Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnblcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnblcld 23384
 Description: Two ways to write the closed ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cnblcld (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnblcld
StepHypRef Expression
1 absf 14693 . . . . 5 abs:ℂ⟶ℝ
2 ffn 6491 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
3 elpreima 6809 . . . . 5 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅))))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (𝑥 ∈ (abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)))
5 abscl 14634 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
65rexrd 10684 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
7 absge0 14643 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
86, 7jca 515 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
98adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
109biantrurd 536 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
11 df-3an 1086 . . . . . . 7 (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
1210, 11syl6rbbr 293 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
13 0xr 10681 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
14 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
15 elicc1 12774 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
1613, 14, 15sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
17 0cn 10626 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
18 cnblcld.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (abs ∘ − )
1918cnmetdval 23380 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
20 abssub 14682 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
2119, 20eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
2217, 21mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
23 subid1 10899 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
2423fveq2d 6653 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
2522, 24eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2625adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2726breq1d 5043 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
2812, 16, 273bitr4d 314 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅))
2928pm5.32da 582 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
304, 29syl5bb 286 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
3130abbi2dv 2930 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)})
32 df-rab 3118 . 2 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)}
3331, 32eqtr4di 2854 1 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {cab 2779  {crab 3113   class class class wbr 5033  ◡ccnv 5522   “ cima 5526   ∘ ccom 5527   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  ℝ*cxr 10667   ≤ cle 10669   − cmin 10863  [,]cicc 12733  abscabs 14589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-icc 12737  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator