Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem84 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem84 43273
Description: If 𝐹 is piecewise coninuous and 𝐷 is continuous, then 𝐺 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem84.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem84.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem84.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem84.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem84.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem84.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem84.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem84.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem84.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem84.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem84.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.d (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
fourierdlem84.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem84 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝐴,𝑠,𝑖   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑠   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑠   𝑄,𝑝   𝑅,𝑠   𝑖,𝑉,𝑠   𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑠   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑠,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem84
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem84.o . 2 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem84.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem84.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem84.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 fourierdlem84.xre . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem84.p . . 3 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
7 fourierdlem84.v . . 3 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
8 fourierdlem84.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
93, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8fourierdlem14 43204 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑂𝑀))
10 fourierdlem84.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
125adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
133adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
144adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16 eliccre 42583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1812, 17readdcld 10748 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1911, 18ffvelrnd 6862 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
20 fourierdlem84.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
21 cncff 23645 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷:ℝ⟶ℝ)
2322adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
2423, 17ffvelrnd 6862 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐷𝑠) ∈ ℝ)
2519, 24remulcld 10749 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)) ∈ ℝ)
2625recnd 10747 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)) ∈ ℂ)
27 fourierdlem84.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
2826, 27fmptd 6888 . 2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2927a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
3029reseq1d 5824 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
31 ioossicc 12907 . . . . . 6 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
323rexrd 10769 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3332adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
344rexrd 10769 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3534adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
361, 2, 9fourierdlem15 43205 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
3736adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
38 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
3933, 35, 37, 38fourierdlem8 43198 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4031, 39sstrid 3888 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4140resmptd 5882 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
4230, 41eqtrd 2773 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
433, 5readdcld 10748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
444, 5readdcld 10748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
4543, 44iccssred 12908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
4645adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
476, 2, 7fourierdlem15 43205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
4847adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
49 elfzofz 13144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5049adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5148, 50ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
5246, 51sseldd 3878 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
5352rexrd 10769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
5453adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
55 fzofzp1 13225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5655adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5748, 56ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
5846, 57sseldd 3878 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
5958rexrd 10769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
6059adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
615ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
62 elioore 12851 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
6362adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
6461, 63readdcld 10748 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
655recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
6665adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
673, 4iccssred 12908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6867adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6937, 50ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7068, 69sseldd 3878 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
7170recnd 10747 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
7266, 71addcomd 10920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄𝑖)) = ((𝑄𝑖) + 𝑋))
735adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
7452, 73resubcld 11146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
758fvmpt2 6786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
7650, 74, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
7776oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
7852recnd 10747 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
7978, 66npcand 11079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
8072, 77, 793eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) = (𝑋 + (𝑄𝑖)))
8180adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) = (𝑋 + (𝑄𝑖)))
8270adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
8370rexrd 10769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8483adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8537, 68fssd 6522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
8685, 56ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
8786rexrd 10769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
8887adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
89 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
90 ioogtlb 42573 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
9184, 88, 89, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
9282, 63, 61, 91ltadd2dd 10877 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑄𝑖)) < (𝑋 + 𝑠))
9381, 92eqbrtrd 5052 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) < (𝑋 + 𝑠))
9486adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
95 iooltub 42588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9684, 88, 89, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9763, 94, 61, 96ltadd2dd 10877 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
98 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑗))
9998oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉𝑗) − 𝑋))
10099cbvmptv 5133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
1018, 100eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
103 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
104103oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
105104adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
10658, 73resubcld 11146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
107102, 105, 56, 106fvmptd 6782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
108107oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
10958recnd 10747 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
11066, 109pncan3d 11078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
111108, 110eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
112111adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
11397, 112breqtrd 5056 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
11454, 60, 64, 93, 113eliood 42576 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
115 fvres 6693 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
117116eqcomd 2744 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)))
118117mpteq2dva 5125 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠))))
119 ioosscn 12883 . . . . . . 7 ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
121 fourierdlem84.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
122 ioosscn 12883 . . . . . . 7 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
123122a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
124120, 121, 123, 66, 114fourierdlem23 43213 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
125118, 124eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
126 eqid 2738 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠))
127 ax-resscn 10672 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
128 ssid 3899 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
129 cncfss 23651 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
130127, 128, 129mp2an 692 . . . . . . 7 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
13122feqmptd 6737 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)))
132131eqcomd 2744 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) = 𝐷)
133132, 20eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
134130, 133sseldi 3875 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
135134adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
13640, 68sstrd 3887 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
137128a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
13822adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
13962adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
140138, 139ffvelrnd 6862 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℝ)
141140recnd 10747 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℂ)
142141adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℂ)
143126, 135, 136, 137, 142cncfmptssg 42954 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
144125, 143mulcncf 24198 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
14542, 144eqeltrd 2833 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
146 eqid 2738 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
147 eqid 2738 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠))
148 eqid 2738 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
14910adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1505adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
151150, 139readdcld 10748 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
152149, 151ffvelrnd 6862 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
153152recnd 10747 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
154153adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
15510adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
156 ioossre 12882 . . . . . 6 ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
157156a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
15882, 91gtned 10853 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ (𝑄𝑖))
159 fourierdlem84.r . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
16080oveq2d 7186 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄𝑖))))
161159, 160eleqtrd 2835 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄𝑖))))
162155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71fourierdlem53 43242 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
163 limcresi 24637 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)) ⊆ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))
164130, 20sseldi 3875 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
165164adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
166165, 70cnlimci 24641 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ (𝐷 lim (𝑄𝑖)))
167131oveq1d 7185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
168167adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
169166, 168eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
170163, 169sseldi 3875 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
171136resmptd 5882 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)))
172171oveq1d 7185 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
173170, 172eleqtrd 2835 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
174146, 147, 148, 154, 142, 162, 173mullimc 42699 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (𝐷‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
17527reseq1i 5821 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
176175, 41eqtr2id 2786 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
177176oveq1d 7185 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
178174, 177eleqtrd 2835 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (𝐷‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
17963, 96ltned 10854 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
180 fourierdlem84.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
181111eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
182181oveq2d 7186 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
183180, 182eleqtrd 2835 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
18486recnd 10747 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
185155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184fourierdlem53 43242 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
186 limcresi 24637 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))
187165, 86cnlimci 24641 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
188131oveq1d 7185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
189188adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
190187, 189eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
191186, 190sseldi 3875 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
192171oveq1d 7185 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
193191, 192eleqtrd 2835 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
194146, 147, 148, 154, 142, 185, 193mullimc 42699 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
195176oveq1d 7185 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
196194, 195eleqtrd 2835 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
1971, 2, 9, 28, 145, 178, 196fourierdlem69 43258 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  {crab 3057  wss 3843   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cres 5527  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  *cxr 10752   < clt 10753  cmin 10948  cn 11716  (,)cioo 12821  [,]cicc 12824  ...cfz 12981  ..^cfzo 13124  cnccncf 23628  𝐿1cibl 24369   lim climc 24614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cc 9935  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-symdif 4133  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-omul 8136  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-acn 9444  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-ovol 24216  df-vol 24217  df-mbf 24371  df-itg1 24372  df-itg2 24373  df-ibl 24374  df-itg 24375  df-0p 24422  df-limc 24618
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  43292  fourierdlem104  43293  fourierdlem112  43301
  Copyright terms: Public domain W3C validator