Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem84 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem84 42623
Description: If 𝐹 is piecewise coninuous and 𝐷 is continuous, then 𝐺 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem84.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem84.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem84.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem84.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem84.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem84.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem84.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem84.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem84.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem84.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem84.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.d (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
fourierdlem84.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem84 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝐴,𝑠,𝑖   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑠   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑠   𝑄,𝑝   𝑅,𝑠   𝑖,𝑉,𝑠   𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑠   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑠,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem84
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem84.o . 2 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem84.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem84.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem84.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 fourierdlem84.xre . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem84.p . . 3 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
7 fourierdlem84.v . . 3 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
8 fourierdlem84.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
93, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8fourierdlem14 42554 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑂𝑀))
10 fourierdlem84.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1110adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
125adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
133adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
144adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16 eliccre 41933 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1812, 17readdcld 10648 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1911, 18ffvelrnd 6828 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
20 fourierdlem84.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
21 cncff 23477 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷:ℝ⟶ℝ)
2322adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
2423, 17ffvelrnd 6828 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐷𝑠) ∈ ℝ)
2519, 24remulcld 10649 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)) ∈ ℝ)
2625recnd 10647 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)) ∈ ℂ)
27 fourierdlem84.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
2826, 27fmptd 6854 . 2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2927a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
3029reseq1d 5828 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
31 ioossicc 12802 . . . . . 6 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
323rexrd 10669 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3332adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
344rexrd 10669 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3534adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
361, 2, 9fourierdlem15 42555 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
3736adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
38 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
3933, 35, 37, 38fourierdlem8 42548 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4031, 39sstrid 3957 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4140resmptd 5884 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
4230, 41eqtrd 2855 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
433, 5readdcld 10648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
444, 5readdcld 10648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
4543, 44iccssred 12803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
4645adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
476, 2, 7fourierdlem15 42555 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
4847adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
49 elfzofz 13037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5049adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5148, 50ffvelrnd 6828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
5246, 51sseldd 3947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
5352rexrd 10669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
5453adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
55 fzofzp1 13118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5655adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5748, 56ffvelrnd 6828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
5846, 57sseldd 3947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
5958rexrd 10669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
6059adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
615ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
62 elioore 12747 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
6362adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
6461, 63readdcld 10648 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
655recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
6665adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
673, 4iccssred 12803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6867adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6937, 50ffvelrnd 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7068, 69sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
7170recnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
7266, 71addcomd 10820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄𝑖)) = ((𝑄𝑖) + 𝑋))
735adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
7452, 73resubcld 11046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
758fvmpt2 6755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
7650, 74, 75syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
7776oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
7852recnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
7978, 66npcand 10979 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
8072, 77, 793eqtrrd 2860 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) = (𝑋 + (𝑄𝑖)))
8180adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) = (𝑋 + (𝑄𝑖)))
8270adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
8370rexrd 10669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8483adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8537, 68fssd 6504 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
8685, 56ffvelrnd 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
8786rexrd 10669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
8887adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
89 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
90 ioogtlb 41923 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
9184, 88, 89, 90syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
9282, 63, 61, 91ltadd2dd 10777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑄𝑖)) < (𝑋 + 𝑠))
9381, 92eqbrtrd 5064 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) < (𝑋 + 𝑠))
9486adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
95 iooltub 41938 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9684, 88, 89, 95syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9763, 94, 61, 96ltadd2dd 10777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
98 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑗))
9998oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉𝑗) − 𝑋))
10099cbvmptv 5145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
1018, 100eqtri 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
103 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
104103oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
105104adantl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
10658, 73resubcld 11046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
107102, 105, 56, 106fvmptd 6751 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
108107oveq2d 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
10958recnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
11066, 109pncan3d 10978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
111108, 110eqtrd 2855 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
112111adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
11397, 112breqtrd 5068 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
11454, 60, 64, 93, 113eliood 41926 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
115 fvres 6665 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
117116eqcomd 2826 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)))
118117mpteq2dva 5137 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠))))
119 ioosscn 12778 . . . . . . 7 ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
121 fourierdlem84.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
122 ioosscn 12778 . . . . . . 7 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
123122a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
124120, 121, 123, 66, 114fourierdlem23 42563 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
125118, 124eqeltrd 2911 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
126 eqid 2820 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠))
127 ax-resscn 10572 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
128 ssid 3968 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
129 cncfss 23483 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
130127, 128, 129mp2an 690 . . . . . . 7 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
13122feqmptd 6709 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)))
132131eqcomd 2826 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) = 𝐷)
133132, 20eqeltrd 2911 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
134130, 133sseldi 3944 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
135134adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
13640, 68sstrd 3956 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
137128a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
13822adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
13962adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
140138, 139ffvelrnd 6828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℝ)
141140recnd 10647 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℂ)
142141adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℂ)
143126, 135, 136, 137, 142cncfmptssg 42304 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
144125, 143mulcncf 24029 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
14542, 144eqeltrd 2911 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
146 eqid 2820 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
147 eqid 2820 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠))
148 eqid 2820 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
14910adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1505adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
151150, 139readdcld 10648 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
152149, 151ffvelrnd 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
153152recnd 10647 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
154153adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
15510adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
156 ioossre 12777 . . . . . 6 ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
157156a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
15882, 91gtned 10753 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ (𝑄𝑖))
159 fourierdlem84.r . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
16080oveq2d 7149 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄𝑖))))
161159, 160eleqtrd 2913 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄𝑖))))
162155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71fourierdlem53 42592 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
163 limcresi 24467 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)) ⊆ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))
164130, 20sseldi 3944 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
165164adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
166165, 70cnlimci 24471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ (𝐷 lim (𝑄𝑖)))
167131oveq1d 7148 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
168167adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
169166, 168eleqtrd 2913 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
170163, 169sseldi 3944 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
171136resmptd 5884 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)))
172171oveq1d 7148 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
173170, 172eleqtrd 2913 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
174146, 147, 148, 154, 142, 162, 173mullimc 42049 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (𝐷‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
17527reseq1i 5825 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
176175, 41syl5req 2868 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
177176oveq1d 7148 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
178174, 177eleqtrd 2913 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (𝐷‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
17963, 96ltned 10754 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
180 fourierdlem84.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
181111eqcomd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
182181oveq2d 7149 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
183180, 182eleqtrd 2913 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
18486recnd 10647 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
185155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184fourierdlem53 42592 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
186 limcresi 24467 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))
187165, 86cnlimci 24471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
188131oveq1d 7148 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
189188adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
190187, 189eleqtrd 2913 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
191186, 190sseldi 3944 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
192171oveq1d 7148 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
193191, 192eleqtrd 2913 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
194146, 147, 148, 154, 142, 185, 193mullimc 42049 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
195176oveq1d 7148 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
196194, 195eleqtrd 2913 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
1971, 2, 9, 28, 145, 178, 196fourierdlem69 42608 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  {crab 3129  wss 3913   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cres 5533  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  m cmap 8384  cc 10513  cr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520  *cxr 10652   < clt 10653  cmin 10848  cn 11616  (,)cioo 12717  [,]cicc 12720  ...cfz 12876  ..^cfzo 13017  cnccncf 23460  𝐿1cibl 24200   lim climc 24444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cc 9835  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-symdif 4197  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-ofr 7388  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-acn 9349  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-cmp 21971  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202  df-itg1 24203  df-itg2 24204  df-ibl 24205  df-itg 24206  df-0p 24253  df-limc 24448
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  42642  fourierdlem104  42643  fourierdlem112  42651
  Copyright terms: Public domain W3C validator