Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgiccshift 41696
Description: The integral of a function, 𝐹 stays the same if its closed interval domain is shifted by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgiccshift.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgiccshift.aleb (𝜑𝐴𝐵)
itgiccshift.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
itgiccshift.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
itgiccshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
itgiccshift (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgiccshift.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgiccshift.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 12251 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 itgiccshift.aleb . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 4, 5leadd1dd 11057 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
76ditgpos 24160 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥)
81, 4readdcld 10471 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 10471 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
11 cncff 23207 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1312adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
141adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ)
152adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ)
168adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
179adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
18 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
19 eliccre 41213 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2016, 17, 18, 19syl3anc 1351 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
214adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
2220, 21resubcld 10871 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
231recnd 10470 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
244recnd 10470 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 10801 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
2625eqcomd 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
2726adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
28 elicc2 12620 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
2916, 17, 28syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
3018, 29mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇)))
3130simp2d 1123 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥)
3216, 20, 21, 31lesub1dd 11059 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
3327, 32eqbrtrd 4952 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ≤ (𝑥𝑇))
3430simp3d 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))
3520, 17, 21, 34lesub1dd 11059 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
362recnd 10470 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3736, 24pncand 10801 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
3837adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
3935, 38breqtrd 4956 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ 𝐵)
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 41211 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4113, 40ffvelrnd 6679 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐹‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
42 itgiccshift.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
4341, 42fmptd 6703 . . . . 5 (𝜑𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
4443ffvelrnda 6678 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
458, 9, 44itgioo 24122 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥)
467, 45eqtr2d 2815 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥)
47 eqid 2778 . . . 4 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇))
4847addccncf 23230 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4924, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
501, 2iccssred 41212 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
51 ax-resscn 10394 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
5250, 51syl6ss 3872 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
538, 9iccssred 41212 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℝ)
5453, 51syl6ss 3872 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℂ)
558adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
569adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
5750sselda 3860 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
584adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 10471 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
601adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
61 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
622adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
63 elicc2 12620 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
6460, 62, 63syl2anc 576 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
6561, 64mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
6665simp2d 1123 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
6760, 57, 58, 66leadd1dd 11057 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑦 + 𝑇))
6865simp3d 1124 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
6957, 62, 58, 68leadd1dd 11057 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 41211 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 41584 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
72 fvoveq1 7001 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑤𝑇)))
7372cbvmptv 5029 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
741, 2, 4iccshift 41226 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
7574mpteq1d 5017 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
7673, 75syl5eq 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
7742, 76syl5eq 2826 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
78 eqeq1 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7978rexbidv 3242 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
80 oveq1 6985 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8180eqeq2d 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8281cbvrexv 3384 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
8379, 82syl6bb 279 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8483cbvrabv 3412 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
8584eqcomi 2787 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
86 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
8752, 24, 85, 10, 86cncfshift 41588 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ))
8877, 87eqeltrd 2866 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ))
8943feqmptd 6564 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐺𝑥)))
9074eqcomd 2784 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
9190oveq1d 6993 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ) = (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
9288, 89, 913eltr3d 2880 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
93 ioosscn 41201 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9493a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
95 1cnd 10436 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
96 ssid 3881 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
9796a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
9894, 95, 97constcncfg 41585 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
99 fconstmpt 5465 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) × {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
100 ioombl 23872 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
101100a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
102 ioovolcl 23877 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
1031, 2, 102syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
104 iblconst 24124 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
105101, 103, 95, 104syl3anc 1351 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
10699, 105syl5eqelr 2871 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10798, 106elind 4061 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
10850resmptd 5755 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
109108eqcomd 2784 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)))
110109oveq2d 6994 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))))
11151a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
112111sselda 3860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
11324adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
114112, 113addcld 10461 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℂ)
115114fmpttd 6704 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ)
116 ssid 3881 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ
117116a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
118 eqid 2778 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
119118tgioo2 23117 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120118, 119dvres 24215 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
121111, 115, 117, 50, 120syl22anc 826 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
122110, 121eqtrd 2814 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
123 iccntr 23135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
1241, 2, 123syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
125124reseq2d 5696 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
126 reelprrecn 10429 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
127126a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
128 1cnd 10436 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
129127dvmptid 24260 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
130 0cnd 10434 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
131127, 24dvmptc 24261 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
132127, 112, 128, 129, 113, 130, 131dvmptadd 24263 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
133132reseq1d 5695 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
134 ioossre 12617 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
135134a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
136135resmptd 5755 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)))
137 1p0e1 11574 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
138137mpteq2i 5020 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
139138a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
140133, 136, 1393eqtrd 2818 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
141122, 125, 1403eqtrd 2818 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
142 fveq2 6501 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)))
143 oveq1 6985 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
144 oveq1 6985 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐵 + 𝑇))
1451, 2, 5, 71, 92, 107, 141, 142, 143, 144, 8, 9itgsubsticc 41692 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
1465ditgpos 24160 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
14743adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
148147, 70ffvelrnd 6679 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) ∈ ℂ)
149 1cnd 10436 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
150148, 149mulcld 10462 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) ∈ ℂ)
1511, 2, 150itgioo 24122 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
152 fvoveq1 7001 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
153152oveq1d 6993 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) = ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1))
154153cbvitgv 24083 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥
15543adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
1568adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1579adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
15850sselda 3860 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1594adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
160158, 159readdcld 10471 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
1611adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1621rexrd 10492 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
163162adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1642rexrd 10492 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
165164adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
166 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
167 iccgelb 12612 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
168163, 165, 166, 167syl3anc 1351 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
169161, 158, 159, 168leadd1dd 11057 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑥 + 𝑇))
1702adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
171 iccleub 12611 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
172163, 165, 166, 171syl3anc 1351 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
173158, 170, 159, 172leadd1dd 11057 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
174156, 157, 160, 169, 173eliccd 41211 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
175155, 174ffvelrnd 6679 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℂ)
176175mulid1d 10459 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
17742, 73eqtri 2802 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
178177a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
179 fvoveq1 7001 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐹‘(𝑤𝑇)) = (𝐹‘((𝑥 + 𝑇) − 𝑇)))
180158recnd 10470 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
18124adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℂ)
182180, 181pncand 10801 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑥)
183182fveq2d 6505 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑇) − 𝑇)) = (𝐹𝑥))
184179, 183sylan9eqr 2836 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑤𝑇)) = (𝐹𝑥))
18512ffvelrnda 6678 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
186178, 184, 174, 185fvmptd 6603 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
187176, 186eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐹𝑥))
188187itgeq2dv 24088 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
189154, 188syl5eq 2826 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
190146, 151, 1893eqtrd 2818 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
19146, 145, 1903eqtrd 2818 1 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wrex 3089  {crab 3092  wss 3831  {csn 4442  {cpr 4444   class class class wbr 4930  cmpt 5009   × cxp 5406  dom cdm 5408  ran crn 5409  cres 5410  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  cc 10335  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   · cmul 10342  *cxr 10475  cle 10477  cmin 10672  +crp 12207  (,)cioo 12557  [,]cicc 12560  TopOpenctopn 16554  topGenctg 16570  fldccnfld 20250  intcnt 21332  cnccncf 23190  volcvol 23770  𝐿1cibl 23924  citg 23925  cdit 24150   D cdv 24167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cc 9657  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-symdif 4108  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-disj 4899  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-ofr 7230  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-omul 7912  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-fi 8672  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-dju 9126  df-card 9164  df-acn 9167  df-cda 9390  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-q 12166  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-ioo 12561  df-ioc 12562  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-fl 12980  df-mod 13056  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-limsup 14692  df-clim 14709  df-rlim 14710  df-sum 14907  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-rest 16555  df-topn 16556  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-topgen 16576  df-pt 16577  df-prds 16580  df-xrs 16634  df-qtop 16639  df-imas 16640  df-xps 16642  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-submnd 17807  df-mulg 18015  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-psmet 20242  df-xmet 20243  df-met 20244  df-bl 20245  df-mopn 20246  df-fbas 20247  df-fg 20248  df-cnfld 20251  df-top 21209  df-topon 21226  df-topsp 21248  df-bases 21261  df-cld 21334  df-ntr 21335  df-cls 21336  df-nei 21413  df-lp 21451  df-perf 21452  df-cn 21542  df-cnp 21543  df-haus 21630  df-cmp 21702  df-tx 21877  df-hmeo 22070  df-fil 22161  df-fm 22253  df-flim 22254  df-flf 22255  df-xms 22636  df-ms 22637  df-tms 22638  df-cncf 23192  df-ovol 23771  df-vol 23772  df-mbf 23926  df-itg1 23927  df-itg2 23928  df-ibl 23929  df-itg 23930  df-0p 23977  df-ditg 24151  df-limc 24170  df-dv 24171
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  41904
  Copyright terms: Public domain W3C validator