MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddrp 12951
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
ltaddrp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrp
StepHypRef Expression
1 elrp 12916 . 2 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
2 ltaddpos 11644 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
32biimpd 228 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
43expcom 414 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
54imp32 419 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
61, 5sylan2b 594 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7356  cr 11049  0cc0 11050   + caddc 11053   < clt 11188  +crp 12914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-ltxr 11193  df-rp 12915
This theorem is referenced by:  ltaddrpd  12989  lswccatn0lsw  14478  efgt1  15997  efgsfo  19519  efgredlemd  19524  efgredlem  19527  iccntr  24182  reconnlem2  24188  opnreen  24192  minveclem3b  24790  logimul  25967  emcllem2  26344  emcllem4  26346  emcllem6  26348  perfectlem2  26576  bclbnd  26626  pntibndlem1  26935  pntlemd  26940  pntlemc  26941  pntlemr  26948  pntlemp  26956  smcnlem  29637  dp2ltc  31738  dpgti  31757  ballotlem2  33079  poimir  36102  stoweidlem59  44272  perfectALTVlem2  45886
  Copyright terms: Public domain W3C validator