Theorem expgt0 14055

Description: A positive real raised to an integer power is positive. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 12942	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		rpexpcl 14040	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
3	2	rpgt0d 12987	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < (𝐴↑𝑁))
4	1, 3	sylanbr 588	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < (𝐴↑𝑁))
5	4	3impa 1115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < (𝐴↑𝑁))
6	5	3com23 1132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   < clt 11177  ℤcz 12522  ℝ⁺crp 12940  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  expnlbnd  14193  expmulnbnd  14195  expnngt1  14201  geomulcvg  15839  sin01gt0  16155  cos01gt0  16156  radcnvlem1  26403  ftalem1  27061  padicabv  27618  ostth2lem3  27623  ostth3  27626  expgt0b  32916  omssubadd  34491  hgt750lemd  34839  hgt750lem  34842  knoppndvlem14  36838  knoppndvlem19  36843  knoppndvlem21  36845  3lexlogpow5ineq1  42546  aks4d1p1p2  42562  aks4d1p1p4  42563  aks4d1p1p6  42565  aks4d1p1p5  42567  oexpreposd  42806  stoweidlem1  46451  expnegico01  49016  fldivexpfllog2  49063  fllog2  49066  dignnld  49101