Theorem iccsuble 45520

Description: An upper bound to the distance of two elements in a closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccsuble.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccsuble.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iccsuble.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
iccsuble.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iccsuble	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem iccsuble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccsuble.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccsuble.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccsuble.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccre 45506	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		iccsuble.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7		eliccre 45506	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
9		elicc2 13333	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
10	1, 2, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
11	3, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
12	11	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
13		elicc2 13333	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))
14	1, 2, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))
15	6, 14	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵))
16	15	simp2d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐷)
17	5, 1, 2, 8, 12, 16	le2subd 11759	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   ≤ cle 11169   − cmin 11366  [,]cicc 13270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-icc 13274

This theorem is referenced by:  fourierdlem6  46114  fourierdlem42  46150  hoidmvlelem1  46596