Theorem iccsuble 42673

Description: An upper bound to the distance of two elements in a closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccsuble.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccsuble.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iccsuble.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
iccsuble.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iccsuble	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem iccsuble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccsuble.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccsuble.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccsuble.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccre 42659	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		iccsuble.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7		eliccre 42659	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
9		elicc2 12965	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
10	1, 2, 9	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
11	3, 10	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
12	11	simp3d 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
13		elicc2 12965	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))
14	1, 2, 13	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))
15	6, 14	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵))
16	15	simp2d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐷)
17	5, 1, 2, 8, 12, 16	le2subd 11417	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  ℝcr 10693   ≤ cle 10833   − cmin 11027  [,]cicc 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-icc 12907

This theorem is referenced by:  fourierdlem6  43272  fourierdlem42  43308  hoidmvlelem1  43751