Theorem 2xp3dxp2ge1d 41328

Description: 2x+3 is greater than or equal to x+2 for x >= -1, a deduction version (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2xp3dxp2ge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (-1[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
2xp3dxp2ge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Proof of Theorem 2xp3dxp2ge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2xp3dxp2ge1d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (-1[,)+∞))
2		neg1rr 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
3		elicopnf 13426	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
5	1, 4	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
6	5	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7		2re 12290	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		readdcl 11195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
9	7, 8	mpan2 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
11		neg1cn 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
12		2cn 12291	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
13		addcom 11404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 + 2) = (2 + -1))
14	11, 12, 13	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 + 2) = (2 + -1)
15		ax-1cn 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		negsub 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 + -1) = (2 − 1))
17	12, 15, 16	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
18		2m1e1 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
19	14, 17, 18	3eqtri 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + 2) = 1
20	5	simprd 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ≤ 𝑋)
21		leadd1 11686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
22	2, 7, 21	mp3an13 1450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
24	20, 23	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2))
25	19, 24	eqbrtrrid 5183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 2))
26		0lt1 11740	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
27	25, 26	jctil 518	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)))
28		0re 11220	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		1re 11218	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
30		ltletr 11310	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
31	28, 29, 30	mp3an12 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
32	10, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
33	27, 32	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 + 2))
34	10, 33	jca 510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
35		elrp 12980	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ↔ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
36	35	imbi2i 335	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2))))
37	34, 36	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+)
38		remulcl 11197	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
39	7, 38	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
40	6, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
41		3re 12296	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
42		readdcl 11195	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
43	41, 42	mpan2 687	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
44	40, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
45	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
46		1red 11219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47	40, 46	readdcld 11247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) ∈ ℝ)
48		recn 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
49		addrid 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
51	6, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
52	11, 15	addcomi 11409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 + 1) = (1 + -1)
53	15	negidi 11533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
54	52, 53	eqtri 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 + 1) = 0
55		leadd1 11686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
56	2, 29, 55	mp3an13 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
57	6, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
58	20, 57	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1))
59	54, 58	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 1))
60		readdcl 11195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
61	29, 60	mpan2 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
62	6, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
63	62, 6	jca 510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ))
64		leadd2 11687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
65	28, 64	mp3an1 1446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
67	59, 66	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1)))
68	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
69	68	2timesd 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
70	69	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = ((𝑋 + 𝑋) + 1))
71		addass 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
72	15, 71	mp3an3 1448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
73	72	anidms 565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
74	68, 73	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
75	70, 74	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
76	67, 75	breqtrrd 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
77	51, 76	eqbrtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
78	45	leidd 11784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
79	6, 45, 47, 45, 77, 78	le2addd 11837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ (((2 · 𝑋) + 1) + 2))
80	40	recnd 11246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℂ)
81	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
82	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	addassd 11240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + (1 + 2)))
84		1p2e3 12359	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
85		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 2) = 3 → ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3))
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3)
87	83, 86	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + 3))
88	79, 87	breqtrd 5173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3))
89	37, 44, 88	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)))
90		divge1 13046	. 2 ⊢ (((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)) → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))
91	89, 90	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  +∞cpnf 11249   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  ℝ⁺crp 12978  [,)cico 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-3 12280  df-rp 12979  df-ico 13334

This theorem is referenced by: (None)