MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpaddcl 12399
Description: Closure law for addition of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpaddcl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpaddcl
StepHypRef Expression
1 rpre 12385 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpre 12385 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
3 readdcl 10608 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5 elrp 12379 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6 elrp 12379 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7 addgt0 11114 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
87an4s 656 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
95, 6, 8syl2anb 597 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
10 elrp 12379 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
114, 9, 10sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   < clt 10663  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  rpaddcld  12434  fsumrpcl  15082  logcnlem2  25153  logcnlem3  25154  logcnlem4  25155  loglesqrt  25266  ang180lem2  25315  cxp2limlem  25480  logdifbnd  25498  emcllem4  25503  emcllem5  25504  emcllem6  25505  selberg2lem  26053  chpdifbndlem2  26057  pntpbnd1a  26088  pntpbnd1  26089  pntpbnd2  26090  pntpbnd  26091  pntibndlem1  26092  pntibndlem2  26094  pntibnd  26096  pntlemd  26097  pntlemq  26104  pntlemr  26105  pntlemj  26106  pntlemp  26113  pntleml  26114  smcnlem  28401  hoidmvlelem3  42756  amgmwlem  44831
  Copyright terms: Public domain W3C validator