Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem82 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem82 45499
Description: Integral by substitution, adding a constant to the function's argument, for a function on an open interval with finite limits ad boundary points. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem82.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
fourierdlem82.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem82.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem82.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
fourierdlem82.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
fourierdlem82.6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
fourierdlem82.7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
fourierdlem82.8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
fourierdlem82.9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem82 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑)
Distinct variable groups:   𝑑,𝐴,π‘₯   𝑑,𝐡,π‘₯   π‘₯,𝐹   𝑑,𝐺   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   𝑑,𝑋,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑑)   𝐹(𝑑)   𝐺(π‘₯)   𝐿(𝑑)

Proof of Theorem fourierdlem82
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem82.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem82.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 fourierdlem82.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem82.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
51, 2, 4ltled 11384 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
61, 2, 3, 5lesub1dd 11852 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))
76ditgpos 25772 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΊβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑 = ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑)
8 fourierdlem82.1 . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
9 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
109adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
11 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
1310, 12eqtr4d 2770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
1413adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
15 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
16 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
1715, 16sylan9eq 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = 𝐿)
1817adantll 713 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = 𝐿)
19 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
20 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
2119, 20sylan9eq 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
2221adantll 713 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
2318, 22eqtr4d 2770 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
24 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
2615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
27 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
2919ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
301rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3130ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
322rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
3332ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
341adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
37 eliccre 44813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
401ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
42 elicc2 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4334, 35, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4436, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
4544simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
47 neqne 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
4940, 41, 46, 48leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 < π‘₯)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
5138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
522ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5344simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
55 nesym 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐡 β‰  π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
5655biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
5851, 52, 54, 57leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
5958adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
6031, 33, 39, 50, 59eliood 44806 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
61 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
6328, 29, 623eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
6425, 26, 633eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
6523, 64pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
6614, 65pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
6766mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
688, 67eqtrid 2779 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
6968adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
70 eqeq1 2731 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑑) β†’ (π‘₯ = 𝐴 ↔ (𝑋 + 𝑑) = 𝐴))
71 eqeq1 2731 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑑) β†’ (π‘₯ = 𝐡 ↔ (𝑋 + 𝑑) = 𝐡))
72 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑑) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)))
7371, 72ifbieq2d 4550 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑑) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if((𝑋 + 𝑑) = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑))))
7470, 73ifbieq2d 4550 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑑) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if((𝑋 + 𝑑) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑑) = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)))))
751adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
76 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋)))
771, 3resubcld 11664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
7877rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ*)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ*)
802, 3resubcld 11664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
8180rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ*)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ*)
83 elioo2 13389 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ*) β†’ (𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) < 𝑑 ∧ 𝑑 < (𝐡 βˆ’ 𝑋))))
8479, 82, 83syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) < 𝑑 ∧ 𝑑 < (𝐡 βˆ’ 𝑋))))
8576, 84mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) < 𝑑 ∧ 𝑑 < (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
8685simp2d 1141 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) < 𝑑)
873adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
8885simp1d 1140 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
8975, 87, 88ltsubadd2d 11834 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋) < 𝑑 ↔ 𝐴 < (𝑋 + 𝑑)))
9086, 89mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 < (𝑋 + 𝑑))
9175, 90gtned 11371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) β‰  𝐴)
9291neneqd 2940 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ Β¬ (𝑋 + 𝑑) = 𝐴)
9392iffalsed 4535 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ if((𝑋 + 𝑑) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑑) = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)))) = if((𝑋 + 𝑑) = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑))))
9487, 88readdcld 11265 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) ∈ ℝ)
9585simp3d 1142 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑑 < (𝐡 βˆ’ 𝑋))
962adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9787, 88, 96ltaddsub2d 11837 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝑋 + 𝑑) < 𝐡 ↔ 𝑑 < (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
9895, 97mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) < 𝐡)
9994, 98ltned 11372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) β‰  𝐡)
10099neneqd 2940 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ Β¬ (𝑋 + 𝑑) = 𝐡)
101100iffalsed 4535 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ if((𝑋 + 𝑑) = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑))) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)))
10293, 101eqtrd 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ if((𝑋 + 𝑑) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑑) = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)))) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)))
10374, 102sylan9eqr 2789 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘₯ = (𝑋 + 𝑑)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)))
10475, 94, 90ltled 11384 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ≀ (𝑋 + 𝑑))
10594, 96, 98ltled 11384 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) ≀ 𝐡)
10675, 96, 94, 104, 105eliccd 44812 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) ∈ (𝐴[,]𝐡))
107 fourierdlem82.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
108107ffund 6720 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
109108adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ Fun 𝐹)
110107fdmd 6727 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐡))
111110eqcomd 2733 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = dom 𝐹)
112111adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴[,]𝐡) = dom 𝐹)
113106, 112eleqtrd 2830 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) ∈ dom 𝐹)
114 fvelrn 7080 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑋 + 𝑑) ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) ∈ ran 𝐹)
115109, 113, 114syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) ∈ ran 𝐹)
11669, 103, 106, 115fvmptd 7006 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 + 𝑑)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)))
117116itgeq2dv 25698 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑 = ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑)
118107frnd 6724 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
119118adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
120108adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ Fun 𝐹)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1222adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1233adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
12477adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
12580adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
126 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
127 eliccre 44813 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
128124, 125, 126, 127syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
129123, 128readdcld 11265 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) ∈ ℝ)
130 elicc2 13413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))))
131124, 125, 130syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))))
132126, 131mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
133132simp2d 1141 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑑)
134121, 123, 128lesubadd2d 11835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑑 ↔ 𝐴 ≀ (𝑋 + 𝑑)))
135133, 134mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ≀ (𝑋 + 𝑑))
136132simp3d 1142 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑑 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))
137123, 128, 122leaddsub2d 11838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝑋 + 𝑑) ≀ 𝐡 ↔ 𝑑 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
138136, 137mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) ≀ 𝐡)
139121, 122, 129, 135, 138eliccd 44812 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) ∈ (𝐴[,]𝐡))
140111adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴[,]𝐡) = dom 𝐹)
141139, 140eleqtrd 2830 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑑) ∈ dom 𝐹)
142120, 141, 114syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) ∈ ran 𝐹)
143119, 142sseldd 3979 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) ∈ β„‚)
14477, 80, 143itgioo 25732 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)(𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑 = ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑)
1457, 117, 1443eqtrrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑 = ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΊβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑)
146 nfv 1910 . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
147 fourierdlem82.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
148 fourierdlem82.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1491, 2, 4, 107limcicciooub 44948 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
150148, 149eleqtrrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
151 fourierdlem82.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
1521, 2, 4, 107limciccioolb 44932 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴) = (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
153151, 152eleqtrrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴))
154146, 8, 1, 2, 147, 150, 153cncfiooicc 45205 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
1551, 2, 5, 3, 154itgsbtaddcnst 45293 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΊβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
1565ditgpos 25772 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
157 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑠 = 𝑑 β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘‘))
158157cbvitgv 25693 . . . 4 ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘‘) d𝑑
1598a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))))
1601ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
161 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡))
16230ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
16332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
164 elioo2 13389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝐡)))
165162, 163, 164syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝐡)))
166161, 165mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝐡))
167166simp2d 1141 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ 𝐴 < 𝑑)
168 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ π‘₯ = 𝑑)
169167, 168breqtrrd 5170 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ 𝐴 < π‘₯)
170160, 169gtned 11371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
171170neneqd 2940 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
172171iffalsed 4535 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
173166simp1d 1140 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
174168, 173eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
175166simp3d 1142 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ 𝑑 < 𝐡)
176168, 175eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ π‘₯ < 𝐡)
177174, 176ltned 11372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
178177neneqd 2940 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
179178iffalsed 4535 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
180168, 161eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
181180, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
182 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‘))
183182adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‘))
184181, 183eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‘))
185172, 179, 1843eqtrd 2771 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑑) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘‘))
186 ioossicc 13434 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
187 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡))
188186, 187sselid 3976 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
189108adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Fun 𝐹)
190111adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) = dom 𝐹)
191188, 190eleqtrd 2830 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ dom 𝐹)
192 fvelrn 7080 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ran 𝐹)
193189, 191, 192syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ran 𝐹)
194159, 185, 188, 193fvmptd 7006 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘‘))
195194itgeq2dv 25698 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
196158, 195eqtrid 2779 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
197107ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
1981, 2, 197itgioo 25732 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
199156, 196, 1983eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
200145, 155, 1993eqtrrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) d𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129   + caddc 11133  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  (,)cioo 13348  [,]cicc 13351  β€“cnβ†’ccncf 24783  βˆ«citg 25534  β¨œcdit 25762   limβ„‚ climc 25778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586  df-ditg 25763  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  fourierdlem93  45510
  Copyright terms: Public domain W3C validator