Theorem itgioocnicc 45959

Description: The integral of a piecewise continuous function 𝐹 on an open interval is equal to the integral of the continuous function 𝐺, in the corresponding closed interval. 𝐺 is equal to 𝐹 on the open interval, but it is continuous at the two boundaries, also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgioocnicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
itgioocnicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
itgioocnicc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
itgioocnicc.fcn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
itgioocnicc.fdom	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
itgioocnicc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))
itgioocnicc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
itgioocnicc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
itgioocnicc	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem itgioocnicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgioocnicc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		itgioocnicc.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		itgioocnicc.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
4		iftrue 4484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
5		iftrue 4484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
6	4, 5	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
8		iftrue 4484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
9		iftrue 4484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = 𝐿)
10	8, 9	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
12	11	ifeq2d 4499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
13	12	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
14		iffalse 4487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
15	14	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
16		iffalse 4487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
18		iffalse 4487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
19	18	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
20		iffalse 4487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
22	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25	2	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
26	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29		eliccre 45487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	22, 27, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35		iccgelb 13323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
36	23, 34, 28, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑥)
38		neqne 2933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≠ 𝐴)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐴)
40	32, 33, 37, 39	leneltd 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
42	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
43	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
44		iccleub 13322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
45	23, 34, 28, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
47		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑥)
48	47	notbii 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 = 𝑥)
49	48	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝑥)
50	49	neqned 2932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝑥)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑥)
52	42, 43, 46, 51	leneltd 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
53	52	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
54	24, 26, 31, 41, 53	eliood 45480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
55		fvres 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
57	19, 21, 56	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
58	15, 17, 57	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
59	13, 58	pm2.61dan 812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
60	7, 59	pm2.61dan 812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
61	60	mpteq2dva 5188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))))
62	3, 61	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))))
63		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
64		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
65		itgioocnicc.fcn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
66		itgioocnicc.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
67		itgioocnicc.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))
68	63, 64, 1, 2, 65, 66, 67	cncfiooicc 45876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
69	62, 68	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
70		cniccibl 25758	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
71	1, 2, 69, 70	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)
72	4	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
73		limccl 25792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) ⊆ ℂ
74	73, 67	sselid 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
76	72, 75	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
77	14, 8	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
78	77	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
79		limccl 25792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
80	79, 66	sselid 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
81	80	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐿 ∈ ℂ)
82	78, 81	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
83	14, 16	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
84	83	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
85	56	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹‘𝑥) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
86		cncff 24802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
87	65, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
88	87	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
89	88, 54	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) ∈ ℂ)
90	85, 89	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
91	84, 90	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
92	82, 91	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
93	76, 92	pm2.61dan 812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
94	3	fvmpt2 6945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
95	28, 93, 94	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
96	95, 93	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
97	1, 2, 96	itgioo 25733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥)
98	97	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥)
99		ioossicc 13354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
100	99	sseli 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
101	100, 95	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
102	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
103		eliooord 13326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
104	103	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
105	104	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
106	102, 105	gtned 11269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐴)
107	106	neneqd 2930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
108	107, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
109	100, 30	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
110	103	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
111	110	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
112	109, 111	ltned 11270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
113	112	neneqd 2930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
114	113, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
115	101, 108, 114	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
116	115	itgeq2dv 25699	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
117		itgioocnicc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
118	117	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
119		itgioocnicc.fdom	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
120	119	sselda 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
121	118, 120	ffvelcdmd 7023	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
122	1, 2, 121	itgioo 25733	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
123	98, 116, 122	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
124	71, 123	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3905  ifcif 4478   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,)cioo 13266  [,]cicc 13269  –cn→ccncf 24785  𝐿¹cibl 25534  ∫citg 25535   lim_ℂ climc 25779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538  df-ibl 25539  df-itg 25540  df-0p 25587  df-limc 25783

This theorem is referenced by:  fourierdlem81  46169