Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumlef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumlef 32701
Description: If all of the terms of an extended sums compare, so do the sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumaddf.0 𝑘𝜑
esumaddf.a 𝑘𝐴
esumaddf.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumaddf.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumaddf.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumlef.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
esumlef (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶)
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumlef
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13354 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 esumaddf.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumaddf.0 . . . . . . 7 𝑘𝜑
4 esumaddf.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
54ex 414 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
63, 5ralrimi 3243 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7 esumaddf.a . . . . . . 7 𝑘𝐴
87esumcl 32669 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
92, 6, 8syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
101, 9sselid 3947 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11 esumaddf.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
121, 11sselid 3947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
131, 4sselid 3947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1413xnegcld 13226 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
1512, 14xaddcld 13227 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
16 esumlef.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
17 xsubge0 13187 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
1812, 13, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
1916, 18mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))
20 pnfge 13058 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)
2115, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)
22 0xr 11209 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
23 pnfxr 11216 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
24 elicc1 13315 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
2522, 23, 24mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞))
2615, 19, 21, 25syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2726ex 414 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴 → (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞)))
283, 27ralrimi 3243 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
297esumcl 32669 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
302, 28, 29syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
311, 30sselid 3947 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
3222a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3323a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
34 elicc4 13338 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
3532, 33, 31, 34syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞)))
3630, 35mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ +∞))
3736simpld 496 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))
38 xraddge02 31703 . . . . 5 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵))))
3938imp 408 . . . 4 (((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)))
4010, 31, 37, 39syl21anc 837 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)))
41 xaddcom 13166 . . . 4 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
4210, 31, 41syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
4340, 42breqtrd 5136 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
443, 7, 2, 26, 4esumaddf 32700 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵))
45 xrge0npcan 31927 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶)
4611, 4, 16, 45syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶)
4746ex 414 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶))
483, 47ralrimi 3243 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 ((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐶)
493, 48esumeq2d 32676 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
5044, 49eqtr3d 2779 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴(𝐶 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
5143, 50breqtrd 5136 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2888  wral 3065   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  *cxr 11195  cle 11197  -𝑒cxne 13037   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  Σ*cesum 32666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-plusf 18503  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-abv 20292  df-lmod 20340  df-scaf 20341  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32667
This theorem is referenced by:  esumpinfval  32712  esumpinfsum  32716  esum2d  32732  omssubadd  32940
  Copyright terms: Public domain W3C validator