Theorem ltaddrp 12950

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 12913	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
2		ltaddpos 11628	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
3	2	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
4	3	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
5	4	imp32 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
6	1, 5	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031   < clt 11168  ℝ⁺crp 12911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-rp 12912

This theorem is referenced by:  ltaddrpd  12988  lswccatn0lsw  14516  efgt1  16043  efgsfo  19636  efgredlemd  19641  efgredlem  19644  iccntr  24726  reconnlem2  24732  opnreen  24736  minveclem3b  25344  logimul  26539  emcllem2  26923  emcllem4  26925  emcllem6  26927  perfectlem2  27157  bclbnd  27207  pntibndlem1  27516  pntlemd  27521  pntlemc  27522  pntlemr  27529  pntlemp  27537  smcnlem  30659  dp2ltc  32840  dpgti  32859  ballotlem2  34456  poimir  37632  stoweidlem59  46041  perfectALTVlem2  47707