Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem82 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem82 44419
Description: Integral by substitution, adding a constant to the function's argument, for a function on an open interval with finite limits ad boundary points. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem82.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
fourierdlem82.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem82.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem82.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem82.5 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem82.6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem82.7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem82.8 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
fourierdlem82.9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem82 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑥,𝐹   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem fourierdlem82
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem82.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem82.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem82.9 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem82.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
51, 2, 4ltled 11303 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 3, 5lesub1dd 11771 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋))
76ditgpos 25220 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
8 fourierdlem82.1 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
9 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
109adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
11 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
1310, 12eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
1413adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
15 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
16 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = 𝐿)
1715, 16sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝐿)
1817adantll 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝐿)
19 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
20 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
2119, 20sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
2221adantll 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
2318, 22eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
24 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
2615ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
27 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2919ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
301rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3130ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
322rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3332ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
341adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37 eliccre 43733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
401ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4138adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4334, 35, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4436, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
4544simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑥)
47 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐴𝑥𝐴)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
4940, 41, 46, 48leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
5138adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
522ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5344simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
55 nesym 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐵)
5655biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐵𝐵𝑥)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
5851, 52, 54, 57leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
5958adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
6031, 33, 39, 50, 59eliood 43726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
61 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6328, 29, 623eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
6425, 26, 633eqtr4d 2786 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6523, 64pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6614, 65pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6766mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
688, 67eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
6968adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
70 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑋 + 𝑡) = 𝐴))
71 eqeq1 2740 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑡) = 𝐵))
72 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
7371, 72ifbieq2d 4512 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))))
7470, 73ifbieq2d 4512 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))))
751adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
76 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)))
771, 3resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
7877rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
802, 3resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
8180rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
83 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋))))
8479, 82, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋))))
8576, 84mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋)))
8685simp2d 1143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) < 𝑡)
873adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8885simp1d 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
8975, 87, 88ltsubadd2d 11753 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ((𝐴𝑋) < 𝑡𝐴 < (𝑋 + 𝑡)))
9086, 89mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 < (𝑋 + 𝑡))
9175, 90gtned 11290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≠ 𝐴)
9291neneqd 2948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ¬ (𝑋 + 𝑡) = 𝐴)
9392iffalsed 4497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))))
9487, 88readdcld 11184 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ ℝ)
9585simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 < (𝐵𝑋))
962adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9787, 88, 96ltaddsub2d 11756 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ((𝑋 + 𝑡) < 𝐵𝑡 < (𝐵𝑋)))
9895, 97mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) < 𝐵)
9994, 98ltned 11291 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≠ 𝐵)
10099neneqd 2948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ¬ (𝑋 + 𝑡) = 𝐵)
101100iffalsed 4497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10293, 101eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10374, 102sylan9eqr 2798 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 𝑡)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10475, 94, 90ltled 11303 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡))
10594, 96, 98ltled 11303 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵)
10675, 96, 94, 104, 105eliccd 43732 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ (𝐴[,]𝐵))
107 fourierdlem82.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
108107ffund 6672 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
109108adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → Fun 𝐹)
110107fdmd 6679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
111110eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
112111adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
113106, 112eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹)
114 fvelrn 7027 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
115109, 113, 114syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
11669, 103, 106, 115fvmptd 6955 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
117116itgeq2dv 25146 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
118107frnd 6676 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
119118adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
120108adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → Fun 𝐹)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1222adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐵 ∈ ℝ)
1233adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
12477adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
12580adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
126 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
127 eliccre 43733 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
128124, 125, 126, 127syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
129123, 128readdcld 11184 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ ℝ)
130 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋))))
131124, 125, 130syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋))))
132126, 131mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋)))
133132simp2d 1143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ≤ 𝑡)
134121, 123, 128lesubadd2d 11754 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡)))
135133, 134mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡))
136132simp3d 1144 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ≤ (𝐵𝑋))
137123, 128, 122leaddsub2d 11757 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵𝑡 ≤ (𝐵𝑋)))
138136, 137mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵)
139121, 122, 129, 135, 138eliccd 43732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ (𝐴[,]𝐵))
140111adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
141139, 140eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹)
142120, 141, 114syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
143119, 142sseldd 3945 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ℂ)
14477, 80, 143itgioo 25180 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
1457, 117, 1443eqtrrd 2781 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
146 nfv 1917 . . . 4 𝑥𝜑
147 fourierdlem82.6 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
148 fourierdlem82.7 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1491, 2, 4, 107limcicciooub 43868 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
150148, 149eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
151 fourierdlem82.8 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
1521, 2, 4, 107limciccioolb 43852 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
153151, 152eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))
154146, 8, 1, 2, 147, 150, 153cncfiooicc 44125 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1551, 2, 5, 3, 154itgsbtaddcnst 44213 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠)
1565ditgpos 25220 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠)
157 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑡))
158157cbvitgv 25141 . . . 4 ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑡) d𝑡
1598a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))))
1601ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 ∈ ℝ)
161 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
16230ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16332ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐵 ∈ ℝ*)
164 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵)))
165162, 163, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵)))
166161, 165mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵))
167166simp2d 1143 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 < 𝑡)
168 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 = 𝑡)
169167, 168breqtrrd 5133 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 < 𝑥)
170160, 169gtned 11290 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥𝐴)
171170neneqd 2948 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
172171iffalsed 4497 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
173166simp1d 1142 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 ∈ ℝ)
174168, 173eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 ∈ ℝ)
175166simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 < 𝐵)
176168, 175eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 < 𝐵)
177174, 176ltned 11291 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥𝐵)
178177neneqd 2948 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
179178iffalsed 4497 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
180168, 161eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
181180, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
182 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
183182adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
184181, 183eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑡))
185172, 179, 1843eqtrd 2780 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = (𝐹𝑡))
186 ioossicc 13350 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
187 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
188186, 187sselid 3942 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
189108adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → Fun 𝐹)
190111adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
191188, 190eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ dom 𝐹)
192 fvelrn 7027 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑡 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
193189, 191, 192syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
194159, 185, 188, 193fvmptd 6955 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑡) = (𝐹𝑡))
195194itgeq2dv 25146 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
196158, 195eqtrid 2788 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
197107ffvelcdmda 7035 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
1981, 2, 197itgioo 25180 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
199156, 196, 1983eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
200145, 155, 1993eqtrrd 2781 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cnccncf 24239  citg 24982  cdit 25210   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-ditg 25211  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  fourierdlem93  44430
  Copyright terms: Public domain W3C validator