Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccshift 45531
Description: A closed interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshift.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iccshift.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iccshift.3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iccshift (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧   𝑤,𝑇,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem iccshift
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
21rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
32elrab 3692 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
5 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑧𝜑
6 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑥 ∈ ℂ
7 nfre1 3285 . . . . . . . . 9 𝑧𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
86, 7nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
95, 8nfan 1899 . . . . . . 7 𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
10 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))
11 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
12 iccshift.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 iccshift.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1412, 13iccssred 13474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1514sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
16 iccshift.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
1912adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
2420, 23mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
2524simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑧)
2619, 15, 17, 25leadd1dd 11877 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇))
2724simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝐵)
2815, 21, 17, 27leadd1dd 11877 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
2918, 26, 283jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇)))
30293adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇)))
3112, 16readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
32313ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
3313, 16readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
35 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))))
3632, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))))
3730, 36mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
3811, 37eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
39383exp 1120 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))))
4039adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))))
419, 10, 40rexlimd 3266 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
424, 41mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
433, 42sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
4431adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
4533adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
46 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
47 eliccre 45518 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4844, 45, 46, 47syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948recnd 11289 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
5012adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5113adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5216adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
5348, 52resubcld 11691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
5412recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5516recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5654, 55pncand 11621 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
5756eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
5857adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
59 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
6044, 45, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
6146, 60mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇)))
6261simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥)
6344, 48, 52, 62lesub1dd 11879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
6458, 63eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ≤ (𝑥𝑇))
6561simp3d 1145 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))
6648, 45, 52, 65lesub1dd 11879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
6713recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
6867, 55pncand 11621 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
6968adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
7066, 69breqtrd 5169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ 𝐵)
7150, 51, 53, 64, 70eliccd 45517 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7255adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
7349, 72npcand 11624 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
7473eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
75 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
7675rspceeqv 3645 . . . . . 6 (((𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
7771, 74, 76syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
7849, 77, 3sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
7943, 78impbida 801 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
8079eqrdv 2735 . 2 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
8180eqcomd 2743 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  {crab 3436   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158  cle 11296  cmin 11492  [,]cicc 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-icc 13394
This theorem is referenced by:  itgiccshift  45995  itgperiod  45996
  Copyright terms: Public domain W3C validator