Theorem ovolf 25411

Description: The domain and codomain of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ovolf	⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem ovolf

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13042	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
2	1	infex 9386	. . 3 ⊢ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑥 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ∈ V
3		df-ovol 25393	. . 3 ⊢ vol* = (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↦ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑥 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
4	2, 3	fnmpti 6629	. 2 ⊢ vol* Fn 𝒫 ℝ
5		elpwi 4556	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
6		ovolcl 25407	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ ℝ*)
7		ovolge0 25410	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑥))
8		pnfge 13031	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
10		0xr 11166	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
11		pnfxr 11173	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12		elicc1 13291	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞)))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞))
14	6, 7, 9, 13	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
15	5, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
16	15	rgen 3050	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
17		ffnfv 7058	. 2 ⊢ (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (vol* Fn 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
18	4, 16, 17	mpbir2an 711	1 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  {crab 3396   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4549  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5093   × cxp 5617  ran crn 5620   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  supcsup 9331  infcinf 9332  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016  +∞cpnf 11150  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351  ℕcn 12132  (,)cioo 13247  [,]cicc 13250  seqcseq 13910  abscabs 15143  vol*covol 25391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-ovol 25393

This theorem is referenced by:  ismbl  25455  volf  25458  ovolfs2  25500  ismbl3  46108  ovolsplit  46110