Theorem itg2ge0 24805

Description: The integral of a nonnegative real function is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2ge0	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘𝐹))

Proof of Theorem itg2ge0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10 24757	. 2 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2		ffvelrn 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3		0xr 10953	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		pnfxr 10960	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		elicc1 13052	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑦) ≤ +∞)))
6	3, 4, 5	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑦) ≤ +∞))
7	6	simp2bi 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
9	8	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
10		0re 10908	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		fnconstg 6646	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
13		ffn 6584	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
14		reex 10893	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ℝ ∈ V)
16		inidm 4149	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
17		c0ex 10900	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
18	17	fvconst2 7061	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
20		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
21	12, 13, 15, 15, 16, 19, 20	ofrfval 7521	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
22	9, 21	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹)
23		i1f0 24756	. . . 4 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
24		itg2ub 24803	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2‘𝐹))
25	23, 24	mp3an2 1447	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2‘𝐹))
26	22, 25	mpdan 683	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2‘𝐹))
27	1, 26	eqbrtrrid 5106	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  dom cdm 5580   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_r cofr 7510  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011  ∫₁citg1 24684  ∫₂citg2 24685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690

This theorem is referenced by:  itg2lecl  24808  itg2const2  24811  itg2seq  24812  itg2monolem2  24821  itg2monolem3  24822  itg2gt0  24830