Theorem 2xp3dxp2ge1d 42242

Description: 2x+3 is greater than or equal to x+2 for x >= -1, a deduction version (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2xp3dxp2ge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (-1[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
2xp3dxp2ge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Proof of Theorem 2xp3dxp2ge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2xp3dxp2ge1d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (-1[,)+∞))
2		neg1rr 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
3		elicopnf 13485	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
5	1, 4	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
6	5	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7		2re 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		readdcl 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
9	7, 8	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
11		neg1cn 12380	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
12		2cn 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
13		addcom 11447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 + 2) = (2 + -1))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 + 2) = (2 + -1)
15		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		negsub 11557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 + -1) = (2 − 1))
17	12, 15, 16	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
18		2m1e1 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
19	14, 17, 18	3eqtri 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + 2) = 1
20	5	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ≤ 𝑋)
21		leadd1 11731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
22	2, 7, 21	mp3an13 1454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
24	20, 23	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2))
25	19, 24	eqbrtrrid 5179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 2))
26		0lt1 11785	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
27	25, 26	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)))
28		0re 11263	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		1re 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
30		ltletr 11353	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
31	28, 29, 30	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
32	10, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
33	27, 32	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 + 2))
34	10, 33	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
35		elrp 13036	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ↔ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
36	35	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2))))
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+)
38		remulcl 11240	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
39	7, 38	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
40	6, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
41		3re 12346	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
42		readdcl 11238	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
43	41, 42	mpan2 691	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
44	40, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
45	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
46		1red 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47	40, 46	readdcld 11290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) ∈ ℝ)
48		recn 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
49		addrid 11441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
51	6, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
52	11, 15	addcomi 11452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 + 1) = (1 + -1)
53	15	negidi 11578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
54	52, 53	eqtri 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 + 1) = 0
55		leadd1 11731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
56	2, 29, 55	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
57	6, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
58	20, 57	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1))
59	54, 58	eqbrtrrid 5179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 1))
60		readdcl 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
61	29, 60	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
62	6, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
63	62, 6	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ))
64		leadd2 11732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
65	28, 64	mp3an1 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
67	59, 66	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1)))
68	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
69	68	2timesd 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
70	69	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = ((𝑋 + 𝑋) + 1))
71		addass 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
72	15, 71	mp3an3 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
73	72	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
74	68, 73	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
75	70, 74	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
76	67, 75	breqtrrd 5171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
77	51, 76	eqbrtrrd 5167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
78	45	leidd 11829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
79	6, 45, 47, 45, 77, 78	le2addd 11882	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ (((2 · 𝑋) + 1) + 2))
80	40	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℂ)
81	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
82	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	addassd 11283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + (1 + 2)))
84		1p2e3 12409	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
85		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 2) = 3 → ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3))
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3)
87	83, 86	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + 3))
88	79, 87	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3))
89	37, 44, 88	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)))
90		divge1 13103	. 2 ⊢ (((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)) → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))
91	89, 90	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-3 12330  df-rp 13035  df-ico 13393

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