Theorem taylfvallem1 26318

Description: Lemma for taylfval 26320. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
taylfvallem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem taylfvallem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		cnex 11105	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
5		taylfval.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
6		taylfval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
7		elpm2r 8780	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
8	4, 1, 5, 6, 7	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9	8	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
11	10	elin2d 4155	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	10	elin1d 4154	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
13		0xr 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		taylfval.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
15		nn0re 12408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
17		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
18		pnfxr 11184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19	17, 18	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
20	16, 19	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
22	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
23		elicc1 13303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
24	13, 22, 23	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
25	12, 24	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
26	25	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
27		elnn0z 12499	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
28	11, 26, 27	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29		dvnf 25883	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
30	2, 9, 28, 29	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
31		taylfval.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
32	31	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
33	30, 32	ffvelcdmd 7028	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
34	28	faccld 14205	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
35	34	nncnd 12159	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
36	34	nnne0d 12193	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
37	33, 35, 36	divcld 11915	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39	5	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40		dvnbss 25884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ dom 𝐹)
41	2, 9, 28, 40	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ dom 𝐹)
42	39, 41	fssdmd 6678	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ 𝐴)
43		recnprss 25859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
44	1, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
45	6, 44	sstrd 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
47	42, 46	sstrd 3942	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ⊆ ℂ)
48	47, 32	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
49	38, 48	subcld 11490	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑋 − 𝐵) ∈ ℂ)
50	49, 28	expcld 14067	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
51	37, 50	mulcld 11150	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {cpr 4580   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_pm cpm 8762  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024   · cmul 11029  +∞cpnf 11161  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165   − cmin 11362   / cdiv 11792  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  [,]cicc 13262  ↑cexp 13982  !cfa 14194   D^𝑛 cdvn 25819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-icc 13266  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-rest 17340  df-topn 17341  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-limc 25821  df-dv 25822  df-dvn 25823

This theorem is referenced by:  taylfvallem  26319  taylf  26322  taylplem2  26325  taylpfval  26326