Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem84 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem84 45483
Description: If 𝐹 is piecewise coninuous and 𝐷 is continuous, then 𝐺 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem84.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem84.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem84.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem84.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem84.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (𝐡 + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem84.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem84.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem84.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem84.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem84.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem84.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
fourierdlem84.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem84 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,π‘š,𝑝   𝐴,𝑠,𝑖   𝐡,𝑖,π‘š,𝑝   𝐡,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑠   π‘š,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑠   𝑄,𝑝   𝑅,𝑠   𝑖,𝑉,𝑠   𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑠   π‘š,𝑋,𝑝   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐷(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐹(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐺(π‘š,𝑠,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑂(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑉(π‘š)

Proof of Theorem fourierdlem84
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem84.o . 2 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem84.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 fourierdlem84.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem84.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 fourierdlem84.xre . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem84.p . . 3 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (𝐡 + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
7 fourierdlem84.v . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
8 fourierdlem84.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
93, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8fourierdlem14 45414 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
10 fourierdlem84.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
125adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
133adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
144adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
16 eliccre 44795 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1812, 17readdcld 11247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1911, 18ffvelcdmd 7081 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
20 fourierdlem84.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
21 cncff 24768 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ) β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
2423, 17ffvelcdmd 7081 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
2519, 24remulcld 11248 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
2625recnd 11246 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
27 fourierdlem84.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )))
2826, 27fmptd 7109 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2927a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))))
3029reseq1d 5974 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
31 ioossicc 13416 . . . . . 6 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
323rexrd 11268 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
344rexrd 11268 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
361, 2, 9fourierdlem15 45415 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
38 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
3933, 35, 37, 38fourierdlem8 45408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4031, 39sstrid 3988 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4140resmptd 6034 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))))
4230, 41eqtrd 2766 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))))
433, 5readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
444, 5readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ)
4543, 44iccssred 13417 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)) βŠ† ℝ)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)) βŠ† ℝ)
476, 2, 7fourierdlem15 45415 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
49 elfzofz 13654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5148, 50ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
5246, 51sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
5352rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
55 fzofzp1 13735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5748, 56ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
5846, 57sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
5958rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
615ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
62 elioore 13360 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6362adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6461, 63readdcld 11247 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
655recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
673, 4iccssred 13417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
6937, 50ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (𝐴[,]𝐡))
7068, 69sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7170recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
7266, 71addcomd 11420 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋))
735adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
7452, 73resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
758fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
7650, 74, 75syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
7776oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
7852recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
7978, 66npcand 11579 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
8072, 77, 793eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)))
8180adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)))
8270adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
8370rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
8537, 68fssd 6729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
8685, 56ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
8786rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
89 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
90 ioogtlb 44785 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
9184, 88, 89, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
9282, 63, 61, 91ltadd2dd 11377 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)) < (𝑋 + 𝑠))
9381, 92eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < (𝑋 + 𝑠))
9486adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
95 iooltub 44800 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
9684, 88, 89, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
9763, 94, 61, 96ltadd2dd 11377 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
98 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜π‘—))
9998oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
10099cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
1018, 100eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)))
103 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
104103oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
10658, 73resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
107102, 105, 56, 106fvmptd 6999 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
108107oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)))
10958recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
11066, 109pncan3d 11578 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
111108, 110eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
112111adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
11397, 112breqtrd 5167 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
11454, 60, 64, 93, 113eliood 44788 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
115 fvres 6904 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
117116eqcomd 2732 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
118117mpteq2dva 5241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
119 ioosscn 13392 . . . . . . 7 ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
120119a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
121 fourierdlem84.fcn . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
122 ioosscn 13392 . . . . . . 7 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
123122a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
124120, 121, 123, 66, 114fourierdlem23 45423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
125118, 124eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
126 eqid 2726 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ ))
127 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
128 ssid 3999 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
129 cncfss 24774 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ–cn→ℝ) βŠ† (ℝ–cnβ†’β„‚))
130127, 128, 129mp2an 689 . . . . . . 7 (ℝ–cn→ℝ) βŠ† (ℝ–cnβ†’β„‚)
13122feqmptd 6954 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )))
132131eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) = 𝐷)
133132, 20eqeltrd 2827 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
134130, 133sselid 3975 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
135134adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
13640, 68sstrd 3987 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
137128a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
13822adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
13962adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
140138, 139ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
141140recnd 11246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
142141adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
143126, 135, 136, 137, 142cncfmptssg 45164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
144125, 143mulcncf 25329 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
14542, 144eqeltrd 2827 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
146 eqid 2726 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
147 eqid 2726 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ ))
148 eqid 2726 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )))
14910adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1505adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
151150, 139readdcld 11247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
152149, 151ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
153152recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
154153adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
15510adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
156 ioossre 13391 . . . . . 6 ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
157156a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
15882, 91gtned 11353 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  (π‘„β€˜π‘–))
159 fourierdlem84.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
16080oveq2d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–))))
161159, 160eleqtrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–))))
162155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71fourierdlem53 45452 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
163 limcresi 25769 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–))
164130, 20sselid 3975 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
165164adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
166165, 70cnlimci 25773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
167131oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
168167adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
169166, 168eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
170163, 169sselid 3975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
171136resmptd 6034 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )))
172171oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
173170, 172eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
174146, 147, 148, 154, 142, 162, 173mullimc 44909 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
17527reseq1i 5971 . . . . 5 (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
176175, 41eqtr2id 2779 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
177176oveq1d 7420 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
178174, 177eleqtrd 2829 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
17963, 96ltned 11354 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
180 fourierdlem84.l . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
181111eqcomd 2732 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
182181oveq2d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
183180, 182eleqtrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
18486recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
185155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184fourierdlem53 45452 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
186 limcresi 25769 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
187165, 86cnlimci 25773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
188131oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
189188adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
190187, 189eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
191186, 190sselid 3975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
192171oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
193191, 192eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
194146, 147, 148, 154, 142, 185, 193mullimc 44909 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐿 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
195176oveq1d 7420 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
196194, 195eleqtrd 2829 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐿 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
1971, 2, 9, 28, 145, 178, 196fourierdlem69 45468 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  β€“cnβ†’ccncf 24751  πΏ1cibl 25501   limβ„‚ climc 25746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-limc 25750
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  45502  fourierdlem104  45503  fourierdlem112  45511
  Copyright terms: Public domain W3C validator