Theorem taylfvallem1 26594

Description: Lemma for taylfval 26596. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
taylfvallem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem taylfvallem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2	1	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		cnex 11206	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
5		taylfval.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
6		taylfval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
7		elpm2r 8845	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
8	4, 1, 5, 6, 7	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9	8	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
10		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
11	10	elin2d 4151	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	10	elin1d 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
13		0xr 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		taylfval.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
15		nn0re 12538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
17		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
18		pnfxr 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19	17, 18	eqeltrdi 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
20	16, 19	jaoi 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
21	14, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
23		elicc1 13443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
24	13, 22, 23	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
25	12, 24	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
26	25	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
27		elnn0z 12629	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
28	11, 26, 27	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29		dvnf 26155	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
30	2, 9, 28, 29	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
31		taylfval.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
32	31	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
33	30, 32	ffvelcdmd 7079	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
34	28	faccld 14349	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
35	34	nncnd 12274	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
36	34	nnne0d 12311	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
37	33, 35, 36	divcld 12016	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39	5	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40		dvnbss 26156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ dom 𝐹)
41	2, 9, 28, 40	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ dom 𝐹)
42	39, 41	fssdmd 6722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ 𝐴)
43		recnprss 26132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
44	1, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
45	6, 44	sstrd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
46	45	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
47	42, 46	sstrd 3941	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ ℂ)
48	47, 32	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
49	38, 48	subcld 11594	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑋 − 𝐵) ∈ ℂ)
50	49, 28	expcld 14211	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
51	37, 50	mulcld 11254	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {cpr 4586   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_pm cpm 8828  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125   · cmul 11130  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267   ≤ cle 11269   − cmin 11466   / cdiv 11896  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  [,]cicc 13402  ↑cexp 14126  !cfa 14338   D^𝑛 cdvn 26092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-icc 13406  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-rest 17508  df-topn 17509  df-topgen 17529  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-limc 26094  df-dv 26095  df-dvn 26096

This theorem is used by:  taylfvallem  26595  taylf  26598  taylplem2  26601  taylpfval  26602