Theorem taylfvallem1 26271

Description: Lemma for taylfval 26273. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
taylfvallem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem taylfvallem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		cnex 11156	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
5		taylfval.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
6		taylfval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
7		elpm2r 8821	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
8	4, 1, 5, 6, 7	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9	8	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
11	10	elin2d 4171	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	10	elin1d 4170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
13		0xr 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		taylfval.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
15		nn0re 12458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
17		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
18		pnfxr 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19	17, 18	eqeltrdi 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
20	16, 19	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
22	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
23		elicc1 13357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
24	13, 22, 23	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
25	12, 24	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
26	25	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
27		elnn0z 12549	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
28	11, 26, 27	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29		dvnf 25836	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
30	2, 9, 28, 29	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
31		taylfval.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
32	31	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
33	30, 32	ffvelcdmd 7060	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
34	28	faccld 14256	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
35	34	nncnd 12209	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
36	34	nnne0d 12243	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
37	33, 35, 36	divcld 11965	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39	5	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40		dvnbss 25837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ dom 𝐹)
41	2, 9, 28, 40	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ dom 𝐹)
42	39, 41	fssdmd 6709	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ 𝐴)
43		recnprss 25812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
44	1, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
45	6, 44	sstrd 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
47	42, 46	sstrd 3960	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ ℂ)
48	47, 32	sseldd 3950	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
49	38, 48	subcld 11540	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑋 − 𝐵) ∈ ℂ)
50	49, 28	expcld 14118	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
51	37, 50	mulcld 11201	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  {cpr 4594   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_pm cpm 8803  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  [,]cicc 13316  ↑cexp 14033  !cfa 14245   D^𝑛 cdvn 25772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17392  df-topn 17393  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-limc 25774  df-dv 25775  df-dvn 25776

This theorem is referenced by:  taylfvallem  26272  taylf  26275  taylplem2  26278  taylpfval  26279