Theorem iccshift 46042

Description: A closed interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshift.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccshift.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iccshift.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccshift	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧   𝑤,𝑇,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem iccshift

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
2	1	rexbidv 3180	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
3	2	elrab 3645	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4		simprr 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
5		nfv 1928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
6		nfv 1928	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ∈ ℂ
7		nfre1 3281	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
8	6, 7	nfan 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
9	5, 8	nfan 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
10		nfv 1928	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))
11		simp3 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
12		iccshift.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		iccshift.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
14	12, 13	iccssred 13428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	14	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
16		iccshift.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
17	16	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
18	15, 17	readdcld 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
19	12	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
21	13	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		elicc2 13405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
23	19, 21, 22	syl2anc 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
24	20, 23	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵))
25	24	simp2d 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑧)
26	19, 15, 17, 25	leadd1dd 11791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇))
27	24	simp3d 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
28	15, 21, 17, 27	leadd1dd 11791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
29	18, 26, 28	3jca 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇)))
30	29	3adant3 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇)))
31	12, 16	readdcld 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
32	31	3ad2ant1 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
33	13, 16	readdcld 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
35		elicc2 13405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))))
36	32, 34, 35	syl2anc 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))))
37	30, 36	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
38	11, 37	eqeltrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
39	38	3exp 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))))
40	39	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))))
41	9, 10, 40	rexlimd 3263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
42	4, 41	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
43	3, 42	sylan2b 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
44	31	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
45	33	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
46		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
47		eliccre 46029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48	recnd 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	12	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ)
51	13	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ)
52	16	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53	48, 52	resubcld 11605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ∈ ℝ)
54	12	recnd 11200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
55	16	recnd 11200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
56	54, 55	pncand 11533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
57	56	eqcomd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
58	57	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
59		elicc2 13405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
60	44, 45, 59	syl2anc 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
61	46, 60	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇)))
62	61	simp2d 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥)
63	44, 48, 52, 62	lesub1dd 11793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥 − 𝑇))
64	58, 63	eqbrtrd 5116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ≤ (𝑥 − 𝑇))
65	61	simp3d 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))
66	48, 45, 52, 65	lesub1dd 11793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ≤ ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
67	13	recnd 11200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
68	67, 55	pncand 11533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
69	68	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
70	66, 69	breqtrd 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ≤ 𝐵)
71	50, 51, 53, 64, 70	eliccd 46028	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
72	55	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
73	49, 72	npcand 11536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
74	73	eqcomd 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
75		oveq1 7392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
76	75	rspceeqv 3599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
77	71, 74, 76	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
78	49, 77, 3	sylanbrc 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
79	43, 78	impbida 808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
80	79	eqrdv 2754	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
81	80	eqcomd 2762	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∃wrex 3080  {crab 3408   class class class wbr 5094  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062   + caddc 11066   ≤ cle 11207   − cmin 11404  [,]cicc 13342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-icc 13346

This theorem is referenced by:  itgiccshift  46502  itgperiod  46503