Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgiccshift 45936
Description: The integral of a function, 𝐹 stays the same if its closed interval domain is shifted by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgiccshift.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgiccshift.aleb (𝜑𝐴𝐵)
itgiccshift.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
itgiccshift.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
itgiccshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
itgiccshift (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgiccshift.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgiccshift.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 13075 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 itgiccshift.aleb . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 4, 5leadd1dd 11875 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
76ditgpos 25906 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥)
81, 4readdcld 11288 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 11288 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
11 cncff 24933 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
141adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ)
152adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ)
168adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
179adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
19 eliccre 45458 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2016, 17, 18, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
214adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
2220, 21resubcld 11689 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
231recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
244recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 11619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
2625eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
28 elicc2 13449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
2916, 17, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
3018, 29mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇)))
3130simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥)
3216, 20, 21, 31lesub1dd 11877 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
3327, 32eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ≤ (𝑥𝑇))
3430simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))
3520, 17, 21, 34lesub1dd 11877 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
362recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3736, 24pncand 11619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
3837adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
3935, 38breqtrd 5174 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ 𝐵)
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 45457 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4113, 40ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐹‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
42 itgiccshift.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
4341, 42fmptd 7134 . . . . 5 (𝜑𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
4443ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
458, 9, 44itgioo 25866 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥)
467, 45eqtr2d 2776 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥)
47 eqid 2735 . . . 4 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇))
4847addccncf 24957 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4924, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
501, 2iccssred 13471 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
51 ax-resscn 11210 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
5250, 51sstrdi 4008 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
538, 9iccssred 13471 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℝ)
5453, 51sstrdi 4008 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℂ)
558adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
569adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
5750sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
584adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 11288 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
601adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
61 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
622adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
63 elicc2 13449 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
6460, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
6561, 64mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
6665simp2d 1142 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
6760, 57, 58, 66leadd1dd 11875 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑦 + 𝑇))
6865simp3d 1143 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
6957, 62, 58, 68leadd1dd 11875 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 45457 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 45827 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
72 fvoveq1 7454 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑤𝑇)))
7372cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
741, 2, 4iccshift 45471 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
7574mpteq1d 5243 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
7673, 75eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
7742, 76eqtrid 2787 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
78 eqeq1 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7978rexbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
80 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8180eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8281cbvrexvw 3236 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
8379, 82bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8483cbvrabv 3444 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
8584eqcomi 2744 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
86 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
8752, 24, 85, 10, 86cncfshift 45830 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ))
8877, 87eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ))
8943feqmptd 6977 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐺𝑥)))
9074eqcomd 2741 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
9190oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ) = (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
9288, 89, 913eltr3d 2853 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
93 ioosscn 13446 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9493a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
95 1cnd 11254 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
96 ssid 4018 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
9796a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
9894, 95, 97constcncfg 45828 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
99 fconstmpt 5751 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) × {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
100 ioombl 25614 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
101100a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
102 ioovolcl 25619 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
1031, 2, 102syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
104 iblconst 25868 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
105101, 103, 95, 104syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
10699, 105eqeltrrid 2844 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10798, 106elind 4210 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
10850resmptd 6060 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
109108eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)))
110109oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))))
11151a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
112111sselda 3995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
11324adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
114112, 113addcld 11278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℂ)
115114fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ)
116 ssid 4018 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ
117116a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
118 eqid 2735 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
119118tgioo2 24839 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120118, 119dvres 25961 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
121111, 115, 117, 50, 120syl22anc 839 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
122110, 121eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
123 iccntr 24857 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
1241, 2, 123syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
125124reseq2d 6000 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
126 reelprrecn 11245 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
127126a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
128 1cnd 11254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
129127dvmptid 26010 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
130 0cnd 11252 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
131127, 24dvmptc 26011 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
132127, 112, 128, 129, 113, 130, 131dvmptadd 26013 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
133132reseq1d 5999 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
134 ioossre 13445 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
135134a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
136135resmptd 6060 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)))
137 1p0e1 12388 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
138137mpteq2i 5253 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
139138a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
140133, 136, 1393eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
141122, 125, 1403eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
142 fveq2 6907 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)))
143 oveq1 7438 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
144 oveq1 7438 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐵 + 𝑇))
1451, 2, 5, 71, 92, 107, 141, 142, 143, 144, 8, 9itgsubsticc 45932 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
1465ditgpos 25906 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
14743adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
148147, 70ffvelcdmd 7105 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) ∈ ℂ)
149 1cnd 11254 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
150148, 149mulcld 11279 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) ∈ ℂ)
1511, 2, 150itgioo 25866 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
152 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
153152oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) = ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1))
154153cbvitgv 25827 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥
15543adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
1568adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1579adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
15850sselda 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1594adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
160158, 159readdcld 11288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
1611adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1621rexrd 11309 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
163162adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1642rexrd 11309 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
165164adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
166 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
167 iccgelb 13440 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
168163, 165, 166, 167syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
169161, 158, 159, 168leadd1dd 11875 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑥 + 𝑇))
1702adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
171 iccleub 13439 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
172163, 165, 166, 171syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
173158, 170, 159, 172leadd1dd 11875 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
174156, 157, 160, 169, 173eliccd 45457 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
175155, 174ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℂ)
176175mulridd 11276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
17742, 73eqtri 2763 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
178177a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
179 fvoveq1 7454 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐹‘(𝑤𝑇)) = (𝐹‘((𝑥 + 𝑇) − 𝑇)))
180158recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
18124adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℂ)
182180, 181pncand 11619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑥)
183182fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑇) − 𝑇)) = (𝐹𝑥))
184179, 183sylan9eqr 2797 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑤𝑇)) = (𝐹𝑥))
18512ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
186178, 184, 174, 185fvmptd 7023 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
187176, 186eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐹𝑥))
188187itgeq2dv 25832 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
189154, 188eqtrid 2787 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
190146, 151, 1893eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
19146, 145, 1903eqtrd 2779 1 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292  cle 11294  cmin 11490  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  fldccnfld 21382  intcnt 23041  cnccncf 24916  volcvol 25512  𝐿1cibl 25666  citg 25667  cdit 25896   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719  df-ditg 25897  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  46143
  Copyright terms: Public domain W3C validator