Theorem sqrtcvallem1 42367

Description: Two ways of saying a complex number does not lie on the positive real axis. Lemma for sqrtcval 42377. (Contributed by RP, 17-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrtcvallem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcvallem1	⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtcvallem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3957	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)))
3		imor 851	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
4		sqrtcvallem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	biantrurd 533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ)))
6		reim0b 15062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
8	7	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ ¬ (ℑ‘𝐴) = 0))
9	8	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
10		eleq1 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
11	10	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
12	11	elrab 3682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ)))
14	5, 9, 13	3bitr4d 310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ}))
15	4	biantrurd 533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < (ℜ‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴))))
16	4	recld 15137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17		0red 11213	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	16, 17	lenltd 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
19		fveq2 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
20	19	breq2d 5159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < (ℜ‘𝑥) ↔ 0 < (ℜ‘𝐴)))
21	20	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 0 < (ℜ‘𝑥) ↔ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
22	21	elrab 3682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴))))
24	15, 18, 23	3bitr4d 310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}))
25	14, 24	orbi12d 917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
26	3, 25	bitrid 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
27		elun 4147	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}))
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
29		ianor 980	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)))
30	29	bicomi 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
31		elrp 12972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
32		rere 15065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ℜ‘𝑥) = 𝑥)
33	32	breq2d 5159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < (ℜ‘𝑥) ↔ 0 < 𝑥))
34	33	bicomd 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (ℜ‘𝑥)))
35	34	pm5.32i 575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
36	31, 35	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
37	30, 36	xchbinxr 334	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+)
38	37	rabbii 3438	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥))} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+}
39		unrab 4304	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥))}
40		dfdif2 3956	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ ℝ+) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+}
41	38, 39, 40	3eqtr4i 2770	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = (ℂ ∖ ℝ+)
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = (ℂ ∖ ℝ+))
43	42	eleq2d 2819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+)))
44	26, 28, 43	3bitr2d 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+)))
45	4	biantrurd 533	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)))
46	2, 44, 45	3bitr4d 310	1 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℝ⁺crp 12970  ℜcre 15040  ℑcim 15041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044

This theorem is referenced by:  sqrtcval  42377