Theorem iccsuble 45510

Description: An upper bound to the distance of two elements in a closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccsuble.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccsuble.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iccsuble.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
iccsuble.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iccsuble	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem iccsuble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccsuble.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccsuble.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccsuble.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccre 45496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		iccsuble.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7		eliccre 45496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
9		elicc2 13378	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
10	1, 2, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
11	3, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
12	11	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
13		elicc2 13378	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))
14	1, 2, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))
15	6, 14	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵))
16	15	simp2d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐷)
17	5, 1, 2, 8, 12, 16	le2subd 11804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℝcr 11073   ≤ cle 11215   − cmin 11411  [,]cicc 13315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-icc 13319

This theorem is referenced by:  fourierdlem6  46104  fourierdlem42  46140  hoidmvlelem1  46586