Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem1 45763
Description: A partition interval is a subset of the partitioned interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem1.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem1.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem1.x (𝜑𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem1
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13453 . . 3 ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ*
2 fourierdlem1.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
31, 2sselid 3977 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
4 fourierdlem1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 iccssxr 13453 . . . 4 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
6 fourierdlem1.q . . . . 5 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7 fourierdlem1.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
8 elfzofz 13694 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
106, 9ffvelcdmd 7089 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
115, 10sselid 3977 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
12 fourierdlem1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
13 iccgelb 13426 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
144, 12, 10, 13syl3anc 1368 . . 3 (𝜑𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
15 fzofzp1 13776 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
167, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
176, 16ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
185, 17sselid 3977 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
19 elicc4 13437 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑄𝐼) ≤ 𝑋𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
2011, 18, 3, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑄𝐼) ≤ 𝑋𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
212, 20mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝐼) ≤ 𝑋𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
2221simpld 493 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ 𝑋)
234, 11, 3, 14, 22xrletrd 13187 . 2 (𝜑𝐴𝑋)
24 iccleub 13425 . . . 4 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2511, 18, 2, 24syl3anc 1368 . . 3 (𝜑𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
26 elicc4 13437 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)))
274, 12, 18, 26syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)))
2817, 27mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵))
2928simprd 494 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
303, 18, 12, 25, 29xrletrd 13187 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
31 elicc1 13414 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵)))
324, 12, 31syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵)))
333, 23, 30, 32mpbir3and 1339 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2099   class class class wbr 5144  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  0cc0 11147  1c1 11148   + caddc 11150  *cxr 11286  cle 11288  [,]cicc 13373  ...cfz 13530  ..^cfzo 13673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674
This theorem is referenced by:  fourierdlem8  45770  fourierdlem73  45834  fourierdlem81  45842  fourierdlem92  45853  fourierdlem93  45854
  Copyright terms: Public domain W3C validator