Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem84 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem84 45640
Description: If 𝐹 is piecewise coninuous and 𝐷 is continuous, then 𝐺 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem84.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem84.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem84.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem84.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem84.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (𝐡 + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem84.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem84.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem84.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem84.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem84.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem84.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
fourierdlem84.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem84 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,π‘š,𝑝   𝐴,𝑠,𝑖   𝐡,𝑖,π‘š,𝑝   𝐡,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑠   π‘š,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑠   𝑄,𝑝   𝑅,𝑠   𝑖,𝑉,𝑠   𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑠   π‘š,𝑋,𝑝   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐷(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐹(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐺(π‘š,𝑠,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑂(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑉(π‘š)

Proof of Theorem fourierdlem84
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem84.o . 2 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem84.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 fourierdlem84.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem84.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 fourierdlem84.xre . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem84.p . . 3 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (𝐡 + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
7 fourierdlem84.v . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
8 fourierdlem84.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
93, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8fourierdlem14 45571 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
10 fourierdlem84.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
125adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
133adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
144adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
15 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
16 eliccre 44952 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1812, 17readdcld 11271 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1911, 18ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
20 fourierdlem84.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
21 cncff 24829 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ) β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
2322adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
2423, 17ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
2519, 24remulcld 11272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
2625recnd 11270 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
27 fourierdlem84.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )))
2826, 27fmptd 7118 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2927a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))))
3029reseq1d 5978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
31 ioossicc 13440 . . . . . 6 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
323rexrd 11292 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3332adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
344rexrd 11292 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
3534adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
361, 2, 9fourierdlem15 45572 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
3736adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
38 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
3933, 35, 37, 38fourierdlem8 45565 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4031, 39sstrid 3984 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4140resmptd 6039 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))))
4230, 41eqtrd 2765 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))))
433, 5readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
444, 5readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ)
4543, 44iccssred 13441 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)) βŠ† ℝ)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)) βŠ† ℝ)
476, 2, 7fourierdlem15 45572 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
4847adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
49 elfzofz 13678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5049adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5148, 50ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
5246, 51sseldd 3973 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
5352rexrd 11292 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
5453adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
55 fzofzp1 13759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5655adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5748, 56ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐡 + 𝑋)))
5846, 57sseldd 3973 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
5958rexrd 11292 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
615ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
62 elioore 13384 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6362adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6461, 63readdcld 11271 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
655recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
673, 4iccssred 13441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
6937, 50ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (𝐴[,]𝐡))
7068, 69sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7170recnd 11270 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
7266, 71addcomd 11444 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋))
735adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
7452, 73resubcld 11670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
758fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
7650, 74, 75syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
7776oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
7852recnd 11270 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
7978, 66npcand 11603 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
8072, 77, 793eqtrrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)))
8180adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)))
8270adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
8370rexrd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
8483adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
8537, 68fssd 6734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
8685, 56ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
8786rexrd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
8887adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
89 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
90 ioogtlb 44942 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
9184, 88, 89, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
9282, 63, 61, 91ltadd2dd 11401 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)) < (𝑋 + 𝑠))
9381, 92eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < (𝑋 + 𝑠))
9486adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
95 iooltub 44957 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
9684, 88, 89, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
9763, 94, 61, 96ltadd2dd 11401 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
98 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜π‘—))
9998oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
10099cbvmptv 5256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
1018, 100eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)))
103 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
104103oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
105104adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
10658, 73resubcld 11670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
107102, 105, 56, 106fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
108107oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)))
10958recnd 11270 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
11066, 109pncan3d 11602 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
111108, 110eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
112111adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
11397, 112breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
11454, 60, 64, 93, 113eliood 44945 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
115 fvres 6910 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
117116eqcomd 2731 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
118117mpteq2dva 5243 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
119 ioosscn 13416 . . . . . . 7 ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
120119a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
121 fourierdlem84.fcn . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
122 ioosscn 13416 . . . . . . 7 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
123122a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
124120, 121, 123, 66, 114fourierdlem23 45580 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
125118, 124eqeltrd 2825 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
126 eqid 2725 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ ))
127 ax-resscn 11193 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
128 ssid 3995 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
129 cncfss 24835 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ–cn→ℝ) βŠ† (ℝ–cnβ†’β„‚))
130127, 128, 129mp2an 690 . . . . . . 7 (ℝ–cn→ℝ) βŠ† (ℝ–cnβ†’β„‚)
13122feqmptd 6961 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )))
132131eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) = 𝐷)
133132, 20eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
134130, 133sselid 3970 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
135134adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
13640, 68sstrd 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
137128a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
13822adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐷:β„βŸΆβ„)
13962adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
140138, 139ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
141140recnd 11270 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
142141adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
143126, 135, 136, 137, 142cncfmptssg 45321 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
144125, 143mulcncf 25390 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
14542, 144eqeltrd 2825 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
146 eqid 2725 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
147 eqid 2725 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ ))
148 eqid 2725 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ )))
14910adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1505adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
151150, 139readdcld 11271 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
152149, 151ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
153152recnd 11270 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
154153adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
15510adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
156 ioossre 13415 . . . . . 6 ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
157156a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
15882, 91gtned 11377 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  (π‘„β€˜π‘–))
159 fourierdlem84.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
16080oveq2d 7431 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–))))
161159, 160eleqtrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–))))
162155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71fourierdlem53 45609 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
163 limcresi 25830 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–))
164130, 20sselid 3970 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
165164adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐷 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
166165, 70cnlimci 25834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
167131oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
168167adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
169166, 168eleqtrd 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
170163, 169sselid 3970 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
171136resmptd 6039 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )))
172171oveq1d 7430 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
173170, 172eleqtrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
174146, 147, 148, 154, 142, 162, 173mullimc 45066 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
17527reseq1i 5975 . . . . 5 (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
176175, 41eqtr2id 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
177176oveq1d 7430 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
178174, 177eleqtrd 2827 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
17963, 96ltned 11378 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
180 fourierdlem84.l . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
181111eqcomd 2731 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
182181oveq2d 7431 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
183180, 182eleqtrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
18486recnd 11270 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
185155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184fourierdlem53 45609 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
186 limcresi 25830 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
187165, 86cnlimci 25834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
188131oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
189188adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐷 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
190187, 189eleqtrd 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
191186, 190sselid 3970 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
192171oveq1d 7430 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (π·β€˜π‘ )) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
193191, 192eleqtrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
194146, 147, 148, 154, 142, 185, 193mullimc 45066 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐿 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
195176oveq1d 7430 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
196194, 195eleqtrd 2827 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐿 Β· (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
1971, 2, 9, 28, 145, 178, 196fourierdlem69 45625 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141  β„*cxr 11275   < clt 11276   βˆ’ cmin 11472  β„•cn 12240  (,)cioo 13354  [,]cicc 13357  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657  β€“cnβ†’ccncf 24812  πΏ1cibl 25562   limβ„‚ climc 25807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-symdif 4237  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566  df-ibl 25567  df-itg 25568  df-0p 25615  df-limc 25811
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  45659  fourierdlem104  45660  fourierdlem112  45668
  Copyright terms: Public domain W3C validator