Theorem itg2ge0 25696

Description: The integral of a nonnegative real function is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2ge0	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘𝐹))

Proof of Theorem itg2ge0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10 25649	. 2 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2		ffvelcdm 7028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3		0xr 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		pnfxr 11190	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		elicc1 13309	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑦) ≤ +∞)))
6	3, 4, 5	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑦) ≤ +∞))
7	6	simp2bi 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
9	8	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
10		0re 11138	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		fnconstg 6723	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
13		ffn 6663	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
14		reex 11121	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ℝ ∈ V)
16		inidm 4180	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
17		c0ex 11130	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
18	17	fvconst2 7152	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
20		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
21	12, 13, 15, 15, 16, 19, 20	ofrfval 7634	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
22	9, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹)
23		i1f0 25648	. . . 4 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
24		itg2ub 25694	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2‘𝐹))
25	23, 24	mp3an2 1452	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2‘𝐹))
26	22, 25	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2‘𝐹))
27	1, 26	eqbrtrrid 5135	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3441  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5623  dom cdm 5625   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∘_r cofr 7623  ℝcr 11029  0cc0 11030  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  [,]cicc 13268  ∫₁citg1 25576  ∫₂citg2 25577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xadd 13031  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-xmet 21306  df-met 21307  df-ovol 25425  df-vol 25426  df-mbf 25580  df-itg1 25581  df-itg2 25582

This theorem is referenced by:  itg2lecl  25699  itg2const2  25702  itg2seq  25703  itg2monolem2  25712  itg2monolem3  25713  itg2gt0  25721