MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2ge0 25770
Description: The integral of a nonnegative real function is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ge0 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))

Proof of Theorem itg2ge0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 25723 . 2 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3 0xr 11308 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4 pnfxr 11315 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5 elicc1 13431 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ +∞)))
63, 4, 5mp2an 692 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ +∞))
76simp2bi 1147 . . . . . 6 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
82, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
98ralrimiva 3146 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦))
10 0re 11263 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
11 fnconstg 6796 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
13 ffn 6736 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
14 reex 11246 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ℝ ∈ V)
16 inidm 4227 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
17 c0ex 11255 . . . . . . 7 0 ∈ V
1817fvconst2 7224 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
20 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
2112, 13, 15, 15, 16, 19, 20ofrfval 7707 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((ℝ × {0}) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
229, 21mpbird 257 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) ∘r𝐹)
23 i1f0 25722 . . . 4 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
24 itg2ub 25768 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ × {0}) ∘r𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
2523, 24mp3an2 1451 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∘r𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
2622, 25mpdan 687 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
271, 26eqbrtrrid 5179 1 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  {csn 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  r cofr 7696  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  [,]cicc 13390  1citg1 25650  2citg2 25651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656
This theorem is referenced by:  itg2lecl  25773  itg2const2  25776  itg2seq  25777  itg2monolem2  25786  itg2monolem3  25787  itg2gt0  25795
  Copyright terms: Public domain W3C validator