Theorem ovolf 25408

Description: The domain and codomain of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ovolf	⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem ovolf

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13037	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
2	1	infex 9379	. . 3 ⊢ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑥 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ∈ V
3		df-ovol 25390	. . 3 ⊢ vol* = (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↦ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑥 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
4	2, 3	fnmpti 6624	. 2 ⊢ vol* Fn 𝒫 ℝ
5		elpwi 4557	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
6		ovolcl 25404	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ ℝ*)
7		ovolge0 25407	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑥))
8		pnfge 13026	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
10		0xr 11156	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
11		pnfxr 11163	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12		elicc1 13286	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞)))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞))
14	6, 7, 9, 13	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
15	5, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
16	15	rgen 3049	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
17		ffnfv 7052	. 2 ⊢ (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (vol* Fn 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
18	4, 16, 17	mpbir2an 711	1 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4550  ∪ cuni 4859   class class class wbr 5091   × cxp 5614  ran crn 5617   ∘ ccom 5620   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  supcsup 9324  infcinf 9325  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006  +∞cpnf 11140  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ≤ cle 11144   − cmin 11341  ℕcn 12122  (,)cioo 13242  [,]cicc 13245  seqcseq 13905  abscabs 15138  vol*covol 25388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-ovol 25390

This theorem is referenced by:  ismbl  25452  volf  25455  ovolfs2  25497  ismbl3  46023  ovolsplit  46025