Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem84 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem84 43731
Description: If 𝐹 is piecewise coninuous and 𝐷 is continuous, then 𝐺 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem84.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem84.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem84.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem84.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem84.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem84.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem84.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem84.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem84.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem84.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem84.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.d (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
fourierdlem84.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem84 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝐴,𝑠,𝑖   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑠   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑠   𝑄,𝑝   𝑅,𝑠   𝑖,𝑉,𝑠   𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑠   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑠,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem84
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem84.o . 2 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem84.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem84.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem84.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 fourierdlem84.xre . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem84.p . . 3 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
7 fourierdlem84.v . . 3 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
8 fourierdlem84.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
93, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8fourierdlem14 43662 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑂𝑀))
10 fourierdlem84.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
125adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
133adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
144adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16 eliccre 43043 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1812, 17readdcld 11004 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1911, 18ffvelrnd 6962 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
20 fourierdlem84.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
21 cncff 24056 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷:ℝ⟶ℝ)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
2423, 17ffvelrnd 6962 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐷𝑠) ∈ ℝ)
2519, 24remulcld 11005 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)) ∈ ℝ)
2625recnd 11003 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)) ∈ ℂ)
27 fourierdlem84.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
2826, 27fmptd 6988 . 2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2927a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
3029reseq1d 5890 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
31 ioossicc 13165 . . . . . 6 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
323rexrd 11025 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3332adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
344rexrd 11025 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
361, 2, 9fourierdlem15 43663 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
3736adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
38 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
3933, 35, 37, 38fourierdlem8 43656 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4031, 39sstrid 3932 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4140resmptd 5948 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
4230, 41eqtrd 2778 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
433, 5readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
444, 5readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
4543, 44iccssred 13166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
476, 2, 7fourierdlem15 43663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
49 elfzofz 13403 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5148, 50ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
5246, 51sseldd 3922 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
5352rexrd 11025 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
5453adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
55 fzofzp1 13484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5748, 56ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
5846, 57sseldd 3922 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
5958rexrd 11025 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
615ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
62 elioore 13109 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
6362adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
6461, 63readdcld 11004 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
655recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
673, 4iccssred 13166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6937, 50ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7068, 69sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
7170recnd 11003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
7266, 71addcomd 11177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄𝑖)) = ((𝑄𝑖) + 𝑋))
735adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
7452, 73resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
758fvmpt2 6886 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
7650, 74, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
7776oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
7852recnd 11003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
7978, 66npcand 11336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
8072, 77, 793eqtrrd 2783 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) = (𝑋 + (𝑄𝑖)))
8180adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) = (𝑋 + (𝑄𝑖)))
8270adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
8370rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8537, 68fssd 6618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
8685, 56ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
8786rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
89 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
90 ioogtlb 43033 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
9184, 88, 89, 90syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
9282, 63, 61, 91ltadd2dd 11134 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑄𝑖)) < (𝑋 + 𝑠))
9381, 92eqbrtrd 5096 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) < (𝑋 + 𝑠))
9486adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
95 iooltub 43048 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9684, 88, 89, 95syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9763, 94, 61, 96ltadd2dd 11134 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
98 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑗))
9998oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉𝑗) − 𝑋))
10099cbvmptv 5187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
1018, 100eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
103 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
104103oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
10658, 73resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
107102, 105, 56, 106fvmptd 6882 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
108107oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
10958recnd 11003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
11066, 109pncan3d 11335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
111108, 110eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
112111adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
11397, 112breqtrd 5100 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
11454, 60, 64, 93, 113eliood 43036 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
115 fvres 6793 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
117116eqcomd 2744 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)))
118117mpteq2dva 5174 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠))))
119 ioosscn 13141 . . . . . . 7 ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
121 fourierdlem84.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
122 ioosscn 13141 . . . . . . 7 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
123122a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
124120, 121, 123, 66, 114fourierdlem23 43671 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
125118, 124eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
126 eqid 2738 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠))
127 ax-resscn 10928 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
128 ssid 3943 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
129 cncfss 24062 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
130127, 128, 129mp2an 689 . . . . . . 7 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
13122feqmptd 6837 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)))
132131eqcomd 2744 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) = 𝐷)
133132, 20eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
134130, 133sselid 3919 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
135134adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
13640, 68sstrd 3931 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
137128a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
13822adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
13962adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
140138, 139ffvelrnd 6962 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℝ)
141140recnd 11003 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℂ)
142141adantlr 712 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℂ)
143126, 135, 136, 137, 142cncfmptssg 43412 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
144125, 143mulcncf 24610 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
14542, 144eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
146 eqid 2738 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
147 eqid 2738 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠))
148 eqid 2738 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
14910adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1505adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
151150, 139readdcld 11004 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
152149, 151ffvelrnd 6962 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
153152recnd 11003 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
154153adantlr 712 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
15510adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
156 ioossre 13140 . . . . . 6 ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
157156a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
15882, 91gtned 11110 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ (𝑄𝑖))
159 fourierdlem84.r . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
16080oveq2d 7291 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄𝑖))))
161159, 160eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄𝑖))))
162155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71fourierdlem53 43700 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
163 limcresi 25049 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)) ⊆ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))
164130, 20sselid 3919 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
165164adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
166165, 70cnlimci 25053 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ (𝐷 lim (𝑄𝑖)))
167131oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
168167adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
169166, 168eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
170163, 169sselid 3919 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
171136resmptd 5948 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)))
172171oveq1d 7290 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
173170, 172eleqtrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
174146, 147, 148, 154, 142, 162, 173mullimc 43157 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (𝐷‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
17527reseq1i 5887 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
176175, 41eqtr2id 2791 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
177176oveq1d 7290 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
178174, 177eleqtrd 2841 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (𝐷‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
17963, 96ltned 11111 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
180 fourierdlem84.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
181111eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
182181oveq2d 7291 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
183180, 182eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
18486recnd 11003 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
185155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184fourierdlem53 43700 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
186 limcresi 25049 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))
187165, 86cnlimci 25053 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
188131oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
189188adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
190187, 189eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
191186, 190sselid 3919 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
192171oveq1d 7290 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
193191, 192eleqtrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
194146, 147, 148, 154, 142, 185, 193mullimc 43157 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
195176oveq1d 7290 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
196194, 195eleqtrd 2841 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
1971, 2, 9, 28, 145, 178, 196fourierdlem69 43716 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  {crab 3068  wss 3887   class class class wbr 5074  cmpt 5157  cres 5591  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  *cxr 11008   < clt 11009  cmin 11205  cn 11973  (,)cioo 13079  [,]cicc 13082  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  cnccncf 24039  𝐿1cibl 24781   lim climc 25026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784  df-itg2 24785  df-ibl 24786  df-itg 24787  df-0p 24834  df-limc 25030
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem112  43759
  Copyright terms: Public domain W3C validator