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Theorem unbdqndv2lem2 35921
Description: Lemma for unbdqndv2 35922. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2lem2.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
unbdqndv2lem2.w π‘Š = if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉)
unbdqndv2lem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
unbdqndv2lem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
unbdqndv2lem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
unbdqndv2lem2.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝐴)
unbdqndv2lem2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑉)
unbdqndv2lem2.4 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ) < 𝐷)
unbdqndv2lem2.5 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐡) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2lem2 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ∧ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑧,𝐹   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐺(𝑧)   π‘Š(𝑧)

Proof of Theorem unbdqndv2lem2
StepHypRef Expression
1 unbdqndv2lem2.w . . . . . 6 π‘Š = if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉)
21a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š = if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉))
3 iftrue 4530 . . . . . 6 ((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) β†’ if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉) = π‘ˆ)
43adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉) = π‘ˆ)
52, 4eqtrd 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š = π‘ˆ)
6 unbdqndv2lem2.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
76adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
8 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
9 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π΄))
109eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π‘ˆ))
1110oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
1211fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ = 𝐴 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))))
14 unbdqndv2lem2.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
1514, 6ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) ∈ β„‚)
1615subidd 11581 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) = 0)
1716fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) = (absβ€˜0))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) = (absβ€˜0))
19 abs0 15256 . . . . . . . . . . . . 13 (absβ€˜0) = 0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜0) = 0)
2118, 20eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) = 0)
2213, 21eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = 0)
2322adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = 0)
248, 23breqtrd 5168 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0)
25 unbdqndv2lem2.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
2625rpred 13040 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
27 unbdqndv2lem2.x . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
28 unbdqndv2lem2.v . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑋)
2927, 28sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ ℝ)
3027, 6sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
3129, 30resubcld 11664 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
3225rpgt0d 13043 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐡)
33 unbdqndv2lem2.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3427, 33sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
35 unbdqndv2lem2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝐴)
36 unbdqndv2lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑉)
3730, 34, 29, 35, 36letrd 11393 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝑉)
38 unbdqndv2lem2.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
3938necomd 2991 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  π‘ˆ)
4030, 29, 37, 39leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < 𝑉)
4130, 29posdifd 11823 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < 𝑉 ↔ 0 < (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
4240, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))
4326, 31, 32, 42mulgt0d 11391 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
44 0red 11239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
4526, 31remulcld 11266 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
4644, 45ltnled 11383 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 < (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ↔ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0))
4743, 46mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0)
4847adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0)
4948adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ π‘ˆ = 𝐴) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0)
5024, 49pm2.65da 816 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ π‘ˆ = 𝐴)
5150neqned 2942 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ β‰  𝐴)
527, 51jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘ˆ β‰  𝐴))
53 eldifsn 4786 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘ˆ β‰  𝐴))
5452, 53sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}))
555, 54eqeltrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}))
565oveq1d 7429 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘Š βˆ’ 𝐴) = (π‘ˆ βˆ’ 𝐴))
5756fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(π‘ˆ βˆ’ 𝐴)))
5830, 34, 35abssuble0d 15403 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘ˆ βˆ’ 𝐴)) = (𝐴 βˆ’ π‘ˆ))
5958adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘ˆ βˆ’ 𝐴)) = (𝐴 βˆ’ π‘ˆ))
6057, 59eqtrd 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) = (𝐴 βˆ’ π‘ˆ))
6134, 30resubcld 11664 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
62 unbdqndv2lem2.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
6362rpred 13040 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
6434, 29, 30, 36lesub1dd 11852 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ≀ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))
65 unbdqndv2lem2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ) < 𝐷)
6661, 31, 63, 64, 65lelttrd 11394 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) < 𝐷)
6766adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) < 𝐷)
6860, 67eqbrtrd 5164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
6926, 61remulcld 11266 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
7069adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
7145adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
7214, 33ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
7315, 72subcld 11593 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
7473abscld 15407 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
7574adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
7644, 26, 32ltled 11384 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐡)
7761, 31, 26, 76, 64lemul2ad 12176 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
7877adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
79 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
8070, 71, 75, 78, 79letrd 11393 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
8126adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8261adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
8335adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ ≀ 𝐴)
8451necomd 2991 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐴 β‰  π‘ˆ)
8583, 84jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 β‰  π‘ˆ))
8630, 34ltlend 11381 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < 𝐴 ↔ (π‘ˆ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 β‰  π‘ˆ)))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ < 𝐴 ↔ (π‘ˆ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 β‰  π‘ˆ)))
8885, 87mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ < 𝐴)
8930, 34posdifd 11823 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
9089adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
9188, 90mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 0 < (𝐴 βˆ’ π‘ˆ))
9282, 91jca 511 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
93 elrp 13000 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
9492, 93sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ+)
9581, 75, 94lemuldivd 13089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐡 Β· (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ↔ 𝐡 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ))))
9680, 95mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
975fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘Š) = (πΊβ€˜π‘ˆ))
98 unbdqndv2lem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
99 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘ˆ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘ˆ))
10099oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘ˆ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
101 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘ˆ β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = (π‘ˆ βˆ’ 𝐴))
102100, 101oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = π‘ˆ β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)) = (((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴)))
103 ovexd 7449 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴)) ∈ V)
10498, 102, 54, 103fvmptd3 7022 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘ˆ) = (((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴)))
10597, 104eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘Š) = (((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴)))
106105fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴))))
10773adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
10830recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
10934recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
110108, 109subcld 11593 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
111110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
112108adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
113109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
114112, 113, 51subne0d 11602 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝐴) β‰  0)
115107, 111, 114absdivd 15426 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(π‘ˆ βˆ’ 𝐴))))
11659oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(π‘ˆ βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
117115, 116eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (π‘ˆ βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
118106, 117eqtrd 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)))
119118eqcomd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (𝐴 βˆ’ π‘ˆ)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))
12096, 119breqtrd 5168 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))
12168, 120jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š))))
12255, 121jca 511 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ∧ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))))
1231a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š = if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉))
124 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
125124iffalsed 4535 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ if((𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘ˆ, 𝑉) = 𝑉)
126123, 125eqtrd 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š = 𝑉)
12728adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝑉 ∈ 𝑋)
12830, 29, 37abssubge0d 15402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) = (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))
129128oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) = (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
130129breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ↔ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))))
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ↔ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))))
132124, 131mtbird 325 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
13314, 28ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‰) ∈ β„‚)
13431recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ) ∈ β„‚)
13544, 42gtned 11371 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ) β‰  0)
136 unbdqndv2lem2.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐡) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
137133, 15subcld 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∈ β„‚)
138137, 134, 135absdivd 15426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))))
139128oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
140138, 139eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
141140eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))))
142136, 141breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐡) ≀ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))))
143133, 15, 72, 134, 25, 135, 142unbdqndv2lem1 35920 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∨ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))))
144143adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∨ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))))
145 orel2 889 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) β†’ (((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∨ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))))
146132, 144, 145sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
147146adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
148 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘‰) = (πΉβ€˜π΄))
149148oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
150149adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
15172subidd 11581 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = 0)
152151adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = 0)
153150, 152eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = 0)
154153fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = (absβ€˜0))
15519a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (absβ€˜0) = 0)
156154, 155eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = 0)
157156adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) = 0)
158147, 157breqtrd 5168 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 0)
159129breq1d 5152 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 0 ↔ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ 0))
16047, 159mtbird 325 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 0)
161160adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 0)
162161adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) β†’ Β¬ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 0)
163158, 162pm2.65da 816 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ Β¬ 𝑉 = 𝐴)
164163neqned 2942 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝑉 β‰  𝐴)
165127, 164jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 β‰  𝐴))
166 eldifsn 4786 . . . . 5 (𝑉 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↔ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 β‰  𝐴))
167165, 166sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝑉 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}))
168126, 167eqeltrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}))
169126oveq1d 7429 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘Š βˆ’ 𝐴) = (𝑉 βˆ’ 𝐴))
170169fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)))
17134, 29, 36abssubge0d 15402 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)) = (𝑉 βˆ’ 𝐴))
172171adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)) = (𝑉 βˆ’ 𝐴))
173170, 172eqtrd 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) = (𝑉 βˆ’ 𝐴))
17429, 34resubcld 11664 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
17530, 34, 29, 35lesub2dd 11853 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝑉 βˆ’ π‘ˆ))
176174, 31, 63, 175, 65lelttrd 11394 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) < 𝐷)
177176adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) < 𝐷)
178173, 177eqbrtrd 5164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
179171, 174eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
18026, 179remulcld 11266 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ)
181180adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ)
182129, 45eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ∈ ℝ)
183182adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))) ∈ ℝ)
184133, 72subcld 11593 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
185184abscld 15407 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
186185adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
187128, 31eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
188175, 171, 1283brtr4d 5174 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ)))
189179, 187, 26, 76, 188lemul2ad 12176 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ≀ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))))
190189adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ≀ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ π‘ˆ))))
191181, 183, 186, 190, 146letrd 11393 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
19226adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
193174recnd 11264 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
194193adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
19529recnd 11264 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ β„‚)
196195adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝑉 ∈ β„‚)
197109adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
198196, 197, 164subne0d 11602 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐴) β‰  0)
199194, 198absrpcld 15419 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
200192, 186, 199lemuldivd 13089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐡 Β· (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ↔ 𝐡 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴)))))
201191, 200mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))))
202126fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘Š) = (πΊβ€˜π‘‰))
203 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘‰))
204203oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑉 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
205 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑉 β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = (𝑉 βˆ’ 𝐴))
206204, 205oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑉 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)) = (((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴)))
207 ovexd 7449 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴)) ∈ V)
20898, 206, 167, 207fvmptd3 7022 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘‰) = (((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴)))
209202, 208eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (πΊβ€˜π‘Š) = (((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴)))
210209fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴))))
211184adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
212211, 194, 198absdivd 15426 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑉 βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))))
213210, 212eqtrd 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))))
214213eqcomd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‰) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) / (absβ€˜(𝑉 βˆ’ 𝐴))) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))
215201, 214breqtrd 5168 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))
216178, 215jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š))))
217168, 216jca 511 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐡 Β· (𝑉 βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘ˆ) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ∧ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))))
218122, 217pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ∧ ((absβ€˜(π‘Š βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐡 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘Š)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130   Β· cmul 11135   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  β„+crp 12998  abscabs 15205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207
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