Theorem esumlef 34761

Description: If all of the terms of an extended sums compare, so do the sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumaddf.0	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumaddf.a	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumaddf.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumaddf.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumaddf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumlef.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
esumlef	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumlef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13585	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		esumaddf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumaddf.0	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		esumaddf.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	4	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
6	3, 5	ralrimi 3264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7		esumaddf.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7	esumcl 34729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9	2, 6, 8	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11		esumaddf.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12	1, 11	sselid 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13	1, 4	sselid 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	13	xnegcld 13454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -e𝐵 ∈ ℝ*)
15	12, 14	xaddcld 13455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
16		esumlef.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
17		xsubge0 13415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐶 +e -e𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
18	12, 13, 17	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐶 +e -e𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
19	16, 18	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 +e -e𝐵))
20		pnfge 13283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ* → (𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞)
21	15, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞)
22		0xr 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
23		pnfxr 11387	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
24		elicc1 13544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +e -e𝐵) ∧ (𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞)))
25	22, 23, 24	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +e -e𝐵) ∧ (𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞))
26	15, 19, 21, 25	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞))
27	26	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞)))
28	3, 27	ralrimi 3264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞))
29	7	esumcl 34729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞))
30	2, 28, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞))
31	1, 30	sselid 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
32	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
33	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
34		elicc4 13568	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞)))
35	32, 33, 31, 34	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞)))
36	30, 35	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ≤ +∞))
37	36	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵))
38		xraddge02 33416	. . . . 5 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵))))
39	38	imp 412	. . . 4 ⊢ (((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵)))
40	10, 31, 37, 39	syl21anc 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵)))
41		xaddcom 13394	. . . 4 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵)) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
42	10, 31, 41	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵)) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
43	40, 42	breqtrd 5134	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
44	3, 7, 2, 26, 4	esumaddf 34760	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴((𝐶 +e -e𝐵) +e 𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
45		xrge0npcan 33648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐶 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐶)
46	11, 4, 16, 45	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐶 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐶)
47	46	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ((𝐶 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐶))
48	3, 47	ralrimi 3264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐶 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐶)
49	3, 48	esumeq2d 34736	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴((𝐶 +e -e𝐵) +e 𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
50	44, 49	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 +e -e𝐵) +e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
51	43, 50	breqtrd 5134	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  0cc0 11224  +∞cpnf 11364  ℝ^*cxr 11366   ≤ cle 11368   -_ecxne 13262   +_e cxad 13263  [,]cicc 13503  Σ^*cesum 34726

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-ordt 17699  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-ps 18766  df-tsr 18767  df-plusf 18841  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-abv 21093  df-lmod 21164  df-scaf 21165  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-tmd 24418  df-tgp 24419  df-tsms 24473  df-trg 24506  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-nm 24928  df-ngp 24929  df-nrg 24931  df-nlm 24932  df-ii 25225  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214  df-log 26911  df-esum 34727

This theorem is used by:  esumpinfval  34772  esumpinfsum  34776  esum2d  34792  omssubadd  34999