Theorem sqrtdiv 15306

Description: Square root distributes over division. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtdiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) = ((√‘𝐴) / (√‘𝐵)))

Proof of Theorem sqrtdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 13039	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
3		elrp 13009	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
4		divge0 12075	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
5	3, 4	sylan2b 605	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
6		resqrtcl 15294	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
7	2, 5, 6	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11225	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
9		rpsqrtcl 15305	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (√‘𝐵) ∈ ℝ+)
10	9	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘𝐵) ∈ ℝ+)
11	10	rpcnd 13053	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
12	10	rpne0d 13056	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘𝐵) ≠ 0)
13	8, 11, 12	divcan4d 11988	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) = (√‘(𝐴 / 𝐵)))
14		rprege0 13023	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
15	14	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
16		sqrtmul 15300	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)))
17	2, 5, 15, 16	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)))
18		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11225	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		rpcn 13018	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
22		rpne0 13024	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
23	22	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
24	19, 21, 23	divcan1d 11983	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
25	24	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = (√‘𝐴))
26	17, 25	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)) = (√‘𝐴))
27	26	oveq1d 7415	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) = ((√‘𝐴) / (√‘𝐵)))
28	13, 27	eqtr3d 2802	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) = ((√‘𝐴) / (√‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   / cdiv 11859  ℝ⁺crp 13007  √csqrt 15274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276

This theorem is referenced by:  sqrtdivd  15465  dchrisum0flblem2  27631  dchrisum0lem2a  27639  dchrisum0lem2  27640