Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumlef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumlef 30938
Description: If all of the terms of an extended sums compare, so do the sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumaddf.0 𝑘𝜑
esumaddf.a 𝑘𝐴
esumaddf.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumaddf.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumaddf.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumlef.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
esumlef (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶)
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumlef
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12669 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 esumaddf.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumaddf.0 . . . . . . 7 𝑘𝜑
4 esumaddf.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
54ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
63, 5ralrimi 3183 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7 esumaddf.a . . . . . . 7 𝑘𝐴
87esumcl 30906 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
92, 6, 8syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
101, 9sseldi 3887 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11 esumaddf.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
121, 11sseldi 3887 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
131, 4sseldi 3887 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1413xnegcld 12543 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
1512, 14xaddcld 12544 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
16 esumlef.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
17 xsubge0 12504 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
1812, 13, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
1916, 18mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))
20 pnfge 12375 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)
2115, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)
22 0xr 10534 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
23 pnfxr 10541 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
24 elicc1 12632 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
2522, 23, 24mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞))
2615, 19, 21, 25syl3anbrc 1336 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2726ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴 → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞)))
283, 27ralrimi 3183 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
297esumcl 30906 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
302, 28, 29syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
311, 30sseldi 3887 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
3222a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3323a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
34 elicc4 12653 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
3532, 33, 31, 34syl3anc 1364 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
3630, 35mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞))
3736simpld 495 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))
38 xraddge02 30168 . . . . 5 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))))
3938imp 407 . . . 4 (((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)))
4010, 31, 37, 39syl21anc 834 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)))
41 xaddcom 12483 . . . 4 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
4210, 31, 41syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
4340, 42breqtrd 4988 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
443, 7, 2, 26, 4esumaddf 30937 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
45 xrge0npcan 30355 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶)
4611, 4, 16, 45syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶)
4746ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶))
483, 47ralrimi 3183 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶)
493, 48esumeq2d 30913 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
5044, 49eqtr3d 2833 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
5143, 50breqtrd 4988 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wnf 1765  wcel 2081  wnfc 2933  wral 3105   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  0cc0 10383  +∞cpnf 10518  *cxr 10520  cle 10522  -𝑒cxne 12354   +𝑒 cxad 12355  [,]cicc 12591  Σ*cesum 30903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-ordt 16603  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-ps 17639  df-tsr 17640  df-plusf 17680  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-subrg 19223  df-abv 19278  df-lmod 19326  df-scaf 19327  df-sra 19634  df-rgmod 19635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-tmd 22364  df-tgp 22365  df-tsms 22418  df-trg 22451  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-nm 22875  df-ngp 22876  df-nrg 22878  df-nlm 22879  df-ii 23168  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821  df-esum 30904
This theorem is referenced by:  esumpinfval  30949  esumpinfsum  30953  esum2d  30969  omssubadd  31175
  Copyright terms: Public domain W3C validator