Theorem ltaddrp 13069

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 13033	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
2		ltaddpos 11750	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
3	2	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
4	3	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
5	4	imp32 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
6	1, 5	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   < clt 11292  ℝ⁺crp 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  ltaddrpd  13107  lswccatn0lsw  14625  efgt1  16148  efgsfo  19771  efgredlemd  19776  efgredlem  19779  iccntr  24856  reconnlem2  24862  opnreen  24866  minveclem3b  25475  logimul  26670  emcllem2  27054  emcllem4  27056  emcllem6  27058  perfectlem2  27288  bclbnd  27338  pntibndlem1  27647  pntlemd  27652  pntlemc  27653  pntlemr  27660  pntlemp  27668  smcnlem  30725  dp2ltc  32853  dpgti  32872  ballotlem2  34469  poimir  37639  stoweidlem59  46014  perfectALTVlem2  47646