Theorem ltaddrp 12623

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 12588	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
2		ltaddpos 11322	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
3	2	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
4	3	expcom 417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
5	4	imp32 422	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
6	1, 5	sylan2b 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729   + caddc 10732   < clt 10867  ℝ⁺crp 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-rp 12587

This theorem is referenced by:  ltaddrpd  12661  lswccatn0lsw  14148  efgt1  15677  efgsfo  19129  efgredlemd  19134  efgredlem  19137  iccntr  23718  reconnlem2  23724  opnreen  23728  minveclem3b  24325  logimul  25502  emcllem2  25879  emcllem4  25881  emcllem6  25883  perfectlem2  26111  bclbnd  26161  pntibndlem1  26470  pntlemd  26475  pntlemc  26476  pntlemr  26483  pntlemp  26491  smcnlem  28778  dp2ltc  30881  dpgti  30900  ballotlem2  32167  poimir  35547  stoweidlem59  43275  perfectALTVlem2  44847