Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem82 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem82 40922
Description: Integral by substitution, adding a constant to the function's argument, for a function on an open interval with finite limits ad boundary points. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem82.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
fourierdlem82.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem82.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem82.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem82.5 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem82.6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem82.7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem82.8 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
fourierdlem82.9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem82 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑥,𝐹   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem fourierdlem82
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem82.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem82.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem82.9 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem82.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
51, 2, 4ltled 10387 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 3, 5lesub1dd 10845 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋))
76ditgpos 23840 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
8 fourierdlem82.1 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
9 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
109adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
11 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
1211adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
1310, 12eqtr4d 2808 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
1413adantlr 686 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
15 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
16 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = 𝐿)
1715, 16sylan9eq 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝐿)
1817adantll 685 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝐿)
19 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
20 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
2119, 20sylan9eq 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
2221adantll 685 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
2318, 22eqtr4d 2808 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
24 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
2524adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
2615ad2antlr 698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
27 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2827adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2919ad2antlr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
301rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3130ad3antrrr 701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
322rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3332ad3antrrr 701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
341adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
352adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
36 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37 eliccre 40249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3938ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
401ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4138adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 elicc2 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4334, 35, 42syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4436, 43mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
4544simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
4645adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑥)
47 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐴𝑥𝐴)
4847adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
4940, 41, 46, 48leneltd 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
5049adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
5138adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
522ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5344simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5453adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
55 nesym 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐵)
5655biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐵𝐵𝑥)
5756adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
5851, 52, 54, 57leneltd 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
5958adantlr 686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
6031, 33, 39, 50, 59eliood 40241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
61 fvres 6348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6328, 29, 623eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
6425, 26, 633eqtr4d 2815 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6523, 64pm2.61dan 796 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6614, 65pm2.61dan 796 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6766mpteq2dva 4878 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
688, 67syl5eq 2817 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
6968adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
70 eqeq1 2775 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑋 + 𝑡) = 𝐴))
71 eqeq1 2775 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑡) = 𝐵))
72 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
7371, 72ifbieq2d 4250 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))))
7470, 73ifbieq2d 4250 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))))
751adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
76 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)))
771, 3resubcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
7877rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
7978adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
802, 3resubcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
8180rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
8281adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
83 elioo2 12421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋))))
8479, 82, 83syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋))))
8576, 84mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋)))
8685simp2d 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) < 𝑡)
873adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8885simp1d 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
8975, 87, 88ltsubadd2d 10827 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ((𝐴𝑋) < 𝑡𝐴 < (𝑋 + 𝑡)))
9086, 89mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 < (𝑋 + 𝑡))
9175, 90gtned 10374 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≠ 𝐴)
9291neneqd 2948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ¬ (𝑋 + 𝑡) = 𝐴)
9392iffalsed 4236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))))
9487, 88readdcld 10271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ ℝ)
9585simp3d 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 < (𝐵𝑋))
962adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9787, 88, 96ltaddsub2d 10830 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ((𝑋 + 𝑡) < 𝐵𝑡 < (𝐵𝑋)))
9895, 97mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) < 𝐵)
9994, 98ltned 10375 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≠ 𝐵)
10099neneqd 2948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ¬ (𝑋 + 𝑡) = 𝐵)
101100iffalsed 4236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10293, 101eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10374, 102sylan9eqr 2827 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 𝑡)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10475, 94, 90ltled 10387 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡))
10594, 96, 98ltled 10387 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵)
10675, 96, 94, 104, 105eliccd 40247 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ (𝐴[,]𝐵))
107 fourierdlem82.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
108 ffun 6188 . . . . . . . 8 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → Fun 𝐹)
109107, 108syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
110109adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → Fun 𝐹)
111 fdm 6191 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
112107, 111syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
113112eqcomd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
114113adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
115106, 114eleqtrd 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹)
116 fvelrn 6495 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
117110, 115, 116syl2anc 565 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
11869, 103, 106, 117fvmptd 6430 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
119118itgeq2dv 23768 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
120 frn 6193 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
121107, 120syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
122121adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
123109adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → Fun 𝐹)
1241adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1252adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐵 ∈ ℝ)
1263adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
12777adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
12880adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
129 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
130 eliccre 40249 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
131127, 128, 129, 130syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
132126, 131readdcld 10271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ ℝ)
133 elicc2 12443 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋))))
134127, 128, 133syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋))))
135129, 134mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋)))
136135simp2d 1137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ≤ 𝑡)
137124, 126, 131lesubadd2d 10828 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡)))
138136, 137mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡))
139135simp3d 1138 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ≤ (𝐵𝑋))
140126, 131, 125leaddsub2d 10831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵𝑡 ≤ (𝐵𝑋)))
141139, 140mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵)
142124, 125, 132, 138, 141eliccd 40247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ (𝐴[,]𝐵))
143113adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
144142, 143eleqtrd 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹)
145123, 144, 116syl2anc 565 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
146122, 145sseldd 3753 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ℂ)
14777, 80, 146itgioo 23802 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
1487, 119, 1473eqtrrd 2810 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
149 nfv 1995 . . . 4 𝑥𝜑
150 fourierdlem82.6 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
151 fourierdlem82.7 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1521, 2, 4, 107limcicciooub 40387 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
153151, 152eleqtrrd 2853 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
154 fourierdlem82.8 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
1551, 2, 4, 107limciccioolb 40371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
156154, 155eleqtrrd 2853 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))
157149, 8, 1, 2, 150, 153, 156cncfiooicc 40625 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1581, 2, 5, 3, 157itgsbtaddcnst 40715 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠)
1595ditgpos 23840 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠)
160 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑡))
161160cbvitgv 23763 . . . 4 ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑡) d𝑡
1628a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))))
1631ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 ∈ ℝ)
164 simplr 744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
16530ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16632ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐵 ∈ ℝ*)
167 elioo2 12421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵)))
168165, 166, 167syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵)))
169164, 168mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵))
170169simp2d 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 < 𝑡)
171 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 = 𝑡)
172170, 171breqtrrd 4814 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 < 𝑥)
173163, 172gtned 10374 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥𝐴)
174173neneqd 2948 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
175174iffalsed 4236 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
176169simp1d 1136 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 ∈ ℝ)
177171, 176eqeltrd 2850 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 ∈ ℝ)
178169simp3d 1138 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 < 𝐵)
179171, 178eqbrtrd 4808 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 < 𝐵)
180177, 179ltned 10375 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥𝐵)
181180neneqd 2948 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
182181iffalsed 4236 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
183171, 164eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184183, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
185 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
186185adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
187184, 186eqtrd 2805 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑡))
188175, 182, 1873eqtrd 2809 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = (𝐹𝑡))
189 ioossicc 12464 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
190 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
191189, 190sseldi 3750 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
192109adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → Fun 𝐹)
193113adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
194191, 193eleqtrd 2852 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ dom 𝐹)
195 fvelrn 6495 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑡 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
196192, 194, 195syl2anc 565 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
197162, 188, 191, 196fvmptd 6430 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑡) = (𝐹𝑡))
198197itgeq2dv 23768 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
199161, 198syl5eq 2817 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
200107ffvelrnda 6502 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
2011, 2, 200itgioo 23802 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
202159, 199, 2013eqtrd 2809 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
203148, 158, 2023eqtrrd 2810 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wss 3723  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  Fun wfun 6025  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137   + caddc 10141  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  cnccncf 22899  citg 23606  cdit 23830   lim climc 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-ditg 23831  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  fourierdlem93  40933
  Copyright terms: Public domain W3C validator