Theorem cnblcld 25094

Description: Two ways to write the closed ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnblcld.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cnblcld	⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnblcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absf 15506	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
2		ffn 6709	. . . . 5 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
3		elpreima 7057	. . . . 5 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅))))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)))
5		df-3an 1105	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
6		abscl 15446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
8		absge0 15455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
9	7, 8	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
10	9	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
11	10	biantrurd 542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
12	5, 11	bitr4id 293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
13		0xr 11357	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
15		elicc1 13521	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
16	13, 14, 15	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
17		0cn 11299	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		cnblcld.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
19	18	cnmetdval 25090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
20		abssub 15495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
21	19, 20	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
22	17, 21	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
23		subid1 11579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
24	23	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
25	22, 24	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
26	25	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
27	26	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
28	12, 16, 27	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅))
29	28	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
30	4, 29	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
31	30	eqabdv 2893	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)})
32		df-rab 3413	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)}
33	31, 32	eqtr4di 2813	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  {crab 3412   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  ℝ^*cxr 11343   ≤ cle 11345   − cmin 11542  [,]cicc 13480  abscabs 15402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-icc 13484  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404

This theorem is used by: (None)