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Theorem unbdqndv2lem2 35381
Description: Lemma for unbdqndv2 35382. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2lem2.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
unbdqndv2lem2.w π‘Š = if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉)
unbdqndv2lem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
unbdqndv2lem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
unbdqndv2lem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
unbdqndv2lem2.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝐴)
unbdqndv2lem2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑉)
unbdqndv2lem2.4 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ) < 𝐷)
unbdqndv2lem2.5 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐡) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2lem2 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ∧ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑧,𝐹   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐺(𝑧)   π‘Š(𝑧)
Proof of Theorem unbdqndv2lem2
StepHypRef Expression
1 unbdqndv2lem2.w . . . . . 6 π‘Š = if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉)
21a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š = if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉))
3 iftrue 4534 . . . . . 6 ((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) β†’ if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉) = π‘ˆ)
43adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉) = π‘ˆ)
52, 4eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š = π‘ˆ)
6 unbdqndv2lem2.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
76adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
8 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
9 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π΄))
109eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π‘ˆ))
1110oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
1211fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ = 𝐴 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))))
1312adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))))
14 unbdqndv2lem2.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
1514, 6ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) ∈ β„‚)
1615subidd 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) = 0)
1716fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) = (absβ€˜0))
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) = (absβ€˜0))
19 abs0 15231 . . . . . . . . . . . . 13 (absβ€˜0) = 0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜0) = 0)
2118, 20eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) = 0)
2213, 21eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = 0)
2322adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = 0)
248, 23breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0)
25 unbdqndv2lem2.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
2625rpred 13015 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
27 unbdqndv2lem2.x . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
28 unbdqndv2lem2.v . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑋)
2927, 28sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ ℝ)
3027, 6sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
3129, 30resubcld 11641 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
3225rpgt0d 13018 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐡)
33 unbdqndv2lem2.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3427, 33sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
35 unbdqndv2lem2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝐴)
36 unbdqndv2lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑉)
3730, 34, 29, 35, 36letrd 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝑉)
38 unbdqndv2lem2.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
3938necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  π‘ˆ)
4030, 29, 37, 39leneltd 11367 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < 𝑉)
4130, 29posdifd 11800 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < 𝑉 ↔ 0 < (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
4240, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))
4326, 31, 32, 42mulgt0d 11368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
44 0red 11216 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
4526, 31remulcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
4644, 45ltnled 11360 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 < (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ↔ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0))
4743, 46mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0)
4847adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0)
4948adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0)
5024, 49pm2.65da 815 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ π‘ˆ = 𝐴)
5150neqned 2947 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ β‰  𝐴)
527, 51jca 512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘ˆ β‰  𝐴))
53 eldifsn 4790 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘ˆ β‰  𝐴))
5452, 53sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}))
555, 54eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}))
565oveq1d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘Š βˆ’ 𝐴) = (π‘ˆ βˆ’ 𝐴))
5756fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(π‘ˆ βˆ’ 𝐴)))
5830, 34, 35abssuble0d 15378 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘ˆ βˆ’ 𝐴)) = (𝐴 βˆ’ π‘ˆ))
5958adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘ˆ βˆ’ 𝐴)) = (𝐴 βˆ’ π‘ˆ))
6057, 59eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) = (𝐴 βˆ’ π‘ˆ))
6134, 30resubcld 11641 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
62 unbdqndv2lem2.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
6362rpred 13015 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
6434, 29, 30, 36lesub1dd 11829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ≀ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))
65 unbdqndv2lem2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ) < 𝐷)
6661, 31, 63, 64, 65lelttrd 11371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) < 𝐷)
6766adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) < 𝐷)
6860, 67eqbrtrd 5170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
6926, 61remulcld 11243 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
7069adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
7145adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
7214, 33ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
7315, 72subcld 11570 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
7473abscld 15382 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
7574adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
7644, 26, 32ltled 11361 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐡)
7761, 31, 26, 76, 64lemul2ad 12153 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
7877adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
79 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
8070, 71, 75, 78, 79letrd 11370 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
8126adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8261adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
8335adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ ≀ 𝐴)
8451necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐴 β‰  π‘ˆ)
8583, 84jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 β‰  π‘ˆ))
8630, 34ltlend 11358 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < 𝐴 ↔ (π‘ˆ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 β‰  π‘ˆ)))
8786adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ < 𝐴 ↔ (π‘ˆ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 β‰  π‘ˆ)))
8885, 87mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ < 𝐴)
8930, 34posdifd 11800 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
9089adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
9188, 90mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 0 < (𝐴 βˆ’ π‘ˆ))
9282, 91jca 512 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
93 elrp 12975 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
9492, 93sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ+)
9581, 75, 94lemuldivd 13064 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ↔ 𝐡 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ))))
9680, 95mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
975fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘Š) = (πΊβ€˜π‘ˆ))
98 unbdqndv2lem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
99 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘ˆ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘ˆ))
10099oveq1d 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘ˆ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
101 oveq1 7415 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘ˆ β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = (π‘ˆ βˆ’ 𝐴))
102100, 101oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = π‘ˆ β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)) = (((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴)))
103 ovexd 7443 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴)) ∈ V)
10498, 102, 54, 103fvmptd3 7021 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘ˆ) = (((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴)))
10597, 104eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘Š) = (((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴)))
106105fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴))))
10773adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
10830recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
10934recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
110108, 109subcld 11570 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
111110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
112108adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
113109adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
114112, 113, 51subne0d 11579 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝐴) β‰  0)
115107, 111, 114absdivd 15401 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(π‘ˆ βˆ’ 𝐴))))
11659oveq2d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(π‘ˆ βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
117115, 116eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
118106, 117eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
119118eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))
12096, 119breqtrd 5174 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))
12168, 120jca 512 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š))))
12255, 121jca 512 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ∧ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))))
1231a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š = if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉))
124 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
125124iffalsed 4539 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉) = 𝑉)
126123, 125eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š = 𝑉)
12728adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝑉 ∈ 𝑋)
12830, 29, 37abssubge0d 15377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) = (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))
129128oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) = (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
130129breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ↔ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))))
131130adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ↔ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))))
132124, 131mtbird 324 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
13314, 28ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‰) ∈ β„‚)
13431recnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ) ∈ β„‚)
13544, 42gtned 11348 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ) β‰  0)
136 unbdqndv2lem2.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐡) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
137133, 15subcld 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∈ β„‚)
138137, 134, 135absdivd 15401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))))
139128oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
140138, 139eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
141140eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))))
142136, 141breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐡) ≀ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))))
143133, 15, 72, 134, 25, 135, 142unbdqndv2lem1 35380 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∨ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))))
144143adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∨ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))))
145 orel2 889 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) β†’ (((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∨ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))))
146132, 144, 145sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
147146adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
148 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘‰) = (πΉβ€˜π΄))
149148oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
150149adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
15172subidd 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = 0)
152151adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = 0)
153150, 152eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = 0)
154153fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = (absβ€˜0))
15519a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (absβ€˜0) = 0)
156154, 155eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = 0)
157156adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = 0)
158147, 157breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 0)
159129breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 0 ↔ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0))
16047, 159mtbird 324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 0)
161160adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 0)
162161adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 0)
163158, 162pm2.65da 815 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ 𝑉 = 𝐴)
164163neqned 2947 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝑉 β‰  𝐴)
165127, 164jca 512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 β‰  𝐴))
166 eldifsn 4790 . . . . 5 (𝑉 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↔ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 β‰  𝐴))
167165, 166sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝑉 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}))
168126, 167eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}))
169126oveq1d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘Š βˆ’ 𝐴) = (𝑉 βˆ’ 𝐴))
170169fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)))
17134, 29, 36abssubge0d 15377 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)) = (𝑉 βˆ’ 𝐴))
172171adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)) = (𝑉 βˆ’ 𝐴))
173170, 172eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) = (𝑉 βˆ’ 𝐴))
17429, 34resubcld 11641 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
17530, 34, 29, 35lesub2dd 11830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))
176174, 31, 63, 175, 65lelttrd 11371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) < 𝐷)
177176adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) < 𝐷)
178173, 177eqbrtrd 5170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
179171, 174eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
18026, 179remulcld 11243 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ)
181180adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ)
182129, 45eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ∈ ℝ)
183182adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ∈ ℝ)
184133, 72subcld 11570 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
185184abscld 15382 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
186185adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
187128, 31eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
188175, 171, 1283brtr4d 5180 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
189179, 187, 26, 76, 188lemul2ad 12153 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ≀ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))))
190189adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ≀ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))))
191181, 183, 186, 190, 146letrd 11370 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
19226adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
193174recnd 11241 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
194193adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
19529recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ β„‚)
196195adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝑉 ∈ β„‚)
197109adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
198196, 197, 164subne0d 11579 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) β‰  0)
199194, 198absrpcld 15394 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
200192, 186, 199lemuldivd 13064 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ↔ 𝐡 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)))))
201191, 200mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))))
202126fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘Š) = (πΊβ€˜π‘‰))
203 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘‰))
204203oveq1d 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑉 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
205 oveq1 7415 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑉 β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = (𝑉 βˆ’ 𝐴))
206204, 205oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑉 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)) = (((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴)))
207 ovexd 7443 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴)) ∈ V)
20898, 206, 167, 207fvmptd3 7021 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘‰) = (((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴)))
209202, 208eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘Š) = (((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴)))
210209fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴))))
211184adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
212211, 194, 198absdivd 15401 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))))
213210, 212eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))))
214213eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))
215201, 214breqtrd 5174 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))
216178, 215jca 512 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š))))
217168, 216jca 512 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ∧ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))))
218122, 217pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ∧ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  β„+crp 12973  abscabs 15180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182
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