Theorem sqrtcvallem1 43981

Description: Two ways of saying a complex number does not lie on the positive real axis. Lemma for sqrtcval 43991. (Contributed by RP, 17-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrtcvallem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcvallem1	⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtcvallem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3913	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)))
3		imor 854	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
4		sqrtcvallem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ)))
6		reim0b 15054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
8	7	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ ¬ (ℑ‘𝐴) = 0))
9	8	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
10		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
11	10	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
12	11	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ))
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ)))
14	5, 9, 13	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ}))
15	4	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < (ℜ‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴))))
16	4	recld 15129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17		0red 11147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	16, 17	lenltd 11291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
19		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
20	19	breq2d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < (ℜ‘𝑥) ↔ 0 < (ℜ‘𝐴)))
21	20	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 0 < (ℜ‘𝑥) ↔ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
22	21	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴)))
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 0 < (ℜ‘𝐴))))
24	15, 18, 23	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}))
25	14, 24	orbi12d 919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
26	3, 25	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
27		elun 4107	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}))
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∨ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)})))
29		ianor 984	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)))
30	29	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
31		elrp 12919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
32		rere 15057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ℜ‘𝑥) = 𝑥)
33	32	breq2d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < (ℜ‘𝑥) ↔ 0 < 𝑥))
34	33	bicomd 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (ℜ‘𝑥)))
35	34	pm5.32i 574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
36	31, 35	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑥)))
37	30, 36	xchbinxr 335	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)) ↔ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+)
38	37	rabbii 3406	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥))} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+}
39		unrab 4269	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥))}
40		dfdif2 3912	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ ℝ+) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ+}
41	38, 39, 40	3eqtr4i 2770	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = (ℂ ∖ ℝ+)
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) = (ℂ ∖ ℝ+))
43	42	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 𝑥 ∈ ℝ} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ 0 < (ℜ‘𝑥)}) ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+)))
44	26, 28, 43	3bitr2d 307	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ+)))
45	4	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)))
46	2, 44, 45	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) = 0 → (ℜ‘𝐴) ≤ 0) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℝ⁺crp 12917  ℜcre 15032  ℑcim 15033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-rp 12918  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036

This theorem is referenced by:  sqrtcval  43991