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Theorem fourierdlem101 40993
Description: Integral by substitution for a piecewise continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem101.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem101.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem101.g 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
fourierdlem101.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem101.6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem101.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fourierdlem101.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem101.f (𝜑𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
fourierdlem101.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem101.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem101.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem101 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑡   𝑡,𝐹   𝑖,𝐺,𝑠,𝑡   𝑡,𝐿   𝑖,𝑀,𝑠,𝑡   𝑚,𝑀,𝑝,𝑖   𝑛,𝑁,𝑠   𝑡,𝑁   𝑄,𝑖,𝑠,𝑡   𝑄,𝑝   𝑡,𝑅   𝑖,𝑋,𝑠,𝑡   𝜑,𝑖,𝑠,𝑡   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑃(𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚,𝑛)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem101
Dummy variables 𝑟 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ (-π[,]π))
2 fourierdlem101.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
32ffvelrnda 6549 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4 fourierdlem101.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 pire 24502 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
76renegcli 10596 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ
8 eliccre 40302 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ ℝ)
97, 6, 8mp3an12 1575 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → 𝑡 ∈ ℝ)
109adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ ℝ)
11 fourierdlem101.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1211adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 10712 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
14 fourierdlem101.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
1514dirkerre 40881 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
165, 13, 15syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
1716recnd 10322 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℂ)
183, 17mulcld 10314 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ℂ)
19 fourierdlem101.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
2019fvmpt2 6480 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ℂ) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
211, 18, 20syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
2221eqcomd 2771 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝐺𝑡))
2322itgeq2dv 23839 . 2 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑡) d𝑡)
24 fourierdlem101.p . . 3 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
25 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
2625oveq1d 6857 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗) − 𝑋) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
2726cbvmptv 4909 . . 3 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋))
28 fourierdlem101.6 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
29 fourierdlem101.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
3018, 19fmptd 6574 . . 3 (𝜑𝐺:(-π[,]π)⟶ℂ)
3119reseq1i 5561 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
32 ioossicc 12461 . . . . . . 7 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
337a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
3433rexrd 10343 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
3534adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
366a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℝ)
3736rexrd 10343 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
3837adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
3924, 28, 29fourierdlem15 40908 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
4039adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
41 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
4235, 38, 40, 41fourierdlem8 40901 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4332, 42syl5ss 3772 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4443resmptd 5629 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
4531, 44syl5eq 2811 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
462adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
4746, 43feqresmpt 6439 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑡)))
48 fourierdlem101.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
4947, 48eqeltrrd 2845 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
50 eqidd 2766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
51 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))
52 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)))
53 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑟 → (𝑡𝑋) = (𝑟𝑋))
5453adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑟) → (𝑡𝑋) = (𝑟𝑋))
55 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
56 elioore 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5756adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5811adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟𝑋) ∈ ℝ)
6059adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟𝑋) ∈ ℝ)
6152, 54, 55, 60fvmptd 6477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) = (𝑟𝑋))
6261adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) = (𝑟𝑋))
6351, 62eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → 𝑠 = (𝑟𝑋))
6463fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
65 elioore 12407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
6711adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
6866, 67resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
6968adantlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
70 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))
7169, 70fmptd 6574 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
7271ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) ∈ ℝ)
734ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7414dirkerre 40881 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑟𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) ∈ ℝ)
7573, 60, 74syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) ∈ ℝ)
7650, 64, 72, 75fvmptd 6477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
7776eqcomd 2771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)))
7877mpteq2dva 4903 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
7953fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑟 → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
8079cbvmptv 4909 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋))))
8214dirkerre 40881 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℝ)
834, 82sylan 575 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℝ)
84 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))
8583, 84fmptd 6574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ)
8685adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ)
87 fcompt 6591 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
8886, 71, 87syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
8978, 81, 883eqtr4d 2809 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))))
90 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋))
91 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
9211recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
9491, 93negsubd 10652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 + -𝑋) = (𝑡𝑋))
9594eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡𝑋) = (𝑡 + -𝑋))
9695mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)))
9792negcld 10633 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
98 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋))
9998addccncf 22998 . . . . . . . . . . 11 (-𝑋 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10097, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10196, 100eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
102101adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
103 ioossre 12437 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
104 ax-resscn 10246 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
105103, 104sstri 3770 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
106105a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
107104a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
10890, 102, 106, 107, 69cncfmptssg 40653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
10983recnd 10322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℂ)
110109, 84fmptd 6574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ)
111 ssid 3783 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
11214dirkerf 40883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
1134, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
114113feqmptd 6438 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
11514dirkercncf 40893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1164, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
117114, 116eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
118 cncffvrn 22980 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ))
119111, 117, 118sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ))
120110, 119mpbird 248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
121120adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
122108, 121cncfco 22989 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12389, 122eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12449, 123mulcncf 23504 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12545, 124eqeltrd 2844 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
126 cncff 22975 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
12748, 126syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
128113adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
129 elioore 12407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
130129adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
13111adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
132130, 131resubcld 10712 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠𝑋) ∈ ℝ)
133128, 132ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) ∈ ℝ)
134133recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) ∈ ℂ)
135 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))
136134, 135fmptd 6574 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
137136adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
138 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
139 fourierdlem101.r . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
140 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (𝑄𝑖) → (𝑡𝑋) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
141140fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑄𝑖) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)))
142141eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑄𝑖) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
143142adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
144 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
145 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
146145fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
147146adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
148 velsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ 𝑡 = (𝑄𝑖))
149148notbii 311 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖))
150 elunnel2 39782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ∧ ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151149, 150sylan2br 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152151adantll 705 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
153113ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
154 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 = (𝑄𝑖))
1559ssriv 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π[,]π) ⊆ ℝ
156 fzossfz 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
157156, 41sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
15840, 157ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
159155, 158sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
160159adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
161154, 160eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
162161adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
163152, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
164162, 163pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑡 ∈ ℝ)
16511ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑋 ∈ ℝ)
166164, 165resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
167153, 166ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
168167adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
169144, 147, 152, 168fvmptd 6477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
170143, 169ifeqda 4278 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
171170mpteq2dva 4903 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
172113adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
173 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
174 elun 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↔ (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
175173, 174sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
176175adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
177 elsni 4351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 = (𝑄𝑖))
178177adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 = (𝑄𝑖))
179159adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
180178, 179eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ)
181180ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ))
182181adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ))
183 pm3.44 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ))
184129, 182, 183sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ))
185176, 184mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑠 ∈ ℝ)
18611ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑋 ∈ ℝ)
187185, 186resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠𝑋) ∈ ℝ)
188 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))
189187, 188fmptd 6574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℝ)
190 fcompt 6591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℝ) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))))
191172, 189, 190syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))))
192 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)))
193145adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑠 = 𝑡) → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
194 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
195192, 193, 194, 166fvmptd 6477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡) = (𝑡𝑋))
196195fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
197196mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
198191, 197eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))))
199 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋))
200 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℂ)
20192adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
202200, 201negsubd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → (𝑠 + -𝑋) = (𝑠𝑋))
203202eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → (𝑠𝑋) = (𝑠 + -𝑋))
204203mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)))
205 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋))
206205addccncf 22998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-𝑋 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
20797, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
208204, 207eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
209208adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
210159recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
211210snssd 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄𝑖)} ⊆ ℂ)
212106, 211unssd 3951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ)
213199, 209, 212, 107, 187cncfmptssg 40653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℝ))
214114, 120eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
215214adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
216213, 215cncfco 22989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ))
217 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
218 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
219217cnfldtop 22866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
220 unicntop 22868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
221220restid 16362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
222219, 221ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
223222eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
224217, 218, 223cncfcn 22991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
225212, 111, 224sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
226216, 225eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
227198, 226eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
228217cnfldtopon 22865 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
229 resttopon 21245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})))
230228, 212, 229sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})))
231 cncnp 21364 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
232230, 228, 231sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
233227, 232mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
234233simprd 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
235 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖))
236 elsng 4348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖) ∈ ℝ → ((𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖)))
237159, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖)))
238235, 237mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)})
239238olcd 900 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)}))
240 elun 3915 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↔ ((𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)}))
241239, 240sylibr 225 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
242 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑄𝑖) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
243242eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑄𝑖) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖))))
244243rspccva 3460 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ∧ (𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
245234, 241, 244syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
246171, 245eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
247 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
248218, 217, 247, 137, 106, 210ellimc 23928 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄𝑖)) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖))))
249246, 248mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄𝑖)))
250127, 137, 138, 139, 249mullimcf 40425 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
251 fvres 6394 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = (𝐹𝑡))
252251adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = (𝐹𝑡))
253252oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
254253mpteq2dva 4903 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))))
255254oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
256250, 255eleqtrd 2846 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
257 eqidd 2766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
258 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → 𝑠 = 𝑡)
259258oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
260259fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
261 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
262113ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
263262, 69ffvelrnd 6550 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
264257, 260, 261, 263fvmptd 6477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
265264oveq2d 6858 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
266265mpteq2dva 4903 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
267266oveq1d 6857 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)))
268256, 267eleqtrd 2846 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)))
26945eqcomd 2771 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
270269oveq1d 6857 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
271268, 270eleqtrd 2846 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
272 fourierdlem101.l . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
273 iftrue 4249 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
274 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑡𝑋) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
275274eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) = (𝑡𝑋))
276275fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
277273, 276eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
278277adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
279 iffalse 4252 . . . . . . . . . . 11 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))
280279adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))
281 eqidd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
282146adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
283 elun 3915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↔ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
284283biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
285284orcomd 897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) → (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
286285ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
287 velsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
288287notbii 311 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
289288biimpri 219 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
290289adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
291 pm2.53 877 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
292286, 290, 291sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
293172ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
294292, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
29511ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
296294, 295resubcld 10712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
297293, 296ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
298281, 282, 292, 297fvmptd 6477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
299280, 298eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
300278, 299pm2.61dan 847 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
301300mpteq2dva 4903 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
302 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
303104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
304 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
30511adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
306304, 305resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
30790, 101, 303, 303, 306cncfmptssg 40653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
308307, 214cncfcompt 40666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
309308adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
310103a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
311 fzofzp1 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
312311adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31340, 312ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
314155, 313sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
315314snssd 4494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ⊆ ℝ)
316310, 315unssd 3951 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℝ)
317111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
318172adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
319316sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → 𝑡 ∈ ℝ)
32011ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → 𝑋 ∈ ℝ)
321319, 320resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
322318, 321ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
323322recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℂ)
324302, 309, 316, 317, 323cncfmptssg 40653 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ))
325155, 104sstri 3770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π[,]π) ⊆ ℂ
326325, 313sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
327326snssd 4494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ⊆ ℂ)
328106, 327unssd 3951 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ)
329 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
330217, 329, 223cncfcn 22991 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
331328, 111, 330sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
332324, 331eleqtrd 2846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
333 resttopon 21245 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})))
334228, 328, 333sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})))
335 cncnp 21364 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
336334, 228, 335sylancl 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
337332, 336mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
338337simprd 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
339 eqidd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
340 elsng 4348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
341314, 340syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
342339, 341mpbird 248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
343342olcd 900 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
344 elun 3915 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
345343, 344sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
346 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
347346eleq2d 2830 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
348347rspccva 3460 . . . . . . . 8 ((∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
349338, 345, 348syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
350301, 349eqeltrd 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
351 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
352329, 217, 351, 137, 106, 326ellimc 23928 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
353350, 352mpbird 248 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
354127, 137, 138, 272, 353mullimcf 40425 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
355266, 254, 453eqtr4d 2809 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
356355oveq1d 6857 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
357354, 356eleqtrd 2846 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
35824, 27, 28, 29, 11, 30, 125, 271, 357fourierdlem93 40985 . 2 (𝜑 → ∫(-π[,]π)(𝐺𝑡) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠)
35919a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
360 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹𝑡) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
361360oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
362361adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
363 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑡𝑋) = ((𝑋 + 𝑠) − 𝑋))
36492adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℂ)
36533, 11resubcld 10712 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
366365adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
36736, 11resubcld 10712 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
368367adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
369 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)))
370 eliccre 40302 . . . . . . . . . . 11 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
371366, 368, 369, 370syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
372371recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℂ)
373364, 372pncan2d 10648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝑋 + 𝑠) − 𝑋) = 𝑠)
374363, 373sylan9eqr 2821 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → (𝑡𝑋) = 𝑠)
375374fveq2d 6379 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘𝑠))
376375oveq2d 6858 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
377362, 376eqtrd 2799 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
3787a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ∈ ℝ)
3796a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℝ)
38011adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
381380, 371readdcld 10323 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
38233recnd 10322 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
38392, 382pncan3d 10649 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (-π − 𝑋)) = -π)
384383eqcomd 2771 . . . . . . 7 (𝜑 → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
385384adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
386 elicc2 12440 . . . . . . . . . 10 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋))))
387366, 368, 386syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋))))
388369, 387mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋)))
389388simp2d 1173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ≤ 𝑠)
390366, 371, 380, 389leadd2dd 10896 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (-π − 𝑋)) ≤ (𝑋 + 𝑠))
391385, 390eqbrtrd 4831 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ≤ (𝑋 + 𝑠))
392388simp3d 1174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ≤ (π − 𝑋))
393371, 368, 380, 392leadd2dd 10896 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ≤ (𝑋 + (π − 𝑋)))
394 picn 24503 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
395394a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℂ)
396364, 395pncan3d 10649 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (π − 𝑋)) = π)
397393, 396breqtrd 4835 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ≤ π)
398378, 379, 381, 391, 397eliccd 40300 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (-π[,]π))
3992adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
400399, 398ffvelrnd 6550 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
401371, 109syldan 585 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℂ)
402400, 401mulcld 10314 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ ℂ)
403359, 377, 398, 402fvmptd 6477 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
404403itgeq2dv 23839 . 2 (𝜑 → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
40523, 358, 4043eqtrd 2803 1 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  cun 3730  wss 3732  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cres 5279  ccom 5281  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  (,)cioo 12377  [,]cicc 12380  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673   mod cmo 12876  sincsin 15078  πcpi 15081  t crest 16349  TopOpenctopn 16350  fldccnfld 20019  Topctop 20977  TopOnctopon 20994   Cn ccn 21308   CnP ccnp 21309  cnccncf 22958  citg 23676   lim climc 23917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-symdif 4005  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-t1 21398  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679  df-ibl 23680  df-itg 23681  df-0p 23728  df-ditg 23902  df-limc 23921  df-dv 23922
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