Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgiccshift 45273
Description: The integral of a function, 𝐹 stays the same if its closed interval domain is shifted by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgiccshift.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgiccshift.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
itgiccshift.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
itgiccshift.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
itgiccshift.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
itgiccshift (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgiccshift.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgiccshift.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 13022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5 itgiccshift.aleb . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
61, 2, 4, 5leadd1dd 11832 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
76ditgpos 25740 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
81, 4readdcld 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
11 cncff 24768 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
141adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
152adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
168adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
179adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
19 eliccre 44795 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2016, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
214adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2220, 21resubcld 11646 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
231recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
244recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2523, 24pncand 11576 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐴)
2625eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
28 elicc2 13395 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))))
2916, 17, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))))
3018, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇)))
3130simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯)
3216, 20, 21, 31lesub1dd 11834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
3327, 32eqbrtrd 5163 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
3430simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))
3520, 17, 21, 34lesub1dd 11834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
362recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3736, 24pncand 11576 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐡)
3837adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐡)
3935, 38breqtrd 5167 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ 𝐡)
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 44794 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))
4113, 40ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
42 itgiccshift.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
4341, 42fmptd 7109 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))βŸΆβ„‚)
4443ffvelcdmda 7080 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
458, 9, 44itgioo 25700 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
467, 45eqtr2d 2767 . 2 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
47 eqid 2726 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇))
4847addccncf 24792 . . . . 5 (𝑇 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4924, 48syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
501, 2iccssred 13417 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
51 ax-resscn 11169 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
5250, 51sstrdi 3989 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
538, 9iccssred 13417 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† ℝ)
5453, 51sstrdi 3989 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† β„‚)
558adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
569adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
5750sselda 3977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
584adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
601adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
61 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
622adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
63 elicc2 13395 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
6460, 62, 63syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
6665simp2d 1140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
6760, 57, 58, 66leadd1dd 11832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑦 + 𝑇))
6865simp3d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
6957, 62, 58, 68leadd1dd 11832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 44794 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 45164 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
72 fvoveq1 7428 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
7372cbvmptv 5254 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
741, 2, 4iccshift 44808 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)})
7574mpteq1d 5236 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
7673, 75eqtrid 2778 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
7742, 76eqtrid 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
78 eqeq1 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
7978rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
80 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8180eqeq2d 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
8281cbvrexvw 3229 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
8379, 82bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
8483cbvrabv 3436 . . . . . . 7 {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
8584eqcomi 2735 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}
86 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))) = (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
8752, 24, 85, 10, 86cncfshift 45167 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))) ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
8877, 87eqeltrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
8943feqmptd 6954 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
9074eqcomd 2732 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
9190oveq1d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚) = (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))–cnβ†’β„‚))
9288, 89, 913eltr3d 2841 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))–cnβ†’β„‚))
93 ioosscn 13392 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
9493a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
95 1cnd 11213 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
96 ssid 3999 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
9796a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
9894, 95, 97constcncfg 45165 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
99 fconstmpt 5731 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
100 ioombl 25449 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
101100a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
102 ioovolcl 25454 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
1031, 2, 102syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
104 iblconst 25702 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
105101, 103, 95, 104syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
10699, 105eqeltrrid 2832 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10798, 106elind 4189 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1))
10850resmptd 6034 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
109108eqcomd 2732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))
110109oveq2d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))))
11151a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
112111sselda 3977 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
11324adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
114112, 113addcld 11237 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ β„‚)
115114fmpttd 7110 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):β„βŸΆβ„‚)
116 ssid 3999 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ
117116a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
118 eqid 2726 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
119118tgioo2 24674 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
120118, 119dvres 25795 . . . . . 6 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
121111, 115, 117, 50, 120syl22anc 836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
122110, 121eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
123 iccntr 24692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
1241, 2, 123syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
125124reseq2d 5975 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
126 reelprrecn 11204 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
127126a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
128 1cnd 11213 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
129127dvmptid 25844 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
130 0cnd 11211 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
131127, 24dvmptc 25845 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
132127, 112, 128, 129, 113, 130, 131dvmptadd 25847 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
133132reseq1d 5974 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
134 ioossre 13391 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
135134a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
136135resmptd 6034 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)))
137 1p0e1 12340 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
138137mpteq2i 5246 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
139138a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
140133, 136, 1393eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
141122, 125, 1403eqtrd 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
142 fveq2 6885 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)))
143 oveq1 7412 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
144 oveq1 7412 . . 3 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝐡 + 𝑇))
1451, 2, 5, 71, 92, 107, 141, 142, 143, 144, 8, 9itgsubsticc 45269 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
1465ditgpos 25740 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
14743adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))βŸΆβ„‚)
148147, 70ffvelcdmd 7081 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) ∈ β„‚)
149 1cnd 11213 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
150148, 149mulcld 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) ∈ β„‚)
1511, 2, 150itgioo 25700 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
152 fvoveq1 7428 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
153152oveq1d 7420 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) = ((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1))
154153cbvitgv 25661 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) dπ‘₯
15543adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))βŸΆβ„‚)
1568adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1579adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
15850sselda 3977 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1594adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
160158, 159readdcld 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
1611adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1621rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
163162adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1642rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
165164adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
166 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
167 iccgelb 13386 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
168163, 165, 166, 167syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
169161, 158, 159, 168leadd1dd 11832 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (π‘₯ + 𝑇))
1702adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
171 iccleub 13385 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
172163, 165, 166, 171syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
173158, 170, 159, 172leadd1dd 11832 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
174156, 157, 160, 169, 173eliccd 44794 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
175155, 174ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) ∈ β„‚)
176175mulridd 11235 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) = (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
17742, 73eqtri 2754 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)))
178177a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇))))
179 fvoveq1 7428 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑇)))
180158recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
18124adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
182180, 181pncand 11576 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = π‘₯)
183182fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
184179, 183sylan9eqr 2788 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
18512ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
186178, 184, 174, 185fvmptd 6999 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
187176, 186eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘₯))
188187itgeq2dv 25666 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
189154, 188eqtrid 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
190146, 151, 1893eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΊβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
19146, 145, 1903eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  TopOpenctopn 17376  topGenctg 17392  β„‚fldccnfld 21240  intcnt 22876  β€“cnβ†’ccncf 24751  volcvol 25347  πΏ1cibl 25501  βˆ«citg 25502  β¨œcdit 25730   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-ditg 25731  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  45480
  Copyright terms: Public domain W3C validator