Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgiccshift 45430
Description: The integral of a function, 𝐹 stays the same if its closed interval domain is shifted by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgiccshift.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgiccshift.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
itgiccshift.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
itgiccshift.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
itgiccshift.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
itgiccshift (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgiccshift.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgiccshift.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 13046 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5 itgiccshift.aleb . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
61, 2, 4, 5leadd1dd 11856 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
76ditgpos 25801 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
81, 4readdcld 11271 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 11271 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
11 cncff 24829 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
1312adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
141adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
152adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
168adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
179adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
18 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
19 eliccre 44952 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2016, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
214adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2220, 21resubcld 11670 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
231recnd 11270 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
244recnd 11270 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2523, 24pncand 11600 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐴)
2625eqcomd 2731 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
2726adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
28 elicc2 13419 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))))
2916, 17, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))))
3018, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇)))
3130simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯)
3216, 20, 21, 31lesub1dd 11858 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
3327, 32eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
3430simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))
3520, 17, 21, 34lesub1dd 11858 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
362recnd 11270 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3736, 24pncand 11600 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐡)
3837adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐡)
3935, 38breqtrd 5169 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ 𝐡)
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 44951 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))
4113, 40ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
42 itgiccshift.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
4341, 42fmptd 7118 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))βŸΆβ„‚)
4443ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
458, 9, 44itgioo 25761 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
467, 45eqtr2d 2766 . 2 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
47 eqid 2725 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇))
4847addccncf 24853 . . . . 5 (𝑇 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4924, 48syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
501, 2iccssred 13441 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
51 ax-resscn 11193 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
5250, 51sstrdi 3985 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
538, 9iccssred 13441 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† ℝ)
5453, 51sstrdi 3985 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† β„‚)
558adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
569adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
5750sselda 3972 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
584adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 11271 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
601adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
61 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
622adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
63 elicc2 13419 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
6460, 62, 63syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
6665simp2d 1140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
6760, 57, 58, 66leadd1dd 11856 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑦 + 𝑇))
6865simp3d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
6957, 62, 58, 68leadd1dd 11856 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 44951 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 45321 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
72 fvoveq1 7438 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
7372cbvmptv 5256 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
741, 2, 4iccshift 44965 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)})
7574mpteq1d 5238 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
7673, 75eqtrid 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
7742, 76eqtrid 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
78 eqeq1 2729 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
7978rexbidv 3169 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
80 oveq1 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8180eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
8281cbvrexvw 3226 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
8379, 82bitrdi 286 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
8483cbvrabv 3430 . . . . . . 7 {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
8584eqcomi 2734 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}
86 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
8752, 24, 85, 10, 86cncfshift 45324 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))) ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
8877, 87eqeltrd 2825 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
8943feqmptd 6961 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
9074eqcomd 2731 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
9190oveq1d 7430 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚) = (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))–cnβ†’β„‚))
9288, 89, 913eltr3d 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))–cnβ†’β„‚))
93 ioosscn 13416 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
9493a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
95 1cnd 11237 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
96 ssid 3995 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
9796a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
9894, 95, 97constcncfg 45322 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
99 fconstmpt 5734 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
100 ioombl 25510 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
101100a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
102 ioovolcl 25515 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
1031, 2, 102syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
104 iblconst 25763 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
105101, 103, 95, 104syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
10699, 105eqeltrrid 2830 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10798, 106elind 4188 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1))
10850resmptd 6039 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
109108eqcomd 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))
110109oveq2d 7431 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))))
11151a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
112111sselda 3972 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
11324adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
114112, 113addcld 11261 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ β„‚)
115114fmpttd 7119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):β„βŸΆβ„‚)
116 ssid 3995 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ
117116a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
118 eqid 2725 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
119118tgioo2 24735 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
120118, 119dvres 25856 . . . . . 6 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
121111, 115, 117, 50, 120syl22anc 837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
122110, 121eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
123 iccntr 24753 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
1241, 2, 123syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
125124reseq2d 5979 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
126 reelprrecn 11228 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
127126a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
128 1cnd 11237 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
129127dvmptid 25905 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
130 0cnd 11235 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
131127, 24dvmptc 25906 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
132127, 112, 128, 129, 113, 130, 131dvmptadd 25908 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
133132reseq1d 5978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
134 ioossre 13415 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
135134a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
136135resmptd 6039 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)))
137 1p0e1 12364 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
138137mpteq2i 5248 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
139138a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
140133, 136, 1393eqtrd 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
141122, 125, 1403eqtrd 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
142 fveq2 6891 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)))
143 oveq1 7422 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
144 oveq1 7422 . . 3 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝐡 + 𝑇))
1451, 2, 5, 71, 92, 107, 141, 142, 143, 144, 8, 9itgsubsticc 45426 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
1465ditgpos 25801 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
14743adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))βŸΆβ„‚)
148147, 70ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) ∈ β„‚)
149 1cnd 11237 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
150148, 149mulcld 11262 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) ∈ β„‚)
1511, 2, 150itgioo 25761 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
152 fvoveq1 7438 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
153152oveq1d 7430 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) = ((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1))
154153cbvitgv 25722 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) dπ‘₯
15543adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))βŸΆβ„‚)
1568adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1579adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
15850sselda 3972 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1594adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
160158, 159readdcld 11271 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
1611adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1621rexrd 11292 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
163162adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1642rexrd 11292 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
165164adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
166 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
167 iccgelb 13410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
168163, 165, 166, 167syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
169161, 158, 159, 168leadd1dd 11856 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (π‘₯ + 𝑇))
1702adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
171 iccleub 13409 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
172163, 165, 166, 171syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
173158, 170, 159, 172leadd1dd 11856 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
174156, 157, 160, 169, 173eliccd 44951 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
175155, 174ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) ∈ β„‚)
176175mulridd 11259 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) = (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
17742, 73eqtri 2753 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
178177a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
179 fvoveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑇)))
180158recnd 11270 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
18124adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
182180, 181pncand 11600 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = π‘₯)
183182fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
184179, 183sylan9eqr 2787 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
18512ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
186178, 184, 174, 185fvmptd 7006 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
187176, 186eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘₯))
188187itgeq2dv 25727 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
189154, 188eqtrid 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
190146, 151, 1893eqtrd 2769 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
19146, 145, 1903eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βŠ† wss 3940  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141  β„*cxr 11275   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  β„+crp 13004  (,)cioo 13354  [,]cicc 13357  TopOpenctopn 17400  topGenctg 17416  β„‚fldccnfld 21281  intcnt 22937  β€“cnβ†’ccncf 24812  volcvol 25408  πΏ1cibl 25562  βˆ«citg 25563  β¨œcdit 25791   D cdv 25808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-symdif 4237  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566  df-ibl 25567  df-itg 25568  df-0p 25615  df-ditg 25792  df-limc 25811  df-dv 25812
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  45637
  Copyright terms: Public domain W3C validator