Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrtcvallem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtcvallem1 40329
 Description: Two ways of saying a complex number does not lie on the positive real axis. Lemma for sqrtcval 40339. (Contributed by RP, 17-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrtcvallem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sqrtcvallem1 (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtcvallem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3891 . . 3 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)))
3 imor 850 . . . 4 (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
4 sqrtcvallem1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
54biantrurd 536 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ)))
6 reim0b 14470 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
74, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
87notbid 321 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ ¬ (ℑ‘𝐴) = 0))
98bicomd 226 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
10 eleq1 2877 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
1110notbid 321 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
1211elrab 3628 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ)))
145, 9, 133bitr4d 314 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ}))
154biantrurd 536 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 0 < (ℜ‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴))))
164recld 14545 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17 0red 10633 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1816, 17lenltd 10775 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
19 fveq2 6645 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
2019breq2d 5042 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (0 < (ℜ‘𝑥) ↔ 0 < (ℜ‘𝐴)))
2120notbid 321 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 0 < (ℜ‘𝑥) ↔ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
2221elrab 3628 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴))))
2415, 18, 233bitr4d 314 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}))
2514, 24orbi12d 916 . . . 4 (𝜑 → ((¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
263, 25syl5bb 286 . . 3 (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
27 elun 4076 . . . 4 (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}))
2827a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
29 ianor 979 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)))
3029bicomi 227 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
31 elrp 12379 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
32 rere 14473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (ℜ‘𝑥) = 𝑥)
3332breq2d 5042 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < (ℜ‘𝑥) ↔ 0 < 𝑥))
3433bicomd 226 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (ℜ‘𝑥)))
3534pm5.32i 578 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
3631, 35bitri 278 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
3730, 36xchbinxr 338 . . . . . . 7 ((¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+)
3837rabbii 3420 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥))} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+}
39 unrab 4226 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥))}
40 dfdif2 3890 . . . . . 6 (ℂ ∖ ℝ+) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+}
4138, 39, 403eqtr4i 2831 . . . . 5 ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = (ℂ ∖ ℝ+)
4241a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = (ℂ ∖ ℝ+))
4342eleq2d 2875 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+)))
4426, 28, 433bitr2d 310 . 2 (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+)))
454biantrurd 536 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)))
462, 44, 453bitr4d 314 1 (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℝ+crp 12377  ℜcre 14448  ℑcim 14449 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-rp 12378  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452 This theorem is referenced by:  sqrtcval  40339
 Copyright terms: Public domain W3C validator