Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgioocnicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgioocnicc 45992
Description: The integral of a piecewise continuous function 𝐹 on an open interval is equal to the integral of the continuous function 𝐺, in the corresponding closed interval. 𝐺 is equal to 𝐹 on the open interval, but it is continuous at the two boundaries, also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioocnicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgioocnicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgioocnicc.f (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
itgioocnicc.fcn (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
itgioocnicc.fdom (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
itgioocnicc.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))
itgioocnicc.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
itgioocnicc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
itgioocnicc (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem itgioocnicc
StepHypRef Expression
1 itgioocnicc.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgioocnicc.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgioocnicc.g . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
4 iftrue 4531 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
5 iftrue 4531 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
64, 5eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
76adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
8 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
9 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = 𝐿)
108, 9eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
1110adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
1211ifeq2d 4546 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
1312adantll 714 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
14 iffalse 4534 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
1514ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
16 iffalse 4534 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
1716adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
18 iffalse 4534 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
1918ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
20 iffalse 4534 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
2120adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2322rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2423ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
252rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2625ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
272adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29 eliccre 45518 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3022, 27, 28, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3130ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
321ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3330adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3425adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35 iccgelb 13443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
3623, 34, 28, 35syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑥)
38 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = 𝐴𝑥𝐴)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
4032, 33, 37, 39leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
4230adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
432ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
44 iccleub 13442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
4523, 34, 28, 44syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
47 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝐵𝐵 = 𝑥)
4847notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 = 𝑥)
4948biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝑥)
5049neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = 𝐵𝐵𝑥)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
5242, 43, 46, 51leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
5352adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
5424, 26, 31, 41, 53eliood 45511 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
55 fvres 6925 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
5719, 21, 563eqtrrd 2782 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
5815, 17, 573eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
5913, 58pm2.61dan 813 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
607, 59pm2.61dan 813 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
6160mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))))
623, 61eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))))
63 nfv 1914 . . . . 5 𝑥𝜑
64 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
65 itgioocnicc.fcn . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
66 itgioocnicc.l . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
67 itgioocnicc.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))
6863, 64, 1, 2, 65, 66, 67cncfiooicc 45909 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
6962, 68eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
70 cniccibl 25876 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
711, 2, 69, 70syl3anc 1373 . 2 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
724adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
73 limccl 25910 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) ⊆ ℂ
7473, 67sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
7574ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
7672, 75eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
7714, 8sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
7877adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
79 limccl 25910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
8079, 66sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
8180ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐿 ∈ ℂ)
8278, 81eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
8314, 16sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
8483adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
8556eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
86 cncff 24919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
8765, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
8887ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
8988, 54ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) ∈ ℂ)
9085, 89eqeltrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9184, 90eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
9282, 91pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
9376, 92pm2.61dan 813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
943fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
9528, 93, 94syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
9695, 93eqeltrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
971, 2, 96itgioo 25851 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥)
9897eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥)
99 ioossicc 13473 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
10099sseli 3979 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
101100, 95sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
1021adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
103 eliooord 13446 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
104103simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
105104adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
106102, 105gtned 11396 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐴)
107106neneqd 2945 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
108107, 14syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
109100, 30sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
110103simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
111110adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
112109, 111ltned 11397 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐵)
113112neneqd 2945 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
114113, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
115101, 108, 1143eqtrd 2781 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥))
116115itgeq2dv 25817 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
117 itgioocnicc.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
118117adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
119 itgioocnicc.fdom . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
120119sselda 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
121118, 120ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1221, 2, 121itgioo 25851 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
12398, 116, 1223eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
12471, 123jca 511 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  cnccncf 24902  𝐿1cibl 25652  citg 25653   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  46202
  Copyright terms: Public domain W3C validator