Theorem rpaddcl 12955

Description: Closure law for addition of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12940	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpre 12940	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		readdcl 11110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5		elrp 12933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6		elrp 12933	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7		addgt0 11625	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
8	7	an4s 661	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
9	5, 6, 8	syl2anb 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
10		elrp 12933	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
11	4, 9, 10	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  (class class class)co 7356  ℝcr 11026  0cc0 11027   + caddc 11030   < clt 11168  ℝ⁺crp 12931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-rp 12932

This theorem is referenced by:  rpaddcld  12990  fsumrpcl  15688  logcnlem2  26595  logcnlem3  26596  logcnlem4  26597  loglesqrt  26713  ang180lem2  26762  cxp2limlem  26927  logdifbnd  26945  emcllem4  26950  emcllem5  26951  emcllem6  26952  selberg2lem  27501  chpdifbndlem2  27505  pntpbnd1a  27536  pntpbnd1  27537  pntpbnd2  27538  pntpbnd  27539  pntibndlem1  27540  pntibndlem2  27542  pntibnd  27544  pntlemd  27545  pntlemq  27552  pntlemr  27553  pntlemj  27554  pntlemp  27561  pntleml  27562  smcnlem  30756  qdiff  37629  hoidmvlelem3  47013  amgmwlem  50265