Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartrn 45712
Description: If there is a partition, then all intermediate points and bounds are contained in a closed interval of extended reals. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartrn (πœ‘ β†’ ran 𝑃 βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)))

Proof of Theorem iccpartrn
Dummy variables 𝑖 π‘˜ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
2 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 iccpart 45698 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
42, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
5 elmapfn 8809 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
65adantr 482 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
74, 6syl6bi 253 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀)))
81, 7mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 Fn (0...𝑀))
9 fvelrnb 6907 . . . 4 (𝑃 Fn (0...𝑀) β†’ (𝑝 ∈ ran 𝑃 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) = 𝑝))
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∈ ran 𝑃 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) = 𝑝))
112adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
121adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
13 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
1411, 12, 13iccpartxr 45701 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
152, 1iccpartgel 45711 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘˜))
16 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
1716breq2d 5121 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
1817rspcva 3581 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
1918expcom 415 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2015, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2120imp 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
222, 1iccpartleu 45710 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
2316breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2423rspcva 3581 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
2524expcom 415 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2622, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2726imp 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
28 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
29 0elfz 13547 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
302, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
312, 1, 30iccpartxr 45701 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
32 nn0fz0 13548 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
3328, 32sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
342, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
352, 1, 34iccpartxr 45701 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
3631, 35jca 513 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
3736adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
38 elicc1 13317 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
4014, 21, 27, 39mpbir3and 1343 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)))
41 eleq1 2822 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜π‘–) = 𝑝 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€))))
4240, 41syl5ibcom 244 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) = 𝑝 β†’ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€))))
4342rexlimdva 3149 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) = 𝑝 β†’ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€))))
4410, 43sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∈ ran 𝑃 β†’ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€))))
4544ssrdv 3954 1 (πœ‘ β†’ ran 𝑃 βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,](π‘ƒβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  ran crn 5638   Fn wfn 6495  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  [,]cicc 13276  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  RePartciccp 45695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-iccp 45696
This theorem is referenced by:  iccpartf  45713
  Copyright terms: Public domain W3C validator