Theorem 2xp3dxp2ge1d 39180

Description: 2x+3 is greater than or equal to x+2 for x >= -1, a deduction version (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2xp3dxp2ge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (-1[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
2xp3dxp2ge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Proof of Theorem 2xp3dxp2ge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2xp3dxp2ge1d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (-1[,)+∞))
2		neg1rr 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
3		elicopnf 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
5	1, 4	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
6	5	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7		2re 11705	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		readdcl 10613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
9	7, 8	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
11		neg1cn 11745	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
12		2cn 11706	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
13		addcom 10819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 + 2) = (2 + -1))
14	11, 12, 13	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 + 2) = (2 + -1)
15		ax-1cn 10588	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		negsub 10927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 + -1) = (2 − 1))
17	12, 15, 16	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
18		2m1e1 11757	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
19	14, 17, 18	3eqtri 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + 2) = 1
20	5	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ≤ 𝑋)
21		leadd1 11101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
22	2, 7, 21	mp3an13 1447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
24	20, 23	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2))
25	19, 24	eqbrtrrid 5095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 2))
26		0lt1 11155	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
27	25, 26	jctil 522	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)))
28		0re 10636	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		1re 10634	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
30		ltletr 10725	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
31	28, 29, 30	mp3an12 1446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
32	10, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
33	27, 32	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 + 2))
34	10, 33	jca 514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
35		elrp 12385	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ↔ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
36	35	imbi2i 338	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2))))
37	34, 36	mpbir 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+)
38		remulcl 10615	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
39	7, 38	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
40	6, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
41		3re 11711	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
42		readdcl 10613	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
43	41, 42	mpan2 689	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
44	40, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
45	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
46		1red 10635	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47	40, 46	readdcld 10663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) ∈ ℝ)
48		recn 10620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
49		addid1 10813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
51	6, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
52	11, 15	addcomi 10824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 + 1) = (1 + -1)
53	15	negidi 10948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
54	52, 53	eqtri 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 + 1) = 0
55		leadd1 11101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
56	2, 29, 55	mp3an13 1447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
57	6, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
58	20, 57	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1))
59	54, 58	eqbrtrrid 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 1))
60		readdcl 10613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
61	29, 60	mpan2 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
62	6, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
63	62, 6	jca 514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ))
64		leadd2 11102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
65	28, 64	mp3an1 1443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
67	59, 66	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1)))
68	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
69	68	2timesd 11874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
70	69	oveq1d 7164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = ((𝑋 + 𝑋) + 1))
71		addass 10617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
72	15, 71	mp3an3 1445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
73	72	anidms 569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
74	68, 73	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
75	70, 74	eqtrd 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
76	67, 75	breqtrrd 5087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
77	51, 76	eqbrtrrd 5083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
78	45	leidd 11199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
79	6, 45, 47, 45, 77, 78	le2addd 11252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ (((2 · 𝑋) + 1) + 2))
80	40	recnd 10662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℂ)
81	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
82	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	addassd 10656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + (1 + 2)))
84		1p2e3 11774	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
85		oveq2 7157	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 2) = 3 → ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3))
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3)
87	83, 86	syl6eq 2871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + 3))
88	79, 87	breqtrd 5085	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3))
89	37, 44, 88	3jca 1123	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)))
90		divge1 12451	. 2 ⊢ (((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)) → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))
91	89, 90	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5059  (class class class)co 7149  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  +∞cpnf 10665   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  2c2 11686  3c3 11687  ℝ⁺crp 12383  [,)cico 12734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-2 11694  df-3 11695  df-rp 12384  df-ico 12738

This theorem is referenced by: (None)