MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtdiv 15159
Description: Square root distributes over division. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sqrtdiv (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)) = ((โˆšโ€˜๐ด) / (โˆšโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem sqrtdiv
StepHypRef Expression
1 rerpdivcl 12953 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
21adantlr 714 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
3 elrp 12925 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
4 divge0 12032 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
53, 4sylan2b 595 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
6 resqrtcl 15147 . . . . 5 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
72, 5, 6syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
87recnd 11191 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9 rpsqrtcl 15158 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜๐ต) โˆˆ โ„+)
109adantl 483 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜๐ต) โˆˆ โ„+)
1110rpcnd 12967 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
1210rpne0d 12970 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜๐ต) โ‰  0)
138, 11, 12divcan4d 11945 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (((โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜๐ต)) / (โˆšโ€˜๐ต)) = (โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)))
14 rprege0 12938 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
1514adantl 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
16 sqrtmul 15153 . . . . 5 ((((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต)) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)) = ((โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜๐ต)))
172, 5, 15, 16syl21anc 837 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)) = ((โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜๐ต)))
18 simpll 766 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1918recnd 11191 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
20 rpcn 12933 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2120adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
22 rpne0 12939 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โ‰  0)
2322adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โ‰  0)
2419, 21, 23divcan1d 11940 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
2524fveq2d 6850 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)) = (โˆšโ€˜๐ด))
2617, 25eqtr3d 2775 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜๐ต)) = (โˆšโ€˜๐ด))
2726oveq1d 7376 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (((โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜๐ต)) / (โˆšโ€˜๐ต)) = ((โˆšโ€˜๐ด) / (โˆšโ€˜๐ต)))
2813, 27eqtr3d 2775 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด / ๐ต)) = ((โˆšโ€˜๐ด) / (โˆšโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820  โ„+crp 12923  โˆšcsqrt 15127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129
This theorem is referenced by:  sqrtdivd  15317  dchrisum0flblem2  26880  dchrisum0lem2a  26888  dchrisum0lem2  26889
  Copyright terms: Public domain W3C validator