Theorem 2xp3dxp2ge1d 41022

Description: 2x+3 is greater than or equal to x+2 for x >= -1, a deduction version (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2xp3dxp2ge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (-1[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
2xp3dxp2ge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Proof of Theorem 2xp3dxp2ge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2xp3dxp2ge1d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (-1[,)+∞))
2		neg1rr 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
3		elicopnf 13422	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
5	1, 4	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
6	5	simpld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7		2re 12286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		readdcl 11193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
9	7, 8	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
11		neg1cn 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
12		2cn 12287	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
13		addcom 11400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 + 2) = (2 + -1))
14	11, 12, 13	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 + 2) = (2 + -1)
15		ax-1cn 11168	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		negsub 11508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 + -1) = (2 − 1))
17	12, 15, 16	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
18		2m1e1 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
19	14, 17, 18	3eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + 2) = 1
20	5	simprd 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ≤ 𝑋)
21		leadd1 11682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
22	2, 7, 21	mp3an13 1453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
24	20, 23	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2))
25	19, 24	eqbrtrrid 5185	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 2))
26		0lt1 11736	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
27	25, 26	jctil 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)))
28		0re 11216	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		1re 11214	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
30		ltletr 11306	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
31	28, 29, 30	mp3an12 1452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
32	10, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
33	27, 32	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 + 2))
34	10, 33	jca 513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
35		elrp 12976	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ↔ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
36	35	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2))))
37	34, 36	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+)
38		remulcl 11195	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
39	7, 38	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
40	6, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
41		3re 12292	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
42		readdcl 11193	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
43	41, 42	mpan2 690	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
44	40, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
45	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
46		1red 11215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47	40, 46	readdcld 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) ∈ ℝ)
48		recn 11200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
49		addrid 11394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
51	6, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
52	11, 15	addcomi 11405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 + 1) = (1 + -1)
53	15	negidi 11529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
54	52, 53	eqtri 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 + 1) = 0
55		leadd1 11682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
56	2, 29, 55	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
57	6, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
58	20, 57	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1))
59	54, 58	eqbrtrrid 5185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 1))
60		readdcl 11193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
61	29, 60	mpan2 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
62	6, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
63	62, 6	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ))
64		leadd2 11683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
65	28, 64	mp3an1 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
67	59, 66	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1)))
68	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
69	68	2timesd 12455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
70	69	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = ((𝑋 + 𝑋) + 1))
71		addass 11197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
72	15, 71	mp3an3 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
73	72	anidms 568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
74	68, 73	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
75	70, 74	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
76	67, 75	breqtrrd 5177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
77	51, 76	eqbrtrrd 5173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
78	45	leidd 11780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
79	6, 45, 47, 45, 77, 78	le2addd 11833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ (((2 · 𝑋) + 1) + 2))
80	40	recnd 11242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℂ)
81	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
82	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	addassd 11236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + (1 + 2)))
84		1p2e3 12355	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
85		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 2) = 3 → ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3))
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3)
87	83, 86	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + 3))
88	79, 87	breqtrd 5175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3))
89	37, 44, 88	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)))
90		divge1 13042	. 2 ⊢ (((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)) → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))
91	89, 90	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  3c3 12268  ℝ⁺crp 12974  [,)cico 13326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-3 12276  df-rp 12975  df-ico 13330

This theorem is referenced by: (None)