Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgioocnicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgioocnicc 44693
Description: The integral of a piecewise continuous function 𝐹 on an open interval is equal to the integral of the continuous function 𝐺, in the corresponding closed interval. 𝐺 is equal to 𝐹 on the open interval, but it is continuous at the two boundaries, also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioocnicc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgioocnicc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgioocnicc.f (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
itgioocnicc.fcn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
itgioocnicc.fdom (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹)
itgioocnicc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴))
itgioocnicc.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
itgioocnicc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
itgioocnicc (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem itgioocnicc
StepHypRef Expression
1 itgioocnicc.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgioocnicc.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgioocnicc.g . . . . 5 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
4 iftrue 4535 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
5 iftrue 4535 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
64, 5eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
76adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
8 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
9 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
108, 9eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
1110adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
1211ifeq2d 4549 . . . . . . . . 9 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
1312adantll 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
14 iffalse 4538 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
16 iffalse 4538 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
1716adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
18 iffalse 4538 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
1918ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
20 iffalse 4538 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
2120adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2322rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
252rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
272adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
28 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
29 eliccre 44218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3022, 27, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
321ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3330adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3425adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
35 iccgelb 13380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
3623, 34, 28, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
38 neqne 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
3938adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
4032, 33, 37, 39leneltd 11368 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 < π‘₯)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
4230adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
432ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
44 iccleub 13379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
4523, 34, 28, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
47 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝐡 ↔ 𝐡 = π‘₯)
4847notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 = π‘₯)
4948biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ Β¬ 𝐡 = π‘₯)
5049neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
5242, 43, 46, 51leneltd 11368 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
5352adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
5424, 26, 31, 41, 53eliood 44211 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
55 fvres 6911 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
5719, 21, 563eqtrrd 2778 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
5815, 17, 573eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
5913, 58pm2.61dan 812 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
607, 59pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
6160mpteq2dva 5249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))))
623, 61eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))))
63 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
64 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
65 itgioocnicc.fcn . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
66 itgioocnicc.l . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
67 itgioocnicc.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴))
6863, 64, 1, 2, 65, 66, 67cncfiooicc 44610 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
6962, 68eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
70 cniccibl 25358 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
711, 2, 69, 70syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
724adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
73 limccl 25392 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴) βŠ† β„‚
7473, 67sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
7672, 75eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
7714, 8sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
7877adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
79 limccl 25392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
8079, 66sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
8180ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
8278, 81eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
8314, 16sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
8483adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
8556eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
86 cncff 24409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8765, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8887ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8988, 54ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9085, 89eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9184, 90eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9282, 91pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9376, 92pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
943fvmpt2 7010 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
9528, 93, 94syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
9695, 93eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
971, 2, 96itgioo 25333 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
9897eqcomd 2739 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
99 ioossicc 13410 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
10099sseli 3979 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
101100, 95sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
1021adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
103 eliooord 13383 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
104103simpld 496 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
105104adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < π‘₯)
106102, 105gtned 11349 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
107106neneqd 2946 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
108107, 14syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
109100, 30sylan2 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110103simprd 497 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
111110adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
112109, 111ltned 11350 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
113112neneqd 2946 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
114113, 16syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
115101, 108, 1143eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
116115itgeq2dv 25299 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
117 itgioocnicc.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
118117adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
119 itgioocnicc.fdom . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹)
120119sselda 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
121118, 120ffvelcdmd 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1221, 2, 121itgioo 25333 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
12398, 116, 1223eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
12471, 123jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  β€“cnβ†’ccncf 24392  πΏ1cibl 25134  βˆ«citg 25135   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  44903
  Copyright terms: Public domain W3C validator