Theorem itg2ge0 24910

Description: The integral of a nonnegative real function is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2ge0	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘𝐹))

Proof of Theorem itg2ge0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10 24862	. 2 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2		ffvelrn 6951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3		0xr 11032	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		pnfxr 11039	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		elicc1 13133	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑦) ≤ +∞)))
6	3, 4, 5	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑦) ≤ +∞))
7	6	simp2bi 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
9	8	ralrimiva 3108	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
10		0re 10987	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		fnconstg 6654	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
13		ffn 6592	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
14		reex 10972	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ℝ ∈ V)
16		inidm 4152	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
17		c0ex 10979	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
18	17	fvconst2 7071	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
19	18	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
20		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
21	12, 13, 15, 15, 16, 19, 20	ofrfval 7533	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
22	9, 21	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹)
23		i1f0 24861	. . . 4 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
24		itg2ub 24908	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2‘𝐹))
25	23, 24	mp3an2 1448	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2‘𝐹))
26	22, 25	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2‘𝐹))
27	1, 26	eqbrtrrid 5109	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3429  {csn 4561   class class class wbr 5073   × cxp 5582  dom cdm 5584   Fn wfn 6421  ⟶wf 6422  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267   ∘_r cofr 7522  ℝcr 10880  0cc0 10881  +∞cpnf 11016  ℝ^*cxr 11018   ≤ cle 11020  [,]cicc 13092  ∫₁citg1 24789  ∫₂citg2 24790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-ofr 7524  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-dju 9669  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xadd 12859  df-ioo 13093  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207  df-sum 15408  df-xmet 20600  df-met 20601  df-ovol 24638  df-vol 24639  df-mbf 24793  df-itg1 24794  df-itg2 24795

This theorem is referenced by:  itg2lecl  24913  itg2const2  24916  itg2seq  24917  itg2monolem2  24926  itg2monolem3  24927  itg2gt0  24935