Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgiccshift 44311
Description: The integral of a function, 𝐹 stays the same if its closed interval domain is shifted by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgiccshift.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgiccshift.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
itgiccshift.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
itgiccshift.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
itgiccshift.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
itgiccshift (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgiccshift.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgiccshift.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 12965 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5 itgiccshift.aleb . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
61, 2, 4, 5leadd1dd 11777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
76ditgpos 25243 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
81, 4readdcld 11192 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 11192 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
11 cncff 24279 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
141adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
152adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
168adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
179adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
18 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
19 eliccre 43833 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2016, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
214adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2220, 21resubcld 11591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
231recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
244recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2523, 24pncand 11521 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐴)
2625eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
28 elicc2 13338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))))
2916, 17, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))))
3018, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇)))
3130simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯)
3216, 20, 21, 31lesub1dd 11779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
3327, 32eqbrtrd 5131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
3430simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))
3520, 17, 21, 34lesub1dd 11779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
362recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3736, 24pncand 11521 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐡)
3837adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐡)
3935, 38breqtrd 5135 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ 𝐡)
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 43832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))
4113, 40ffvelcdmd 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
42 itgiccshift.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
4341, 42fmptd 7066 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))βŸΆβ„‚)
4443ffvelcdmda 7039 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
458, 9, 44itgioo 25203 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
467, 45eqtr2d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
47 eqid 2733 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇))
4847addccncf 24303 . . . . 5 (𝑇 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4924, 48syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
501, 2iccssred 13360 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
51 ax-resscn 11116 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
5250, 51sstrdi 3960 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
538, 9iccssred 13360 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† ℝ)
5453, 51sstrdi 3960 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† β„‚)
558adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
569adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
5750sselda 3948 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
584adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 11192 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
601adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
61 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
622adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
63 elicc2 13338 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
6460, 62, 63syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
6665simp2d 1144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
6760, 57, 58, 66leadd1dd 11777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑦 + 𝑇))
6865simp3d 1145 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
6957, 62, 58, 68leadd1dd 11777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 43832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 44202 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
72 fvoveq1 7384 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
7372cbvmptv 5222 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
741, 2, 4iccshift 43846 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)})
7574mpteq1d 5204 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
7673, 75eqtrid 2785 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
7742, 76eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
78 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
7978rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
80 oveq1 7368 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8180eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
8281cbvrexvw 3225 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
8379, 82bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
8483cbvrabv 3416 . . . . . . 7 {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
8584eqcomi 2742 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}
86 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
8752, 24, 85, 10, 86cncfshift 44205 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))) ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
8877, 87eqeltrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
8943feqmptd 6914 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
9074eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
9190oveq1d 7376 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚) = (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))–cnβ†’β„‚))
9288, 89, 913eltr3d 2848 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))–cnβ†’β„‚))
93 ioosscn 13335 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
9493a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
95 1cnd 11158 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
96 ssid 3970 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
9796a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
9894, 95, 97constcncfg 44203 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
99 fconstmpt 5698 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
100 ioombl 24952 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
101100a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
102 ioovolcl 24957 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
1031, 2, 102syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
104 iblconst 25205 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
105101, 103, 95, 104syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
10699, 105eqeltrrid 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10798, 106elind 4158 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1))
10850resmptd 5998 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
109108eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))
110109oveq2d 7377 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))))
11151a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
112111sselda 3948 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
11324adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
114112, 113addcld 11182 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ β„‚)
115114fmpttd 7067 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):β„βŸΆβ„‚)
116 ssid 3970 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ
117116a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
118 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
119118tgioo2 24189 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
120118, 119dvres 25298 . . . . . 6 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
121111, 115, 117, 50, 120syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
122110, 121eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
123 iccntr 24207 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
1241, 2, 123syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
125124reseq2d 5941 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
126 reelprrecn 11151 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
127126a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
128 1cnd 11158 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
129127dvmptid 25344 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
130 0cnd 11156 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
131127, 24dvmptc 25345 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
132127, 112, 128, 129, 113, 130, 131dvmptadd 25347 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
133132reseq1d 5940 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
134 ioossre 13334 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
135134a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
136135resmptd 5998 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)))
137 1p0e1 12285 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
138137mpteq2i 5214 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
139138a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
140133, 136, 1393eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
141122, 125, 1403eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
142 fveq2 6846 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)))
143 oveq1 7368 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
144 oveq1 7368 . . 3 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝐡 + 𝑇))
1451, 2, 5, 71, 92, 107, 141, 142, 143, 144, 8, 9itgsubsticc 44307 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
1465ditgpos 25243 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
14743adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))βŸΆβ„‚)
148147, 70ffvelcdmd 7040 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) ∈ β„‚)
149 1cnd 11158 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
150148, 149mulcld 11183 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) ∈ β„‚)
1511, 2, 150itgioo 25203 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
152 fvoveq1 7384 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
153152oveq1d 7376 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) = ((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1))
154153cbvitgv 25164 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) dπ‘₯
15543adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))βŸΆβ„‚)
1568adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1579adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
15850sselda 3948 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1594adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
160158, 159readdcld 11192 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
1611adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1621rexrd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
163162adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1642rexrd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
165164adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
166 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
167 iccgelb 13329 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
168163, 165, 166, 167syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
169161, 158, 159, 168leadd1dd 11777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (π‘₯ + 𝑇))
1702adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
171 iccleub 13328 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
172163, 165, 166, 171syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
173158, 170, 159, 172leadd1dd 11777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
174156, 157, 160, 169, 173eliccd 43832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
175155, 174ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) ∈ β„‚)
176175mulid1d 11180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) = (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
17742, 73eqtri 2761 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
178177a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
179 fvoveq1 7384 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑇)))
180158recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
18124adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
182180, 181pncand 11521 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = π‘₯)
183182fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
184179, 183sylan9eqr 2795 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
18512ffvelcdmda 7039 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
186178, 184, 174, 185fvmptd 6959 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
187176, 186eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘₯))
188187itgeq2dv 25169 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
189154, 188eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
190146, 151, 1893eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
19146, 145, 1903eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  TopOpenctopn 17311  topGenctg 17327  β„‚fldccnfld 20819  intcnt 22391  β€“cnβ†’ccncf 24262  volcvol 24850  πΏ1cibl 25004  βˆ«citg 25005  β¨œcdit 25233   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057  df-ditg 25234  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  44518
  Copyright terms: Public domain W3C validator