Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgiccshift 42552
Description: The integral of a function, 𝐹 stays the same if its closed interval domain is shifted by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgiccshift.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgiccshift.aleb (𝜑𝐴𝐵)
itgiccshift.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
itgiccshift.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
itgiccshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
itgiccshift (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgiccshift.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgiccshift.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 12428 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 itgiccshift.aleb . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 4, 5leadd1dd 11252 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
76ditgpos 24465 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥)
81, 4readdcld 10668 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 10668 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
11 cncff 23504 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
141adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ)
152adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ)
168adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
179adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
18 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
19 eliccre 42072 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2016, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
214adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
2220, 21resubcld 11066 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
231recnd 10667 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
244recnd 10667 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 10996 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
2625eqcomd 2830 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
2726adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
28 elicc2 12799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
2916, 17, 28syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
3018, 29mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇)))
3130simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥)
3216, 20, 21, 31lesub1dd 11254 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
3327, 32eqbrtrd 5074 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ≤ (𝑥𝑇))
3430simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))
3520, 17, 21, 34lesub1dd 11254 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
362recnd 10667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3736, 24pncand 10996 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
3837adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
3935, 38breqtrd 5078 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ 𝐵)
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 42071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4113, 40ffvelrnd 6843 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐹‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
42 itgiccshift.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
4341, 42fmptd 6869 . . . . 5 (𝜑𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
4443ffvelrnda 6842 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
458, 9, 44itgioo 24425 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥)
467, 45eqtr2d 2860 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥)
47 eqid 2824 . . . 4 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇))
4847addccncf 23528 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4924, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
501, 2iccssred 12821 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
51 ax-resscn 10592 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
5250, 51sstrdi 3965 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
538, 9iccssred 12821 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℝ)
5453, 51sstrdi 3965 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℂ)
558adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
569adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
5750sselda 3953 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
584adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 10668 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
601adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
61 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
622adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
63 elicc2 12799 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
6460, 62, 63syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
6561, 64mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
6665simp2d 1140 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
6760, 57, 58, 66leadd1dd 11252 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑦 + 𝑇))
6865simp3d 1141 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
6957, 62, 58, 68leadd1dd 11252 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 42071 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 42443 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
72 fvoveq1 7172 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑤𝑇)))
7372cbvmptv 5155 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
741, 2, 4iccshift 42085 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
7574mpteq1d 5141 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
7673, 75syl5eq 2871 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
7742, 76syl5eq 2871 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
78 eqeq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7978rexbidv 3289 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
80 oveq1 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8180eqeq2d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8281cbvrexvw 3435 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
8379, 82syl6bb 290 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8483cbvrabv 3477 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
8584eqcomi 2833 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
86 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
8752, 24, 85, 10, 86cncfshift 42446 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ))
8877, 87eqeltrd 2916 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ))
8943feqmptd 6724 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐺𝑥)))
9074eqcomd 2830 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
9190oveq1d 7164 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ) = (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
9288, 89, 913eltr3d 2930 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
93 ioosscn 12796 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9493a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
95 1cnd 10634 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
96 ssid 3975 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
9796a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
9894, 95, 97constcncfg 42444 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
99 fconstmpt 5601 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) × {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
100 ioombl 24175 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
101100a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
102 ioovolcl 24180 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
1031, 2, 102syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
104 iblconst 24427 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
105101, 103, 95, 104syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
10699, 105eqeltrrid 2921 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10798, 106elind 4156 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
10850resmptd 5895 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
109108eqcomd 2830 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)))
110109oveq2d 7165 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))))
11151a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
112111sselda 3953 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
11324adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
114112, 113addcld 10658 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℂ)
115114fmpttd 6870 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ)
116 ssid 3975 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ
117116a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
118 eqid 2824 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
119118tgioo2 23414 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120118, 119dvres 24520 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
121111, 115, 117, 50, 120syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
122110, 121eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
123 iccntr 23432 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
1241, 2, 123syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
125124reseq2d 5840 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
126 reelprrecn 10627 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
127126a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
128 1cnd 10634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
129127dvmptid 24566 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
130 0cnd 10632 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
131127, 24dvmptc 24567 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
132127, 112, 128, 129, 113, 130, 131dvmptadd 24569 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
133132reseq1d 5839 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
134 ioossre 12795 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
135134a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
136135resmptd 5895 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)))
137 1p0e1 11758 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
138137mpteq2i 5144 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
139138a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
140133, 136, 1393eqtrd 2863 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
141122, 125, 1403eqtrd 2863 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
142 fveq2 6661 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)))
143 oveq1 7156 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
144 oveq1 7156 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐵 + 𝑇))
1451, 2, 5, 71, 92, 107, 141, 142, 143, 144, 8, 9itgsubsticc 42548 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
1465ditgpos 24465 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
14743adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
148147, 70ffvelrnd 6843 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) ∈ ℂ)
149 1cnd 10634 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
150148, 149mulcld 10659 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) ∈ ℂ)
1511, 2, 150itgioo 24425 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
152 fvoveq1 7172 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
153152oveq1d 7164 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) = ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1))
154153cbvitgv 24386 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥
15543adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
1568adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1579adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
15850sselda 3953 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1594adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
160158, 159readdcld 10668 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
1611adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1621rexrd 10689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
163162adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1642rexrd 10689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
165164adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
166 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
167 iccgelb 12790 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
168163, 165, 166, 167syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
169161, 158, 159, 168leadd1dd 11252 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑥 + 𝑇))
1702adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
171 iccleub 12789 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
172163, 165, 166, 171syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
173158, 170, 159, 172leadd1dd 11252 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
174156, 157, 160, 169, 173eliccd 42071 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
175155, 174ffvelrnd 6843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℂ)
176175mulid1d 10656 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
17742, 73eqtri 2847 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
178177a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
179 fvoveq1 7172 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐹‘(𝑤𝑇)) = (𝐹‘((𝑥 + 𝑇) − 𝑇)))
180158recnd 10667 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
18124adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℂ)
182180, 181pncand 10996 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑥)
183182fveq2d 6665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑇) − 𝑇)) = (𝐹𝑥))
184179, 183sylan9eqr 2881 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑤𝑇)) = (𝐹𝑥))
18512ffvelrnda 6842 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
186178, 184, 174, 185fvmptd 6766 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
187176, 186eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐹𝑥))
188187itgeq2dv 24391 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
189154, 188syl5eq 2871 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
190146, 151, 1893eqtrd 2863 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
19146, 145, 1903eqtrd 2863 1 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  {crab 3137  wss 3919  {csn 4550  {cpr 4552   class class class wbr 5052  cmpt 5132   × cxp 5540  dom cdm 5542  ran crn 5543  cres 5544  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  *cxr 10672  cle 10674  cmin 10868  +crp 12386  (,)cioo 12735  [,]cicc 12738  TopOpenctopn 16695  topGenctg 16711  fldccnfld 20098  intcnt 21628  cnccncf 23487  volcvol 24073  𝐿1cibl 24227  citg 24228  cdit 24455   D cdv 24472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-symdif 4204  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-mbf 24229  df-itg1 24230  df-itg2 24231  df-ibl 24232  df-itg 24233  df-0p 24280  df-ditg 24456  df-limc 24475  df-dv 24476
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  42759
  Copyright terms: Public domain W3C validator