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Theorem fourierdlem101 46162
Description: Integral by substitution for a piecewise continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem101.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem101.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem101.g 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
fourierdlem101.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem101.6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem101.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fourierdlem101.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem101.f (𝜑𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
fourierdlem101.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem101.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem101.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem101 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑡   𝑡,𝐹   𝑖,𝐺,𝑠,𝑡   𝑡,𝐿   𝑖,𝑀,𝑠,𝑡   𝑚,𝑀,𝑝,𝑖   𝑛,𝑁,𝑠   𝑡,𝑁   𝑄,𝑖,𝑠,𝑡   𝑄,𝑝   𝑡,𝑅   𝑖,𝑋,𝑠,𝑡   𝜑,𝑖,𝑠,𝑡   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑃(𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚,𝑛)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem101
Dummy variables 𝑟 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ (-π[,]π))
2 fourierdlem101.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
32ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4 fourierdlem101.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 pire 26514 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
76renegcli 11567 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ
8 eliccre 45457 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ ℝ)
97, 6, 8mp3an12 1450 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → 𝑡 ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ ℝ)
11 fourierdlem101.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 11688 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
14 fourierdlem101.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
1514dirkerre 46050 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
165, 13, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
1716recnd 11286 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℂ)
183, 17mulcld 11278 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ℂ)
19 fourierdlem101.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
2019fvmpt2 7026 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ℂ) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
211, 18, 20syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
2221eqcomd 2740 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝐺𝑡))
2322itgeq2dv 25831 . 2 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑡) d𝑡)
24 fourierdlem101.p . . 3 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
25 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
2625oveq1d 7445 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗) − 𝑋) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
2726cbvmptv 5260 . . 3 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋))
28 fourierdlem101.6 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
29 fourierdlem101.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
3018, 19fmptd 7133 . . 3 (𝜑𝐺:(-π[,]π)⟶ℂ)
3119reseq1i 5995 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
32 ioossicc 13469 . . . . . . 7 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
337a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
3433rexrd 11308 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
3534adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
366a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℝ)
3736rexrd 11308 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
3924, 28, 29fourierdlem15 46077 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
41 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
4235, 38, 40, 41fourierdlem8 46070 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4332, 42sstrid 4006 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4443resmptd 6059 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
4531, 44eqtrid 2786 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
462adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
4746, 43feqresmpt 6977 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑡)))
48 fourierdlem101.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
4947, 48eqeltrrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
50 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
51 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))
52 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)))
53 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑟 → (𝑡𝑋) = (𝑟𝑋))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑟) → (𝑡𝑋) = (𝑟𝑋))
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
56 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5811adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟𝑋) ∈ ℝ)
6059adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟𝑋) ∈ ℝ)
6152, 54, 55, 60fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) = (𝑟𝑋))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) = (𝑟𝑋))
6351, 62eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → 𝑠 = (𝑟𝑋))
6463fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
65 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
6711adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
6866, 67resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
6968adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
70 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))
7169, 70fmptd 7133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
7271ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) ∈ ℝ)
734ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7414dirkerre 46050 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑟𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) ∈ ℝ)
7573, 60, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) ∈ ℝ)
7650, 64, 72, 75fvmptd 7022 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
7776eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)))
7877mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
7953fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑟 → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
8079cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋))))
8214dirkerre 46050 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℝ)
834, 82sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℝ)
84 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))
8583, 84fmptd 7133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ)
8685adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ)
87 fcompt 7152 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
8886, 71, 87syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
8978, 81, 883eqtr4d 2784 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))))
90 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋))
91 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
9211recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
9491, 93negsubd 11623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 + -𝑋) = (𝑡𝑋))
9594eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡𝑋) = (𝑡 + -𝑋))
9695mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)))
9792negcld 11604 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
98 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋))
9998addccncf 24956 . . . . . . . . . . 11 (-𝑋 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10097, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10196, 100eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
102101adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
103 ioossre 13444 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
104 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
105103, 104sstri 4004 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
106105a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
107104a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
10890, 102, 106, 107, 69cncfmptssg 45826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
10983recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℂ)
110109, 84fmptd 7133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ)
111 ssid 4017 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
11214dirkerf 46052 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
1134, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
114113feqmptd 6976 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
11514dirkercncf 46062 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1164, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
117114, 116eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
118 cncfcdm 24937 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ))
119111, 117, 118sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ))
120110, 119mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
121120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
122108, 121cncfco 24946 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12389, 122eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12449, 123mulcncf 25493 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12545, 124eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
126 cncff 24932 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
12748, 126syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
128113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
129 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
13111adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
132130, 131resubcld 11688 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠𝑋) ∈ ℝ)
133128, 132ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) ∈ ℝ)
134133recnd 11286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) ∈ ℂ)
135 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))
136134, 135fmptd 7133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
137136adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
138 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
139 fourierdlem101.r . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
140 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (𝑄𝑖) → (𝑡𝑋) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
141140fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑄𝑖) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)))
142141eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑄𝑖) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
143142adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
144 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
145 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
146145fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
147146adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
148 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ 𝑡 = (𝑄𝑖))
149148notbii 320 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖))
150 elunnel2 4164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ∧ ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151149, 150sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152151adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
153113ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
154 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 = (𝑄𝑖))
1559ssriv 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π[,]π) ⊆ ℝ
156 fzossfz 13714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
157156, 41sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
15840, 157ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
159155, 158sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
161154, 160eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
162161adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
163152, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
164162, 163pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑡 ∈ ℝ)
16511ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑋 ∈ ℝ)
166164, 165resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
167153, 166ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
168167adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
169144, 147, 152, 168fvmptd 7022 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
170143, 169ifeqda 4566 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
171170mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
172113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
173 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
174 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↔ (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
175173, 174sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
176175adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
177 elsni 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 = (𝑄𝑖))
178177adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 = (𝑄𝑖))
179159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
180178, 179eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ)
181180ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ))
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ))
183 pm3.44 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ))
184129, 182, 183sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ))
185176, 184mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑠 ∈ ℝ)
18611ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑋 ∈ ℝ)
187185, 186resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠𝑋) ∈ ℝ)
188 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))
189187, 188fmptd 7133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℝ)
190 fcompt 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℝ) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))))
191172, 189, 190syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))))
192 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)))
193145adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑠 = 𝑡) → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
194 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
195192, 193, 194, 166fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡) = (𝑡𝑋))
196195fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
197196mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
198191, 197eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))))
199 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋))
200 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℂ)
20192adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
202200, 201negsubd 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → (𝑠 + -𝑋) = (𝑠𝑋))
203202eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → (𝑠𝑋) = (𝑠 + -𝑋))
204203mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)))
205 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋))
206205addccncf 24956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-𝑋 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
20797, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
208204, 207eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
209208adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
210159recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
211210snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄𝑖)} ⊆ ℂ)
212106, 211unssd 4201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ)
213199, 209, 212, 107, 187cncfmptssg 45826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℝ))
214114, 120eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
215214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
216213, 215cncfco 24946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ))
217 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
218 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
219217cnfldtop 24819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
220 unicntop 24821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
221220restid 17479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
222219, 221ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
223222eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
224217, 218, 223cncfcn 24949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
225212, 111, 224sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
226216, 225eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
227198, 226eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
228217cnfldtopon 24818 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
229 resttopon 23184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})))
230228, 212, 229sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})))
231 cncnp 23303 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
232230, 228, 231sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
233227, 232mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
234233simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
235 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖))
236 elsng 4644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖) ∈ ℝ → ((𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖)))
237159, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖)))
238235, 237mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)})
239238olcd 874 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)}))
240 elun 4162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↔ ((𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)}))
241239, 240sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
242 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑄𝑖) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
243242eleq2d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑄𝑖) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖))))
244243rspccva 3620 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ∧ (𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
245234, 241, 244syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
246171, 245eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
247 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
248218, 217, 247, 137, 106, 210ellimc 25922 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄𝑖)) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖))))
249246, 248mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄𝑖)))
250127, 137, 138, 139, 249mullimcf 45578 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
251 fvres 6925 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = (𝐹𝑡))
252251adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = (𝐹𝑡))
253252oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
254253mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))))
255254oveq1d 7445 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
256250, 255eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
257 eqidd 2735 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
258 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → 𝑠 = 𝑡)
259258oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
260259fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
261 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
262113ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
263262, 69ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
264257, 260, 261, 263fvmptd 7022 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
265264oveq2d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
266265mpteq2dva 5247 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
267266oveq1d 7445 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)))
268256, 267eleqtrd 2840 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)))
26945eqcomd 2740 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
270269oveq1d 7445 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
271268, 270eleqtrd 2840 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
272 fourierdlem101.l . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
273 iftrue 4536 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
274 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑡𝑋) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
275274eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) = (𝑡𝑋))
276275fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
277273, 276eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
278277adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
279 iffalse 4539 . . . . . . . . . . 11 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))
280279adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))
281 eqidd 2735 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
282146adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
283 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↔ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
284283biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
285284orcomd 871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) → (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
286285ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
287 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
288287notbii 320 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
289288biimpri 228 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
290289adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
291 pm2.53 851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
292286, 290, 291sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
293172ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
294292, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
29511ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
296294, 295resubcld 11688 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
297293, 296ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
298281, 282, 292, 297fvmptd 7022 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
299280, 298eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
300278, 299pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
301300mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
302 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
303104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
304 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
30511adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
306304, 305resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
30790, 101, 303, 303, 306cncfmptssg 45826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
308307, 214cncfcompt 45838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
309308adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
310103a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
311 fzofzp1 13799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
312311adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31340, 312ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
314155, 313sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
315314snssd 4813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ⊆ ℝ)
316310, 315unssd 4201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℝ)
317111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
318172adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
319316sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → 𝑡 ∈ ℝ)
32011ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → 𝑋 ∈ ℝ)
321319, 320resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
322318, 321ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
323322recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℂ)
324302, 309, 316, 317, 323cncfmptssg 45826 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ))
325155, 104sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π[,]π) ⊆ ℂ
326325, 313sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
327326snssd 4813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ⊆ ℂ)
328106, 327unssd 4201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ)
329 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
330217, 329, 223cncfcn 24949 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
331328, 111, 330sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
332324, 331eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
333 resttopon 23184 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})))
334228, 328, 333sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})))
335 cncnp 23303 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
336334, 228, 335sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
337332, 336mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
338337simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
339 eqidd 2735 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
340 elsng 4644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
341314, 340syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
342339, 341mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
343342olcd 874 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
344 elun 4162 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
345343, 344sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
346 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
347346eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
348347rspccva 3620 . . . . . . . 8 ((∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
349338, 345, 348syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
350301, 349eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
351 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
352329, 217, 351, 137, 106, 326ellimc 25922 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
353350, 352mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
354127, 137, 138, 272, 353mullimcf 45578 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
355266, 254, 453eqtr4d 2784 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
356355oveq1d 7445 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
357354, 356eleqtrd 2840 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
35824, 27, 28, 29, 11, 30, 125, 271, 357fourierdlem93 46154 . 2 (𝜑 → ∫(-π[,]π)(𝐺𝑡) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠)
35919a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
360 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹𝑡) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
361360oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
362361adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
363 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑡𝑋) = ((𝑋 + 𝑠) − 𝑋))
36492adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℂ)
36533, 11resubcld 11688 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
366365adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
36736, 11resubcld 11688 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
368367adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
369 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)))
370 eliccre 45457 . . . . . . . . . . 11 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
371366, 368, 369, 370syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
372371recnd 11286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℂ)
373364, 372pncan2d 11619 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝑋 + 𝑠) − 𝑋) = 𝑠)
374363, 373sylan9eqr 2796 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → (𝑡𝑋) = 𝑠)
375374fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘𝑠))
376375oveq2d 7446 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
377362, 376eqtrd 2774 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
3787a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ∈ ℝ)
3796a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℝ)
38011adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
381380, 371readdcld 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
38233recnd 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
38392, 382pncan3d 11620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (-π − 𝑋)) = -π)
384383eqcomd 2740 . . . . . . 7 (𝜑 → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
385384adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
386 elicc2 13448 . . . . . . . . . 10 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋))))
387366, 368, 386syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋))))
388369, 387mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋)))
389388simp2d 1142 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ≤ 𝑠)
390366, 371, 380, 389leadd2dd 11875 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (-π − 𝑋)) ≤ (𝑋 + 𝑠))
391385, 390eqbrtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ≤ (𝑋 + 𝑠))
392388simp3d 1143 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ≤ (π − 𝑋))
393371, 368, 380, 392leadd2dd 11875 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ≤ (𝑋 + (π − 𝑋)))
394 picn 26515 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
395394a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℂ)
396364, 395pncan3d 11620 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (π − 𝑋)) = π)
397393, 396breqtrd 5173 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ≤ π)
398378, 379, 381, 391, 397eliccd 45456 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (-π[,]π))
3992adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
400399, 398ffvelcdmd 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
401371, 109syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℂ)
402400, 401mulcld 11278 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ ℂ)
403359, 377, 398, 402fvmptd 7022 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
404403itgeq2dv 25831 . 2 (𝜑 → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
40523, 358, 4043eqtrd 2778 1 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  cun 3960  wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cres 5690  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690   mod cmo 13905  sincsin 16095  πcpi 16098  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381  Topctop 22914  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247   CnP ccnp 23248  cnccncf 24915  citg 25666   lim climc 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-t1 23337  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-ditg 25896  df-limc 25915  df-dv 25916
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