Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem84 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem84 44521
Description: If 𝐹 is piecewise coninuous and 𝐷 is continuous, then 𝐺 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem84.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem84.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem84.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem84.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem84.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (𝐡 + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem84.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem84.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem84.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem84.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem84.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem84.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
fourierdlem84.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem84 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,π‘š,𝑝   𝐴,𝑠,𝑖   𝐡,𝑖,π‘š,𝑝   𝐡,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑠   π‘š,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑠   𝑄,𝑝   𝑅,𝑠   𝑖,𝑉,𝑠   𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑠   π‘š,𝑋,𝑝   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐷(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐹(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐺(π‘š,𝑠,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑂(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑉(π‘š)

Proof of Theorem fourierdlem84
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem84.o . 2 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem84.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 fourierdlem84.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem84.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 fourierdlem84.xre . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem84.p . . 3 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (𝐡 + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
7 fourierdlem84.v . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
8 fourierdlem84.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
93, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8fourierdlem14 44452 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
10 fourierdlem84.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
125adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
133adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
144adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
15 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
16 eliccre 43833 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1812, 17readdcld 11192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1911, 18ffvelcdmd 7040 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
20 fourierdlem84.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
21 cncff 24279 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ) β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
2322adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
2423, 17ffvelcdmd 7040 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
2519, 24remulcld 11193 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
2625recnd 11191 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
27 fourierdlem84.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )))
2826, 27fmptd 7066 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2927a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))))
3029reseq1d 5940 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
31 ioossicc 13359 . . . . . 6 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
323rexrd 11213 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3332adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
344rexrd 11213 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
3534adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
361, 2, 9fourierdlem15 44453 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
3736adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
38 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
3933, 35, 37, 38fourierdlem8 44446 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4031, 39sstrid 3959 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4140resmptd 5998 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))))
4230, 41eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))))
433, 5readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
444, 5readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ)
4543, 44iccssred 13360 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)) βŠ† ℝ)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)) βŠ† ℝ)
476, 2, 7fourierdlem15 44453 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
49 elfzofz 13597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5148, 50ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
5246, 51sseldd 3949 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
5352rexrd 11213 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
5453adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
55 fzofzp1 13678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5748, 56ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
5846, 57sseldd 3949 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
5958rexrd 11213 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
615ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
62 elioore 13303 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6362adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6461, 63readdcld 11192 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
655recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
6665adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
673, 4iccssred 13360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
6937, 50ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (𝐴[,]𝐡))
7068, 69sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7170recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
7266, 71addcomd 11365 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋))
735adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
7452, 73resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
758fvmpt2 6963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
7650, 74, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
7776oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
7852recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
7978, 66npcand 11524 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
8072, 77, 793eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)))
8180adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)))
8270adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
8370rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
8483adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
8537, 68fssd 6690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
8685, 56ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
8786rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
8887adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
89 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
90 ioogtlb 43823 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
9184, 88, 89, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
9282, 63, 61, 91ltadd2dd 11322 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)) < (𝑋 + 𝑠))
9381, 92eqbrtrd 5131 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < (𝑋 + 𝑠))
9486adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
95 iooltub 43838 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
9684, 88, 89, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
9763, 94, 61, 96ltadd2dd 11322 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
98 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜π‘—))
9998oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
10099cbvmptv 5222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
1018, 100eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)))
103 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
104103oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
105104adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
10658, 73resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
107102, 105, 56, 106fvmptd 6959 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
108107oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)))
10958recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
11066, 109pncan3d 11523 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
111108, 110eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
112111adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
11397, 112breqtrd 5135 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
11454, 60, 64, 93, 113eliood 43826 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
115 fvres 6865 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
117116eqcomd 2739 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
118117mpteq2dva 5209 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
119 ioosscn 13335 . . . . . . 7 ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
120119a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
121 fourierdlem84.fcn . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
122 ioosscn 13335 . . . . . . 7 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
123122a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
124120, 121, 123, 66, 114fourierdlem23 44461 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
125118, 124eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
126 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ ))
127 ax-resscn 11116 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
128 ssid 3970 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
129 cncfss 24285 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ–cn→ℝ) βŠ† (ℝ–cnβ†’β„‚))
130127, 128, 129mp2an 691 . . . . . . 7 (ℝ–cn→ℝ) βŠ† (ℝ–cnβ†’β„‚)
13122feqmptd 6914 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )))
132131eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) = 𝐷)
133132, 20eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
134130, 133sselid 3946 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
135134adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
13640, 68sstrd 3958 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
137128a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
13822adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
13962adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
140138, 139ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
141140recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
142141adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
143126, 135, 136, 137, 142cncfmptssg 44202 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
144125, 143mulcncf 24833 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
14542, 144eqeltrd 2834 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
146 eqid 2733 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
147 eqid 2733 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ ))
148 eqid 2733 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )))
14910adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1505adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
151150, 139readdcld 11192 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
152149, 151ffvelcdmd 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
153152recnd 11191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
154153adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
15510adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
156 ioossre 13334 . . . . . 6 ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
157156a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
15882, 91gtned 11298 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  (π‘„β€˜π‘–))
159 fourierdlem84.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
16080oveq2d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–))))
161159, 160eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–))))
162155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71fourierdlem53 44490 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
163 limcresi 25272 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–))
164130, 20sselid 3946 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
165164adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
166165, 70cnlimci 25276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
167131oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
168167adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
169166, 168eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
170163, 169sselid 3946 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
171136resmptd 5998 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )))
172171oveq1d 7376 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
173170, 172eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
174146, 147, 148, 154, 142, 162, 173mullimc 43947 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
17527reseq1i 5937 . . . . 5 (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
176175, 41eqtr2id 2786 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
177176oveq1d 7376 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
178174, 177eleqtrd 2836 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
17963, 96ltned 11299 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
180 fourierdlem84.l . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
181111eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
182181oveq2d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
183180, 182eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
18486recnd 11191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
185155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184fourierdlem53 44490 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
186 limcresi 25272 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
187165, 86cnlimci 25276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
188131oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
189188adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
190187, 189eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
191186, 190sselid 3946 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
192171oveq1d 7376 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
193191, 192eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
194146, 147, 148, 154, 142, 185, 193mullimc 43947 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐿 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
195176oveq1d 7376 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
196194, 195eleqtrd 2836 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐿 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
1971, 2, 9, 28, 145, 178, 196fourierdlem69 44506 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  β€“cnβ†’ccncf 24262  πΏ1cibl 25004   limβ„‚ climc 25249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057  df-limc 25253
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  44540  fourierdlem104  44541  fourierdlem112  44549
  Copyright terms: Public domain W3C validator