4544 . . . . . 6 if((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0)
6968mpteq2i 5215 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0))
70 ifan 4544 . . . . . . . . . 10 if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0)
7170eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0) = if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)
7271mpteq2i 5215 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))
7372a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)))
7473fveq2d 6851 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0))) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))))
75 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)))
76 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) = (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))))
7775, 76, 12isibl2 25147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ)))
787, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ))
7978simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ)
8079r19.21bi 3237 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ)
8174, 80eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0))) ∈ ℝ)
82 ifan 4544 . . . . . . . . 9 if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐡, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0)
8382eqcomi 2746 . . . . . . . 8 if(π‘₯ ∈ 𝐡, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0) = if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)
8483mpteq2i 5215 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))
8584fveq2i 6850 . . . . . 6 (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0))) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)))
86 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)))
87 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) = (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))))
8886, 87, 25isibl2 25147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ)))
8920, 88mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ))
9089simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ)
9190r19.21bi 3237 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ)
9285, 91eqeltrid 2842 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0))) ∈ ℝ)
9333, 35, 37, 38, 65, 66, 67, 69, 81, 92itg2split 25130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0)))))
9481, 92readdcld 11191 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, if(0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0), 0)))) ∈ ℝ)
9593, 94eqeltrd 2838 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...3)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ)
9695ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ)
97 eqidd 2738 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0)))
98 eqidd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))) = (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))))
9997, 98, 1isibl2 25147 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...3)(∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜)))), (β„œβ€˜(𝐢 / (iβ†‘π‘˜))), 0))) ∈ ℝ)))
10031, 96, 99mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  ici 11060   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  3c3 12216  β„€cz 12506  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  β„œcre 14989  vol*covol 24842  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  βˆ«2citg2 24996  πΏ1cibl 24997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002
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