Theorem sqrtcvallem1 43627

Description: Two ways of saying a complex number does not lie on the positive real axis. Lemma for sqrtcval 43637. (Contributed by RP, 17-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrtcvallem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcvallem1	⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtcvallem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3927	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)))
3		imor 853	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
4		sqrtcvallem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ)))
6		reim0b 15092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
8	7	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ ¬ (ℑ‘𝐴) = 0))
9	8	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
10		eleq1 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
11	10	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
12	11	elrab 3662	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ)))
14	5, 9, 13	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ}))
15	4	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < (ℜ‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴))))
16	4	recld 15167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17		0red 11184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	16, 17	lenltd 11327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
19		fveq2 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
20	19	breq2d 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < (ℜ‘𝑥) ↔ 0 < (ℜ‘𝐴)))
21	20	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 0 < (ℜ‘𝑥) ↔ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
22	21	elrab 3662	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴))))
24	15, 18, 23	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}))
25	14, 24	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
26	3, 25	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
27		elun 4119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}))
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
29		ianor 983	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)))
30	29	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
31		elrp 12960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
32		rere 15095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ℜ‘𝑥) = 𝑥)
33	32	breq2d 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < (ℜ‘𝑥) ↔ 0 < 𝑥))
34	33	bicomd 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (ℜ‘𝑥)))
35	34	pm5.32i 574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
36	31, 35	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
37	30, 36	xchbinxr 335	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+)
38	37	rabbii 3414	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥))} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+}
39		unrab 4281	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥))}
40		dfdif2 3926	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ ℝ+) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+}
41	38, 39, 40	3eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = (ℂ ∖ ℝ+)
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = (ℂ ∖ ℝ+))
43	42	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+)))
44	26, 28, 43	3bitr2d 307	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+)))
45	4	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)))
46	2, 44, 45	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℝ⁺crp 12958  ℜcre 15070  ℑcim 15071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-rp 12959  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074

This theorem is referenced by:  sqrtcval  43637