Theorem expgt0 14268

Description: A positive real raised to an integer power is positive. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 13152	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		rpexpcl 14253	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
3	2	rpgt0d 13197	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < (𝐴↑𝑁))
4	1, 3	sylanbr 594	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < (𝐴↑𝑁))
5	4	3impa 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < (𝐴↑𝑁))
6	5	3com23 1144	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230   < clt 11373  ℤcz 12723  ℝ⁺crp 13150  ↑cexp 14234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-seq 14175  df-exp 14235

This theorem is used by:  expnlbnd  14407  expmulnbnd  14409  expnngt1  14415  geomulcvg  16077  sin01gt0  16390  cos01gt0  16391  radcnvlem1  26773  ftalem1  27433  padicabv  27990  ostth2lem3  27995  ostth3  27998  expgt0b  33481  omssubadd  35015  hgt750lemd  35360  hgt750lem  35363  knoppndvlem14  37582  knoppndvlem19  37587  knoppndvlem21  37589  3lexlogpow5ineq1  43307  aks4d1p1p2  43323  aks4d1p1p4  43324  aks4d1p1p6  43326  aks4d1p1p5  43328  oexpreposd  43583  stoweidlem1  47226  expnegico01  49845  fldivexpfllog2  49892  fllog2  49895  dignnld  49930