Theorem regt1loggt0 47376

Description: The natural logarithm for a real number greater than 1 is greater than 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
regt1loggt0	⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 0 < (log‘𝐵))

Proof of Theorem regt1loggt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11269	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		elioopnf 13416	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝐵)
5		log1 26435	. . . . . 6 ⊢ (log‘1) = 0
6	5	eqcomi 2733	. . . . 5 ⊢ 0 = (log‘1)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 0 = (log‘1))
8	7	breq1d 5148	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → (0 < (log‘𝐵) ↔ (log‘1) < (log‘𝐵)))
9		1rp 12974	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		0lt1 11732	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
11		0red 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
12		1red 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
14		lttr 11286	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
16	10, 15	mpani 693	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
17	16	imdistani 568	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
18		elrp 12972	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
19	17, 3, 18	3imtr4i 292	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 𝐵 ∈ ℝ+)
20		logltb 26449	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 < 𝐵 ↔ (log‘1) < (log‘𝐵)))
21	9, 19, 20	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝐵 ↔ (log‘1) < (log‘𝐵)))
22	8, 21	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → (0 < (log‘𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
23	4, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 0 < (log‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  ℝ⁺crp 12970  (,)cioo 13320  logclog 26404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-log 26406

This theorem is referenced by:  rege1logbrege0  47398