Theorem 2xp3dxp2ge1d 42223

Description: 2x+3 is greater than or equal to x+2 for x >= -1, a deduction version (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2xp3dxp2ge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (-1[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
2xp3dxp2ge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Proof of Theorem 2xp3dxp2ge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2xp3dxp2ge1d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (-1[,)+∞))
2		neg1rr 12379	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
3		elicopnf 13482	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
5	1, 4	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
6	5	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7		2re 12338	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		readdcl 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
9	7, 8	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
11		neg1cn 12378	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
12		2cn 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
13		addcom 11445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 + 2) = (2 + -1))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 + 2) = (2 + -1)
15		ax-1cn 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		negsub 11555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 + -1) = (2 − 1))
17	12, 15, 16	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
18		2m1e1 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
19	14, 17, 18	3eqtri 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + 2) = 1
20	5	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ≤ 𝑋)
21		leadd1 11729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
22	2, 7, 21	mp3an13 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
24	20, 23	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2))
25	19, 24	eqbrtrrid 5184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 2))
26		0lt1 11783	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
27	25, 26	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)))
28		0re 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		1re 11259	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
30		ltletr 11351	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
31	28, 29, 30	mp3an12 1450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
32	10, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
33	27, 32	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 + 2))
34	10, 33	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
35		elrp 13034	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ↔ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
36	35	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2))))
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+)
38		remulcl 11238	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
39	7, 38	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
40	6, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
41		3re 12344	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
42		readdcl 11236	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
43	41, 42	mpan2 691	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
44	40, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
45	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
46		1red 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47	40, 46	readdcld 11288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) ∈ ℝ)
48		recn 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
49		addrid 11439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
51	6, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
52	11, 15	addcomi 11450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 + 1) = (1 + -1)
53	15	negidi 11576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
54	52, 53	eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 + 1) = 0
55		leadd1 11729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
56	2, 29, 55	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
57	6, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
58	20, 57	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1))
59	54, 58	eqbrtrrid 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 1))
60		readdcl 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
61	29, 60	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
62	6, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
63	62, 6	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ))
64		leadd2 11730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
65	28, 64	mp3an1 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
67	59, 66	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1)))
68	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
69	68	2timesd 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
70	69	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = ((𝑋 + 𝑋) + 1))
71		addass 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
72	15, 71	mp3an3 1449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
73	72	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
74	68, 73	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
75	70, 74	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
76	67, 75	breqtrrd 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
77	51, 76	eqbrtrrd 5172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
78	45	leidd 11827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
79	6, 45, 47, 45, 77, 78	le2addd 11880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ (((2 · 𝑋) + 1) + 2))
80	40	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℂ)
81	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
82	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	addassd 11281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + (1 + 2)))
84		1p2e3 12407	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
85		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 2) = 3 → ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3))
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3)
87	83, 86	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + 3))
88	79, 87	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3))
89	37, 44, 88	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)))
90		divge1 13101	. 2 ⊢ (((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)) → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))
91	89, 90	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  ℝ⁺crp 13032  [,)cico 13386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-3 12328  df-rp 13033  df-ico 13390

This theorem is referenced by: (None)