MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2ge0 23793
Description: The integral of a nonnegative real function is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ge0 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))

Proof of Theorem itg2ge0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 23746 . 2 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2 ffvelrn 6547 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3 0xr 10340 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4 pnfxr 10346 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5 elicc1 12421 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ +∞)))
63, 4, 5mp2an 683 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ +∞))
76simp2bi 1176 . . . . . 6 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
82, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
98ralrimiva 3113 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦))
10 0re 10295 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
11 fnconstg 6275 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
13 ffn 6223 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
14 reex 10280 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ℝ ∈ V)
16 inidm 3982 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
17 c0ex 10287 . . . . . . 7 0 ∈ V
1817fvconst2 6662 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
1918adantl 473 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
20 eqidd 2766 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
2112, 13, 15, 15, 16, 19, 20ofrfval 7103 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((ℝ × {0}) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
229, 21mpbird 248 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) ∘𝑟𝐹)
23 i1f0 23745 . . . 4 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
24 itg2ub 23791 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ × {0}) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
2523, 24mp3an2 1573 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
2622, 25mpdan 678 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
271, 26syl5eqbrr 4845 1 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  {csn 4334   class class class wbr 4809   × cxp 5275  dom cdm 5277   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑟 cofr 7094  cr 10188  0cc0 10189  +∞cpnf 10325  *cxr 10327  cle 10329  [,]cicc 12380  1citg1 23673  2citg2 23674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xadd 12147  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-xmet 20012  df-met 20013  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679
This theorem is referenced by:  itg2lecl  23796  itg2const2  23799  itg2seq  23800  itg2monolem2  23809  itg2monolem3  23810  itg2gt0  23818
  Copyright terms: Public domain W3C validator