MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpaddcl 12388
Description: Closure law for addition of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpaddcl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpaddcl
StepHypRef Expression
1 rpre 12374 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpre 12374 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
3 readdcl 10596 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2an 597 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5 elrp 12368 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6 elrp 12368 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7 addgt0 11102 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
87an4s 658 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
95, 6, 8syl2anb 599 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
10 elrp 12368 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
114, 9, 10sylanbrc 585 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2114   class class class wbr 5040  (class class class)co 7131  cr 10512  0cc0 10513   + caddc 10516   < clt 10651  +crp 12366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4813  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5434  df-po 5448  df-so 5449  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-ov 7134  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-rp 12367
This theorem is referenced by:  rpaddcld  12423  fsumrpcl  15072  logcnlem2  25210  logcnlem3  25211  logcnlem4  25212  loglesqrt  25323  ang180lem2  25372  cxp2limlem  25537  logdifbnd  25555  emcllem4  25560  emcllem5  25561  emcllem6  25562  selberg2lem  26110  chpdifbndlem2  26114  pntpbnd1a  26145  pntpbnd1  26146  pntpbnd2  26147  pntpbnd  26148  pntibndlem1  26149  pntibndlem2  26151  pntibnd  26153  pntlemd  26154  pntlemq  26161  pntlemr  26162  pntlemj  26163  pntlemp  26170  pntleml  26171  smcnlem  28456  hoidmvlelem3  43014  amgmwlem  45075
  Copyright terms: Public domain W3C validator