Theorem atanbnd 26421

Description: The arctangent function is bounded by π / 2 on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem atanbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atanre 26380	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ dom arctan)
2	1	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ dom arctan)
3		atanneg 26402	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))
5		renegcl 11520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
7		lt0neg1 11717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
8	7	biimpa 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
9	6, 8	elrpd 13010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
10		atanbndlem 26420	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘-𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘-𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
12	4, 11	eqeltrrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -(arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
13		halfpire 25966	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
14	13	recni 11225	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
15	14	negnegi 11527	. . . . 5 ⊢ --(π / 2) = (π / 2)
16	15	oveq2i 7417	. . . 4 ⊢ (-(π / 2)(,)--(π / 2)) = (-(π / 2)(,)(π / 2))
17	12, 16	eleqtrrdi 2845	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -(arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2)))
18		neghalfpire 25967	. . . 4 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
19		atanrecl 26406	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
20	19	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
21		iooneg 13445	. . . 4 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℝ) → ((arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
22	18, 13, 20, 21	mp3an12i 1466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ((arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
23	17, 22	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
24		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
25	24	fveq2d 6893	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (arctan‘𝐴) = (arctan‘0))
26		atan0 26403	. . . 4 ⊢ (arctan‘0) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2789	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (arctan‘𝐴) = 0)
28		0re 11213	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		pirp 25963	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ+
30		rphalfcl 12998	. . . . . 6 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
31		rpgt0 12983	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
32	29, 30, 31	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 0 < (π / 2)
33		lt0neg2 11718	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
34	13, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
35	32, 34	mpbi 229	. . . 4 ⊢ -(π / 2) < 0
36	18	rexri 11269	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
37	13	rexri 11269	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
38		elioo2 13362	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 2))))
39	36, 37, 38	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 2)))
40	28, 35, 32, 39	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 0 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))
41	27, 40	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
42		elrp 12973	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
43		atanbndlem 26420	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
44	42, 43	sylbir 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
45		lttri4 11295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
46	28, 45	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
47	23, 41, 44, 46	mpjao3dan 1432	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℝcr 11106  0cc0 11107  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  ℝ⁺crp 12971  (,)cioo 13321  πcpi 16007  arctancatan 26359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-atan 26362

This theorem is referenced by:  atanord  26422