Theorem sqrtcvallem1 40867

Description: Two ways of saying a complex number does not lie on the positive real axis. Lemma for sqrtcval 40877. (Contributed by RP, 17-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrtcvallem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcvallem1	⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtcvallem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3867	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)))
3		imor 853	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
4		sqrtcvallem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	biantrurd 536	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ)))
6		reim0b 14665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
8	7	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ ¬ (ℑ‘𝐴) = 0))
9	8	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
10		eleq1 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
11	10	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
12	11	elrab 3595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ)))
14	5, 9, 13	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ}))
15	4	biantrurd 536	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < (ℜ‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴))))
16	4	recld 14740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17		0red 10819	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	16, 17	lenltd 10961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
19		fveq2 6706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
20	19	breq2d 5055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < (ℜ‘𝑥) ↔ 0 < (ℜ‘𝐴)))
21	20	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 0 < (ℜ‘𝑥) ↔ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
22	21	elrab 3595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴))))
24	15, 18, 23	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}))
25	14, 24	orbi12d 919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
26	3, 25	syl5bb 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
27		elun 4053	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}))
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
29		ianor 982	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)))
30	29	bicomi 227	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
31		elrp 12571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
32		rere 14668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ℜ‘𝑥) = 𝑥)
33	32	breq2d 5055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < (ℜ‘𝑥) ↔ 0 < 𝑥))
34	33	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (ℜ‘𝑥)))
35	34	pm5.32i 578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
36	31, 35	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
37	30, 36	xchbinxr 338	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+)
38	37	rabbii 3376	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥))} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+}
39		unrab 4210	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥))}
40		dfdif2 3866	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ ℝ+) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+}
41	38, 39, 40	3eqtr4i 2772	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = (ℂ ∖ ℝ+)
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = (ℂ ∖ ℝ+))
43	42	eleq2d 2819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+)))
44	26, 28, 43	3bitr2d 310	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+)))
45	4	biantrurd 536	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)))
46	2, 44, 45	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {crab 3058   ∖ cdif 3854   ∪ cun 3855   class class class wbr 5043  ‘cfv 6369  ℂcc 10710  ℝcr 10711  0cc0 10712   < clt 10850   ≤ cle 10851  ℝ⁺crp 12569  ℜcre 14643  ℑcim 14644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-2 11876  df-rp 12570  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647

This theorem is referenced by:  sqrtcval  40877