MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnblcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnblcld 23054
Description: Two ways to write the closed ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cnblcld (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnblcld
StepHypRef Expression
1 absf 14519 . . . . 5 abs:ℂ⟶ℝ
2 ffn 6374 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
3 elpreima 6684 . . . . 5 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅))))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (𝑥 ∈ (abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)))
5 abscl 14460 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
65rexrd 10526 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
7 absge0 14469 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
86, 7jca 512 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
98adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
109biantrurd 533 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
11 df-3an 1080 . . . . . . 7 (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
1210, 11syl6rbbr 291 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
13 0xr 10523 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
14 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
15 elicc1 12621 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
1613, 14, 15sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
17 0cn 10468 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
18 cnblcld.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (abs ∘ − )
1918cnmetdval 23050 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
20 abssub 14508 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
2119, 20eqtrd 2829 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
2217, 21mpan 686 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
23 subid1 10743 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
2423fveq2d 6534 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
2522, 24eqtrd 2829 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2625adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2726breq1d 4966 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
2812, 16, 273bitr4d 312 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅))
2928pm5.32da 579 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
304, 29syl5bb 284 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
3130abbi2dv 2917 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)})
32 df-rab 3112 . 2 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)}
3331, 32syl6eqr 2847 1 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  {cab 2773  {crab 3107   class class class wbr 4956  ccnv 5434  cima 5438  ccom 5439   Fn wfn 6212  wf 6213  cfv 6217  (class class class)co 7007  cc 10370  cr 10371  0cc0 10372  *cxr 10509  cle 10511  cmin 10706  [,]cicc 12580  abscabs 14415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-icc 12584  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator