Theorem atanbnd 27284

Description: The arctangent function is bounded by π / 2 on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem atanbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atanre 27243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ dom arctan)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ dom arctan)
3		atanneg 27265	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘ -𝐴) = -(arctan‘𝐴))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘ -𝐴) = -(arctan‘𝐴))
5		renegcl 11648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
7		lt0neg1 11849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
8	7	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
9	6, 8	elrpd 13188	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
10		atanbndlem 27283	. . . . . 6 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘ -𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘ -𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))
12	4, 11	eqeltrrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -(arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))
13		halfpire 26823	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
14	13	recni 11350	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
15	14	negnegi 11655	. . . . 5 ⊢ - -(π / 2) = (π / 2)
16	15	oveq2i 7454	. . . 4 ⊢ ( -(π / 2)(,) - -(π / 2)) = ( -(π / 2)(,)(π / 2))
17	12, 16	eleqtrrdi 2875	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -(arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,) - -(π / 2)))
18		neghalfpire 26824	. . . 4 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
19		atanrecl 27269	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
21		iooneg 13629	. . . 4 ⊢ (( -(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℝ) → ((arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,) - -(π / 2))))
22	18, 13, 20, 21	mp3an12i 1495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ((arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,) - -(π / 2))))
23	17, 22	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))
24		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
25	24	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (arctan‘𝐴) = (arctan‘0))
26		atan0 27266	. . . 4 ⊢ (arctan‘0) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (arctan‘𝐴) = 0)
28		0re 11337	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		pirp 26820	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ+
30		rphalfcl 13176	. . . . . 6 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
31		rpgt0 13160	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
32	29, 30, 31	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 0 < (π / 2)
33		lt0neg2 11850	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
34	13, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
35	32, 34	mpbi 233	. . . 4 ⊢ -(π / 2) < 0
36	18	rexri 11394	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
37	13	rexri 11394	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
38		elioo2 13544	. . . . 5 ⊢ (( -(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0 ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 2))))
39	36, 37, 38	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 2)))
40	28, 35, 32, 39	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 0 ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2))
41	27, 40	eqeltrdi 2872	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))
42		elrp 13149	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
43		atanbndlem 27283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))
44	42, 43	sylbir 238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))
45		lttri4 11421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
46	28, 45	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
47	23, 41, 44, 46	mpjao3dan 1460	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   -cneg 11569   / cdiv 12000  2c2 12424  ℝ⁺crp 13147  (,)cioo 13503  πcpi 16261  arctancatan 27222

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-tan 16266  df-pi 16267  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-limc 26216  df-dv 26217  df-log 26914  df-atan 27225

This theorem is used by:  atanord  27285