Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgioocnicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgioocnicc 44991
Description: The integral of a piecewise continuous function 𝐹 on an open interval is equal to the integral of the continuous function 𝐺, in the corresponding closed interval. 𝐺 is equal to 𝐹 on the open interval, but it is continuous at the two boundaries, also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioocnicc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgioocnicc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgioocnicc.f (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
itgioocnicc.fcn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
itgioocnicc.fdom (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹)
itgioocnicc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴))
itgioocnicc.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
itgioocnicc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
itgioocnicc (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem itgioocnicc
StepHypRef Expression
1 itgioocnicc.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgioocnicc.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgioocnicc.g . . . . 5 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
4 iftrue 4533 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
5 iftrue 4533 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
64, 5eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
76adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
8 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
9 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
108, 9eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
1110adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
1211ifeq2d 4547 . . . . . . . . 9 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
1312adantll 710 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
14 iffalse 4536 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
1514ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
16 iffalse 4536 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
1716adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
18 iffalse 4536 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
1918ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))
20 iffalse 4536 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
2120adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
221adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2322rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2423ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
252rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2625ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
272adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
28 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
29 eliccre 44516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3022, 27, 28, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3130ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
321ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3330adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3425adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
35 iccgelb 13384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
3623, 34, 28, 35syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
38 neqne 2946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
3938adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
4032, 33, 37, 39leneltd 11372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 < π‘₯)
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
4230adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
432ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
44 iccleub 13383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
4523, 34, 28, 44syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
47 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝐡 ↔ 𝐡 = π‘₯)
4847notbii 319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 = π‘₯)
4948biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ Β¬ 𝐡 = π‘₯)
5049neqned 2945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
5242, 43, 46, 51leneltd 11372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
5352adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
5424, 26, 31, 41, 53eliood 44509 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
55 fvres 6909 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
5719, 21, 563eqtrrd 2775 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
5815, 17, 573eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
5913, 58pm2.61dan 809 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
607, 59pm2.61dan 809 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
6160mpteq2dva 5247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))))
623, 61eqtrid 2782 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))))
63 nfv 1915 . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
64 eqid 2730 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))))
65 itgioocnicc.fcn . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
66 itgioocnicc.l . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
67 itgioocnicc.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴))
6863, 64, 1, 2, 65, 66, 67cncfiooicc 44908 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
6962, 68eqeltrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
70 cniccibl 25590 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
711, 2, 69, 70syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
724adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
73 limccl 25624 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴) βŠ† β„‚
7473, 67sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
7574ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
7672, 75eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
7714, 8sylan9eq 2790 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
7877adantll 710 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
79 limccl 25624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
8079, 66sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
8180ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
8278, 81eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
8314, 16sylan9eq 2790 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ = 𝐴 ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
8483adantll 710 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
8556eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯))
86 cncff 24633 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8765, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8887ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8988, 54ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9085, 89eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9184, 90eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9282, 91pm2.61dan 809 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9376, 92pm2.61dan 809 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
943fvmpt2 7008 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
9528, 93, 94syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
9695, 93eqeltrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
971, 2, 96itgioo 25565 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
9897eqcomd 2736 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
99 ioossicc 13414 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
10099sseli 3977 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
101100, 95sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
1021adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
103 eliooord 13387 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
104103simpld 493 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
105104adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < π‘₯)
106102, 105gtned 11353 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
107106neneqd 2943 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
108107, 14syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
109100, 30sylan2 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110103simprd 494 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
111110adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
112109, 111ltned 11354 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
113112neneqd 2943 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
114113, 16syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
115101, 108, 1143eqtrd 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
116115itgeq2dv 25531 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
117 itgioocnicc.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
118117adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
119 itgioocnicc.fdom . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹)
120119sselda 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
121118, 120ffvelcdmd 7086 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1221, 2, 121itgioo 25565 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
12398, 116, 1223eqtrd 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
12471, 123jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  β€“cnβ†’ccncf 24616  πΏ1cibl 25366  βˆ«citg 25367   limβ„‚ climc 25611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-limc 25615
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  45201
  Copyright terms: Public domain W3C validator