Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolf 23998
 Description: The domain and range of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
ovolf vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem ovolf
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12524 . . . 4 < Or ℝ*
21infex 8946 . . 3 inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑥 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ∈ V
3 df-ovol 23980 . . 3 vol* = (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↦ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑥 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
42, 3fnmpti 6488 . 2 vol* Fn 𝒫 ℝ
5 elpwi 4554 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
6 ovolcl 23994 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ ℝ*)
7 ovolge0 23997 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑥))
8 pnfge 12515 . . . . . 6 ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
10 0xr 10677 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
11 pnfxr 10684 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
12 elicc1 12772 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞)))
1310, 11, 12mp2an 688 . . . . 5 ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞))
146, 7, 9, 13syl3anbrc 1337 . . . 4 (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
155, 14syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
1615rgen 3153 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
17 ffnfv 6878 . 2 (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (vol* Fn 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
184, 16, 17mpbir2an 707 1 vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  ∃wrex 3144  {crab 3147   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4837   class class class wbr 5063   × cxp 5552  ran crn 5555   ∘ ccom 5558   Fn wfn 6347  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8396  supcsup 8893  infcinf 8894  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  +∞cpnf 10661  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11627  (,)cioo 12728  [,]cicc 12731  seqcseq 13359  abscabs 14583  vol*covol 23978 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-ovol 23980 This theorem is referenced by:  ismbl  24042  volf  24045  ovolfs2  24087  ismbl3  42137  ovolsplit  42139
 Copyright terms: Public domain W3C validator