MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnblcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnblcld 24220
Description: Two ways to write the closed ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cnblcld (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnblcld
StepHypRef Expression
1 absf 15266 . . . . 5 abs:ℂ⟶ℝ
2 ffn 6704 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
3 elpreima 7044 . . . . 5 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅))))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (𝑥 ∈ (abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)))
5 df-3an 1089 . . . . . . 7 (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
6 abscl 15207 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
76rexrd 11246 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
8 absge0 15216 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
97, 8jca 512 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
109adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
1110biantrurd 533 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
125, 11bitr4id 289 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
13 0xr 11243 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
14 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
15 elicc1 13350 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
1613, 14, 15sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
17 0cn 11188 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
18 cnblcld.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (abs ∘ − )
1918cnmetdval 24216 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
20 abssub 15255 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
2119, 20eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
2217, 21mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
23 subid1 11462 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
2423fveq2d 6882 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
2522, 24eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2625adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2726breq1d 5151 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
2812, 16, 273bitr4d 310 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅))
2928pm5.32da 579 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
304, 29bitrid 282 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
3130eqabdv 2866 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)})
32 df-rab 3432 . 2 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)}
3331, 32eqtr4di 2789 1 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2708  {crab 3431   class class class wbr 5141  ccnv 5668  cima 5672  ccom 5673   Fn wfn 6527  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  *cxr 11229  cle 11231  cmin 11426  [,]cicc 13309  abscabs 15163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-icc 13313  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator