MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolf 24884
Description: The domain and codomain of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
ovolf vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem ovolf
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 13071 . . . 4 < Or ℝ*
21infex 9439 . . 3 inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑥 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ∈ V
3 df-ovol 24866 . . 3 vol* = (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↦ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑥 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
42, 3fnmpti 6650 . 2 vol* Fn 𝒫 ℝ
5 elpwi 4573 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
6 ovolcl 24880 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ ℝ*)
7 ovolge0 24883 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑥))
8 pnfge 13061 . . . . . 6 ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
10 0xr 11212 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
11 pnfxr 11219 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
12 elicc1 13319 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞)))
1310, 11, 12mp2an 691 . . . . 5 ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞))
146, 7, 9, 13syl3anbrc 1344 . . . 4 (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
155, 14syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
1615rgen 3063 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
17 ffnfv 7072 . 2 (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (vol* Fn 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
184, 16, 17mpbir2an 710 1 vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  {crab 3406  cin 3913  wss 3914  𝒫 cpw 4566   cuni 4871   class class class wbr 5111   × cxp 5637  ran crn 5640  ccom 5643   Fn wfn 6497  wf 6498  cfv 6502  (class class class)co 7363  m cmap 8773  supcsup 9386  infcinf 9387  cr 11060  0cc0 11061  1c1 11062   + caddc 11064  +∞cpnf 11196  *cxr 11198   < clt 11199  cle 11200  cmin 11395  cn 12163  (,)cioo 13275  [,]cicc 13278  seqcseq 13917  abscabs 15132  vol*covol 24864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-er 8656  df-map 8775  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-rp 12926  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13436  df-seq 13918  df-exp 13979  df-cj 14997  df-re 14998  df-im 14999  df-sqrt 15133  df-abs 15134  df-ovol 24866
This theorem is referenced by:  ismbl  24928  volf  24931  ovolfs2  24973  ismbl3  44329  ovolsplit  44331
  Copyright terms: Public domain W3C validator