Theorem fourierdlem1 47391

Description: A partition interval is a subset of the partitioned interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13601	. . 3 ⊢ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ*
2		fourierdlem1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
3	1, 2	sselid 3911	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
4		fourierdlem1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		iccssxr 13601	. . . 4 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
6		fourierdlem1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7		fourierdlem1.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
8		elfzofz 13850	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
10	6, 9	ffvelcdmd 7117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
11	5, 10	sselid 3911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
12		fourierdlem1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		iccgelb 13573	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
14	4, 12, 10, 13	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
15		fzofzp1 13939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
16	7, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
17	6, 16	ffvelcdmd 7117	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	5, 17	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
19		elicc4 13584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑄‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
20	11, 18, 3, 19	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑄‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
21	2, 20	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
22	21	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ≤ 𝑋)
23	4, 11, 3, 14, 22	xrletrd 13331	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
24		iccleub 13572	. . . 4 ⊢ (((𝑄‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ((𝑄‘𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
25	11, 18, 2, 24	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
26		elicc4 13584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)))
27	4, 12, 18, 26	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)))
28	17, 27	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵))
29	28	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
30	3, 18, 12, 25, 29	xrletrd 13331	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
31		elicc1 13560	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
32	4, 12, 31	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
33	3, 23, 30, 32	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829

This theorem is used by:  fourierdlem8  47398  fourierdlem73  47462  fourierdlem81  47470  fourierdlem92  47481  fourierdlem93  47482