Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartrn 46088
Description: If there is a partition, then all intermediate points and bounds are contained in a closed interval of extended reals. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartrn (πœ‘ β†’ ran 𝑃 βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)))

Proof of Theorem iccpartrn
Dummy variables 𝑖 π‘˜ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
2 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 iccpart 46074 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
42, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
5 elmapfn 8858 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
74, 6syl6bi 252 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀)))
81, 7mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
9 fvelrnb 6952 . . . 4 (𝑃 Fn (0...𝑀) β†’ (𝑝 ∈ ran 𝑃 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) = 𝑝))
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∈ ran 𝑃 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) = 𝑝))
112adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
121adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
13 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
1411, 12, 13iccpartxr 46077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
152, 1iccpartgel 46087 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘˜))
16 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
1716breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
1817rspcva 3610 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
1918expcom 414 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2015, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2120imp 407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
222, 1iccpartleu 46086 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
2316breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2423rspcva 3610 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
2524expcom 414 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2622, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2726imp 407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
28 nnnn0 12478 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
29 0elfz 13597 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
302, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
312, 1, 30iccpartxr 46077 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
32 nn0fz0 13598 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
3328, 32sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
342, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
352, 1, 34iccpartxr 46077 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
3631, 35jca 512 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
3736adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
38 elicc1 13367 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
4014, 21, 27, 39mpbir3and 1342 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)))
41 eleq1 2821 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜π‘–) = 𝑝 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€))))
4240, 41syl5ibcom 244 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) = 𝑝 β†’ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€))))
4342rexlimdva 3155 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) = 𝑝 β†’ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€))))
4410, 43sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∈ ran 𝑃 β†’ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€))))
4544ssrdv 3988 1 (πœ‘ β†’ ran 𝑃 βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  ran crn 5677   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  RePartciccp 46071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-iccp 46072
This theorem is referenced by:  iccpartf  46089
  Copyright terms: Public domain W3C validator