MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfvallem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylfvallem1 26412
Description: Lemma for taylfval 26414. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylfval.n (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
taylfval.b ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
taylfvallem1 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem taylfvallem1
StepHypRef Expression
1 taylfval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
21ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 cnex 11233 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ V)
5 taylfval.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
6 taylfval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
7 elpm2r 8883 . . . . . . 7 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
84, 1, 5, 6, 7syl22anc 839 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
98ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
10 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
1110elin2d 4214 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1210elin1d 4213 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
13 0xr 11305 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
14 taylfval.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
15 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1615rexrd 11308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
17 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
18 pnfxr 11312 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
1917, 18eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
2016, 19jaoi 857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
2221ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
23 elicc1 13427 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁)))
2413, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁)))
2512, 24mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁))
2625simp2d 1142 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
27 elnn0z 12623 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
2811, 26, 27sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29 dvnf 25977 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
302, 9, 28, 29syl3anc 1370 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
31 taylfval.b . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3231adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3330, 32ffvelcdmd 7104 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
3428faccld 14319 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3534nncnd 12279 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3634nnne0d 12313 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
3733, 35, 36divcld 12040 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38 simplr 769 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
395ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40 dvnbss 25978 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ dom 𝐹)
412, 9, 28, 40syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ dom 𝐹)
4239, 41fssdmd 6754 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ 𝐴)
43 recnprss 25953 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
441, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
456, 44sstrd 4005 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
4645ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4742, 46sstrd 4005 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ ℂ)
4847, 32sseldd 3995 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4938, 48subcld 11617 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑋𝐵) ∈ ℂ)
5049, 28expcld 14182 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑋𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
5137, 50mulcld 11278 1 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  {cpr 4632   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  pm cpm 8865  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  0cn0 12523  cz 12610  [,]cicc 13386  cexp 14098  !cfa 14308   D𝑛 cdvn 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-limc 25915  df-dv 25916  df-dvn 25917
This theorem is referenced by:  taylfvallem  26413  taylf  26416  taylplem2  26419  taylpfval  26420
  Copyright terms: Public domain W3C validator