Theorem taylfvallem1 25421

Description: Lemma for taylfval 25423. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
taylfvallem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem taylfvallem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2	1	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		cnex 10883	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
5		taylfval.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
6		taylfval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
7		elpm2r 8591	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
8	4, 1, 5, 6, 7	syl22anc 835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9	8	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
11	10	elin2d 4129	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	10	elin1d 4128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
13		0xr 10953	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		taylfval.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
15		nn0re 12172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
17		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
18		pnfxr 10960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19	17, 18	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
20	16, 19	jaoi 853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
22	21	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
23		elicc1 13052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
24	13, 22, 23	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
25	12, 24	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
26	25	simp2d 1141	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
27		elnn0z 12262	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
28	11, 26, 27	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29		dvnf 24996	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
30	2, 9, 28, 29	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
31		taylfval.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
32	31	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
33	30, 32	ffvelrnd 6944	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
34	28	faccld 13926	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
35	34	nncnd 11919	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
36	34	nnne0d 11953	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
37	33, 35, 36	divcld 11681	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39	5	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40		dvnbss 24997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ dom 𝐹)
41	2, 9, 28, 40	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ dom 𝐹)
42	39, 41	fssdmd 6603	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ 𝐴)
43		recnprss 24973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
44	1, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
45	6, 44	sstrd 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
46	45	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
47	42, 46	sstrd 3927	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ ℂ)
48	47, 32	sseldd 3918	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
49	38, 48	subcld 11262	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑋 − 𝐵) ∈ ℂ)
50	49, 28	expcld 13792	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
51	37, 50	mulcld 10926	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {cpr 4560   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_pm cpm 8574  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  [,]cicc 13011  ↑cexp 13710  !cfa 13915   D^𝑛 cdvn 24933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-topn 17051  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-limc 24935  df-dv 24936  df-dvn 24937

This theorem is referenced by:  taylfvallem  25422  taylf  25425  taylplem2  25428  taylpfval  25429