Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2xp3dxp2ge1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2xp3dxp2ge1d 40614
Description: 2x+3 is greater than or equal to x+2 for x >= -1, a deduction version (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2xp3dxp2ge1d.1 (𝜑𝑋 ∈ (-1[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
2xp3dxp2ge1d (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))

Proof of Theorem 2xp3dxp2ge1d
StepHypRef Expression
1 2xp3dxp2ge1d.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (-1[,)+∞))
2 neg1rr 12268 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
3 elicopnf 13362 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (-1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
51, 4sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑋))
65simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
7 2re 12227 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
8 readdcl 11134 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
97, 8mpan2 689 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
106, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ)
11 neg1cn 12267 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
12 2cn 12228 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
13 addcom 11341 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 + 2) = (2 + -1))
1411, 12, 13mp2an 690 . . . . . . . . 9 (-1 + 2) = (2 + -1)
15 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
16 negsub 11449 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 + -1) = (2 − 1))
1712, 15, 16mp2an 690 . . . . . . . . 9 (2 + -1) = (2 − 1)
18 2m1e1 12279 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1914, 17, 183eqtri 2768 . . . . . . . 8 (-1 + 2) = 1
205simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ≤ 𝑋)
21 leadd1 11623 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
222, 7, 21mp3an13 1452 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
236, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2)))
2420, 23mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1 + 2) ≤ (𝑋 + 2))
2519, 24eqbrtrrid 5141 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 2))
26 0lt1 11677 . . . . . . 7 0 < 1
2725, 26jctil 520 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)))
28 0re 11157 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
29 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
30 ltletr 11247 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
3128, 29, 30mp3an12 1451 . . . . . . 7 ((𝑋 + 2) ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
3210, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (𝑋 + 2)) → 0 < (𝑋 + 2)))
3327, 32mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (𝑋 + 2))
3410, 33jca 512 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
35 elrp 12917 . . . . 5 ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ↔ ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2)))
3635imbi2i 335 . . . 4 ((𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 + 2))))
3734, 36mpbir 230 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 2) ∈ ℝ+)
38 remulcl 11136 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
397, 38mpan 688 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
406, 39syl 17 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
41 3re 12233 . . . . 5 3 ∈ ℝ
42 readdcl 11134 . . . . 5 (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
4341, 42mpan2 689 . . . 4 ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
4440, 43syl 17 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ)
457a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
46 1red 11156 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4740, 46readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) ∈ ℝ)
48 recn 11141 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
49 addid1 11335 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
516, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
5211, 15addcomi 11346 . . . . . . . . . 10 (-1 + 1) = (1 + -1)
5315negidi 11470 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
5452, 53eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (-1 + 1) = 0
55 leadd1 11623 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
562, 29, 55mp3an13 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
576, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1 ≤ 𝑋 ↔ (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1)))
5820, 57mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 + 1) ≤ (𝑋 + 1))
5954, 58eqbrtrrid 5141 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 1))
60 readdcl 11134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
6129, 60mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
626, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
6362, 6jca 512 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ))
64 leadd2 11624 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
6528, 64mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 (((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
6663, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 + 1) ↔ (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1))))
6759, 66mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑋 + 1)))
686, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
69682timesd 12396 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
7069oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = ((𝑋 + 𝑋) + 1))
71 addass 11138 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
7215, 71mp3an3 1450 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
7372anidms 567 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
7468, 73syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
7570, 74eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑋) + 1) = (𝑋 + (𝑋 + 1)))
7667, 75breqtrrd 5133 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 0) ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
7751, 76eqbrtrrd 5129 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≤ ((2 · 𝑋) + 1))
7845leidd 11721 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ 2)
796, 45, 47, 45, 77, 78le2addd 11774 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ (((2 · 𝑋) + 1) + 2))
8040recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑋) ∈ ℂ)
8115a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8212a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
8380, 81, 82addassd 11177 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + (1 + 2)))
84 1p2e3 12296 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
85 oveq2 7365 . . . . . 6 ((1 + 2) = 3 → ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3))
8684, 85ax-mp 5 . . . . 5 ((2 · 𝑋) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑋) + 3)
8783, 86eqtrdi 2792 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑋) + 1) + 2) = ((2 · 𝑋) + 3))
8879, 87breqtrd 5131 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3))
8937, 44, 883jca 1128 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)))
90 divge1 12983 . 2 (((𝑋 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑋) + 3) ∈ ℝ ∧ (𝑋 + 2) ≤ ((2 · 𝑋) + 3)) → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))
9189, 90syl 17 1 (𝜑 → 1 ≤ (((2 · 𝑋) + 3) / (𝑋 + 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  3c3 12209  +crp 12915  [,)cico 13266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-3 12217  df-rp 12916  df-ico 13270
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator