MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2ge0 25658
Description: The integral of a nonnegative real function is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ge0 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))

Proof of Theorem itg2ge0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 25610 . 2 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2 ffvelcdm 7085 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3 0xr 11285 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4 pnfxr 11292 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5 elicc1 13394 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ +∞)))
63, 4, 5mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ +∞))
76simp2bi 1144 . . . . . 6 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
82, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
98ralrimiva 3142 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦))
10 0re 11240 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
11 fnconstg 6779 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
13 ffn 6716 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
14 reex 11223 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ℝ ∈ V)
16 inidm 4214 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
17 c0ex 11232 . . . . . . 7 0 ∈ V
1817fvconst2 7210 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
20 eqidd 2729 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
2112, 13, 15, 15, 16, 19, 20ofrfval 7689 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((ℝ × {0}) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
229, 21mpbird 257 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) ∘r𝐹)
23 i1f0 25609 . . . 4 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
24 itg2ub 25656 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ × {0}) ∘r𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
2523, 24mp3an2 1446 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∘r𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
2622, 25mpdan 686 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
271, 26eqbrtrrid 5178 1 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  Vcvv 3470  {csn 4624   class class class wbr 5142   × cxp 5670  dom cdm 5672   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  r cofr 7678  cr 11131  0cc0 11132  +∞cpnf 11269  *cxr 11271  cle 11273  [,]cicc 13353  1citg1 25537  2citg2 25538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xadd 13119  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659  df-xmet 21265  df-met 21266  df-ovol 25386  df-vol 25387  df-mbf 25541  df-itg1 25542  df-itg2 25543
This theorem is referenced by:  itg2lecl  25661  itg2const2  25664  itg2seq  25665  itg2monolem2  25674  itg2monolem3  25675  itg2gt0  25683
  Copyright terms: Public domain W3C validator