MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtdiv 14829
Description: Square root distributes over division. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sqrtdiv (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) = ((√‘𝐴) / (√‘𝐵)))

Proof of Theorem sqrtdiv
StepHypRef Expression
1 rerpdivcl 12616 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
21adantlr 715 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
3 elrp 12588 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
4 divge0 11701 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
53, 4sylan2b 597 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
6 resqrtcl 14817 . . . . 5 (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
72, 5, 6syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
87recnd 10861 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
9 rpsqrtcl 14828 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (√‘𝐵) ∈ ℝ+)
109adantl 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘𝐵) ∈ ℝ+)
1110rpcnd 12630 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
1210rpne0d 12633 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘𝐵) ≠ 0)
138, 11, 12divcan4d 11614 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) = (√‘(𝐴 / 𝐵)))
14 rprege0 12601 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1514adantl 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
16 sqrtmul 14823 . . . . 5 ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)))
172, 5, 15, 16syl21anc 838 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)))
18 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
1918recnd 10861 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
20 rpcn 12596 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
2120adantl 485 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
22 rpne0 12602 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
2322adantl 485 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
2419, 21, 23divcan1d 11609 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
2524fveq2d 6721 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = (√‘𝐴))
2617, 25eqtr3d 2779 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)) = (√‘𝐴))
2726oveq1d 7228 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) = ((√‘𝐴) / (√‘𝐵)))
2813, 27eqtr3d 2779 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) = ((√‘𝐴) / (√‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868   / cdiv 11489  +crp 12586  csqrt 14796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798
This theorem is referenced by:  sqrtdivd  14987  dchrisum0flblem2  26390  dchrisum0lem2a  26398  dchrisum0lem2  26399
  Copyright terms: Public domain W3C validator