Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgioocnicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgioocnicc 44308
Description: The integral of a piecewise continuous function 𝐹 on an open interval is equal to the integral of the continuous function 𝐺, in the corresponding closed interval. 𝐺 is equal to 𝐹 on the open interval, but it is continuous at the two boundaries, also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioocnicc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgioocnicc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgioocnicc.f (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
itgioocnicc.fcn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
itgioocnicc.fdom (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹)
itgioocnicc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴))
itgioocnicc.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
itgioocnicc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
itgioocnicc (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem itgioocnicc
StepHypRef Expression
1 itgioocnicc.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgioocnicc.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgioocnicc.g . . . . 5 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
4 iftrue 4496 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
5 iftrue 4496 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
64, 5eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
76adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
8 iftrue 4496 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
9 iftrue 4496 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
108, 9eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
1110adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
1211ifeq2d 4510 . . . . . . . . 9 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
1312adantll 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
14 iffalse 4499 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
16 iffalse 4499 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
1716adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
18 iffalse 4499 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
1918ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
20 iffalse 4499 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
2120adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2322rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
252rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
272adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
28 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
29 eliccre 43833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3022, 27, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
321ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3330adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3425adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
35 iccgelb 13329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
3623, 34, 28, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
38 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
3938adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
4032, 33, 37, 39leneltd 11317 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 < π‘₯)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
4230adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
432ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
44 iccleub 13328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
4523, 34, 28, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
47 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝐡 ↔ 𝐡 = π‘₯)
4847notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 = π‘₯)
4948biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ Β¬ 𝐡 = π‘₯)
5049neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
5242, 43, 46, 51leneltd 11317 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
5352adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
5424, 26, 31, 41, 53eliood 43826 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
55 fvres 6865 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
5719, 21, 563eqtrrd 2778 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
5815, 17, 573eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
5913, 58pm2.61dan 812 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
607, 59pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
6160mpteq2dva 5209 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))))
623, 61eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))))
63 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
64 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
65 itgioocnicc.fcn . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
66 itgioocnicc.l . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
67 itgioocnicc.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴))
6863, 64, 1, 2, 65, 66, 67cncfiooicc 44225 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
6962, 68eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
70 cniccibl 25228 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
711, 2, 69, 70syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
724adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
73 limccl 25262 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴) βŠ† β„‚
7473, 67sselid 3946 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
7672, 75eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
7714, 8sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
7877adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
79 limccl 25262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
8079, 66sselid 3946 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
8180ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
8278, 81eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
8314, 16sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
8483adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
8556eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
86 cncff 24279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8765, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8887ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8988, 54ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9085, 89eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9184, 90eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9282, 91pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9376, 92pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
943fvmpt2 6963 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
9528, 93, 94syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
9695, 93eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
971, 2, 96itgioo 25203 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
9897eqcomd 2739 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
99 ioossicc 13359 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
10099sseli 3944 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
101100, 95sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
1021adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
103 eliooord 13332 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
104103simpld 496 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
105104adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < π‘₯)
106102, 105gtned 11298 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
107106neneqd 2945 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
108107, 14syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
109100, 30sylan2 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110103simprd 497 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
111110adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
112109, 111ltned 11299 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
113112neneqd 2945 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
114113, 16syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
115101, 108, 1143eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
116115itgeq2dv 25169 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
117 itgioocnicc.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
118117adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
119 itgioocnicc.fdom . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹)
120119sselda 3948 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
121118, 120ffvelcdmd 7040 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1221, 2, 121itgioo 25203 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
12398, 116, 1223eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
12471, 123jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3914  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  β€“cnβ†’ccncf 24262  πΏ1cibl 25004  βˆ«citg 25005   limβ„‚ climc 25249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057  df-limc 25253
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  44518
  Copyright terms: Public domain W3C validator