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Theorem fourierdlem101 42369
Description: Integral by substitution for a piecewise continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem101.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem101.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem101.g 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
fourierdlem101.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem101.6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem101.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fourierdlem101.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem101.f (𝜑𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
fourierdlem101.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem101.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem101.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem101 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑡   𝑡,𝐹   𝑖,𝐺,𝑠,𝑡   𝑡,𝐿   𝑖,𝑀,𝑠,𝑡   𝑚,𝑀,𝑝,𝑖   𝑛,𝑁,𝑠   𝑡,𝑁   𝑄,𝑖,𝑠,𝑡   𝑄,𝑝   𝑡,𝑅   𝑖,𝑋,𝑠,𝑡   𝜑,𝑖,𝑠,𝑡   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑃(𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚,𝑛)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem101
Dummy variables 𝑟 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ (-π[,]π))
2 fourierdlem101.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
32ffvelrnda 6843 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4 fourierdlem101.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 pire 24971 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
76renegcli 10935 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ
8 eliccre 41657 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ ℝ)
97, 6, 8mp3an12 1442 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → 𝑡 ∈ ℝ)
109adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ ℝ)
11 fourierdlem101.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 11056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
14 fourierdlem101.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
1514dirkerre 42257 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
165, 13, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
1716recnd 10657 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℂ)
183, 17mulcld 10649 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ℂ)
19 fourierdlem101.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
2019fvmpt2 6771 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ℂ) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
211, 18, 20syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
2221eqcomd 2824 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝐺𝑡))
2322itgeq2dv 24309 . 2 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑡) d𝑡)
24 fourierdlem101.p . . 3 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
25 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
2625oveq1d 7160 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗) − 𝑋) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
2726cbvmptv 5160 . . 3 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋))
28 fourierdlem101.6 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
29 fourierdlem101.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
3018, 19fmptd 6870 . . 3 (𝜑𝐺:(-π[,]π)⟶ℂ)
3119reseq1i 5842 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
32 ioossicc 12810 . . . . . . 7 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
337a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
3433rexrd 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
3534adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
366a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℝ)
3736rexrd 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
3924, 28, 29fourierdlem15 42284 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
41 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
4235, 38, 40, 41fourierdlem8 42277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4332, 42sstrid 3975 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4443resmptd 5901 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
4531, 44syl5eq 2865 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
462adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
4746, 43feqresmpt 6727 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑡)))
48 fourierdlem101.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
4947, 48eqeltrrd 2911 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
50 eqidd 2819 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
51 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))
52 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)))
53 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑟 → (𝑡𝑋) = (𝑟𝑋))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑟) → (𝑡𝑋) = (𝑟𝑋))
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
56 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5811adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟𝑋) ∈ ℝ)
6059adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟𝑋) ∈ ℝ)
6152, 54, 55, 60fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) = (𝑟𝑋))
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) = (𝑟𝑋))
6351, 62eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → 𝑠 = (𝑟𝑋))
6463fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
65 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
6711adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
6866, 67resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
6968adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
70 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))
7169, 70fmptd 6870 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
7271ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) ∈ ℝ)
734ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7414dirkerre 42257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑟𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) ∈ ℝ)
7573, 60, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) ∈ ℝ)
7650, 64, 72, 75fvmptd 6767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
7776eqcomd 2824 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)))
7877mpteq2dva 5152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
7953fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑟 → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
8079cbvmptv 5160 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋))))
8214dirkerre 42257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℝ)
834, 82sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℝ)
84 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))
8583, 84fmptd 6870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ)
8685adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ)
87 fcompt 6887 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
8886, 71, 87syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
8978, 81, 883eqtr4d 2863 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))))
90 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋))
91 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
9211recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
9491, 93negsubd 10991 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 + -𝑋) = (𝑡𝑋))
9594eqcomd 2824 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡𝑋) = (𝑡 + -𝑋))
9695mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)))
9792negcld 10972 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
98 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋))
9998addccncf 23451 . . . . . . . . . . 11 (-𝑋 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10097, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10196, 100eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
102101adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
103 ioossre 12786 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
104 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
105103, 104sstri 3973 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
106105a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
107104a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
10890, 102, 106, 107, 69cncfmptssg 42029 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
10983recnd 10657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℂ)
110109, 84fmptd 6870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ)
111 ssid 3986 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
11214dirkerf 42259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
1134, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
114113feqmptd 6726 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
11514dirkercncf 42269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1164, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
117114, 116eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
118 cncffvrn 23433 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ))
119111, 117, 118sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ))
120110, 119mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
121120adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
122108, 121cncfco 23442 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12389, 122eqeltrd 2910 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12449, 123mulcncf 23974 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12545, 124eqeltrd 2910 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
126 cncff 23428 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
12748, 126syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
128113adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
129 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
130129adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
13111adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
132130, 131resubcld 11056 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠𝑋) ∈ ℝ)
133128, 132ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) ∈ ℝ)
134133recnd 10657 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) ∈ ℂ)
135 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))
136134, 135fmptd 6870 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
137136adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
138 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
139 fourierdlem101.r . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
140 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (𝑄𝑖) → (𝑡𝑋) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
141140fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑄𝑖) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)))
142141eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑄𝑖) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
143142adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
144 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
145 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
146145fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
147146adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
148 velsn 4573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ 𝑡 = (𝑄𝑖))
149148notbii 321 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖))
150 elunnel2 41173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ∧ ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151149, 150sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152151adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
153113ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
154 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 = (𝑄𝑖))
1559ssriv 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π[,]π) ⊆ ℝ
156 fzossfz 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
157156, 41sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
15840, 157ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
159155, 158sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
161154, 160eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
162161adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
163152, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
164162, 163pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑡 ∈ ℝ)
16511ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑋 ∈ ℝ)
166164, 165resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
167153, 166ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
168167adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
169144, 147, 152, 168fvmptd 6767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
170143, 169ifeqda 4498 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
171170mpteq2dva 5152 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
172113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
173 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
174 elun 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↔ (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
175173, 174sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
176175adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
177 elsni 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 = (𝑄𝑖))
178177adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 = (𝑄𝑖))
179159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
180178, 179eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ)
181180ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ))
182181adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ))
183 pm3.44 953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ))
184129, 182, 183sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ))
185176, 184mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑠 ∈ ℝ)
18611ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑋 ∈ ℝ)
187185, 186resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠𝑋) ∈ ℝ)
188 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))
189187, 188fmptd 6870 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℝ)
190 fcompt 6887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℝ) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))))
191172, 189, 190syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))))
192 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)))
193145adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑠 = 𝑡) → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
194 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
195192, 193, 194, 166fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡) = (𝑡𝑋))
196195fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
197196mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
198191, 197eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))))
199 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋))
200 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℂ)
20192adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
202200, 201negsubd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → (𝑠 + -𝑋) = (𝑠𝑋))
203202eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → (𝑠𝑋) = (𝑠 + -𝑋))
204203mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)))
205 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋))
206205addccncf 23451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-𝑋 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
20797, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
208204, 207eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
209208adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
210159recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
211210snssd 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄𝑖)} ⊆ ℂ)
212106, 211unssd 4159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ)
213199, 209, 212, 107, 187cncfmptssg 42029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℝ))
214114, 120eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
215214adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
216213, 215cncfco 23442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ))
217 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
218 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
219217cnfldtop 23319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
220 unicntop 23321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
221220restid 16695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
222219, 221ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
223222eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
224217, 218, 223cncfcn 23444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
225212, 111, 224sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
226216, 225eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
227198, 226eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
228217cnfldtopon 23318 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
229 resttopon 21697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})))
230228, 212, 229sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})))
231 cncnp 21816 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
232230, 228, 231sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
233227, 232mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
234233simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
235 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖))
236 elsng 4571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖) ∈ ℝ → ((𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖)))
237159, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖)))
238235, 237mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)})
239238olcd 870 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)}))
240 elun 4122 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↔ ((𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)}))
241239, 240sylibr 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
242 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑄𝑖) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
243242eleq2d 2895 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑄𝑖) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖))))
244243rspccva 3619 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ∧ (𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
245234, 241, 244syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
246171, 245eqeltrd 2910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
247 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
248218, 217, 247, 137, 106, 210ellimc 24398 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄𝑖)) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖))))
249246, 248mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄𝑖)))
250127, 137, 138, 139, 249mullimcf 41780 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
251 fvres 6682 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = (𝐹𝑡))
252251adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = (𝐹𝑡))
253252oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
254253mpteq2dva 5152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))))
255254oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
256250, 255eleqtrd 2912 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
257 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
258 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → 𝑠 = 𝑡)
259258oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
260259fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
261 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
262113ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
263262, 69ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
264257, 260, 261, 263fvmptd 6767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
265264oveq2d 7161 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
266265mpteq2dva 5152 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
267266oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)))
268256, 267eleqtrd 2912 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)))
26945eqcomd 2824 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
270269oveq1d 7160 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
271268, 270eleqtrd 2912 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
272 fourierdlem101.l . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
273 iftrue 4469 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
274 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑡𝑋) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
275274eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) = (𝑡𝑋))
276275fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
277273, 276eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
278277adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
279 iffalse 4472 . . . . . . . . . . 11 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))
280279adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))
281 eqidd 2819 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
282146adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
283 elun 4122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↔ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
284283biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
285284orcomd 865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) → (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
286285ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
287 velsn 4573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
288287notbii 321 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
289288biimpri 229 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
290289adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
291 pm2.53 845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
292286, 290, 291sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
293172ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
294292, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
29511ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
296294, 295resubcld 11056 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
297293, 296ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
298281, 282, 292, 297fvmptd 6767 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
299280, 298eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
300278, 299pm2.61dan 809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
301300mpteq2dva 5152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
302 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
303104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
304 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
30511adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
306304, 305resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
30790, 101, 303, 303, 306cncfmptssg 42029 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
308307, 214cncfcompt 42042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
309308adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
310103a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
311 fzofzp1 13122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
312311adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31340, 312ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
314155, 313sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
315314snssd 4734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ⊆ ℝ)
316310, 315unssd 4159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℝ)
317111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
318172adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
319316sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → 𝑡 ∈ ℝ)
32011ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → 𝑋 ∈ ℝ)
321319, 320resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
322318, 321ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
323322recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℂ)
324302, 309, 316, 317, 323cncfmptssg 42029 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ))
325155, 104sstri 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π[,]π) ⊆ ℂ
326325, 313sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
327326snssd 4734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ⊆ ℂ)
328106, 327unssd 4159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ)
329 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
330217, 329, 223cncfcn 23444 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
331328, 111, 330sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
332324, 331eleqtrd 2912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
333 resttopon 21697 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})))
334228, 328, 333sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})))
335 cncnp 21816 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
336334, 228, 335sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
337332, 336mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
338337simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
339 eqidd 2819 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
340 elsng 4571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
341314, 340syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
342339, 341mpbird 258 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
343342olcd 870 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
344 elun 4122 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
345343, 344sylibr 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
346 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
347346eleq2d 2895 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
348347rspccva 3619 . . . . . . . 8 ((∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
349338, 345, 348syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
350301, 349eqeltrd 2910 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
351 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
352329, 217, 351, 137, 106, 326ellimc 24398 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
353350, 352mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
354127, 137, 138, 272, 353mullimcf 41780 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
355266, 254, 453eqtr4d 2863 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
356355oveq1d 7160 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
357354, 356eleqtrd 2912 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
35824, 27, 28, 29, 11, 30, 125, 271, 357fourierdlem93 42361 . 2 (𝜑 → ∫(-π[,]π)(𝐺𝑡) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠)
35919a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
360 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹𝑡) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
361360oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
362361adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
363 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑡𝑋) = ((𝑋 + 𝑠) − 𝑋))
36492adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℂ)
36533, 11resubcld 11056 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
366365adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
36736, 11resubcld 11056 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
368367adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
369 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)))
370 eliccre 41657 . . . . . . . . . . 11 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
371366, 368, 369, 370syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
372371recnd 10657 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℂ)
373364, 372pncan2d 10987 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝑋 + 𝑠) − 𝑋) = 𝑠)
374363, 373sylan9eqr 2875 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → (𝑡𝑋) = 𝑠)
375374fveq2d 6667 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘𝑠))
376375oveq2d 7161 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
377362, 376eqtrd 2853 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
3787a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ∈ ℝ)
3796a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℝ)
38011adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
381380, 371readdcld 10658 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
38233recnd 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
38392, 382pncan3d 10988 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (-π − 𝑋)) = -π)
384383eqcomd 2824 . . . . . . 7 (𝜑 → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
385384adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
386 elicc2 12789 . . . . . . . . . 10 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋))))
387366, 368, 386syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋))))
388369, 387mpbid 233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋)))
389388simp2d 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ≤ 𝑠)
390366, 371, 380, 389leadd2dd 11243 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (-π − 𝑋)) ≤ (𝑋 + 𝑠))
391385, 390eqbrtrd 5079 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ≤ (𝑋 + 𝑠))
392388simp3d 1136 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ≤ (π − 𝑋))
393371, 368, 380, 392leadd2dd 11243 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ≤ (𝑋 + (π − 𝑋)))
394 picn 24972 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
395394a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℂ)
396364, 395pncan3d 10988 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (π − 𝑋)) = π)
397393, 396breqtrd 5083 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ≤ π)
398378, 379, 381, 391, 397eliccd 41655 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (-π[,]π))
3992adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
400399, 398ffvelrnd 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
401371, 109syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℂ)
402400, 401mulcld 10649 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ ℂ)
403359, 377, 398, 402fvmptd 6767 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
404403itgeq2dv 24309 . 2 (𝜑 → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
40523, 358, 4043eqtrd 2857 1 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  cun 3931  wss 3933  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cres 5550  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021   mod cmo 13225  sincsin 15405  πcpi 15408  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  fldccnfld 20473  Topctop 21429  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760   CnP ccnp 21761  cnccncf 23411  citg 24146   lim climc 24387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-symdif 4216  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-t1 21850  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-itg 24151  df-0p 24198  df-ditg 24372  df-limc 24391  df-dv 24392
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