MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolf 23540
Description: The domain and range of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
ovolf vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem ovolf
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12174 . . . 4 < Or ℝ*
21infex 8606 . . 3 inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝑥 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ∈ V
3 df-ovol 23522 . . 3 vol* = (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↦ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝑥 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
42, 3fnmpti 6200 . 2 vol* Fn 𝒫 ℝ
5 elpwi 4325 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
6 ovolcl 23536 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ ℝ*)
7 ovolge0 23539 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑥))
8 pnfge 12164 . . . . . 6 ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
10 0xr 10340 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
11 pnfxr 10346 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
12 elicc1 12421 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞)))
1310, 11, 12mp2an 683 . . . . 5 ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞))
146, 7, 9, 13syl3anbrc 1443 . . . 4 (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
155, 14syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
1615rgen 3069 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
17 ffnfv 6578 . 2 (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (vol* Fn 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
184, 16, 17mpbir2an 702 1 vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  cin 3731  wss 3732  𝒫 cpw 4315   cuni 4594   class class class wbr 4809   × cxp 5275  ran crn 5278  ccom 5281   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  supcsup 8553  infcinf 8554  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  (,)cioo 12377  [,]cicc 12380  seqcseq 13008  abscabs 14261  vol*covol 23520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-ovol 23522
This theorem is referenced by:  ismbl  23584  volf  23587  ovolfs2  23629  ismbl3  40772  ovolsplit  40774
  Copyright terms: Public domain W3C validator