MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnblcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnblcld 24161
Description: Two ways to write the closed ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
Assertion
Ref Expression
cnblcld (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑅)) = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (0𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑅

Proof of Theorem cnblcld
StepHypRef Expression
1 absf 15231 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
2 ffn 6672 . . . . 5 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
3 elpreima 7012 . . . . 5 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]𝑅))))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]𝑅)))
5 df-3an 1090 . . . . . . 7 (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅) ↔ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)) ∧ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
6 abscl 15172 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
76rexrd 11213 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
8 absge0 15181 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯))
97, 8jca 513 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)))
109adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)))
1110biantrurd 534 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)) ∧ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)))
125, 11bitr4id 290 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅) ↔ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
13 0xr 11210 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
14 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
15 elicc1 13317 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)))
1613, 14, 15sylancr 588 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)))
17 0cn 11155 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
18 cnblcld.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
1918cnmetdval 24157 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(0 βˆ’ π‘₯)))
20 abssub 15220 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ π‘₯)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
2119, 20eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
2217, 21mpan 689 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
23 subid1 11429 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ βˆ’ 0) = π‘₯)
2423fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘₯))
2522, 24eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
2625adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
2726breq1d 5119 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0𝐷π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
2812, 16, 273bitr4d 311 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]𝑅) ↔ (0𝐷π‘₯) ≀ 𝑅))
2928pm5.32da 580 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) ≀ 𝑅)))
304, 29bitrid 283 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) ≀ 𝑅)))
3130abbi2dv 2868 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑅)) = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) ≀ 𝑅)})
32 df-rab 3407 . 2 {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (0𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) ≀ 𝑅)}
3331, 32eqtr4di 2791 1 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑅)) = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (0𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  {crab 3406   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  [,]cicc 13276  abscabs 15128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-icc 13280  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator