unbdqndv2lem2 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem unbdqndv2lem2 33962

Description: Lemma for unbdqndv2 33963. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
unbdqndv2lem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
unbdqndv2lem2.w	⊢ 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉)
unbdqndv2lem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2lem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2lem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
unbdqndv2lem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
unbdqndv2lem2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
unbdqndv2lem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
unbdqndv2lem2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑉)
unbdqndv2lem2.4	⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) < 𝐷)
unbdqndv2lem2.5	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))

**Assertion**
Ref	Expression
unbdqndv2lem2	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))

Distinct variable groups: 𝑧,𝐴 𝑧,𝐵 𝑧,𝐹 𝑧,𝑈 𝑧,𝑉 𝑧,𝑋 𝜑,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑧) 𝐺(𝑧) 𝑊(𝑧)

**Proof of Theorem unbdqndv2lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		unbdqndv2lem2.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉))
3		iftrue 4431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) → if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉) = 𝑈)
4	3	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉) = 𝑈)
5	2, 4	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = 𝑈)
6		unbdqndv2lem2.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
7	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ∈ 𝑋)
8		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
9		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → (𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝐴))
10	9	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝑈))
11	10	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈)))
12	11	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))))
13	12	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))))
14		unbdqndv2lem2.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
15	14, 6	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℂ)
16	15	subidd 10974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈)) = 0)
17	16	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))) = (abs‘0))
18	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))) = (abs‘0))
19		abs0 14637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘0) = 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘0) = 0)
21	18, 20	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))) = 0)
22	13, 21	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
23	22	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
24	8, 23	breqtrd 5056	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
25		unbdqndv2lem2.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
26	25	rpred 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
27		unbdqndv2lem2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
28		unbdqndv2lem2.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
29	27, 28	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
30	27, 6	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
31	29, 30	resubcld 11057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) ∈ ℝ)
32	25	rpgt0d 12422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
33		unbdqndv2lem2.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
34	27, 33	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
35		unbdqndv2lem2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
36		unbdqndv2lem2.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑉)
37	30, 34, 29, 35, 36	letrd 10786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑉)
38		unbdqndv2lem2.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
39	38	necomd 3042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑈)
40	30, 29, 37, 39	leneltd 10783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)
41	30, 29	posdifd 11216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑉 ↔ 0 < (𝑉 − 𝑈)))
42	40, 41	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑉 − 𝑈))
43	26, 31, 32, 42	mulgt0d 10784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
44		0red 10633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
45	26, 31	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ∈ ℝ)
46	44, 45	ltnled 10776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ↔ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0))
47	43, 46	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
48	47	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
49	48	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
50	24, 49	pm2.65da 816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ 𝑈 = 𝐴)
51	50	neqned 2994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ≠ 𝐴)
52	7, 51	jca 515	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ≠ 𝐴))
53		eldifsn 4680	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ≠ 𝐴))
54	52, 53	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
55	5, 54	eqeltrd 2890	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
56	5	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 − 𝐴) = (𝑈 − 𝐴))
57	56	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (abs‘(𝑈 − 𝐴)))
58	30, 34, 35	abssuble0d 14784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝑈))
59	58	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑈 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝑈))
60	57, 59	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝑈))
61	34, 30	resubcld 11057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ)
62		unbdqndv2lem2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
63	62	rpred 12419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
64	34, 29, 30, 36	lesub1dd 11245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑈) ≤ (𝑉 − 𝑈))
65		unbdqndv2lem2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) < 𝐷)
66	61, 31, 63, 64, 65	lelttrd 10787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑈) < 𝐷)
67	66	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐴 − 𝑈) < 𝐷)
68	60, 67	eqbrtrd 5052	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷)
69	26, 61	remulcld 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ∈ ℝ)
70	69	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ∈ ℝ)
71	45	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ∈ ℝ)
72	14, 33	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
73	15, 72	subcld 10986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
74	73	abscld 14788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
75	74	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
76	44, 26, 32	ltled 10777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
77	61, 31, 26, 76, 64	lemul2ad 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
78	77	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
79		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
80	70, 71, 75, 78, 79	letrd 10786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
81	26	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
82	61	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ)
83	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
84	51	necomd 3042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐴 ≠ 𝑈)
85	83, 84	jca 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 𝑈))
86	30, 34	ltlend 10774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝐴 ↔ (𝑈 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 𝑈)))
87	86	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 < 𝐴 ↔ (𝑈 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 𝑈)))
88	85, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 < 𝐴)
89	30, 34	posdifd 11216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
90	89	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
91	88, 90	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 0 < (𝐴 − 𝑈))
92	82, 91	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
93		elrp 12379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ⁺ ↔ ((𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
94	92, 93	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ⁺)
95	81, 75, 94	lemuldivd 12468	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ↔ 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈))))
96	80, 95	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
97	5	fveq2d 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (𝐺‘𝑈))
98		unbdqndv2lem2.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
99		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑈))
100	99	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))
101		oveq1 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → (𝑧 − 𝐴) = (𝑈 − 𝐴))
102	100, 101	oveq12d 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
103		ovexd 7170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)) ∈ V)
104	98, 102, 54, 103	fvmptd3 6768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑈) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
105	97, 104	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
106	105	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = (abs‘(((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴))))
107	73	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
108	30	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
109	34	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
110	108, 109	subcld 10986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐴) ∈ ℂ)
111	110	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 − 𝐴) ∈ ℂ)
112	108	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ∈ ℂ)
113	109	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
114	112, 113, 51	subne0d 10995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 − 𝐴) ≠ 0)
115	107, 111, 114	absdivd 14807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑈 − 𝐴))))
116	59	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑈 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
117	115, 116	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
118	106, 117	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
119	118	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)) = (abs‘(𝐺‘𝑊)))
120	96, 119	breqtrd 5056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))
121	68, 120	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊))))
122	55, 121	jca 515	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))
123	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉))
124		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
125	124	iffalsed 4436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉) = 𝑉)
126	123, 125	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = 𝑉)
127	28	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ∈ 𝑋)
128	30, 29, 37	abssubge0d 14783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝑈)) = (𝑉 − 𝑈))
129	128	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) = (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
130	129	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ↔ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
131	130	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ↔ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
132	124, 131	mtbird 328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
133	14, 28	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑉) ∈ ℂ)
134	31	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) ∈ ℂ)
135	44, 42	gtned 10764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) ≠ 0)
136		unbdqndv2lem2.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))
137	133, 15	subcld 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℂ)
138	137, 134, 135	absdivd 14807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (abs‘(𝑉 − 𝑈))))
139	128	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (abs‘(𝑉 − 𝑈))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))
140	138, 139	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))
141	140	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)) = (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))))
142	136, 141	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ≤ (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))))
143	133, 15, 72, 134, 25, 135, 142	unbdqndv2lem1 33961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∨ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
144	143	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∨ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
145		orel2 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) → (((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∨ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)))))
146	132, 144, 145	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))))
147	146	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))))
148		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 = 𝐴 → (𝐹‘𝑉) = (𝐹‘𝐴))
149	148	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)))
150	149	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)))
151	72	subidd 10974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)) = 0)
152	151	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)) = 0)
153	150, 152	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) = 0)
154	153	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘0))
155	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘0) = 0)
156	154, 155	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
157	156	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
158	147, 157	breqtrd 5056	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
159	129	breq1d 5040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0 ↔ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0))
160	47, 159	mtbird 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
161	160	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
162	161	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
163	158, 162	pm2.65da 816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ 𝑉 = 𝐴)
164	163	neqned 2994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ≠ 𝐴)
165	127, 164	jca 515	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ≠ 𝐴))
166		eldifsn 4680	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ≠ 𝐴))
167	165, 166	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
168	126, 167	eqeltrd 2890	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
169	126	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 − 𝐴) = (𝑉 − 𝐴))
170	169	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (abs‘(𝑉 − 𝐴)))
171	34, 29, 36	abssubge0d 14783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) = (𝑉 − 𝐴))
172	171	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) = (𝑉 − 𝐴))
173	170, 172	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (𝑉 − 𝐴))
174	29, 34	resubcld 11057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) ∈ ℝ)
175	30, 34, 29, 35	lesub2dd 11246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) ≤ (𝑉 − 𝑈))
176	174, 31, 63, 175, 65	lelttrd 10787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) < 𝐷)
177	176	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 − 𝐴) < 𝐷)
178	173, 177	eqbrtrd 5052	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷)
179	171, 174	eqeltrd 2890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) ∈ ℝ)
180	26, 179	remulcld 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ∈ ℝ)
181	180	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ∈ ℝ)
182	129, 45	eqeltrd 2890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ∈ ℝ)
183	182	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ∈ ℝ)
184	133, 72	subcld 10986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
185	184	abscld 14788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
186	185	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
187	128, 31	eqeltrd 2890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝑈)) ∈ ℝ)
188	175, 171, 128	3brtr4d 5062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) ≤ (abs‘(𝑉 − 𝑈)))
189	179, 187, 26, 76, 188	lemul2ad 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))))
190	189	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))))
191	181, 183, 186, 190, 146	letrd 10786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))))
192	26	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
193	174	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) ∈ ℂ)
194	193	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 − 𝐴) ∈ ℂ)
195	29	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
196	195	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ∈ ℂ)
197	109	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
198	196, 197, 164	subne0d 10995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 − 𝐴) ≠ 0)
199	194, 198	absrpcld 14800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) ∈ ℝ⁺)
200	192, 186, 199	lemuldivd 12468	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ↔ 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴)))))
201	191, 200	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))))
202	126	fveq2d 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (𝐺‘𝑉))
203		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑉))
204	203	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)))
205		oveq1 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑧 − 𝐴) = (𝑉 − 𝐴))
206	204, 205	oveq12d 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
207		ovexd 7170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)) ∈ V)
208	98, 206, 167, 207	fvmptd3 6768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑉) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
209	202, 208	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
210	209	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴))))
211	184	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
212	211, 194, 198	absdivd 14807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))))
213	210, 212	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))))
214	213	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))) = (abs‘(𝐺‘𝑊)))
215	201, 214	breqtrd 5056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))
216	178, 215	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊))))
217	168, 216	jca 515	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))
218	122, 217	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∨ wo 844 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 Vcvv 3441 ∖ cdif 3878 ⊆ wss 3881 ifcif 4425 {csn 4525 class class class wbr 5030 ↦ cmpt 5110 ⟶wf 6320 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 ℝcr 10525 0cc0 10526 · cmul 10531 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 / cdiv 11286 2c2 11680 ℝ⁺crp 12377 abscabs 14585

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-sup 8890 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-rp 12378 df-seq 13365 df-exp 13426 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587

This theorem is referenced by: unbdqndv2 33963

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