Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgiccshift 44211
Description: The integral of a function, 𝐹 stays the same if its closed interval domain is shifted by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgiccshift.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgiccshift.aleb (𝜑𝐴𝐵)
itgiccshift.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
itgiccshift.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
itgiccshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
itgiccshift (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgiccshift.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgiccshift.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 12957 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 itgiccshift.aleb . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 4, 5leadd1dd 11769 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
76ditgpos 25220 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥)
81, 4readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
11 cncff 24256 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
141adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ)
152adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ)
168adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
179adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
19 eliccre 43733 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2016, 17, 18, 19syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
214adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
2220, 21resubcld 11583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
231recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
244recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 11513 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
2625eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
28 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
2916, 17, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
3018, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇)))
3130simp2d 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥)
3216, 20, 21, 31lesub1dd 11771 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
3327, 32eqbrtrd 5127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ≤ (𝑥𝑇))
3430simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))
3520, 17, 21, 34lesub1dd 11771 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
362recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3736, 24pncand 11513 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
3837adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
3935, 38breqtrd 5131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ 𝐵)
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 43732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4113, 40ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐹‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
42 itgiccshift.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
4341, 42fmptd 7062 . . . . 5 (𝜑𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
4443ffvelcdmda 7035 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
458, 9, 44itgioo 25180 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥)
467, 45eqtr2d 2777 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥)
47 eqid 2736 . . . 4 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇))
4847addccncf 24280 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4924, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
501, 2iccssred 13351 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
51 ax-resscn 11108 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
5250, 51sstrdi 3956 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
538, 9iccssred 13351 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℝ)
5453, 51sstrdi 3956 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℂ)
558adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
569adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
5750sselda 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
584adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 11184 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
601adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
61 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
622adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
63 elicc2 13329 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
6460, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
6665simp2d 1143 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
6760, 57, 58, 66leadd1dd 11769 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑦 + 𝑇))
6865simp3d 1144 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
6957, 62, 58, 68leadd1dd 11769 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 43732 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 44102 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
72 fvoveq1 7380 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑤𝑇)))
7372cbvmptv 5218 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
741, 2, 4iccshift 43746 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
7574mpteq1d 5200 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
7673, 75eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
7742, 76eqtrid 2788 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
78 eqeq1 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7978rexbidv 3175 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
80 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8180eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8281cbvrexvw 3226 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
8379, 82bitrdi 286 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8483cbvrabv 3417 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
8584eqcomi 2745 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
86 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
8752, 24, 85, 10, 86cncfshift 44105 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ))
8877, 87eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ))
8943feqmptd 6910 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐺𝑥)))
9074eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
9190oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ) = (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
9288, 89, 913eltr3d 2852 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
93 ioosscn 13326 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9493a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
95 1cnd 11150 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
96 ssid 3966 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
9796a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
9894, 95, 97constcncfg 44103 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
99 fconstmpt 5694 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) × {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
100 ioombl 24929 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
101100a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
102 ioovolcl 24934 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
1031, 2, 102syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
104 iblconst 25182 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
105101, 103, 95, 104syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
10699, 105eqeltrrid 2843 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10798, 106elind 4154 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
10850resmptd 5994 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
109108eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)))
110109oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))))
11151a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
112111sselda 3944 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
11324adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
114112, 113addcld 11174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℂ)
115114fmpttd 7063 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ)
116 ssid 3966 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ
117116a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
118 eqid 2736 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
119118tgioo2 24166 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120118, 119dvres 25275 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
121111, 115, 117, 50, 120syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
122110, 121eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
123 iccntr 24184 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
1241, 2, 123syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
125124reseq2d 5937 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
126 reelprrecn 11143 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
127126a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
128 1cnd 11150 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
129127dvmptid 25321 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
130 0cnd 11148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
131127, 24dvmptc 25322 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
132127, 112, 128, 129, 113, 130, 131dvmptadd 25324 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
133132reseq1d 5936 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
134 ioossre 13325 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
135134a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
136135resmptd 5994 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)))
137 1p0e1 12277 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
138137mpteq2i 5210 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
139138a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
140133, 136, 1393eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
141122, 125, 1403eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
142 fveq2 6842 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)))
143 oveq1 7364 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
144 oveq1 7364 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐵 + 𝑇))
1451, 2, 5, 71, 92, 107, 141, 142, 143, 144, 8, 9itgsubsticc 44207 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
1465ditgpos 25220 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
14743adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
148147, 70ffvelcdmd 7036 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) ∈ ℂ)
149 1cnd 11150 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
150148, 149mulcld 11175 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) ∈ ℂ)
1511, 2, 150itgioo 25180 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
152 fvoveq1 7380 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
153152oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) = ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1))
154153cbvitgv 25141 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥
15543adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
1568adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1579adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
15850sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1594adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
160158, 159readdcld 11184 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
1611adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1621rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
163162adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1642rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
165164adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
166 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
167 iccgelb 13320 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
168163, 165, 166, 167syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
169161, 158, 159, 168leadd1dd 11769 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑥 + 𝑇))
1702adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
171 iccleub 13319 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
172163, 165, 166, 171syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
173158, 170, 159, 172leadd1dd 11769 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
174156, 157, 160, 169, 173eliccd 43732 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
175155, 174ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℂ)
176175mulid1d 11172 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
17742, 73eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
178177a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
179 fvoveq1 7380 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐹‘(𝑤𝑇)) = (𝐹‘((𝑥 + 𝑇) − 𝑇)))
180158recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
18124adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℂ)
182180, 181pncand 11513 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑥)
183182fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑇) − 𝑇)) = (𝐹𝑥))
184179, 183sylan9eqr 2798 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑤𝑇)) = (𝐹𝑥))
18512ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
186178, 184, 174, 185fvmptd 6955 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
187176, 186eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐹𝑥))
188187itgeq2dv 25146 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
189154, 188eqtrid 2788 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
190146, 151, 1893eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
19146, 145, 1903eqtrd 2780 1 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188  cle 11190  cmin 11385  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  intcnt 22368  cnccncf 24239  volcvol 24827  𝐿1cibl 24981  citg 24982  cdit 25210   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-ditg 25211  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  44418
  Copyright terms: Public domain W3C validator