Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem1 42573
Description: A partition interval is a subset of the partitioned interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem1.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem1.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem1.x (𝜑𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem1
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12798 . . 3 ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ*
2 fourierdlem1.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
31, 2sseldi 3941 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
4 fourierdlem1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 iccssxr 12798 . . . 4 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
6 fourierdlem1.q . . . . 5 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7 fourierdlem1.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
8 elfzofz 13036 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
106, 9ffvelrnd 6825 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
115, 10sseldi 3941 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
12 fourierdlem1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
13 iccgelb 12771 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
144, 12, 10, 13syl3anc 1368 . . 3 (𝜑𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
15 fzofzp1 13117 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
167, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
176, 16ffvelrnd 6825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
185, 17sseldi 3941 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
19 elicc4 12782 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑄𝐼) ≤ 𝑋𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
2011, 18, 3, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑄𝐼) ≤ 𝑋𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
212, 20mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝐼) ≤ 𝑋𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
2221simpld 498 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ 𝑋)
234, 11, 3, 14, 22xrletrd 12533 . 2 (𝜑𝐴𝑋)
24 iccleub 12770 . . . 4 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2511, 18, 2, 24syl3anc 1368 . . 3 (𝜑𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
26 elicc4 12782 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)))
274, 12, 18, 26syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)))
2817, 27mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵))
2928simprd 499 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
303, 18, 12, 25, 29xrletrd 12533 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
31 elicc1 12760 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵)))
324, 12, 31syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵)))
333, 23, 30, 32mpbir3and 1339 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2115   class class class wbr 5039  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517  *cxr 10651  cle 10653  [,]cicc 12719  ...cfz 12875  ..^cfzo 13016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017
This theorem is referenced by:  fourierdlem8  42580  fourierdlem73  42644  fourierdlem81  42652  fourierdlem92  42663  fourierdlem93  42664
  Copyright terms: Public domain W3C validator