Theorem expgt0 13719

Description: A positive real raised to an integer power is positive. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 12636	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		rpexpcl 13704	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
3	2	rpgt0d 12679	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < (𝐴↑𝑁))
4	1, 3	sylanbr 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < (𝐴↑𝑁))
5	4	3impa 1112	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < (𝐴↑𝑁))
6	5	3com23 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5070  (class class class)co 7252  ℝcr 10776  0cc0 10777   < clt 10915  ℤcz 12224  ℝ⁺crp 12634  ↑cexp 13685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-div 11538  df-nn 11879  df-n0 12139  df-z 12225  df-uz 12487  df-rp 12635  df-seq 13625  df-exp 13686

This theorem is referenced by:  expnlbnd  13851  expmulnbnd  13853  expnngt1  13859  geomulcvg  15491  sin01gt0  15802  cos01gt0  15803  radcnvlem1  25452  ftalem1  26102  padicabv  26658  ostth2lem3  26663  ostth3  26666  omssubadd  32142  hgt750lemd  32503  hgt750lem  32506  knoppndvlem14  34607  knoppndvlem19  34612  knoppndvlem21  34614  3lexlogpow5ineq1  39969  aks4d1p1p2  39984  aks4d1p1p4  39985  aks4d1p1p6  39987  aks4d1p1p5  39989  oexpreposd  40214  stoweidlem1  43405  expnegico01  45720  fldivexpfllog2  45772  fllog2  45775  dignnld  45810