Theorem iccsuble 43449

Description: An upper bound to the distance of two elements in a closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccsuble.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccsuble.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iccsuble.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
iccsuble.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iccsuble	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem iccsuble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccsuble.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccsuble.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccsuble.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccre 43435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		iccsuble.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7		eliccre 43435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
9		elicc2 13257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
10	1, 2, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
11	3, 10	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
12	11	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
13		elicc2 13257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))
14	1, 2, 13	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))
15	6, 14	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵))
16	15	simp2d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐷)
17	5, 1, 2, 8, 12, 16	le2subd 11708	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  ℝcr 10983   ≤ cle 11123   − cmin 11318  [,]cicc 13195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-icc 13199

This theorem is referenced by:  fourierdlem6  44046  fourierdlem42  44082  hoidmvlelem1  44526